此外，我们注意到，我们提出的相对熵和路径积分模型之间的这种差异也发生在高三角洲地区，其中相对熵模型不适合vanillas，正如我们所强调的，在与屏障位置相关的三角洲地区进行良好的校准非常重要。另一点是，障碍期权定价需要选择比普通期权定价更多的累积量，因为多项式微调校正在障碍附近很重要。最后，作为未来的发展，该模型可能包括双障碍合同、随机障碍，也可能扩展到其他类别的产品，如利率。《国际理论与应用金融杂志》(c)世界科学出版公司42 A.Catal~ao&R.Rosenfeld附录A.涉及路径积分的有用关系设F（ti）为函数。考虑对象，例如n-1Xi=1F（ti）^ωc-∞dω。。。dωn-1.iWgm（ω，ω，…，ωn；tn），（A.1），其中F是泛型函数，且我≡ /ωi.因为Wgmis高斯，它是有限的，并且在-∞. 积分，^ωc-∞dω。。。dωn-1.iWgm（ω，ω，…，ωn；tn）=^ωc-∞dω。。。d^ωi。。。dωn-1Wgm（ω，ω，…，ωi=ωc，…，ωn-1，ωn；tn），（A.2），其中^ωide注意到一个不再在积分中的变量，因为它被积分了。密度Wgm，by（3.9），满足Wgm（ω，ω，…，ωi=ωc，…，ωn-1，ωn；tn）=Wgm（ω，ω，…，ωi-1，ωi=ωc；ti）Wgm（ωi=ωc，ωi+1，…，ωn-1，ωn；田纳西州- ti）。（A.3）In（A.2），^ωc-∞dω。。。dωi-1^ωc-∞dωi+1d^ωi。。。dωn-1Wgm（ω，ω，…，ωi-1，ωi=ωc；ti）·Wgm（ωi=ωc，ωi+1，…，ωn-1，ωn；田纳西州- ti）=∏gm（ω，ωc；ti）πgm（ωc，ωn；tn- ti）。（A.4）In（A.1），n-1Xi=1F（ti）^ωc-∞dω。。。dωn-1.iWgm（ω，ω，…，ωn；tn）=n-1Xi=1F（ti）∏gm（ω，ωc；ti）πgm（ωc，ωn；tn- ti）。

（A.5）《国际理论与应用金融杂志》(c)世界科学出版社非高斯分布下移动障碍期权的路径积分定价43类似于（A.2）的另一种关系是ωc-∞dω。。。dωn-1.ijWgm（ω，ω，…，ωn；tn）=^ωc-∞dω。。。dωi-1^ωc-∞dωi+1d^ωi。。。d^ωj。。。dωn-1·Wgm（ω，ω，…，ωi-1，ωi=ωc。。。，ωj-1，ωj=ωc。。。，ωn-1，ωn；tn）。（A.6）因为wgm（ω，ω，…，ωi-1，ωi=ωc。。。，ωj-1，ωj=ωc。。。，ωn-1，ωn；t、 n）=Wgm（ω，ω，…，ωi-1，ωi=ωc；ti）·Wgm（ωc，ωi+1，…，ωj-1，ωj=ωc；tj公司- ti）·Wgm（ωc，ωj+1，…，ωn-1，ωn；田纳西州- tj），（A.7）我们有：ωc-∞dω。。。dωn-1.ijWgm（ω，ω，…，ωn；tn）=^ωc-∞dω。。。dωi-1^ωc-∞dωi+1d^ωi。。。d^ωj。。。dωn-1Wgm（ω，ω，…，ωi-1，ωi=ωc；ti）·Wgm（ωc，ωi+1，…，ωi-1，ωi=ωc；tj公司- ti）·Wgm（ωc，ωj+1，…，ωn-1，ωn；田纳西州- tj）=∏gm（ω，ωc；ti）πgm（ωc，ωc；tj- ti）∏gm（ωc，ωn；tn- tj）。（A.8）此外，如（A.2）所示，我们计算以下积分：ωc-∞dω。。。dωn-1.iWgm（ω，ω，…，ωn；tn）国际理论与应用金融杂志(c)世界科学出版社44 A.Catalo&R.Rosenfeld=^ωc-∞dω。。。d^ωi。。。dωn-1.iWgm（ω，ω，…，ωi=ωc，…，ωn-1，ωn；tn）=i^ωc-∞dω。。。d^ωi。。。dωn-1Wgm（ω，ω，…，ωi=ωc，…，ωn-1，ωn；tn）=i∏gm（ω，ωi；ti）πgm（ωi，ωn；tn- ti）]ωi=ωc.（A.9）我们还想分析关于势垒ωc的导数。考虑导数∏gmωc（ω=0，ωn；tn）：∏gmωc（ω=0，ωn；tn）=ωc^ωc-∞dω。。。^ωc-∞dωn-1Wgm（ω，ω，…，ωn；tn）,（A.10）我们使用定义（2.3）的地方。积分的极限取决于我们导出的变量ωc。根据莱布尼茨规则：ddx^b（x）a（x）dtf（x，t）=f（b，t）db（x）dx- f（a，t）da（x）dx+^b（x）a（x）dtddxf（x，t），（a.11）∏gmωc（ω=0，ωn；tn）=∏gm（ωn=ωc，tn）ωcωc+n-1Xi=1^ωc-∞dω。。。dωn-1.iWgm（ω，ω，…，ωn；tn）。（A.12）其中∏gm（ωn=ωc，tn）是带势垒的高斯密度，（3.13），在势垒处变为高斯密度。

