过滤器改进了所有N的FGM方法；FGM-E是处理以下误差的最快方法-8带N≥ 希尔伯特变换，频谱滤波器和期权定价21Dates容差M平均迭代价格误差CPU时间4 E-8 1024 2.000 0.00545479385 2.38E-13 1.50E-0252 E-8 1024 2.000 0.00359559460 5.07E-13 8.57E-02104 E-8 1024 2.000 0.00341651334 5.92E-10 8.58E-02252 E-8 1024 2.091 0.00328484367 3.15E-07 9.63E-02504 E-8 1024 2.182 0.00322814330 6.84E-07 9.34E-024 E-10 4096 2.000 0.00545479385 7.17E-14 1.45E-0252E-10 4096 2.242 0.00359559460 6.70E-13 2.20E-01104 E-10 4096 2.303 0.00341651275 3.80E-13 2.15E-01252 E-10 4096 2.364 0.00328453104 2.33E-09 2.08E-01504 E-10 4096 2.485 0.00322753427 7.53E-08 2.21E-01表2定点算法容差设置为10的NIG流程结果-8和10-10.101102103104105M10-1510-1010-5100价格绝对误差n=4FLFLFL-E，p=12FGMFGM-E，p=12101102103104105M10-1510-1010-5100价格绝对误差n=52FLFL-E，p=12FGMFGM-E，p=12101102103104105M10-1510-1010-5100价格绝对误差n=252FLFL-E，p=12FGMFGM-E，p=12101102103104105M10-1510-1010-5100价格绝对误差n=504FLFLFLFL-E，p=12FGMFGM-E，p=12Fig。9对于带有VG流程和不同监测日期数的单个屏障下降和退出选项，误差与网格大小M。过滤器改进了FGM和FL方法，FL-E方法在较低日期数下表现最好。一个小的阈值和日期的数量无关，这和线性增加偏移量方法不同。图11和图12所示的结果证明了这一点。

过滤方法显示所有日期的最佳性能；过滤FL是监测日期数量较少的最佳方法，过滤FGM是监测日期数量较多的最佳方法。22 Phelan et al.101102103104105M10-1510-1010-5100价格绝对误差n=504FLFL-E，p=12FGMFGM-E，p=12101102103104105M10-1510-1010-5100价格绝对误差n=252FLFL-E，p=12FGMFGM-E，p=12101102103104105M10-1510-1010-5100价格绝对误差n=52FLFLFL-E，p=12FGMFGM-E，p=12101102103104105M10-1510-1010-5100价格绝对误差n=4FLFL-E，p=12FGMFGM-E，p=12Fig。10对于具有VG过程和不同监测日期数的双屏障选项，误差与网格大小M。过滤器改进了所有监测日期数的FGM方法和低日期数的FL方法。10-310-210-1CPU时间/s10-1510-1010-5100105价格的绝对误差n=4FLFL-EFGMFGM-E，p=1210-310-210-1100CPU时间/s10-1010-5100105价格的绝对误差n=52FLFL-EFGMFGM-E，p=1210-210-1100CPU时间/s10-1010-5100105价格的绝对误差n=104FLFLFL-EFGMFGM-E，p=1210-210-1100CPU时间/s10-1010-5100价格的绝对误差n=252FLFL-E，p=12FGMFGM-E，p=1210-310-210-1100101CPU时间/s10-5100105价格绝对误差N=504FLFLFL-EFGMFGM-E，p=1210-310-210-1100101CPU时间/s10-1010-5100价格绝对误差N=1008FLFL-E，p=12FGMFGM-E，p=12图。11带有VG进程和不同监测日期数的单个屏障选项的错误与CPU时间N。

新过滤方法（FL-E，p=12）和FGM-E，p=12）的最佳性能在所有日期数上均与现有方法的性能相当或超过。希尔伯特变换、频谱滤波器和期权定价234.3结果总结表3总结了不同流程和期权类型的CPU时间方面表现最佳的方法。单屏障双屏障VG Kou NIG VG4 FL-E FL FL FL FL-E52 FL-E FL FL FL FL-E104 FL-E、FGM-E FL FL FL-E252 FL-E、FGM-E FGM-E、FL FGM-E、FL FGM-E、FL FGM-E、FL-E、FL504 FGM-E*FGM-E FGM-E FGM-E FGM-E*1008 FGM-E*FGM-E FGM-E FGM-E FGM-E*表3误差为10的最快方法-由于所有方法在VGprocess中的收敛速度较慢，标有星号的条目显示错误为10的最快方法-粗体：过滤方法提供最佳性能。加粗倾斜：过滤方法的性能等于但不超过现有方法的最佳性能。Italic：现有方法性能最佳的少数情况。5结论在本文中，我们表明，基于希尔伯特变换的衍生品定价数值方法可以通过增加10-310-210-1CPU时间/s10-1510-1010-5100105价格的绝对误差n=4FLFL-EFGMFGM-E，p=1210-210-1100CPU时间/s10-1510-1010-5100价格的绝对误差n=52FLFL-E，p=12FGMFGM-E来修改，p=1210-210-1100CPU时间/s10-1010-5100价格的绝对误差N=104FLFL-E，p=12FGMFGM-E，p=1210-210-1100101CPU时间/s10-810-610-410-2100价格的绝对误差N=252FLFL-E，p=12FGMFGM-E，p=1210-210-1100101CPU时间/s10-810-410-2100价格的绝对误差N=504FLFLFL-E，p=12FGMFGM-E，p=1210-210-1100101CPU时间/s10-810 0-610-410-2100价格绝对误差n=1008FLFL-E，p=12FGMFGM-E，p=12图。12错误vs。

