Fama和French（2015）提出， 补充平均绝对α，并测量模型无法解释的平均回报率的比例。[在此插入表3]对于A组中25个按B/M分类的投资组合，根据CAPM，将模型隐含分布（对模型的教条信念）的质量转移到基于数据的分布（对模型的完全怀疑）的最短距离或总成本为每月1.633%。在FF3下，这样的成本每月减少一半至0.822%；在其他模型下，它会变得更小，在FF6下，它会达到0.665%的最低值。平均成本广告可以直观地对模型进行排名。该公司将FF6列为每月销售额为0.133%的顶级车型。这与其他统计数据的排名一致，即最低平均绝对α =  0.091%，未解释回报率最低| =  51%，最小GRS统计为2.93（尽管p值<1%时出现排斥反应）。删除HML（FF6-HML）的模型在所有指标中排名紧随其后。其他模型的排名通常是一致的，但FF3和q因子之间有一个明显的例外。虽然FF3的alpha统计数据略低，排名较高，但GRS和AD指标的q因子排名都较高。FF3产生较低a的发现|| （0.108%对0.111%），但RMSE较高()  （0.15%对0.136%）表明FF3存在极端定价错误。表4中的面板A显示了这一点，其中显示了α的后验估计值(),标准误差(),  t-统计量(/),  和边缘距离()  对于25号B码/Mportfolios。如图所示，FF3下最小的最低B/M投资组合有一个巨大的每月-0.52%的阿尔法，其规模是所有其他阿尔法的两倍以上。

相比之下，尽管q因子模型产生的阿尔法平均更大，但其最大值（0.26%）仅为FF3下极端值的一半。这种极端α对FF3非常有害，甚至其较高的估计精度（即较小的RMSE(): 0.068%对0.085%；较高的R:91%对88%）不会颠覆其相对于q因子的性能。边缘距离将字母的离散度和标准误差在一个度量中进行了分解。对于FF3下的致命资产，di=0.53%，是所有其他资产的两倍以上。这是一个现实世界的证明，只需一个极端的错误就可以摧毁一个更好的模型。最后，GRS统计数据也支持q因子，主要是因为其功率较低，如所示 = q系数为39%，FF3为21%。[在此插入表4]对于表3面板B中的25个大小的OP分类投资组合，首先注意到所有模型的总运输成本和平均运输成本都要小得多。事实上，在所有二元排序和三元排序的投资组合中，这组投资组合产生的TD和ADamong最低，这与Fama和French（2015）的发现一致，即它们是定价最好的投资组合。其次，FF5、FF6、FF6-HML和q因子模型都会产生非常相似的性能指标。然而，不一致的排名仍然存在：距离度量AD选择FF5或FF6为最佳模型，而q因子根据GRS（1.48，p值=6.2%）和平均绝对α（A|| < 0.06%). 差异不是由于上述极端错误问题造成的；相反，RMSE() = 在所有模型中，q因子下的0.07%是最低的，但由于 = 119%.

如前所述，frequentistinterpretation（Fama and French，2016b）对这一大于一的比率持肯定态度：真α的离散度低于抽样误差的离散度。然而，根据贝叶斯解释，定价错误的不确定性比定价错误对距离的贡献更大，这表明该模型缺乏能力。为了详细说明功率效应，表4的面板B显示了字母(), 标准错误(), t-统计(/), 每个规模OP投资组合的FF5和q因子模型下的边际距离（di）。isabout在q因子下比在FF5下高2个基点。因此，没有一个字母被q因子下的t统计量拒绝。出于同样的低功耗原因，q因子在所有模型中产生的GRS测试统计量最低。相比之下，边际距离di有助于确定对总距离贡献最大的资产，这是第二大且利润最低的投资组合，在q因子下，di=0.19%。该投资组合的t统计量为1.61，即，根据常客解释，不显著。然而，p值大于10%时，其未被拒绝并不是因为其α较小（0.16%是两种模型下最大的），而是因为其标准误差最高（两种模型下的标准误差均为0.10%）。总的来说，距离度量AD将模型的估计精度合并到成本组件RMSE中(), 导致解释力较低的模型排名较低。对于表3面板C中25个规模的投资组合，所有绩效指标，即AD、GRS和基于阿尔法的统计数据都会产生一致的模型排名，其中FF6是排名第一的模型，而HML排名第二。此处无需进一步讨论。基于距离的指标在表3的25个大小MOM排序的portfoliosin面板D中充分体现了其优点。