因此，（A.12）RHS的第一项为零。然后∏gmωc（ω=0，ωn；tn）=n-1Xi=1^ωc-∞dω。。。dωn-1.iWgm（ω，ω，…，ωn；tn）=n-1Xi=1^ωc-∞dω。。。d^ωi。。。dωn-1Wgm（ω，ω，…，ωi=ωc，…，ωn-1，ωn；tn）=n-1Xi=1∏gm（ω，ωc；ti）πgm（ωc，ωn；tn- ti），（A.13）《国际理论与应用金融杂志》(c)世界科学出版社非高斯分布下移动障碍期权的路径积分定价45，我们使用了（A.2），（A.4）。关于势垒的二阶导数，∏gmωc（ω=0，ωn；tn），也可计算。最初，我们注意到n-1Xi，j=1我j=2Xi<j我j+n-1Xi=1i、 （A.14）RHS中的第一项（A.14）相当于吨-2Xi=1n-1Xj=i+1我j（A.15）或-1Xj=2j-1Xi=1我j、 （A.16）因此，与（A.8）和（A.9）相比，∏gmωc（ω=0，ωn；tn）=n-1Xi，j=1^ωc-∞dω。。。dωi-1^ωc-∞dωi+1d^ωi。。。d^ωj。。。dωn-1·Wgm（ω，ω，…，ωi-1，ωi=ωc。。。，ωj-1，ωj=ωc。。。，ωn-1，ωn；tn）=2n-2Xi=1n-1Xj=i+1^ωc-∞dω。。。dωi-1^ωc-∞dωi+1d^ωi。。。d^ωj。。。dωn-1·Wgm（ω，ω，…，ωi-1，ωi=ωc。。。，ωj-1，ωj=ωc。。。，ωn-1，ωn；tn）+n-1Xi=1^ωc-∞dω。。。d^ωi。。。dωn-1.ωcWgm（ω，ω，…，ωi=ωc，…，ωn-1，ωn；tn）=2n-2Xi=1n-1Xj=i+1^ωc-∞dω。。。dωn-1.我jWgm+n-1Xi=1^ωc-∞dω。。。dωn-1.iWgmInternational Journal of Theory and Application Finance(c)世界科学出版公司46 A.Catalo&R.Rosenfeld=n-1Xi，j=1^ωc-∞dω。。。dωn-1.我jWgm（A.17）∴∏gmωc（ω=0，ωn；tn）=n-1Xi，j=1^ωc-∞dω。。。dωn-1.我jWgm。（A.18）高阶导数遵循类似表达式。附录B.障碍物附近高斯分布的分析在本附录中，我们分析了障碍物ωc存在时，当变量ωn逼近ωc时，高斯概率密度的行为，如（3.3）所示。首先讨论的情况是当变量从ω开始，到达障碍物ωc，单位为tn，∏gm→0（ω，ωn=ωc；tn）。

第二种情况是变量从势垒附近开始，在t中，到达ωn6=ωcin tn，πgm→0（ω=ωc，ωn；tn）。第三种情况对应于变量从屏障附近开始并保持在屏障附近的情况，即∏gm→0（ω=ωc，ωn=ωc；tn）。为此，当变量接近势垒时，势垒附近高斯分布的行为通过元素中的泰勒展开获得ω=ωn- ωn-1、我们将看到概率与时间离散化的关系发生了制度变化 当变量趋向势垒时：ωn→ ωc.得出表达式∏gm→0（ω，ωn=ωc；tn），πgm→0（ω=ωc，ωn；tn）和∏gm→0（ω=ωc，ωn=ωc；tn），我们将高斯密度展开为√.B、 1。边界附近高斯分布的行为我们从∏gm得到一些关系开始（ω，ωn；tn）（3.12）。从（3.11），ωn-1=ωn- ω. 在（3.12）中，将变量更改为ω、 d(ω) = -dωn-1，对于agivenωn，固定。因此，集成的限制是ω|=ωn-ωn-1 |ωC=ωn-ω坎德ω|=ωn- ωn-1|-∞= ∞; 由于d的负号，将其反转(ω） ，我们有：∏gm（ω，ωn；tn=tn-1+ ) = -^ωn-ωc∞d(ω) Ψ(ω） ∏gm（ω，ωn-1.田纳西州-1)=^∞ωn-ωcd(ω) Ψ(ω） ∏gm（ω，ωn-1.田纳西州-1） 国际理论与应用金融杂志(c)世界科学出版社非高斯分布下移动障碍期权的路径积分定价47=^∞ωn-ωcd(ω) Ψ(ω） ∏gm（ω，ωn- ω; 田纳西州-1) . （B.1）通知LIM→0Ψ(ω) = δ (ω) . （B.2）如果ωn- ωc<0（即，如果变量在tn之后穿过势垒），它包括狄拉克δ函数的支持。如果ωn- ωc>0，积分为零，因为它在支承之外。如果ωn=ωc，在连续极限条件下 → 0，由于初始条件，它变为零。因此，∏gm→0（ω，ωn；tn）=0，如果ωn≥ ωc。