具有VG过程和不同监测日期数的双屏障选项的CPU时间N。新过滤方法FL-E（p=12）和FGM-E（p=12）的最佳性能在所有日期数上均等于或超过现有方法的性能。24 Phelan等人。改进其收敛性的光谱滤波器。此外，我们扩展了byStenger、Feng和Linetsky的工作，该工作显示了希尔伯特变换输入上的函数形状如何与希尔伯特变换输出上的合成误差相关。我们表明，由于吉布斯现象，使用连续希尔伯特变换的算法将实现多项式收敛，除非在第一次希尔伯特变换后应用额外的滤波。此外，我们证明了简单的光谱滤波器，如指数滤波器或普朗克锥，足以提高性能，从而实现指数收敛。此外，我们还表明，Fengand Linetsky和Fusai等人的定价方案在VG过程中表现相对较差，即使是单屏障选项，也可以通过频谱滤波器进行改进。本文直接关注障碍期权定价，但研究结果与任何与存在障碍情况下的列维过程相关的应用相关，并需要求解维纳-霍普夫或弗雷德霍姆方程。参考文献Abate J，Whitt W（1992a）概率分布逆变换的傅立叶级数方法。排队系统10（1–2）：5–88，DOI 10.1007/BF01158520Abate J，Whitt W（1992b）概率母函数的数值反演。运筹学信函12（4）：245–251，DOI 10.1016/0167-6377（92）90050 DBarndorff-Nielsen OE（1998）《正态逆高斯型过程》。

金融与随机2（1）：41–68，DOI 10.1007/S007800050032 Boyd JP（2001）切比雪夫和傅立叶谱方法。施普林格，海德堡，DOI 10.1002/zamm。19910710715Carr P，Madan D（1999）使用快速傅立叶变换进行期权估价。计算金融杂志2（4）：61–73，DOI 10.21314/JCF。1999.043 Carr P，Geman H，Madan DB，Yor M（2002）《资产回报的详细结构：经验调查》。《商业杂志》75（2）：305–332，DOI 10.1086/338705Daniele VG，Zich RS（2014）《电磁学中的维纳-霍普夫方法》。科学技术出版社（IET），Edison，NJFang F，Oosterlee CW（2008），基于傅里叶余弦级数展开的欧式期权定价新方法。《暹罗科学计算杂志》31（2）：826–848，DOI 10.1137/080718061Fang F，Oosterlee CW（2009）通过傅立叶余弦级数展开对早期行使和离散障碍期权进行定价。Numerische Mathematik 114（1）：27–62，DOI 10.1007/s00211-009-0252-4Feng L，Linetsky V（2008）《列维过程模型中离散监控障碍期权和违约债券的定价：希尔伯特变换方法》。数学财务18（3）：337–384，DOI 10.1111/j.1467-9965.2008.00338。xFeng L，Linetsky V（2009）计算L'evy过程和回溯选项的离散最大值的指数矩。金融与随机13（4）：501–529，DOI 10.1007/s00780-009-0096-xFrigo M，Johnson SG（1998）FFTW：FFT的自适应软件体系结构。摘自：1998年IEEE声学、语音和信号处理国际会议记录，IEEE，Piscataway，第3卷，第1381–1384页，DOI 10.1109/ICASSP。1998.681704 Fusai G、Germano G、Marazzina D（2016）Spitzer identity、Wiener-Hopf因式分解和离散监控奇异期权定价。