众所周知，CAPM、FF3和FF5模型无法解释动量投资组合的横截面平均回报。从贝叶斯投资者的角度来看，坚持对FF5的教条主义信念每月会产生1.74%的巨大成本，而平均成本在经济上非常显著，每月为0.35%。将动量因子（UMD）添加到FF5中，每月减少一半以上至0.16%。对于模型排名，GRS（2.77，p值<1%）和基于α的标准（A|| = 0.113%和 = 42%).然而，平均距离AD排名第一的是FF6，紧随其后的是FF6-HML，第三的是FF4，第四的是q因子。这种排名差异的主要原因是，基于阿尔法的统计方法既不考虑估计精度，也不考虑极端定价错误，而GRS统计的幂问题倾向于选择抽样误差较高的模型。在这个横截面上，功率问题和极端错误问题都很明显。首先，FF6和q因子模型生成相同水平的平均绝对αA|| = 0.113%，无法解释的回报比例为42%。然而，正如RMSE所表明的那样，q因子产生比FF6更极端的Alpha()  = q系数为0.158%，FF6为0.145%。更重要的是，q因子估计α的精度较低，因此会导致更大的α不确定性，即RMSE() = q系数下为0.104%，FF6下为0.073%， = Q系数下为43%，FF6下为25%。估计精度的差异在两个模型的R值中也很明显，q因子下的R=85%，FF6下的R=92%。

因此，考虑到定价误差水平相似，但估计精度不同，GRS测试显示出众所周知的功率问题，与精度较低的模型（q因子）相比，更倾向于拒绝精度较高的模型（FF6）。相比之下，距离度量通过一个单一的汇总统计AD解决了功率和极端误差问题，它支持FF6（0.162%）而不是q因子（0.19%）。为了深入了解更多细节，表4的面板C显示了后验定价错误(), 标准错误(), t-统计(/), 以及25个投资组合的边际距离（di）。我们观察到，在三个最小的赢家组中，排名靠前者的定价存在极端错误，在FF6下分别为0.40%、0.22%、0.19%，而在q因子下分别为0.50%、0.28%和0.23%。RMSE标准对Q因子下较大极值的惩罚比FF6下相对较小值的惩罚更重。此外，与FF6（t=4.78、3.44、2.90）相比，q因子下的标准误差更大，导致三个极端定价误差被拒绝的程度更低（t=4.68、2.99、2.42），尽管它们在q因子下的经济规模更大。这种性质的功率问题产生的q因子（2.77）的GRS统计值比FF6（3.34）的GRS统计值小，这是比较直观的。表4面板C中的边际距离DII有助于识别麻烦资产，根据RMSE标准，这些资产对总距离的贡献最大。q因子下的前三名di分别为0.51%、0.29%和0.25%，高于FF6下的di分别为0.41%、0.25%和0.23%。因此，Bayesianinvestor更喜欢FF6而不是q因子。4.2三向排序投资组合对于表5面板A中的32个B/M-OP投资组合，我们发现不同的绩效指标导致模型排名略有不同。

首先，GRS和基于alpha的统计数据意味着矛盾的结果。虽然q因子在GRS中排名第一（1.89，p值<1%），但基于阿尔法的统计学|| = 0.111%和 = 48%的人认为FF5、FF6和FF6-HML是最好的型号。考虑到q系数会在两个量级上产生更大的定价错误（A|| = 0.127%）和分散度（RMSE()=  0.164%），最低的GRS统计量归因于其更分散的错误定价协方差矩阵（RMSE() = 0.117%). 相比之下，距离度量AD考虑了错误定价的水平和不确定性，排名前三位的模型为FF6（0.173%）、FF5（0.175%）和FF6-HML（0.18%）。[在此插入表5]对于表5面板B中32个按B/M-INV大小排序的投资组合，所有绩效指标都将FF6和FF6-HML排在前两位。对于C组中32个大小的OP INV分类投资组合，FF6通过距离度量AD（0.161%）和基于alpha的统计数据排名第一||  =  0.11%和 = 50%. 然而，q因子产生的GRS统计值最小（2.60，p值<1%）。这再次是由于GRS测试的电源问题。

在FF6下，定价误差的大小和分散程度大致相同(|| = 0.110%和RMSE() = 0.142%）和q系数(|| = 0.113%和RMSE()  =  0.144%），GRS统计有利于较不精确地估计Alpha，即RMSE() = FF6下为0.076，q系数下为0.086。4.3单变量排序的十分位数组合对于按异常变量排序的四组15个十分位数组合，基于距离的度量、GRS统计和基于阿尔法的统计结果分别显示在表6的面板A、B、C和D中。[在此插入表6]对于A组中的FF因子组（10个尺寸+10个B/M+10个OP+10个INV），按距离度量（AD）排列的前三个模型是FF6（0.091%）、FF6-HML（0.093%）和FF5（0.097%）。这三个模型与GRS统计（1.26、1.27、1.35）和基于阿尔法的统计（A|| = 0.053%, 0.054%, 0.061%). q因子不在前三位并不奇怪，因为LHSassets是FF5的四个变量中更精细的一种。相比之下，Fama-French五因素模型和q因素模型均未将其余三组LHSassets作为目标，因此这是一个公平的比较。对于B组中的估价组（10 E/P+10 CF/P+10 D/P），前三名模型由ADare FF3（0.098%）、FF4（0.104%）和FF6（0.131%）排名。同样，这三个排名前三的模型与GRS统计（0.99、1.11、1.36）和基于alpha的统计（A|| = 0.051%,0.056%, 0.086%). 请注意，FF3是解释与估值相关的公司特征形成的横截面预期回报的最佳模型。这一结果突出了基于估值变量的FF3的早期成功（Fama和French，1996）。