（B.3）在ωn<ωc的情况下，我们分析（B.1），从扩展其LHS开始，在tn方面-1： ∏gm（ω，ωn；tn-1+ ) = ∏gm（ω，ωn；tn-1)+ ∏gm（ω，ωn；tn-1)田纳西州-1+∏gm（ω，ωn；tn-1)田纳西州-1+ ... （B.4）在泰勒级数中扩展RHS（B.1），根据ω、 在…地区ω=0，即ωn→ ωc：^∞ωn-ωcd(ω) Ψ(ω） ∏gm（ω，ωn- ω; 田纳西州-1) ==∞Xi=0(-1） ii！i∏gm（ω，ωn；tn-1)ωin^∞ωn-ωcd(ω) (ω） iψ(ω） （B.5）其中，在ω、 其中包括∏gm（ω，ωn-ω;田纳西州-1)ω、 我们应用了链规则（也考虑到该地区的扩张ω = 0):ω= （ωn- ω) （ωn- ω)ω= （ωn- ω)· (-1)ω=0=ωn·(-1) .（B.6）《国际理论与应用金融杂志》(c)世界科学出版公司48 A.Catalo&R.RosenfeldFor second order，ω=ωω= （ωn- ω)· （ωn- ω)· (-1) （ωn- ω)ω= （ωn- ω)· (-1)ω=0=ωn·(-1). （B.7）那么- 第次订单，我ωi=我ωin·(-1） i.（B.8）回到（B.5），我们看到，变为变量y=ω√2.,^∞ωn-ωcd(ω) (ω） iψ(ω) =(2)i/2√π^∞-（ωc-ωn）√2.dy·yie-y、 （B.9）考虑情况i=0和i=1，ωn→ ωc：^∞ωn-ωcd(ω) (ω） iψ(ω)i=0，ωn→ωc==>^∞d(ω) Ψ(ω） =（B.10）^∞ωn-ωcd(ω) (ω） iψ(ω)i=1，ωn→ωc==>^∞d(ω) (ω) Ψ(ω)=(2)1/2√π^∞dy·y·e-y型=2π1/2（B.11），其中我们通过部件进行集成。回到（B.5），如前所述，取i=0和i=1，^∞d(ω) Ψ(ω） ∏gm（ω，ωn- ω; 田纳西州-1） =πgm（ω，ωc；tn-1) -2π1/2ωn∏gm（ω，ωn；tn-1)ωn=ωc+。。。（B.12）《国际理论与应用金融杂志》(c)世界科学出版社非高斯分布下移动障碍期权的路径积分定价49因此，当ωn-ωc<0，ωn→ ωc，带 → 0，dependson√. 考虑ωn的情况-ωc<0，但当我们不在ωn的情况下→ ωc。在这种情况下，在连续统中 → 0，下限-（ωc-ωn）√2.积分（B.9）的-∞.

然后，具有新极限的新积分（B.9）为^∞ωn-ωcd(ω) (ω） iψ(ω) =(2)i/2√π^∞-（ωc-ωn）√2.dy·yie-y→(2)i/2√π^∞-∞dy·yie-y、 （B.13）因为∞-∞dy·yne公司-y~=1 + (-1） n个√πn/2（n- 1)!!, （B.14）然后∞ωn-ωcd(ω) (ω） iψ(ω) →i/2（n- 1)!! 偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶偶。（B.15）在这种情况下，对于i=0和i=2，分别具有（B.10）和（B.11）类似项的展开式B.5为：^∞ωn-ωcd(ω) (ω） iψ(ω)i=0，ωn<ωc==>^∞-∞d(ω) Ψ(ω） =1（B.16）^∞ωn-ωcd(ω) (ω） iψ(ω)i=2，ωn<ωc=. （B.17）那么，在ωn<ωc的情况下， → 0，但ωnnt不接近ωc，^∞-∞d(ω) Ψ(ω） ∏gm（ω，ωn- ω; 田纳西州-1） =πgm（ω，ωc；tn-1) +ωn∏gm（ω，ωn；tn-1)ωn=ωc+。。。（B.18）因此，关于 在从ωn<ωcto到ωn<ωc的过程中，附加条件ωn→ ωc：在第一种情况下，《新国际理论与应用金融杂志》(c)世界科学出版公司50 A.Catalo&R.Rosenfeldleading term of the expansion（B.18）表现为, 而在第二种情况下，下一个主导扩张的术语（B.12）如下√. 这种转变由下限（ωc）控制-ωn）√2.积分（B.9）。为了解决这个问题，我们定义η=（ωc- ωn）√2.. （B.19）我们写∏gm形式为∏gm（ω，ωn；tn）=C（ω，ωn；tn）v（η）。（B.20）这里，C是函数的平滑部分，而v（η）负责函数∏gm的体制转换. 我们必须强制执行mη→∞v（η）=1（B.21），因此C是∏gm的解当ωc- ωnis有限且为正。

