在这一组中，仪器的数量选择为50、100、200、750和1000，而样本量固定为50000。最后两组被用来研究样本量增加时的趋势。对于第二组，我们将工具的数量固定为10，并生成了具有100000、500000和1000000个样本的实例。在第三组中，我们将仪器的数量固定为100，并生成了具有50000、100000、150000、200000和750000个样本的实例。每种情况下的回报率均由正态分布和t分布生成。与Lim etal类似。（2010），相应的平均向量设置为零，置信水平选择为  , 对于所有实例。5.3.  与Lim et al.（2010）提出的算法进行比较，Lim et al.（2010）研究了NDO（不可微优化）技术，该技术可适用于求解不可微公式（3-6）。他们提出了一种两阶段算法，可以通过另一阶段进行增强。该算法在这里称为CVaR IIP算法。在第一阶段，使用传统的可微优化技术，同时避开不可微点。第二阶段采用可变目标值NDO技术。可选的第三阶段通过从第二阶段获得的崩溃基础开始切换到复杂解算器，在有限的时间内实现精确的最优解。他们的实验结果表明，第三阶段需要花费大量的精力。另一方面，CVaR IIPalgorithm在大多数情况下提供了高度精确的近似最优解。

因此，他们建议在实践中使用CVaR IIP（并放弃第三阶段），因为它可以作为一种有效的解决程序，为大规模测试问题及时提供接近最优的解决方案。表1-3给出了在第5.2节所述的三组测试问题上，用于检查EVaR PD算法与CVaR IIP算法性能的计算结果。在这些表格中，“GAP-IIP”列下的每个数字表示通过CVaR IIP算法获得的解的绝对最优性差距的平均值。对于非常大的实例，CVaR IIPalgorithm的最优性差距是使用具有8个3.2 GHz处理器和32 GB RAM的超级计算机计算的，基于下一小节中基于公式（3-5）给出的对偶方法。表1：。算法EVaR PD和CVaR IIP的运行时间，以及算法CVaR IIP对于第一组测试问题的差距，如第5-2节所示，具有固定的样本大小.（a） 正态分布EVaR-PDCVaR-IIPGAP-iipcov1cov2cov1cov2cov2cov2.00E-061.00E-061.00E-054.00E-067.00E-060.0003842.00E-050.00020.041420.000780.02110.0277420.002020.0149（b）t与d.f。EVaR-PDCVaR-IIPGAP-IIPCOV1COV2COVCOV1.2E-056E-060.0008224E-050.00040.0352060.000140.0177276.920.4485880.01260.2306405.70.5283360.02470.2765图1-3显示了与列“Cov”相关的结果。从图1可以看出，对于第一组，当仪器数量增加时，CVaR IIP算法所需的时间比EVaR PDA算法所需的时间短。然而，应该注意的是，通过该算法获得的解的最优性差距显著增加（高达0.528336），而对于EVaR PD算法，其最优性差距始终小于.表2：。

算法EVaR PD和CVaR IIP的运行时间，以及第二组测试问题的算法CVaRIIP的最优性差距，见第5-2节，仪器数量固定.（a） 正态分布EVaR-PDCVaR-IIPGAP-IIPCOV1COV2COVCOV1COVCOV2COV0.000494.2E-050.00039.79E-055E-059.86E-055E-052E-061E-06（b）带d.f的t分配。EVaR-PDCVaR-IIPGAP-iipcov1cov2covcov1cov2cov0.0288830.00030.01460.0077020.00390.0028060.00140.0031540.00160.0002120.0001从图2和图3可以明显看出，对于最后两个测试集，EVaR-PD算法的性能优于var-IIP算法，并且这种相对优势随着样本大小与仪器数量的比率的增加而增加。对于这两组仪器，在仪器数量有限且固定的情况下，CVaR IIP算法获得的最佳APS足够好，但在大多数情况下，它们仍然大于VAR PD算法的精度水平.从表2和表3可以看出，最优性差距和运行时间略微依赖于协方差结构。我们还可以看到，收益正态分布和t分布的测试问题之间的运行时间没有实质性差异。然而，从前两组数据来看，CVaR IIP算法的最优性差距明显增加，t分布为重尾分布。表3：。算法EVaR PD和CVaR IIP的运行时间，以及第三组测试问题的算法CVaRIIP的最优性差距，如第5-1节所示，仪器数量固定.（a） 正态分布EVaR-PDCVaR-IIPGAP-iipcov1cov2cov1cov2cov1cov2cov0.076920.0385（b）t分布与d.f。EVaR-PDCVaR-IIPGAP-iipcov1cov2cov1cov2cov1cov2cov（a）正态分布（b）t分布，d.f。图1：。