这意味着，与所有其他组不同，在FF3中添加额外因素无助于描述资产评估组的平均回报。还要注意的是，这是FF6未被列为顶级车型的唯一交叉部分。基于距离的指标与GRS和基于阿尔法的统计学之间的不一致模型排名再次出现在C组中的先前回归组（10个月+10个STR+10个LTR）。根据AD指标，前三个模型是FF6（0.143%）、FF6-HML（0.143%）和q因子（0.152%，非常接近FF4，0.153%）。然而，GRS（1.48，p值<10%）和平均绝对α(= 0.097%）选择q因子作为顶部模型，FF6-HML（GRS=1.69， = 0.098%）和FF6（GRS=1.76， = 0.104%）为第二和第三款车型。这种差异在很大程度上归因于权力问题，在较小程度上归因于描述10个动量投资组合的极端错误问题。为了查看详细信息，表7显示了定价错误(),  标准错误(),  t-统计(/),  和边缘距离() 以及10个月环比投资组合的所有绩效指标。首先，顶部面板显示FF5的结果。底部输家和顶部赢家每月的边际距离分别为0.81%和0.57%。根据RMSE标准，这两个极端值对每月0.36%的平均距离有很大贡献，这表明在FF5中加入动量因子（UMD）至关重要。中间和底部面板比较FF6-HML和q因子的性能。

尽管q因子下的定价错误水平较低( = 0.121%）低于FF6-HML( = 0.127%），q因子（RMSE）下的定价错误更分散() = 0.137%），低于FF6-HML（RMSE()  =  0.133%），即q因子极端误差问题的证据。通过检查表中的各个字母，我们发现q因子对排名靠前的人产生的最大错误定价为0.24%，对排名靠后的人产生的第二大错误定价为-0.18%。相比之下，FF6-HML下最大和第二大错误定价分别为0.18%和0.16%。更重要的是，通过q因子RMSE估计α的精度较低() = FF6-HML下为0.109%对0.072%。该功率问题导致单独测试的t统计量较低（例如，对于冬季，qfactor下的t=1.94 vs FF6-HML下的t=2.09），而联合测试的GRS F统计量较小（q-factors下的F=2.23，FF6-HML下的F=2.85）。边际距离是一个更合理的指标，用于确定贡献最大的资产：在q因子下，最高赢家的di=0.27%，最低输家的di=0.26%。这两种资产的定价误差最大（赢家为0.24%，输家为0.18%），标准误差最大（赢家为0.13%，输家为0.19%）。然而，他们的t统计数据（胜利者为1.94，失败者为-0.98）认为他们的重要性低于十分之七资产（t=-2.25），阿尔法值较小（-0.16%），标准误差较小（0.07%）。【在此插入表7】对于D组中的其他异常组（10 AC+10 NI+10 beta+10 VAR+10 RVAR），前三个模型是FF6-HML、FF6和q因子（按AD（0.157%、0.159%、0.168%）和基于α的统计数据( = 0.100%, 0.102%, 0.112%). 然而，对于q因子和FF6-HML，GRS F统计量具有相同的最低值（2.89，p<1%）。

这是由于RMSE证明的相对较低的功率() =q因子下为0.082%，而FF6和FF6-HML下为0.077%。4.4两个大横截面和经济规模我们从上述投资组合中创建了两个大横截面：第一个是通过增加四组25个二元排序投资组合和三组32个三元排序投资组合，总计196个LHS回报；第二种方法是增加15组单变量排序的十分位数投资组合，总计150个LHS回报。我们依靠这两个广泛的横截面来提供更稳健的模型排名，这往往会使特定排序变量引起的偏差多样化。此外，将多组基于异常的资产集合在一起，使我们能够评估基于距离的度量的经济规模。[在此插入表8]除上述模型外，还检查了一个名为all的全因子模型，该模型包括所有10个因子。这种全要素投资组合反映了混合不同因素组合的最终努力。表8分别显示了面板A和B中两个大截面的性能指标结果。对于这两个横截面，排名前三位的模型是FF6、FF6-HML和按AD度量的q因子。在第一组196个投资组合中，前三个模型的月平均距离分别为0.145%、0.149%和0.165%；在第二组150个投资组合中，每月的平均距离分别为0.135%、0.135%和0.152%。然而，GRS和基于alpha的统计数据给出了两个横截面的不一致排名。如前所述，这是由于GRStest的低功耗（例如，第一组中的q因子）和基于alpha的统计的极端误差问题（例如，第二组中的qfactor vs FF4）。