考虑高斯概率密度，在连续统极限下( → 0），在存在屏障的情况下，是溶液（3.13）∏gm→0（ω，ωn；tn）=√2πtneα（ωn-ω)-αtne-（ωn-ω） 2tn- e-（2ωc-ωn-ω） 2tn.（B.22）分离ωnin（B.19），πgm→0（ω，ωn；tn）=√2πtneα（ωc-η√2.-ω)-αtne-（ωc-η√2.-ω） 2tn- e-（ωc+η）√2.-ω） 2tn.（B.23）扩大√, 这意味着η→ ∞ 因此，（B.21）：exp-2tnωc η√2. - ω= e-2tn（ωc-ω)\"1 ±η√2tn2（ωc- ω)√ + . . .#（B.24）《国际理论与应用金融杂志》(c)世界科学出版社非高斯分布下移动障碍期权的路径积分定价51expαωc- η√2. - ω= eα（ωc-ω） h1- η√2α√ + . . .i（B.25）∴ C（ω=0，ωn，T）=√2πtne-αtneα（ωc-ω） e类-2tn（ωc-ω） h1- η√2α√ + . . .i··“1+η√tn（ωc- ω)√ - 1 +η√tn（ωc- ω)√ + . . .#=√2πtne-αtneα（ωc-ω） e类-2tn（ωc-ω） h1- η√2α√ + . . .i“η√tn（ωc- ω)√ + . . .#=√2η√π（ωc- ω） t3/2ne-αtneα（ωc-ω） e类-2tn（ωc-ω） +O() . （B.26）In（B.20），当ωn→ ωc，∏gm（ω=0，ωn；tn=T）=√γ（ωc- ω） t3/2ne-αtneα（ωc-ω） e类-2tn（ωc-ω） +O()（B.27）γ=√πlimη→0ηv（η）。（B.28）在该等式中，极限取η→ 0，因为它对应于ωn→ ωcin定义（B.19）。接下来，我们将展示γ=√πeα（ωn-ωc）。（B.29）现在考虑（A.13）给出的关于屏障的导数。在限制内 → 0，n-1Xi=1→^tndti。（B.30）在（A.13），《国际理论与应用金融杂志》(c)世界科学出版公司52 A.Catalo&R.Rosenfeld∏gm→0ωc（ω=0，ωn；tn）=n-1Xi=1∏gm（ω，ωc；ti）πgm（ωc，ωn；tn- ti）=^tndtilim→0∏gm（ω，ωc；ti）πgm（ωc，ωn；tn- ti）。（B.31）（B.31）的LHS由（B.22）计算。在ω6=0的情况下，∏gm→0ωc（ω，ωn；tn）=√2πtneα（ωn-ω)-αtn（2ωc- ωn- ω） tne公司-（2ωc-ωn-ω） 2tn=π1/2（2ωc- ωn- ω） t3/2neα（ωn-ω)-αtne-（2ωc-ωn-ω） 2tn=π1/2（2ωc- ωn- ω） t3/2ne2α（ωn-ωc）e-（2ωc-ωn-ω-αtn）2tn。（B.32）RHS（B.31）由（B.27）给出。

我们注意到∏gm→0（ωc，ωn；tn）=∏gm→0（ωn，ωc；tn）。（B.33）这可以通过（2.3）和（3.8）看出：∏gm→0（ωc，ωn；tn）=>Wgm（ωc，ω，…，ωn；tn）=（2π)n/2e-(ω-ωc）2-n-2Pi=1（ωi+1-ωi）2-（ωn-ωn-1)2（B.34）通用汽车公司→0（ωn，ωc；tn）=>Wgm（ωn，ω，…，ωc；tn）=（2π)n/2e-(ω-ωn）2-n-2Pi=1（ωi+1-ωi）2-（ωc-ωn-1)2. （B.35）这是因为ω（=ωc）和ωnar不是（2.3）中的积分变量，即ωcto与ωn-1或ω无关紧要，因为它们被整合在《国际理论与应用金融杂志》(c)世界科学出版社的《非高斯分布下移动障碍期权的路径积分定价》53中，具有相同的积分限制。因此，（B.33）是有效的。