算法EVaR PD和CVaR IIP的运行时间，以及算法CVaR IIP与仪器数量的差距  对于第5-2节中给出的第一组测试问题，固定样本量.00.0050.010.0150.020.02550010001500200025003035000 500 1000间隙值运行时间n EVaR-PDCVaR-IIPGAP-IIP00.050.10.150.20.250.3050010002000250030000400000 500 1000间隙值运行时间n EVaR PDCVaR IIPGAP IIP（a）正态分布（b）t带d.f的分布。图2：。算法EVaR PD和CVaR IIP的运行时间与第二组测试问题的样本量的关系，如第5-2节所示，仪器数量固定.（a） 正态分布（b）t分布和d.f。图3：。第5-2节给出了算法EVaR PD和CVaR IIP的运行时间与第三组测试问题的样本量的关系，仪器数量固定.5.4.  与Ogryczak算法的比较和利文斯基（2011）Ogryczak和'Sliwiński（2011）表明，对于解决问题（3-4），通过使用LP对偶，即通过解决（3-5）中给出的原始问题（3-4）的对偶，可以轻松提高Simplex方法的计算效率。事实上，在原始LP模型（3-4）中，约束的数量与样本量成比例，而在对偶程序（3-5）中，结构约束的数量仅与仪器的数量成比例。通过LP对偶方法得到的算法在这里称为CVaR DLP。表4-6给出了在第5.2节描述的三组测试问题上应用算法EVaR PD和CVaR DLP的计算结果。

与上一节类似，图4-6显示了与列“Cov”相关的结果。注意CVaR DLP算法无法解决750/50000、1000/50000的测试问题；和100/750000仪器/样本量；由于内存需求过多。这些内存不足的情况用“OM”表示。如前一小节所述，使用超级计算机在无限时间内解决这些情况，以计算算法CVaR IIP的最优性差距。0100203004005000 200000 400000 600000 800000运行时间N EVaR-PDCVaR-IIP01002003004005000 200000 400000 600000 800000运行时间N EVaR-PDCVaR-IIP0102030405060700 500000 1000000运行时间N EVaR-PDCVaR-IIP0102030405060700 500000 1000000运行时间N EVaR PDCVaR IIP从表4-6可以看出，CVaR DLP算法比EVaR PDP算法需要更多的时间，它所需的运行时间随着样本大小与仪器数量的比率的增加而急剧增加。此外，可以看出，CVaR DLP算法对两种协方差结构的表现非常不同，这与EVaR PD算法的情况不同。表4：。第5-2节给出的第一组测试问题的算法EVaR PD和CVaR DLP的运行时间，固定样本量（a） 正态分布EVaR-PDCVaR-dlpcov1cov2cov1cov2cov2comomomomomom（b）t分布与d.f。EVaR-PDCVaR-DLPCOV1COV2COVCOV1COVCOV2COVOMOMOMOMOM表5。第二组测试问题的算法EVaR PD和CVaR DLP的运行时间，见第5-2节，仪器数量固定.（a） 正态分布EVaR-PDCVaR-dlpcov1cov2cov1cov2covomom（b）t分布与d.f。EVaR-PDCVaR-DLPCOV1COV2COVCOV1COVCOVOMOMOM表6。

第三组测试问题的算法EVaR PD和CVaR DLP的运行时间，见第5-2节，仪器数量固定.（a） 正态分布EVaR-PDCVaR-dlpcov1cov2cov1cov2cov（b）t分布与d.f。EVaR-PDCVaR-dlpcov1cov2cov1cov2cov（a）正态分布（b）t分布，d.f。图4：。运行时间与仪器数量 对于第5-2节中给出的第一组测试问题的算法EVaR PD和CVaR DLP，固定样本量.（a） 正态分布（b）t分布和d.f。图5：。第5-2节给出的第二组测试问题的算法EVaR PD和CVaR DLP的运行时间与样本量的关系，仪器数量固定.（a） 正态分布（b）t分布和d.f。图6：。第5-2节给出的第三组测试问题的算法EVaR PD和CVaR DLP的运行时间与样本量的关系，仪器数量固定.05010001500200025003000035000 500 1000运行时间n EVaR-PDCVaR-DP0501000150020002500300003500400000 1000运行时间n EVaR-PDCVaR-DP010020003004005006007002000000 600000运行时间n EVaR-PDCVaR-DP05010150200250300350400450500000 400000 600000 80000运行时间n EVaR-PDCVaR-DP0200006008001000000 500000 1000000运行时间n EVaR-PDCVaR-DP010020003005006007008000 5000001000000运行时N EVaR-PDCVaR-DP5.5。在本小节的一个投资案例研究中，我们比较了真实世界案例中通过EVaR和CVaR方法获得的投资组合。该实例是使用标准普尔500（美国）资本市场指数的数据构建的。

