差异价格由pαt=pαt{t<τ}给出，其中（pα，γ，γ）是以下BSDEpαt=ξ的唯一解-ZTtXi=1γisdWis+αZTte-使用-αpαs- 1.bπs（λ）ds，（5.5）在部分信息25pα有界且γiareeF可预测且EPhRT |γ为| dsi<∞ 对于i=1，2。此外，对于每t≤ T∧ τ、 效用差异对冲策略由θt给出=γtσS（t）；γtcB（t，ut）. （5.6）证明。根据命题5.3，利用方程（5.3）和（5.4），我们得到pαt对每t∈ [0，T]，其中γi：=bγi- φiα，i=1，2。请注意，标准结果是BSDE（5.5）溶液的唯一性，然后是驱动程序的统一Lipschitz性。现在，我们计算所谓的效用差异策略，即在存在索赔的情况下，对旨在最大化最终财富预期效用的投资者而言，偏离纯投资策略。形式上，效用差异策略是一个过程θ={θt，t∈J0，T∧ τK}由θt定义：=θ*t型- θt，对于每t∈ J0，T∧ τK。我们观察到θ*t型=uS（t）α（σS（t））+bγtασS（t）；uB（t，ut）α（cB（t，ut））+BγtαcB（t，ut）,θt=uS（t）α（σS（t））+φtασS（t）；uB（t，ut）α（cB（t，ut））+φtαcB（t，ut）,每t∈ J0，T∧ τK，然后取我们得到的差值（5.6）。5.2. 示例2.6市场模型中的差异价格和效用差异策略。我们现在考虑示例2.6的框架，其中风险资产价格过程和长寿债券价格过程由DST=St描述uS（t，Yt）dt+σS（t，Yt）dWt, S=S∈ R+，dSt=StuB（t，Yt）dt+dB（t，Yt）dWt, S=S∈ R+，其中过程Y遵循方程式（2.3）。在这种情况下，过滤系数是布朗运动和W的自然过滤。

我们假设函数uS（t，y）σS（t，y）和uB（t，y）dB（t，y）是有界的。在滥用notat io n的情况下，我们仍然用P表示与P onegts等价的概率度量，这使得进程sw={Wt，t∈ [0，T]}，W={Wt，T∈ [0，T]}由Wt给出：=Wt+ZtuS（u，Yu）σS（u，Yu）du，Wt：=Wt+ZtuB（u，Yu）dB（u，Yu）du，对于每T∈ [0，T]，（eG，P）-布朗运动和（eG，P）-死亡强度保持π（λ）（1-H） 。同样，W，Ware（eF，P）-布朗运动和P onefts的限制代表了完整初级金融保险市场上的唯一martinga-le测度。下一个结果为纯捐赠合同的差别价格提供了代表。26 C.CECI、K.COLANERI和A.Cretarola提案5.5。差异价格由pαt=pαt{t<τ}给出，其中（pα，γ，γ）是以下BSDEpαt=ξ的唯一解-ZTtγsdWs-ZTtγsdWs+αZTte-使用-αpαs- 1.bπs（λ）ds，pα有界，γiareeF可预测，因此EPhRT |γ是| dsi<∞ 对于i=1，3，其中ut=-EP“ZTt”uS（S，Ys）σS（S，Ys）+uB（s，Ys）cB（s，Ys）#ds公司eFt#。此外，对于每t≤ T∧ τ、 效用差异对冲策略由θt给出=γtσS（t，Yt）；γtdB（t，Yt）.该证明遵循与第5.4.6条建议相同的行。结语本文讨论了在货币市场账户、股票和长寿债券给出可交易资产的市场模型中，纯捐赠合同的差别价格。我们的建模环境有三个独特的特征。首先，我们将金融和保险框架之间的相互依赖包括在内。其次，假设个体的死亡率与参考人群的死亡率不同。事实上，由于社会经济利益的差异，人口的危险率通常与投保人的不同。