ω6=0的方程式（B.27）写为：∏gm→0（ω，ωc；tn）=√γωc- ωt3/2ne-αtneα（ωc-ω） e类-2tn（ωc-ω). （B.36）然后，是∏gm→0（ωc，ωn；tn）=∏gm→0（ωn，ωc；tn）=√γωc- ωnt3/2ne-αtneα（ωc-ωn）e-2tn（ωc-ωn）。（B.37）返回至（B.31），in∏gm（ω，ωc；ti）我们使用（B.27），和，在∏gm中（ωc，ωn；tn- ti），（B.37）。我们还使用^cdxx3/2（c- x） 3/2e-a2x型-b2（c-x）=√2πa+babc3/2e-（a+b）2c，（b.38）so，^tndtilim→0∏gm（ω，ωc；ti）πgm（ωc，ωn；tn- ti）=^tndtilim→0√γωc- ωt3/2ie-αtieα（ωc-ω） e类-2ti（ωc-ω)!··√γωc- ωn（tn- ti）3/2e-α（tn-ti）eα（ωc-ωn）e-（tn-ti）（ωc-ωn）=^tndtiγ（ωc- ω） （ωc- ωn）（tn- ti）3/2t3/2ieα（ωc-ω） eα（ωc-ωn）e-2ti（ωc-ω） e类-（tn-ti）（ωc-ωn）e-αtn=√2π（2ωc- ωn- ω） t3/2nγe-[（2ωc-ωn-ω)-αtn]2tn。（B.39）等同于（B.32），《国际理论与应用金融杂志》(c)世界科学出版公司54 A.Catalo&R.Rosenfeldγ=√πeα（ωn-ωc）。（B.40）返回到（B.36），ω6=0，∏gm（ω，ωc，tn=T）=√√πeα（ωn-ωc）ωc- ωt3/2ne-αtneα（ωc-ω） e类-2tn（ωc-ω)=√√πeα（ωn-ω） ωc- ωt3/2ne-αtne-2tn（ωc-ω).∴ ∏gm（ω，ωc，tn=T）=√√πeα（ωn-ωc）ωc- ωt3/2ne-[（ωc-ω)-αtn]2tn。

（B.41）在ωn<ωc的情况下，我们使用（B.33）和（B.41）来分析过程在势垒附近开始并在ωn∏gm处结束的情况（ωc，ωn，tn=T）=√√πeα（ωn-ωc）ωc- ωnt3/2ne-[（ωc-ωn）-αtn]2tn；对于∏gm，ωn<ωc.（B.42）（ωc，ωc，tn=T），我们必须具有平移不变性，并且∏gm（ω，ωc，tn=T）只能依赖于ω和ωc与ωc- ω. 在（B.36）的情况下已经发展出的扩展（B.27），ωn→ ωc（或η→ 0），趋向于零，如（B.41）。下一个扩展项（B.26）必须与/t3/2漂移项与∏gm（ωc，ωc，tn=T）=ct3/2ne-αtn.（B.43）在Maggiore&Riotto（2010a）中，常数的识别由（3.12）完成，研究n=2个变量的情况是有效的。∏gm（ω，ω，t）=^ωc-∞dω2πe-2.[(ω-ω-α)+(ω-ω-α） ]，（B.44）我们可以在Mathematica中求解这个积分，考虑到在两个步骤中n=2:∏gm（ω，ω；t）=2πe-(2α+ω-ω)2(2)√π√1+Erfω- ω√. （B.45）《国际理论与应用金融杂志》(c)世界科学出版社非高斯分布下移动障碍期权的路径积分定价55e-(2α+ω-ω)2(2)= e-4.α2(2)-2.α(ω-ω)2-(ω-ω)2(2)我们生成ω- ω~ 0，因为我们在ω的情况下→ ωcandωn→ ωc:e-(ω-ω)2(2)~ 1 +2 (ω- ω)2 (2)e-(ω-ω)2(2)ω-ω=0(ω- ω)+\"2 (2)e-(ω-ω)2(2)-2 (ω- ω)2 (2)e-(ω-ω)2(2)#ω-ω=0(ω- ω） =1+2tn（ω- ω)→ 1保留期限 假设Erf（ω-ω√~ 0）=0，∏gm（ω=ωc，ω=ωc；t）=√2π√2..2.2.e-tnα=√2πt3/2ne-αtn.（B.46）因此，c=√2π（B.47）∏gm（ωc，ωc，tn=T）=√2πt3/2ne-αtn.（B.48）简而言之，我们分析了势垒附近的行为：∏gm→0（ω，ωc；tn=T），πgm（ωc，ωn，tn=T）和∏gm（ωc，ωc，tn=T），分别由（B.41）、（B.42）和（B.48）描述。《国际理论与应用金融杂志》(c)世界科学出版公司56 A.Catalo&R.RosenfeldB。2.