最后，请注意，全因素模型在两个横截面中的排名都不高，这表明盲目地包括所有已知因素并不能产生最佳模型。到目前为止，我们已使用平均成本指标（AD）对LHS不同资产集的模型进行排名。为了评估比较模型和选择因素的经济规模，我们转向第1列中的总成本指标（TD）。首先，很容易看出，对CAMP和ff3持有教条主义信念会比其他模式产生更高的成本。例如，从对FF3的盲目相信到对FF5的盲目相信，每年的总储蓄约为（3.37%~2.62%）×12≈ 第一个宽横截面为9%，和（2.62%~2.03%）×12≈ 第二盘为7%。从选择因素的角度来看，这意味着将RMW和CMA添加到FF3中可为这两个大横截面每年创造7%~9%的附加值。第二，将动量因子（UMD）添加到FF5中会产生显著的经济节约，即（2.62%~2.04%）×12≈ 第一套每年7%，以及（2.03%~1.65%）×12≈ 第二套每年4.5%。第三，除了比较嵌套模型外，TD度量还可以比较非嵌套模型。例如，q因子相对于FF5的竞争优势可以衡量为额外节省（2.62%~2.31）×12≈ 第一组每年3.8%，和（2.03%~1.86%）×12≈第二套每年2.1%。然而，只需将UMD添加到FF5中，FF6即可恢复其竞争力。例如，FF5中的因素和q因素可以混合，以创建一个新模型（MKT SMB HML IA ROE UMD）。研究了多种因素组合。然而，这些混合因素模型中没有一个始终优于FF6或FF6-HML。优于q因子（2.31%~2.04%）×12≈ 第一组每年3.2%，和（1.86%~1.65%）×12≈ 第二套每年2.5%。

最后，有压倒性的证据表明，HML对所有LHS资产都是冗余的。FF6-HML的表现不仅在这两个广泛的横截面上，而且在前面描述的每一组投资组合中，与FF6的表现都是无法区分的。所以，考虑到节约，可以考虑用UMD代替HML，作为五因素模型（MKT SMB RMW CMA UMD）的修改版本。当然，以上所示的经济规模取决于投资范围，即多样化较差的资产数量越多，总运输成本越高。请注意，本文所考虑的LHS资产都是多样化的投资组合。在资产管理行业，可投资资产的异质性风险可能非常巨大。因此，比较模型的经济规模可能明显大于上述估计。从这个角度来看，TD指标对于了解其投资领域（例如，可投资资产的数量、资产的风险收益特征等）的投资组合经理来说具有经济意义。经理关心应该使用哪种资产定价模型来估计相对较高精度的预期收益。在这种情况下，距离度量提供了一种经济上有意义的度量。5、比较模型和选择因素：贝叶斯评估上一节根据完全基于模型的分布（σα=0）和完全基于数据的分布（σα=0）之间的距离度量来比较模型∞). 这是示例中给定模型的距离度量的上限。在本节中，我们将考虑当投资者在模型中表示不同的先前错误定价程度时，两者之间会发生什么。

正如Pastor（2000）所言，假设投资者既不将该模型作为教条使用，也不认为该模型完全一文不值，这可能是合理的。受资产定价测试实证结果的影响，投资者可能在不同的模型中持有广泛的先前错误定价程度。例如，FF5最近成功地解释了一系列其他异常现象，但势头可能会使投资者增加信心，但在一定程度上仍对该模型持怀疑态度；与此同时，这些经验证据可能会让投资者对FF3的有效性产生进一步的怀疑，对CAPM更是如此。由于模型中的任何先验错误定价程度都可以转换为两个后验分布之间的距离度量，因此我们可以找到FF5、FF3和CAPM的相应错误定价程度，从而使三个模型生成的后验分布与其各自的基于数据的分布具有相同的距离。当σα从较小的值（对模型有很强的先验信念）设置为非常大的值（对模型高度怀疑）时，α的后验估计() 从零的理论值移向OLS样本估计(). 因此，一旦一个人背离了他的教条信念，并对模型的有效性产生了一定程度的怀疑，他怀疑的观点下的错误定价分布与TD或AD度量的基于数据的错误定价分布在谐调上“更接近”（比他教条信念下的更接近）；换句话说，在模型中持有怀疑观点的运输成本总是比在模型中持有教条主义信念（即距离的上限）慢。