这尤其意味着，即使一级市场是完整的，当包括保险衍生产品在内的不完整性出现时。第三，保险公司无法直接观察到个人的死亡强度，在任何时候，保险公司只知道个人是否还活着。我们根据两个随机控制问题确定了保险合同的差异价格，有保险责任和无保险责任，并使用BSDE方法解决了这两个问题。没有导数的优化问题会导致一个具有二次驱动的连续BSDEW，其存在唯一性遵循经典结果。因此，我们主要关注保险衍生产品的投资问题。该问题是在部分信息下形成的，因此首先需要应用过滤技术，得出仅与可观测过滤相关的等效随机控制问题。然后用带跳跃的BSDE来描述值过程，我们证明了直到τ的解的存在性和唯一性∧当r isk的市场价格有界时。考虑到时间T之前的BSDE∧ τ是可能的，因为对于所有T>T>τ，有保险责任和无保险责任的优化问题的值过程是一致的，这允许我们将方程简化为具有二次指数驱动的连续BSDE，我们提供了有界解的存在性和唯一性。

我们还讨论了两个例子，在这两个例子中，我们更明确地表示了纯捐赠合同的差异价格过程。第一个例子对应于一级市场在部分信息27可观察的经济和环境因素下不受BSDE额外无差异定价影响的情况，而第二个例子描述了重要性强度是通过过程Y建模的这些额外因素的函数的情况。在这两种情况下，一级市场都是完整的。然而，由于投保人死亡率的额外不确定性，引入保险衍生工具时仍然会出现不完全性。在这两种特殊情况下，差异价格过程的特征是BSDE在特定鞅测度P下相对于市场滤波器的解，相当于物理测度P。由于初级金融保险市场的不完全性，在一般情况下无法获得类似的表示。致谢作者感谢一位匿名的推荐人，感谢他提出了有助于提高绩效的宝贵建议。作者是意大利国家材料研究所（INdAM）的国家材料分析研究所（Gruppo Nationale per l\'Analisi Matematica，la Probabilitáe le loro Applicationi，GNAMPA）的成员，该工作部分得到了GNAMPA项目编号2017/00003 27的支持。本论文的第o部分是在第二位作者与英国利兹大学数学学院合作时撰写的。第三位作者得到了佩鲁贾大学研究所（University e rs i tádegli Studidi Perugia-Fondo ricerca di base Esercizio 2015-Project:Il problema della cope rtura di titoliderivati soggetti a rischio di credito in informazione parziale）的支持。参考文献[1]Aase，K.和Persson，S.：与单位挂钩的人寿保险单的定价。斯堪的纳维亚。精算师。

J、 ，1994（1）：26–52，（1994）。[2] Bayraktar，E.、Milevsky，M.A.、Promislow，S.D.和Young，V.：死亡率r iskvia的评估瞬时夏普比率：终身年金的应用。J、 经济学。发电机。控制，33（3）：676–691，（2009）。[3] Becherer，D.：在持续绝对风险规避下对综合风险进行合理对冲和估值。保险数学。经济体。，3 3(1):1–28, (2003).[4] Becherer，D.：向后SDE的有界解，带有跳跃，用于效用优化和差异对冲。安。应用程序。概率。，16(4):2027–2054, (2006).[5] Biagini，F.、Rheinl"ander，T.和Schreiber，I.：具有基差风险的人寿保险责任的风险最小化。数学财务部。经济。，10(2):151–178, (2016).[6] Bielecki，T.R.和Rutkowski，M.：《信用风险：建模、估价和对冲》。SpringerFinance。Springer Verlag Berlin，海德堡，纽约，（2004年）。[7] Bi ffis，E.：动态死亡率和精算估值的一个有效过程。保险数学。经济体。，37(3):443–468, (2005).[8] Blanchet Scalliet，C.、Dorobantu，D.和Salhi，Y.：一种模型点方法，用于区分具有依赖生命的人寿保险组合的定价。Methodol。计算机。应用程序。概率。，第1-26页，（2017年）。[9] Boyle，P.a和Schwartz，E.：股票挂钩合约下担保的均衡价格。J、 风险保险。，第6 39–660页，（19 77）。28 C.CECI，K.COLANERI和A.CRETAROLA【10】Brémaud，P.：点过程和队列。Springer Verlag，霍尔斯特德出版社（1981年）。[11] Brémaud，P.和Yor，M.：过滤和概率度量的变化。Z、 Wahrscheinlichkeit，45（4）：269–295，（1978）。[12] Brennan，M.和Schwartz，E.：具有Anaset价值担保的股票挂钩人寿保险政策的定价。J、 财务部。经济。，3(3):195–213, ( 1976).[13] 凯恩斯，A.、布莱克，D.和多德，K.：《死亡定价：死亡风险评估和证券化框架》。