发散项和有限项的分析-1Pi，j=1我jIn（4.17）有一个术语-1Pi，j=1我j、 在（A.14）中使用的方式如下：n-1Xi，j=1我j=2Xi<j我j+n-1Xi=1i、 （B.49）其中RHS的第一个术语可以表示为xi<j我j=n-2Xi=1n-1Xj=i+1我j（B.50）或-1Xj=2j-1Xi=1我j、 （B.51）根据方程式（4.17），当Wgm（ω，ω，…，ωn；tn）收到（i）根据（A.8）使用的（B.50）求和运算符，以及（ii）根据（A.9）使用的RHS（B.49）的第二项时，我们-2Xi=1n-1Xj=i+1∏gm（ω，ωc；ti）πgm（ωc，ωc；tj- ti）∏gm（ωc，ωn；tn- tj）+n-1Xi=1i∏gm（ω，ωi；ti）πgm（ωi，ωn；tn- ti）]ωi=ωc.（B.52），给出（3.8）的形式，i∏gm（ω，ωi；ti）]=i∏gm（ωi，ωn；tn- ti）]。（B.53）因此，（B.52）的第二项成为《国际理论与应用金融杂志》(c)世界科学出版社非高斯分布下移动障碍期权的路径积分定价57I≡n-1Xi=12i∏gm（ω，ωi；ti）]ωi=ωc∏gm（ωc，ωn；tn- ti）。（B.54）让我们计算这个项。关于∏gm（ω，ωi；ti），我们在（B.28）中看到，在极限η中→ 0，（B.20）的表达式v（η）导致γ，由（B.40）给出：γ=√πeα（ωn-ωc）更广泛地说，in（B.28）：v（η）∝γ√π2η=2ηeα（ωn-ωc）我们可以提出，在这个极限下，仍然关于γ，v（η）由v（η）=eα（ωn）给出-ωc）2η+v+vη+Oη. （B.55）In（B.36），∏gm→0（ω，ωc；tn）=√γωc- ωt3/2ne-αtneα（ωc-ω） e类-2tn（ωc-ω)=√2η√πv（η）ωc- ωt3/2ne-αtneα（ωc-ω） e类-2tn（ωc-ω)=√2η√πeα（ωn-ωc）2η+v+vη+。。。ωc- ωt3/2ne-αtneα（ωc-ω） e类-2tn（ωc-ω)=√√πeα（ωn-ωc）ωc- ωt3/2ne-αtneα（ωc-ω） e类-2tn（ωc-ω)+√√πeα（ωn-ωc）vη+vη+。。。ωc- ωt3/2ne-αtneα（ωc-ω） e类-2tn（ωc-ω).（B.56）根据（B.19）的定义，《国际理论与应用金融杂志》(c)世界科学出版公司58 A.Catalo&R。

罗森菲尔德我≡ /ωi=dηdωiη（B.57）dηdωi=-√2.（B.58）thenlim→0limω→ω-cω∏gm（ω，ω；tn）=-vπ1/2ωc- ωt3/2ne-αtneα（ωc-ω） e类-2tn（ωc-ω） eα（ωn-ωc）。（B.59）没有术语uη+。。。在导数之后，因为我们取了极限ω→ ω-cand，在这种情况下，η→ 0，废除本条款。返回（B.54），也返回（B.42），tn替换为tn- ti，和（B.30）：I=n-1Xi=1-vπ1/2ωc- ωt3/2ie-αtneα（ωc-ω） e类-2tn（ωc-ω） eα（ωn-ωc）·√√πeα（ωn-ωc）ωc- ωn（tn- ti）3/2e-[（ωc-ωn）-α（tn-ti）]（tn-ti）！=-n-1Xi=1v√π√ωc- ωt3/2iωc- ωn（tn- ti）3/2e-[（ωc-ω)-αti]2tie-[（ωc-ωn）-α（tn-ti）]（tn-ti）e2α（ωn-ωc）！=> -v√π√（ωc- ω） （ωc- ωn）e2α（ωn-ωc）tn^dtie-[（ωc-ω)-αti]2tie-[（ωc-ωn）-α（tn-ti）]（tn-ti）t3/2i（tn- ti）3/2。（B.60）∴ I=-2伏√π√（2ωc- ωn- ω） t3/2ne-[（2ωc-ωn-ω)-αtn]2tne2α（ωn-ωc）。（B.61）因此，Idiverge与1/√. 现在，我们分析了B.52《国际理论与应用金融杂志》(c)世界科学出版社的第一期非高斯分布下移动障碍期权的路径积分定价59I≡n-2Xi=1n-1Xj=i+1∏gm（ω，ωc；ti）πgm（ωc，ωc；tj- ti）∏gm（ωc，ωn；tn- tj）。（B.62）根据（B.41），（B.48）和（B.42），我们写下-2Xi=1∏gm（ω，ωc；ti）n-1Xj=i+1∏gm（ωc，ωc；tj- ti）∏gm（ωc，ωn；tn- tj）=n-2Xi=1√√πeα（ωn-ωc）ωc- ωt3/2ie-[（ωc-ω)-αti]2ti·n-1Xj=i+1√2π（tj- ti）3/2e-α（tj-ti）√√πeα（ωn-ωc）ωc- ωn（tn- tj）3/2e-[（ωc-ωn）-α（tn-tj）]（tn-tj）。（B.63）在（B.63）中，不可能使用n-1Pj=i+1='tntidtj，因为只有当和和和积分为有限时，它才有效 → 这里不会发生这种情况，因为被积函数intn^tidtj（tj- ti）3/2（tn- tj）3/2e-[（ωc-ωn）-α（tn-tj）]（tn-tj）e-α（tj-ti）（B.64）因（tj）的取消而偏离- ti）3/2当总和开始时，即当j=ti时。