成本单调递减的特性允许我们开发一种距离等效度量，以评估比较模型和选择因素的经济意义。具体而言，我们将表8中的AD度量作为给定模型（σα=0）的比较基准，然后发现交替模型的σα>0，这样两个模型产生相同的AD。例如，在FF3和FF5之间，存在唯一的σα，FF3>0，这样FF3下的AD正好等于FF5下的AD，σα，FF5=0。因此，σα，FF3表示FF3相对于FF5的错误定价程度，FF5将两个模型的距离设置为相等。直观地，它衡量了FF3和FF5之间模型选择的以下权衡：如果选择FF3而不是FF5，他愿意先验地接受FF3错误定价的±2×σα，FF3（95%置信区间）大小。或者相反，选择FF5而不是FF3可以减轻他之前对错误定价的担忧，每年减少±2×σα，FF3。当然，如果选择基准模型而不是替代模型，σα的值越大，就越容易消除对错误定价的担忧。从这个意义上讲，σα的大小可以用来评估比较模型和选择因素的经济意义。我们遵循Pastor和Stambaugh（2000年，第353页）的方法，使用LHS资产的平均波动率作为基准线，以指定先前错误定价波动率的范围和值。σα的范围为0%~10%，取值范围为2%、4%、6%、8%、10%。上述两大横截面中单个投资组合的年化波动率在10%到30%之间，平均波动率在20%左右。σα=2%、4%、6%、8%和10%对应的样本量分别约为100年、25年、11.11年、6.25年和4年。

此外，σα=2%、4%、6%、8%和10%分别对应于±4%、±8%、±12%、±16%和±20%perannum的误定价95%置信区间。通过这些评估，σα=2%表示先前的定价失误不确定性程度适中（Pastor和Stambaugh，2000），而σα>2%的其他值表示投资领域的重大定价失误程度。[在此插入表9]表9显示了在不同的σα指定值下，所有模型的距离度量AD及其组件细分和相对贡献。结果适用于相同的投资领域，即左侧第一组由196个二元和三元排序的投资组合组成，右侧第二组由150个单元排序的投资组合组成。表8再现了面板A中σα=0的结果，作为比较基准模型的指标。根据两个董事会横截面（196个投资组合，150个投资组合）的AD指标，模型排名从上到下依次为FF6（0.145%，0.135%）、FF6-HML（0.149%，0.135%）、q因子（0.165%，0.152%）、FF4（0.187%，0.166%）、FF5（0.185%，0.157%）、BS（0.199%，0.180%）、FF3（0.241%，0.214%）和CAPM（0.345%，0.237%）。如前所述，这些广告指标代表了在相应模型中保持教条信念的最低成本。接下来，我们将评估基准模型和备选模型之间的权衡程度。

我们提出以下问题：如果一个人选择替代模型而不是基准模型，那么他必须接受的先前错误定价程度是多少？反之可能更直观：通过选择基准模型而非替代模型，他先前对模型定价错误的担忧减轻了多少？当σα>0时，错误定价的后验分布以协方差矩阵为非零的非零均值为中心，即：。，,  哪里和是模型I的均值和方差的后验估计。之间的总距离（TD） 以及基于数据的分布 由模型II生成的数据由公式（6）计算得出。然后，平均距离（AD），其两个分量RMSE()  和RMSE(),  然后计算了它们的相对贡献。在这种一般的贝叶斯形式中，TD和AD的经济解释是对模型持有一定程度怀疑观点（如非零σα所规定）的总平均最低成本。5.1比较模型[在此插入图1]图1。A和1。B在板横截面A和B的规定值σα处绘制AD。每条线代表一个模型，从上到下分别为CAPM、FF3、BS、FF5、FF4、q因子、FF6-HML、FF6。我们观察到所有的线都是非线性单调递减的，并且没有注意到某些模型对：两个图中的FF6和FF6-HML，图1中的FF4和FF5。A、 图1中的FF4和q系数。B、 在σα的所有规定值下彼此无法区分（即AD差值小于0.5个基点）。这些模型对被视为完全相同，并允许我们识别冗余因素。平行模式，即顶部和底部线条之间的间距从σα=0缩小到σα=10%。

这种模式反映了后验估计值的收缩效应：随着模型中的怀疑逐渐变得完全不可信，所有单调递减的直线最终收敛到零。为了使用距离等效度量来比较模型，我们首先确定基准模型在纵轴上的AD，然后水平查看以找到σα的值，在该值处交替模型的AD与基准模型的AD相等或重叠。σα的值带有Bayesian解释，即如果选择替代模型而不是基准模型，则必须接受错误定价的优先程度。当然，只有当基准模型表现更好时，这种权衡才具有经济意义。例如，如果一个人一意孤行地相信CAPM，就没有其他模式可以取舍；这样的投资者愿意为持有这种教条信仰的第一（第二）个横截面每月承担大约0.35%（0.24%）的平均最低成本。下面，我们将图1中的距离等效模型比较结果与表9中的数值结果结合起来进行解释。σα=2%的结果报告在表9的面板B中。在这种适度的先验错误定价程度下，α的后验分布与基于数据的分布适度“更接近”。有几组模型的这种错误定价水平的广告（面板B）与纵轴上的那些值（面板A）重叠。最明显的一个是q系数（对于1横截面和2横截面，AD=0.149%和0.136%）和FF6之间。这意味着，在σα=2%时，对q因子持温和怀疑态度的观点相当于对FF6的教条信念。