阿斯汀公牛队。，36(01):79–120, (2006 ) .[14] Ceci，C.：O具有标定点股票动力学的最优投资问题。在F.RussoR。C、 Dalang，M.Dozzi，《概率进展》编辑，第63卷，第385-412页。瑞士巴塞尔Birkh"auserVerlag。，(2011).[15] Ceci，C.：《跳跃市场模型中限制信息下的中间消费效用最大化》。内景J.Thero。应用程序。《金融》，15（06）：1250040（34页），（2012年）。[16] Ceci，C.和Colaneri，K.：跳跃扩散观测的非线性滤波。高级应用程序。概率。，44(03):678–701, (2012) .[17] Ceci，C.和Gerardi，A.：跳跃风险资产的效用差异估值。十进制。经济。《金融》，3 4（2）：85–120，（2011年）。[18] Ceci，C.、Colaneri，K.和Cretarola，A.：通过局部风险最小化对具有不可观察死亡率风险率的单位关联人寿保险合同进行套期保值。保险数学。经济体。，60:47–60, (2015).[19] Ceci，C.、Colaneri，K.和Cretarola，A.：《与单位挂钩的人寿保险单：部分可观察市场模型的最优hedgingin》。保险数学。经济体。，76:149–163, (201 7).[20] Dahl，M.：《人寿保险中的随机死亡率：市场准备金和与死亡率相关的保险合同》。保险数学。经济体。，35(1):113–136, (2 004).[21]Delong，L.：在资产由利维过程驱动的市场中，具有系统死亡风险的人寿保险组合的差异定价。斯堪的纳维亚。精算师。J、 ，2009（1）：1–26，（2009）。[22]Delong，L.：保险支付过程中没有好的交易、局部均值方差和模糊性风险定价和对冲。阿斯汀公牛队。，42( 1):203–232, ( 2012).[23]Delong，L.《带跳跃的倒向随机微分方程及其精算和金融应用EAA系列》，Springer Verlag London，（2013）。[24]Eichler，A.、Leobacher，G.和Sz"olgyenyi，M.：保险灾难衍生品的效用差异定价。

《欧洲精算杂志》，7（2）：515–53 4，（20 17）。【25】El Karo ui，N.：控制随机性的方面概率。P.L.Hennequin，《圣面理工学院IX-197 9》编辑，《数学课堂讲稿》第876卷，第73-238页。施普林格，柏林，海德堡（1981）。[26]El Karoui，N.、Peng，S.和Quenez，M.C.：金融中的反向随机微分方程。数学《金融》，7（1）：1-71，（1997）。【27】Heath，D.和Schweizer，M.：《金融中的鞅与偏微分方程：示例等价结果》。J、 应用程序。概率。，37(04):947–9 57, (2 000).部分信息下通过BSDES的无差别定价29【28】Henderson，V.和Hobson，D.：公用事业无差别定价：概述。R.Carmona，《差异定价：理论与应用》，第2章，第44-73页。普林斯顿大学出版社（2009）。【29】Jeanblanc，M.和Le Cam，Y.：随着初始时间的推移，过滤逐渐扩大。随机过程。应用程序。，119(8):2523–2543, (2 009).【30】Jeanblanc，M.、Yor，M.和Chesney，M.：金融市场的数学方法。Springer Science&Business Media（2009年）。【31】Jeanblanc，M.、Mastrolia，T.、Possama"i，D.和Réveillac，A.：随机视野下的效用最大化：BSDE方法。内景J.Thero。应用程序。《金融》，18（07）：1550045，（2015）。[32]Kharroubi，I.、Lim，T.和Ngoupeyou，A.：跳跃市场中不确定时间范围的均值-方差套期保值。应用程序。数学优化。，68(3):413–4 44, (2013).[33]Kurtz，T.G.和Ocone，D.L.：非线性滤波中条件分布的独特表征。安。应用程序。概率。，第80–107页，（19 88）。[34]Liang，X.和Lu，Y.通过散粒噪声过程驱动风险资产的人寿保险组合的差异定价。保险数学。经济体。，77:119–132, (2017).[35]Lim，T.和Quenez，M.C.：不完全市场中的指数效用最大化，有违约。电子J