我们在β中加入指数项, 将表达式切为tj=ti:n-1Xj=i+1（tj- ti）3/2（tn- tj）3/2e-[（ωc-ωn）-α（tn-tj）]（tn-tj）e-α（tj-ti）==tn^tidtje-β（tj-ti）（tj- ti）3/2（tn- tj）3/2e-[（ωc-ωn）-α（tn-tj）]（tn-tj）e-α（tj-ti）。（B.65）该系数仍然保持1的单数部分/√β 最后一部分。要知道1中有一个单数部分/√, 我们可以在发散模式中打开积分（B.64），从tito ti+, 另一个来自ti+2 至tn（固定期限）。为了简化计算，《国际理论与应用金融杂志》(c)世界科学出版公司60 A.Catalo&R.Rosenfeld，我们注意到积分以tj=ti为主，可以从表达式中取出来。I=（tn- ti）3/2e-[（ωc-ωn）-α（tn-ti）]（tn-ti）ti+^tidtje-α（tj-ti）（tj- ti）3/2+tn^ti+2dtje公司-[（ωc-ωn）-α（tn-tj）]（tn-tj）e-α（tj-ti）（tj- ti）3/2（tn- tj）3/2。（B.66）术语-α（tj-ti）在积分的第一行收敛到1。继续，I=√（tn- ti）3/2e-[（ωc-ωn）-α（tn-ti）]（tn-ti）+有限项。（B.67）返回（B.65）并使用（B.38），-[（ωc- ωn）- α（tn- tj）]2（tn- tj）-α（tj- ti）=-（ωc- ωn）2（tn- tj）+（ωc- ωn）α-α（tn- ti）。I=tn^tidtje-β（tj-ti）（tj- ti）3/2（tn- tj）3/2e-[（ωc-ωn）-α（tn-tj）]（tn-tj）e-α（tj-ti）=tn^tidtje-β（tj-ti）（tj- ti）3/2（tn- tj）3/2e-（ωc-ωn）（tn-tj）+（ωc-ωn）α-α（tn-ti）=√2π√β+ωc- ωn（tn- ti）3/2e-[（ωc-ωn）+√β]（tn-ti）e（ωc-ωn）αe-α（tn-ti）。（B.68）《国际理论与应用金融杂志》(c)世界科学出版社非高斯分布下移动障碍期权的路径积分定价61我们采用Ito（B.63）来评估I:I=π（ωc- ω） （ωc- ωn）n-2Xi=1t3/2ie-[（ωc-ω)-αti]2tie2α（ωn-ωc）·√β+ωc- ωn（tn- ti）3/2e-[（ωc-ωn）+√β]（tn-ti）e（ωc-ωn）αe-α（tn-ti）。（B.69）现在我们使用-2Pi=1→'tndtiand（B.38），再生项：I=π（ωc- ω） （ωc- ωn）√β+ωc- ωneα（ωn-ωc）·tn^dtit3/2i（tn- ti）3/2e-[（ωc-ωn）+√β]（tn-ti）e-[（ωc-ω)-αti]2tie-α（tn-ti）。

（B.70）=π（ωc- ω） （ωc- ωn）√β+ωc- ωneα（ωn-ωc）eα（ωc-ω） e类-αtn·tn^dtit3/2i（tn- ti）3/2e-[（ωc-ωn）+√β]（tn-ti）e-（ωc-ω） 2ti。（B.71）∴ I=rπ（ωc- ω） （ωc- ωn）√β+ωc- ωneα（ωn-ωc）eα（ωc-ω） e类-αtn·e-[（2ωc-ω-ωn）+√β]2tnt3/2n（2ωc- ω- ωn）+√β（ωc- ω)2ωc- ωn+√β. （B.72）扩展指数√β 零点附近：e-[（2ωc-ω-ωn）+√β]2tn’e-（2ωc-ω-ωn）2tn-tn（2ωc- ω- ωn）pβe-（2ωc-ω-ωn）2tn+。。。（B.73）《国际理论与应用金融杂志》(c)世界科学出版社62 A.Catalo&R.RosenfeldI=Rπ（2ωc- ω- ωn）+√βt3/2n（ωc- ωn）eα（ωn-ωc）eα（ωc-ω） e类-αtn·e-（2ωc-ω-ωn）2tn1.-√βtn（2ωc- ω- ωn）ωc- ωn+√βωc- ωn+√β（ωc- ωn）√β=rπ（2ωc- ω- ωn）√β+ 1.t3/2ne-[（2ωc-ω-ωn）-αtn]2tne2α（ωn-ωc）·1.-√βtn（2ωc- ω- ωn）=rπ“（2ωc- ω- ωn）√β-（2ωc- ω- ωn）tn+1-√βtn（2ωc- ω- ωn）#·t3/2ne-[（2ωc-ω-ωn）-αtn]2tne2α（ωn-ωc）。（B.74）括号中的最后一项变为零，如下所示： → 0∴ I=rπ“（2ωc- ω- ωn）√β+1.