《欧洲运营研究杂志》251（4）：124–134，DOI 10.1016/j.ejor。2015.11.027希尔伯特变换、频谱滤波器和期权定价25Gibbs JW（1898）Fourier级数。《自然》59（1522）：200，DOI 10.1038/059200B0吉布斯JW（1899）傅立叶级数。《自然》59:606，DOI 10.1038/059606a0Gottlieb D，Shu C（1997），关于吉布斯现象及其解决方案。SIAM Review39（4）：644–668，DOI 10.1137/S0036144596301390 Green R，Fusai G，Abrahams ID（2010）《维纳-霍普夫技术和离散监控路径依赖期权定价》。数学金融20（2）：259–288，DOI 10.1111/j.1467-9965.2010.00397。xHeston SL（1993）具有随机波动性的期权的闭式解，应用于债券和货币期权。金融研究回顾6（2）：327–343，DOI10.1093/rfs/6.2.327休伊特E，休伊特RE（1979）《吉布斯-威尔布拉姆现象：傅立叶分析中的一个插曲》。精确科学史档案馆21（2）：129–160，DOI 10.1007/BF00330404Kemperman JHB（1963）具有2边边界的一般随机游动的维纳-霍普夫型方法。《数理统计年鉴》34（4）：1168–1193，DOI 10.1214/aoms/117770/3855King FW（2009）Hilbert transforms。剑桥大学出版社，CambridgeKou S（2002）《期权定价的跳扩散模型》。管理科学48（8）：1086–1101，DOI 10.1287/mnsc。48.8.1086.166Kreyszig E（2011）《高等工程数学》，第10版。Wiley，New YorkLewis A（2001）关于一般跳跃扩散和其他指数evy过程的简单期权公式。DOI 10.2139/ssrn。282110，sSRN 282110Madan DB，Seneta E（1990）股票市场收益的方差伽马（V.G.）模型。《商业杂志》63（4）：511–524，DOI 10.1086/296519Marazzina D，Fusai G，Germano G（2012）在维纳-霍普夫框架中定价信用衍生品。

摘自：康明斯M、墨菲F、米勒JJH（编辑）《金融数值方法》主题，纽约斯普林格，《数学与统计斯普林格学报》，第19卷，第139-154页，DOI 10.1007/978-1-4614-3433-7{\\}8McKechan DJA，罗宾逊C，萨提亚普拉卡什BS（2010）《凝聚致密双星引力波检测中时域模板和模拟信号的锥形窗口》。经典和量子引力27（8）：084020，DOI 10.1088/0264-9381/27/8/084020Mercuri L，Rroji E（2016）指数混合过程中的期权定价。《运筹学年鉴》260（1–2）：353–374，DOI 10.1007/s10479-016-2180-xMerton RC（1976）基本股票收益不连续时的期权定价。《金融经济学杂志》3（1）：125–144，DOI 10.1016/0304-405X（76）90022-2Noble B（1958）基于维纳-霍普夫技术的偏微分方程求解方法。Pergamon出版社，伦敦，再版纽约：切尔西，1988Nolan JP（2018）《稳定分布-重尾数据模型》。Birkh–auser，波士顿，进行中，第1章在线http://fs2.american.edu/jpnolan/www/stable/stable.htmlPolyaninAD，Manzhirov AV（1998）《积分方程手册》。CRC出版社，BocaRatonRuijter MJ，Versteegh M，Oosterlee CW（2015年），关于频谱滤波器在期货期权定价技术中的应用。计算金融杂志19（1）：75–106，DOI10.21314/JCF。2015.306Schoutens W（2003）L'evy金融过程。组合引理及其在概率论中的应用。美国数学学会学报82（2）：323–339，DOI 10.1090/S0002-9947-1956-0079851-X26 Phelan et al.Stenger F（1993）《基于Sinc和解析函数的数值方法》。Springer，BerlinStenger F（2011）《Sinc数值方法手册》。

CRC出版社，Boca RatonTadmor E（2007）《过滤器、molli fiers和Gibbs现象的计算》。《美国学报》16:305–378，DOI 10.1017/S0962492906320016Tadmore E，Tanner J（2005）分段平滑光谱数据自适应滤波器。IMA数值分析杂志25（4）：635–647，DOI 10.1093/imanum/dri026Vandeven H（1991）不连续问题谱滤波器系列。《科学计算杂志》6（2）：159–192，DOI 10.1007/BF01062118Wilbraham H（1848），关于某个周期函数。剑桥和都柏林数学杂志3:198–201，URLhttps://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN600493962{{0003希尔伯特变换、频谱滤波器和期权定价27附录A表4包含了产生第4节所示结果的数值实验所使用的所有参数。说明符号值选项参数成熟度T 1年初始现货价格S打击K 1.1上屏障（双屏障）U 1.15上屏障（向下和向外）U+∞下限L 0.85无风险利率r 0.05股息率q 0.02模型ψ（ξ，t）符号值Nige-tδ√α-（β+iξ）+√α-βα15β-5δ0.5Koue-t型σξ-λ（1）-p） ηη+iξ+pηη-iξ-1.p 0.3λ3σ0.1ηηVG（1-iνθξ+νσξ/2）-t/νθ1/9σ√3/9ν1/4表4所用数值试验和过程的参数；ψ（ξ，t）是模拟标的资产对数价格转移密度的过程的特征函数。