概率。，16(53):1434–1 464, ( 2011).[36]Lim，T.和Quenez M.C.：完全/部分信息下默认模型中的投资组合优化。概率。工程师。知会Sci。，29(4):565–587, (2015).[37]Lipster，R.S.和A.N.Shiryaev，A.N.：条件高斯序列：滤波和相关问题。《随机过程统计II：应用》，第13章，第55-97页。施普林格·维拉格，柏林，（2001年）。【38】Ludkovski，M.和Young，V.R.：随机风险和利率下纯捐赠和终身年金的差异定价。保险数学。经济体。，42(1):14–30, (2008).【39】Moller，T.：产品空间模型中保险合同的差异定价：应用。保险数学。经济体。，32(2):295–315, (2003).[40]Oksendal，B.：随机微分方程：应用简介。SpringerScience&Business Media（2013年）。【41】Pa nicolaou，A.：具有部分信息的控制反向SDE。数学《金融》，29（1）：208–248，（2019）。[42]Zhang，J.：《反向随机微分方程：从线性到完全非线性理论》，第86卷。斯普林格（2017）。附录A.过滤本节的目标是证明第2.11条的建议。为此，我们首先需要一些初步结果。30 C.CECI、K.COLANERI和A.CRETAROLAWe在这里回忆道，ef=FW∨ FW公司∨ FW，F=eF∨ FZeG=eF∨ FH，G=F∨ FH，其中Wj={Wjt，t∈ [0，T]}，j=1，2，3，是P独立的布朗运动和P独立的Z。过程H是由Ht给出的死亡指标：=1{τ≤t} ，每t∈ [0，T]，具有{（1）给出的（G，P）可预测强度- Ht公司-)λ（t，ut，Zt-), t型∈ [0，T]}。首先，我们推导了滤波器π={πt，t的动力学∈ [0，T]}提供了不可观测过程Z的条件分布，给出了观测流。换句话说，我们将计算πt（f）=Ehf（Zt）eGti。每t∈ [0，T]和每f∈ D