对于贝叶斯投资者来说，如果他选择q因子而不是FF6，那么之前的信念是，他可以接受±4%的年化定价误差；或者相反，他选择FF6而不是qfactor每年可以减少±4%的模型错误定价。对于这两个横截面，没有其他一致重叠模型。然而，单个横截面存在重叠模型：对于150个投资组合，FF5（面板B中AD=0.149%）与q因子重叠（面板a中AD=0.152%）；对于196个投资组合，FF4（面板B中AD=0.168%）与q因子（面板A中AD=0.165%）接近重叠。简言之，在先前2%的错误定价情况下，这些替代模型与其各自的基准模型的距离相当。面板C显示σα=4%的结果，这表示先前的重大错误定价程度为±8%。在这种错误定价水平下，最值得注意的发现是，在196个投资组合中，FF5（面板C中AD=0.143%）与FF6（面板A中AD=0.145%）重叠。此外，对于150组投资组合，FF5（C组为0.122%）的广告低于FF6（A组为0.135%）；精度较高的重叠点在σα=3.6%左右。对这一结果的贝叶斯解释是，对于选择FF5而非FF6的投资者，他必须愿意接受±7～8%的年化定价误差；相反，选择FF6而不是FF5可以将先前对错误定价的担忧降低±7～8%，这可以归因于FF5之上UMD的边际值。还要注意的是，在σα=4%之前的错误定价程度时，BS、FF3和CAPM的thead仍然高于精确定价FF6的thead，这表明这些模型需要更高的错误定价程度才能与FF6的距离相等。

令人惊讶的是，Bayesfactor模型BS在描述这些横截面的平均收益方面表现不佳。在σα=面板D中先前错误定价程度的6%时，BS和FF3的距离相当于精确定价FF6。选择FF3而非FF6的投资者准备接受±12%的年化定价误差。因此，从贝叶斯投资者的角度证明了FF3的失败，即他先前对FF3定价错误的担忧太大，不容忽视。至于CAPM，对于150个单变量排序的投资组合，其距离相当于先前8%（面板E）的错误定价不确定性。然而，对于196个投资组合，即使之前10%（F组）的错误定价不确定性也不够。这并不奇怪，因为二元和三元排序的投资组合是专门为捕捉CAPM的失败而设计的，即贝塔值是平的（Fama和French，1992）。到目前为止，我们假设对基准模型完全有信心。我们现在放宽这一假设，以反映更现实的情况，即投资者对各种模型持不同程度的怀疑态度。例如，根据最近实证研究的比较结果（Fama和French，20152016b；Hou、Xue和Zhang，2015、2016），人们可能会对FF5和q因子形成一定程度的信心（但仍持怀疑态度）。这些模型的距离在多大程度上是等效的？图1或表9中面板B-F的横向面板比较提供了答案。例如，图1和图1。A和图1。B表明σα=2%时的FF6相当于σα=4%时的q因子。这意味着，选择FF6而非q因子可以减轻投资者之前对错误定价的担忧，每年增加±4%。

此外，当投资者对所有模型都持高度怀疑态度时，后验概率模型的收缩效应会使模型之间的区别变小。例如，当σα=8%和10%时，FF5和qfactor变得无法区分。5.2选择因素：UMD与HML贝叶斯分析为资产定价模型中的因素选择提供了进一步的见解。我们对价值因素（HML）和动量因素（UMD）特别感兴趣，这两个因素在资产定价的有效性方面都受到了极大的研究关注。与现有研究结果一致（Fama和French，2015；Hou，Xue，and Zhang，2015），我们的实证结果表明HML确实是多余的。从图1可以直观地看到这一点。A和1。B、 其中，FF6和FF6-HML的AD曲线在所有定价错误的优先级下都无法相互区分。因此，HML不会增加增量收益，也不会损害模型描述横截面预期收益的能力。然而，包括动量因子（UMD）对于所有Fama-French模型成功描述大截面至关重要。通过检查FF6和FF5之间的距离等效度量，可以评估包括UMD的边际影响。正如贝叶斯结果所表明的那样，对于选择FF5而非FF6的投资者，他必须愿意接受每年±7%~8%的定价误差水平。换言之，UMD的边际效应是减轻投资者之前对定价错误的担忧，其幅度可能太大，不容忽视。此外，图1还显示，FF5的表现并不比FF4好（在150个投资组合中甚至稍差）。