我们从Yahoo Finance获得了1984年9月至2015年2月期间的每日开盘价格数据，该数据可用于标准普尔500指数的20支股票（即cat、aa、KO、DIS、GE、IBM、ed、cvx、aep、mo、cnp、UTX、MCD、GSPC、de、bmy、avp、axp、F和WMT）。然后，我们计算了一个月的回报率。此constructsan实例具有 和. 对缺失的值进行插值。对于这种情况和不同的高置信度  ,  使用EVaR和CVAR方法的最优投资组合，分别表示为和,    已获得。表7根据不同的传统指标对这些投资组合进行了比较：均值、标准差和高置信度VarValue。每对置信水平和度量报告的数量是该度量值对投资组合的比率投资组合的指标值.  例如，对于行“0.95”和列“Mean”，相应单元格中给出的数字计算如下：  . “投资组合距离”列报告矩形距离从…起, i、 e。， .从表7中，首先可以看出，通过CVaR和EVaR方法获得的投资组合有很大的不同，因为“投资组合距离”一栏下的数字从0.2到0.53不等，与代表全部可用资本的数字1相比，这一数字大得多。其次，在这种情况下，通过EVaR方法获得的投资组合在大多数情况下具有更好的均值和VaR值，尽管EVaR投资组合获得的标准偏差值较差。

这可能是因为EVaR是强且严格单调的，而CVaR不是。这些结果表明，EVaRapproach可能会产生更合适的投资组合。表7：。对标准普尔500指数案例研究中EVaR和CVaR方法获得的投资组合进行比较。置信水平均值0.99VaR 0.95VaR 0.90VaR 0.85VaR 0.80投资组合距离0.991.041.011.000.990.991.020.200.951.091.041.081.020.991.011.040.340.901.151.051.081.041.031.040.280.851.401.151.201.091.091.130.530.801.291.051.081.061.336是的。结论本文考虑了基于样本的EVaR投资组合优化问题。如果负回报是一个可微凸函数，则由此产生的优化问题成为一个可微凸规划，其中约束和变量的数量与样本量无关。所以，使用可微凸优化技术可以有效地优化带有EVaR的portfoliooptimization。本文提出了一种基于EVaR的投资组合优化的原对偶内点算法。对文献中的三组测试问题进行了全面的计算研究，对所提出的算法进行了测试。该算法比用于非线性优化的商业求解器速度快得多，能够稳定地解决从1000个工具和50000个样本到100个工具和750000个样本的非常大的问题实例，其中实例具有不同的尾部属性和依赖结构。使用两种现有的高效算法对基于CVaR的投资组合优化的计算效率进行了比较，并使用所提出的算法对基于EVaR的投资组合优化的计算效率进行了比较。

这一比较表明，投资组合优化的EVaR方法可以像CVaR方法一样快速地解决大型问题。此外，当样本量增加时，EVaR方法优于CVaR方法，因为EVaR公式的变量和约束数量与样本量无关。对一个真实投资案例的计算研究表明，与CVaR方法相比，用于投资组合优化的EVaR方法会产生非常不同的投资组合，CVaR方法具有更好的传统性能指标，如平均值和高置信度VaR值。鉴于EVaR是一致的，与VAR和CVaR相比具有更合适的单调性以及计算优势，从财务和计算角度来看，EVaR可能是一个很有前途的风险度量。虽然所提出的算法在大规模情况下是有效的，但开发更高效的算法是未来的研究方向。在未来的研究中，还可以研究使用EVaR优化其他投资组合优化问题。致谢Lim等人（2010）论文的作者，特别是ChurlzuLim博士，感谢他们分享论文中提出的算法代码，并感谢他们提供的有益支持。参考文献1。Ahmadi Javid，A.（2011年7月）。构建一致风险度量的信息论方法。摘自：《IEEE信息论国际研讨会论文集》，圣彼得堡，2011年，第2125-2127.2页。Ahmadi Javid，A.（2012a）。熵风险价值：一种新的一致性风险度量。优化理论与应用杂志，155（3），1105-1123.3。Ahmadi Javid，A.（2012b）。《熵风险值：一种新的一致性风险度量》的附录。

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