这对于计算由{（1）给出的H的（eG，P）-可预测强度是至关重要的- Ht公司-)πt-（λ） ，t∈ [0，T]}，其中πT（λ）表示πT（λ（T，uT，·））（即πT（λ）（ω）=Ehλ（T，uT（ω），Zt）eGti（ω），ω ∈ Ohm).以下结果将滤波器描述为所谓KushnerStratonovich方程的唯一强解。提案A.1。如果假设2.10成立，函数λ（t，u，z）>0在z中是连续的∈ Zand sup（t，u，z）∈[0，T]×R+×Zλ（T，u，Z）<∞, 然后滤波器π={πt，t∈ [0，T]}是方程πT（f）=f（z）+Ztπs（LZf）ds+Ztπs的唯一强解-（λf）- πs-（λ） πs-（f） πs-（λ） 每t的dMτs（A.1）∈ [0，T]和所有f∈ D、 证明。为了证明结果，我们使用了创新方法。由于W，Wand-Ware（eG，P）布朗运动和（2.11）中给出的过程Mτ是（eG，P）-跳鞅，我们用（W，W，W，Mτ）定义了创新过程。对于每个函数f∈ D、 通过投影方程（2.9）oneG，我们得到πt（f）=Ehf（Zt）| eGti=f（z）+Ztπs（LZf）ds+M（1）t，t∈ [0，T]，（A.2），其中M（1）：={M（1）T，T∈ [0，T]}是由M（1）T给出的（eG，P）-鞅：=EhMZteGti+EhRtLZf（Zs）dseGti公司-Rtπs（LZf）ds（参见Brémaud[10，第四章，定理T1]）。根据鞅表示定理（参见Lipster和Shiryaev[37，定理3.34]），关于过滤EG和概率测度P，存在适应过程Bhi={bhit，t∈[0，T]}和aeG可预测过程bД={bДT，T∈ [0，T]}满足“ZTXi=1（bhit）+b|T |λ（T，uT，Zt）！dt#<∞.部分信息31下通过BSDES的无差异定价，且M（1）t=M（1）+Xi=1ZtbhisdWis+ZtbДsdMτs，t∈ [0，T]。为了确定i=1、2、3和bД的过程b，我们观察到Ehf（Zt）与eGti=Ehf（Zt）eGtiWit；然后，通过计算这两个数量并比较有限的变化部分，我们得出每t∈ [0，T]。

此外，它为每个进程U={Ut，t保持t hat∈对于某些（例如，P）-可预测的进程C={Ct，T），形式为Ut=RTCSDHSF的[0，T]}∈ [0，T]}，Ehf（Zt）UteGti=Ehf（Zt）eGtiUt公司。然后，通过分别计算方程的右侧和左侧，并比较有限的变化部分，我们得到了CTBДt（1- Ht公司-)πt-（λ） =Ct（πt-（fλ）- πt-（f） πt-(λ)) (1 - Ht公司-), t型∈ [0，T]，由于过程C是任意的，我们在集合{T]上得到≤ τ} bхt=πt-（fλ）πt-(λ)- πt-（f） ，P- a、 s。。因此，M（1）t=M（1）+Rtπs-（fλ）πs-(λ)- πs-（f）dMτs，并将该表达式插入（A.2）中，我们得到了结果。如Ceci和Colaneri【16，定理3.3】所述，通过应用FilteredMartingale问题方法，可以证明唯一性。我们从观察一个ny f开始∈ D和{0，1}上的任何可测函数φ，我们有f（Zt）φ（Ht）=f（Z）φ（H）+Mf，φt+Zt{LZf（Zs）+[φ（Hs-+ 1) -φ（Hs-)](1 - Hs公司-)λ（s，us，Zs）}ds，对于每t∈ [0，T]，其中Mf，φ={Mf，φT，T∈ [0，T]}是一个（eG，P）-鞅。然后，对于任何u∈ R+可以看出，该对（Z，H）解决了由Luψ（t，Z，H）定义的算子Lu的鞅问题：=ψt（t，z，h）+LZψ（t，z，h）+[ψ（t，x，h+1）- ψ（t，z，h）]（1- h） λ（t，u，z），对于Lu的域Du中的每个函数ψ，其中Du由所有有界函数ψ（t，x，h）组成，这些函数对t具有连续的偏导数，并且ψ（t，·，h）∈ D（t，h）∈ [0，T]×{0，1}。该对（Lu，Du）满足假设2.10，其中我们将Z替换为[0，T]×Z×{0，1}。通过Kurtz和Ocone[33，定理3.3]，我们得到了算子lu的滤波鞅问题是适定的。然后，我们可以应用Ceci和Colaneri【16，定理3.3】，这确保了强唯一性。32 C.CECI、K.COLANERI和A.CRETAROLAWe发表了几点评论。