这意味着UMD的边际效应与盈利因子（RMW）和投资因子（CMA）的联合效应一样大（甚至更大），原因如下。动量因子对横截面平均收益的描述有两个影响。首先，添加UMD可以大大降低FF5极端错误问题的严重性，众所周知，FF5可以很好地解释所有其他异常，但却无法很好地解释动量。然而，根据RMSEproperty，距离度量主要由较大的定价错误和较大的标准错误决定，因为它们会产生最大的运输成本。如表7顶部面板所示，最大赢家和最小输家的极端定价错误主要影响总距离或平均距离。如前所述，只需几笔价格不好的资产，就可以摧毁另一个好的模型，即使是在双板横截面这样的大横截面中。这对于FF5尤其如此，并解释了为什么UMD至少具有与RMW和CMA相同的效果。第二，所有表格中的经验结果表明，即使对于动量以外的异常，FF6在所有横截面上的表现都始终优于SFF5，这表明增加UMD可以为广义横截面的平均收益描述提供增量值。添加因子并不一定会提高模型性能。例如，表8中的全因子模型不执行FF6。另一个例子是BS模型中的HMLmin，去除该因素可以提高接近F6的模型性能。综上所述，鉴于节约和大量证据表明HML是冗余的，但UMD起着至关重要的作用，可以考虑在五因素模型中用UMD替代HML。

我们在整篇论文中都表明，这种新的五因素模型的性能与性能最好的FF6.6无法区分。结论在资产定价测试中，具有较高解释力的模型可能具有较低的p值（因此被拒绝），即使其产生的阿尔法在经济上无关紧要；相反，具有LHS回报膨胀残差协方差的模型可能会产生高p值（从而通过测试），即使是经济上可观的Alpha（Cochrane，2005；De Moore，Dhaene和Sercu，2015）。自Fama和French（1993）以来，统计测试的权力问题的这种性质早已得到承认，但如今这些问题仍然困扰着资产定价测试（例如，Fama和French，2012、2015、2016）。权力问题使得比较不同模型的p值尤其成问题，结果也很难解释（Harvey，2017）。作为补充，实证研究依赖于各种基于阿尔法的统计数据（忽略了功率问题）以及GRS检验的p值。然而，GRS F统计量和基于字母的统计量的无纪律使用容易违反直觉和相互矛盾的模型排名，正如文献中常见的和本文中大量展示的那样。功率问题可能源于频繁将错误定价参数解释为确定性但未知的值。因此，检验统计量源自阿尔法估计的抽样理论，有利于产生低比率（小F统计量）的阿尔法估计离散度与抽样误差的模型（Fama和French，2016b，2017）。本文提出了一种贝叶斯方法来解决模型比较中的持久挑战。

下面重点介绍了模型参数、模型性能和模型比较的Bayesian解释（另见表1）贝叶斯投资者将模型错误定价视为后验分布，用样本信息更新其主观信念。alphas的这种概率观点使距离度量能够在两个后验分布之间进行有意义的定义，这两个后验分布具有不同的先前定价不确定性程度贝叶斯投资者将模型性能视为其完全信任（模型隐含分布）和完全怀疑（基于数据的分布）之间的最短距离。距离不是一个比率，而是一个以回报为单位的成本度量，它承载着一种经济学解释，即持有对模型的教条信念的最低成本将距离度量的频率等效形式导出为平方字母和平方标准误差之和的平方根。这是样本中agiven模型的所有距离度量的上界，也是每个人的客观度量（这是frequentist方法的期望属性）。距离度量的更一般的贝叶斯形式是主观的，并且需要一个特定的值来表示先前的定价错误的不确定性程度模型性能通过一组统一的总距离（TD）、平均距离（AD）和边际距离（di）进行总结，这分别类似于联合测试的GRS统计、平均性能的平均绝对Alpha和频率设置中单独测试的t统计贝叶斯投资者倾向于使用解释力强的低分散阿尔法模型，但认为极端阿尔法和极端标准误差非常不可取。

模型的优劣更多地取决于模型对这些麻烦资产的定价，而不是平均绝对阿尔法度量，它平等地对待所有大小的阿尔法。当将上述贝叶斯解释纳入模型比较的背景中时，关键的经验发现是动量因子（UMD）对Fama-French五因子模型可能比人们认为的更重要。动量因子的关键作用不仅仅在于其解释动量投资组合的能力（我们知道五因子模型无法解释）。相反，各种模型竞相描述由大多数其他变量组成的两个董事会横截面的平均回报，其中五因素模型表现良好，而动量组合（momentumportfolios）只是一个小集合（即196个中有25个，150个中有10个）。即使对于这些广泛的横截面，UMDis也是五因素模型的一个重要补充：通过距离等效指标来评估其经济重要性，UMD将贝叶斯投资者先前对模型错误定价的担忧减少了约±8%。这一经济规模与盈利能力因素（RMW）和投资因素（CMA）的联合效应同等重要。随着UMD的加入，六因素模型（或为了节约而放弃冗余因子）成为所有竞争对手中表现最好的模型。与现有的GRS和基于alpha的统计数据相比，距离指标在一系列横截面上生成了经济直观且持续稳健的模型排名。特别是，膨胀剩余协方差矩阵的低功耗模型排名靠距离度量靠后，即使它们可能产生稍微较小的alpha估计。