在集合{t<τ<t}上，滤波器求解由πt（f）=f（z）+Zt给出的非线性方程πs（LZf）ds-πs（λf）+πs（λ）πs（f）ds，在时间τ<T时，我们得到πτ（f）=πτ-（f） +πτ-（λf）- πτ-(λ)πτ-（f） πτ-(λ)=πτ-（λf）πτ-(λ).最后，在跳跃之后，即在集合{τ<t上≤ T}，滤波方程是线性的，形式为πT（f）=πτ（f）+Ztτπs（LZf）ds。为了获得滤波器的显式表达式，我们采用了适当的概率测量变化，从而可以获得非正规滤波器的线性方程，在文献中称为Zakai方程。为此，我们引入了过程L={Lt，t∈ [0，T]}byLt：=EZ·1- λ（s，us，Zs-)λ（s，us，Zs-){国土安全部- (1 - Hs公司-)λ（s，us，Zs-)ds}t、 （A.3）对于每t∈ [0，T]，其中E表示Doléans-Dade指数。我们假设L是（G，P）-鞅。例如，条件就暗示了这一点eRT（1-λ（s，us，Zs））λ（s，us，Zs）（1-Hs）ds< ∞,特别是，如果函数λ（t，u，z）从下到上有界，则满足。然后，我们确定概率度量Q等价于P bydQdPGt：=Lt，对于每t∈ [0，T]。根据Girsanov定理，我们得到Ht公司-Zt（1- Hs公司-)ds，t∈ [0，T]是（G，Q）-鞅，且过程{1- Ht公司-, t型∈ [0，T]}提供了H的（G，Q）-可预测强度。我们引入了非正规化滤波器，即有限测度值过程ρ={ρT，T∈ [0，T]}由ρT（f）给出：=EQhL-1tf（Zt）Gti，t∈ [0，T]，对于每个有界可测函数f。通过应用K allianpur Striebel f公式，我们得到πt（f）=Ehf（Zt）eGti=ρt（f）ρt（1），t∈ [0，T]，对于每个有界可测函数f（z），其中ρT（1）：=EQhL-1吨Gti。

通过观察H的（eG，P）-密度是在部分信息33{（1）下通过BSDES的无差异定价给出的，可以很容易地计算过程ρ（1）的动力学- Ht公司-)πt-（λ） ，t∈ H的（eG，Q）-强度为{1- Ht公司-, t型∈ [0，T]}，那么我们得到ρ（1）是一个指数鞅，满足以下随机微分方程dρT（1）=ρT-（1） （πt-(λ) - 1） （dHt- (1 -Ht公司-)dt），ρ（1）=1。然后，通过将乘积规则应用于ρt（f）=πt（f）ρt（1），并使用方程（A.1），我们得到ρt（f）=f（z）+Ztρs（LZf）ds+Ztρs-（f（λ- 1）[国土安全部- (1 - Hs公司-)ds]，每t∈ [0，T]，其中ρT（λ）表示ρT（λ（T，uT，·））。在集合{t<τ<t}上，该方程简化为ρt（f）=f（z）+Zt（ρs（LZf）-ρs（fλ）+ρs（f））ds（A.4），可以显式计算出解，如以下命题所示。提案A.2。设|ρt（f）（ω）：=Ehf（Zt）e-Rt（λ（u，uu（ω），Zu）-1） 酒后驾车，t∈ [0，τ（ω））（A.5）然后，|ρ在{t<τ}上解方程（A.4）。证明任何固定轨迹t→ 工艺u的ut（ω），我们设置γt：=e-Rt（λ（s，us（ω），Zs）-1） ds。根据乘积规则，我们得到d（f（Zt）γt）=γt[LZf（Zt）- f（Zt）（λ（t，ut（ω），Zt）- 1） ]dt+γtdMZt。现在，取期望值[f（Zt）γt]=f（z）+ZtEγs[LZf（Zs）- f（Zs）（λ（s，us（ω），Zs）- 1)]dt。然后，我们得到Ehf（Zt）e-Rt（λ（s，us（ω），Zs）-1） dsisolves方程（A.4）适用于过程u的任何固定轨迹，从而得出的pro。最后，我们给出了命题2.11的证明。让我们注意到，我们不需要（A.3）中给出的假设L是（G，P）-martinga-le。命题2.11的证明。设，对于t<τ<t，eπt（f）：=eρt（f）eρt（1），其中eρ在（A.5）中给出，对于t=τ<Teπτ（f）：=eπτ-（λf）eπτ-（λ） ，对于τ<t≤ T，eπT（f）：=eτ，eπτ[f（Zt）]，34 C.CECI，K.COLANERI和A.Cretarola，其中eτ，eπτ表示给定Z定律的条件期望，时间τ等于eπτ。

然后，通过直接计算，我们可以证明eπ解方程（a.1），通过强唯一性（seeProposition a.1），我们可以得到eπ=π。特别是，定义自适应过程bπ：={bπt，t∈ [0，T]}由（2.12）给出，我们得到{T<τ}上的滤波器π与过程bπ一致。附录B.长寿债券价格我们从过滤概率空间开始(Ohm,eF，eF，Q），其中Q是一个与P等价的风险中性度量。本节的目标是描述度量Q下长寿bo nd的公平价格，并通过度量的变化获得P-价格动态。设W1，Q={W1，Q，t∈ [0，T]}，W2，Q={W2，Q，T∈ [0，T]}，W3，Q={W3，Q，T∈ [0，T]}是Q独立的布朗运动，并定义密度过程LP={LPt，T∈ P的[0，T]}关于Q byLPt：=dPdQeFt=EZ、 uS（u，Yu）σS（u，Yu）dW1，Qu-Z、 αu（u，uu，Yu）dW2，Qu-Z、 αY（u，uu，Yu）dW3，Qut、 每t∈ [0，T]，其中函数uS（T，y）、σS（T，y）、αu（T，u，y）和αy（T，u，y）是可测量的，并且LPis是（eF，Q）-鞅。通过应用Girsanov定理，我们得到了processesW={W，t∈ [0，T]}，W={W，T∈ [0，T]}，W={W，T∈ [0，T]}分别由WT定义：=W1，Qt-ZtuS（u，Yu）σS（u，Yu）du，t∈ [0，T]，重量：=W2，Qt+Ztαu（u，uu，Yu）du，T∈ [0，T]，Wt：=W3，Qt+ZtαY（u，uu，Yu）du，T∈ [0，T]是P-独立的f-布朗运动。继Cairns等人【13】之后，长寿债券被定义为零息票债券，用于支付时间T的幸存者或长寿指数的价值。然后，其折扣价格过程在任意时间t由t=等式ut给出eFti=EQ“exp-ZTusdseFt#=e-RtusdsEQ经验值-ZTtusdseFt公司,（B.1）对于每t∈ [0，T]。

我们写出关于Q asdut=（bu（t，ut，Yt）+αu（t，ut，Yt））dt+σu（t，ut，Yt）dW2，Qt，u的对（u，Y）的动力学∈ R+，dYt=（bY（t，Yt）+αY（t，ut，Yt））dt+σY（t，Yt）dW3，Qt，Y=Y∈ R、 由于对（u，Y）是一个（eF，Q）-马尔可夫过程，具有最小生成器Lu，Yunder Q，settingF（t，u，Y）：=等式经验值-ZTtusdsut=u，Yt=y, （B.2）部分信息下通过BSDES的无差异定价35我们得到的关系（B.1）可以写成asSt=e-RtusdsF（t，ut，Yt），t∈ [0，T]。（B.3）函数F（t，u，y）是严格正的，并且以1为上界。如果函数F（t，u，y）是充分正则的，即F∈ C1,2,2b（[0，T]×R+×R），则可通过theFeynman-Kac公式将其描述为边界问题的解Ft（t，u，y）+Lu，YF（t，u，y）-uF（t，u，y）=0，（t，u，y）∈ [0，T）×R+×R，F（T，u，y）=1，（u，y）∈ R+×R.（B.4）为确保费曼-卡克公式（B.2）适用，我们做出以下一组假设。假设B.1。函数bu（t，u，y）、bY（t，y）、αu（t，u，y）、αy（t，y）、σu（t，u，y）、σy（t，y）在所有变量中都是连续的，并且满足（u，y）上的次线性生长条件∈ R+×R，一致int∈ [0，T]。此外，bu（t，u，y）、bY（t，y）、αu（t，u，y）、αy（t，y）和（σu（t，u，y）），（σy（t，y））在（u，y）上是连续的∈ R+×R，在t中均匀∈ [0，T]和∑u（T，u，y），σy（T，y）从下方界定。下面的结果显示了边界问题（B.4）解的存在性和唯一性。提案B.2。在假设B.1下，边界问题（B.4）存在唯一的经典解F，Feynman-Kac表示（B.2）成立。证据结果遵循f r om Heath和Schweizer【27，定理1】。