本质上，正是功率问题的解决使FF6ranked成为顶级模型，否则它将成为众多横截面的q因子模型。最后，根据Harvey（2017）对p值的批评，基于距离的指标以及贝叶斯解释可能会补充在资产定价测试和模型比较中仍然占主导地位的频率法。对于常客研究者来说，距离度量补充了至少两条证据，以正确使用和正确解释p值。首先，以收益为单位的距离度量提供了统计度量所缺乏的对经济影响大小的一致度量。模型选择不被视为p值是否通过特定阈值的二元决策；相反，距离是一种平滑的成本度量，用于以经济上有意义的方式告知决策者模型性能。其次，可以使用距离度量来保证一个糟糕的模型在其p值上看起来不错。如果一个模型没有被拒绝或排名靠前，是因为它的定价错误低还是解释力低？总距离或平均距离为模型的整体或平均性能提供了一个诊断工具，而边际距离可能有助于进一步识别那些对模型性能贡献最大的麻烦资产。

因此，继Harvey（2017）对p值和建议方法的批评之后，可以在资产定价测试和模型比较中联合使用频度p值和贝叶斯距离度量。ReferencesAsness，Cliff和Andrea Frazzini，2013，《HML细节中的魔鬼》，投资组合管理杂志，39，49-68。Barillas，Francisco和Jay Shanken，2017a，《比较资产定价模型》，即将出版的《金融杂志》。Barillas，Francisco和Jay Shanken，2017b，哪个Alpha？，《金融研究回顾》30（4），第13161338页。约翰·H·科克伦，2005年。资产定价。普林斯顿大学出版社。Deadman、Edvin、Nicholas J.Higham和Rui Ralha（2013）“计算矩阵平方根的阻塞Schur算法”，计算机科学讲稿，7782。第171-182页。Dawson，D.C.和B.V.，Landau，1982，《多元正态分布之间的Frechet距离》，多元分析杂志12450-455。De Moore、Lieven、Geert Dhaene和Piet Sercu，2015年，《跨多因素资产定价模型比较零阿尔法测试》，银行与金融杂志，61235-240。Fama，Eugene F.，1998，《确定ICAPM中定价状态变量的数量》，金融和定量分析杂志33217-31。Fama、Eugene F.和Kenneth R.French。1992年，《预期股票收益横截面》，金融杂志47427–465。Fama、Eugene F.和Kenneth R.French。1993年，《股票和债券回报中的常见风险因素》，金融经济学杂志33，3–56。Fama，Eugene F.和Kenneth R.French，1996，《资产定价异常的多因素解释》，金融杂志51，55-84。Fama、Eugene F.和Kenneth R.French，2012年。国际股票回报的规模、价值和动量。《金融经济学杂志》105，457-472。Fama、Eugene F.和Kenneth R。

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(1).模型的似然函数为（A.1）其中, , 和tr(·) 是跟踪运算符。模型参数的先验分布为, 哪里          （A.2）其中  是一个（k+1）×（k+1）矩阵，其（1,1）元素为所有其他元素均为零；和              （A.3）是具有自由度的反向Wishart分布,  所以比例矩阵是 将先验分布（A.2）和（A.3）与似然函数（A.1）相结合，得出以下后验分布：                      （A.4）完成B上的方块，并收集[·] 产量（A.5）其中                   （A.6）（A.7）（A.8）后验分布（A.4）可分为两种已知分布：（A.9）大写，正态分布，后验平均值和后验方差,  和 isinverted Wishart随自由度分布和比例矩阵.

表示残差协方差矩阵的后验估计值, 根据Wishart分布的性质（Zellner，1971），其计算如下（A.10）根据（A.9）和（A.10），α的后验分布与其后验平均值是正态的从第一行及其后验方差取自.凭借对资产定价模型的教条信念，通过设置先验α不确定性，可以排除定价错误, 所以两者 和为零，即。，                    （A.11）在光谱的另一端 在投资者对该模式完全怀疑的情况下，后验主义者 和方差α符合抽样理论结果，即                （A.12）其中是LHS超额收益样本均值的（n×1）向量，是因子回归的样本平均值的（k×1）向量， 是因子负荷OLS估计的（n×k）矩阵，是因子收益的（k×k）样本协方差矩阵，并且 是从支配其非信息先验的样本估计的LHSreturns的（n×n）残差协方差矩阵.附录B.给定两个正态分布随机向量的两个多元正态分布之间的距离 和 在Rn中，定义降级的随机向量和. 定义平方二次Wasserstein距离. 为便于说明，表示.