事实上，inHeath和Schweizer[27，定理1]中的条件（A2）是次线性增长条件和系数的Lipschitz连续性的结果，Heath和Schweizer[27，引理2]，在（B.2）中给出的F（t，u，y）在[0，t]×R+×R中是连续的。现在，我们可以将It^o的公式应用于（B.3）中的Sgiven，因为F是（B.4）的解，所以我们得到了solvesdst=StcB（t，ut，Yt）dW2，Qt+dB（t，ut，Yt）dW3，Qt, S=S∈ R+，其中我们设置Cb（t，u，y）：=σu（t，u，y）F（t，u，y）Fu（t，u，y），dB（t，u，y）：=σy（t，y）F（t，u，y）Fy（t，u，y），对于每个（t，u，y）∈ [0，T]×R+×R。最后，过程的P动力学由（2.6）给出，其中我们设置了uB（T，uT，Yt）：=cB（T，uT，Yt）αu（T，uT，Yt）+dB（T，uT，Yt）αY（T，uT，Yt）。36 C.CECI、K.COLANERI和A.Cretarola附录C.A技术成果备忘录C.1。在第2节概述的建模框架中，所谓的密度假设与filtrationef有关。准确地说，对于每个人来说∈ [0，T]，存在一个函数eβ（T，·）：R+→ R+，使得（t，u）7→eβ（t，u）iseFt B（0，∞)-可测量且p（τ>s | eFt）=Z∞seβ（t，u）du，s∈ R+，andeβ（t，u）1{t≥u} =eβ（u，u）1{t≥u} 。证据首先，请注意，描述投保人剩余寿命的随机时间τ的Cox构造确保了密度假设完全符合过滤条件，见Jeanblanc和Le Cam【29，第5节】。也就是说，存在一个映射β（t，·）：R+→ R+，例如（t，u）7→ β（t，u）为Ft B（0，∞)-可测量且p（τ>s | Ft）=Z∞sβ（t，u）du，s∈ R+，（C.1）和β（t，u）1{t≥u} =β（u，u）1{t≥u} 。精确地说，在我们的设置中，β（t，u）=Ehλ（u，uu，Zu）e-Ruλ（r，ur，Zr）dr | Fti。（C.1）中关于toeFt的调节 f并应用富比尼定理yieldP（τ>s | eFt）=EZ∞sβ（t，u）dueFt公司=Z∞sEhλ（u，uu，Zu）e-Ruλ（r，ur，Zr）dreFtidu=Z∞seβ（t，u）du，其中Eβ（t，u）：=Eλ（u，uu，Zu）e-Ruλ（r，ur，Zr）dreFti。

注意，由于uiseF已适应，且过程Z独立于EF，因此对于任何t≥ ueβ（u，u）（ω）=Ehλ（u，uu（ω），Zu）e-Ruλ（r，ur（ω），Zr）dri=eβ（t，u）（ω），ω ∈ Ohm.证据到此结束。