-（2ωc- ω- ωn）tn#·t3/2ne-[（2ωc-ω-ωn）-αtn]2tne2α（ωn-ωc）。（B.75）因此，在（B.49）中：n-1Xi，j=1我j=(√√β- v√rπ（2ωc- ωn- ω） t3/2ne-[（2ωc-ωn-ω)-αtn]2tne2α（ωn-ωc）+rπ“1-（2ωc- ω- ωn）tn#t3/2ne-[（2ωc-ωn-ω)-αtn]2tne2α（ωn-ωc））。（B.76）《国际理论与应用金融杂志》(c)世界科学出版社非高斯分布下移动障碍期权的路径积分定价63根据（4.17），LHS（B.49）适用于Wgm（ω，ω，…，ωn；tn）。在（A.13）中，我们看到∏gmωc（ω=0，ωn；tn）=n-1Xi=1^ωc-∞dω。。。d^ωi。。。dωn-1Wgm（ω，ω，…，ωi=ωc，…，ωn-1，ωn；tn）。

（B.77）现在，∏gmωc（ω=0，ωn；tn）=n-1Xi，j=1^ωc-∞dω。。。d^ωi。。。d^ωj。。。dωn-1Wgm（ω，ω，…，ωi=ωc，…，ωj=ωc，…，ωn-1，ωn；tn）使用（B.49）、（A.6）和（A.9）：∏gmωc（ω=0，ωn；tn）=2n-2Xi=1n-1Xj=i+1^ωc-∞dω。。。d^ωi。。。d^ωj。。。dωn-1Wgm（ω，ω，…，ωi=ωc，…，ωj=ωc，…，ωn-1，ωn；tn）+n-1Xi=1^ωc-∞dω。。。d^ωi。。。dωn-1.ωcWgm（ω，ω，…，ωi=ωc，…，ωn-1，ωn；tn）=2n-2Xi=1n-1Xj=i+1^ωc-∞dω。。。dωn-1.我jWgm（ω，ω，…ωn-1，ωn；tn）+n-1Xi=1^ωc-∞dω。。。dωn-1.iWgm（ω，ω，…ωn-1，ωn；tn）《国际理论与应用金融杂志》(c)世界科学出版社64 A.Catalo&R.Rosenfeld=n-1Xi，j=1^ωc-∞dω。。。dωn-1.我jWgm（ω，ω，…ωn-1，ωn；tn）。（B.78）然后，与LHS（B.49）相对应的RHS（B.78）可以通过（B.78）的LHS进行评估。在连续体中， → 0，ω6=0，我们计算∏gm的二阶导数→0（ω，ωn，tn）相对于ωc，通过（B.22）。第一个导数的计算见（B.32）。因此∏gm→0（ω，ωn，tn）ωc=ωc∏gm→0ωc（ω，ωn；tn）=ωcπ1/2（2ωc- ωn- ω） t3/2ne2α（ωn-ω-ωc）e-（2ωc-ωn-ω-αtn）2tn=π1/2t3/2ne2α（ωn-ω-ωc）e-（2ωc-ωn-ω-αtn）2tn-2（2ωc- ωn- ω） t5/2n[（2ωc- ωn- ω) - αtn]e2α（ωn-ω-ωc）e-（2ωc-ωn-ω-αtn）2tn-2αtn（2ωc- ωn- ω） t5/2ne2α（ωn-ω-ωc）e-（2ωc-ωn-ω-αtn）2tn.∴∏gm→0（ω，ωn，tn）ωc=π1/2\"1 -（2ωc- ωn- ω） tn#t3/2ne-（2ωc-ωn-ω-αtn）2tne2α（ωn-ω-ωc）。（B.79）现在我们将（B.79）等同于（B.76）。这个方程的第二项，即（B.76）的项，正好等于（B.79）。因此，取消双方，我们得出结论，RHS（B.76）的第一项必须为空。为了使其无效，我们必须√β- v√= 0

（B.80）这意味着I（ν中的项），它发散（1/√, 用I的分词（1中的词）取消/√β） ，当《指数国际理论与应用金融杂志》(c)世界科学出版公司分析非高斯分布下移动障碍期权的路径积分定价65项β时，这两种方法被分离 介绍了。它仍然是RHS第一个条款的非分歧部分（B.49）。总结，总结n-1Xi，j=1我jhas是两个不同的术语，其影响相互抵消。因此，在RHS（B.49）的第一次求和中存在非发散项，我们可以将求和转换为积分：n-2Xi=1n-1Xj=i+1→ 2.tn^dtitn^tidtj（B.81）附录C。非高斯分布的漂移：在概率密度（4.60）扩展到15阶导数的情况下，我们评估积分（4.63）。α=tnσ（r）- 射频）-tnσ+{1, 307, 674, 368, 000 · [1, 307, 674, 368, 000+σ217, 945, 728, 000κ+ 1, 816, 214, 400 ·10κ+ κσ+259, 459, 200 · (35κκ+ κ) σ+32, 432, 400 ·35κ+ 56κκ+ κσ+ 3, 603, 600 · (126κκ+ 84κκ+ κ) σ+360, 360 ·κ+ 6 ·21κ+ 35κκ+ 20κκσ+32.760·（κ+33·（14κ+10κ+5κ））σ国际理论与应用金融杂志(c)世界科学出版公司66 A.Catal~ao&R.Rosenfeld+2730·κ+ 11 ·42κ+ 72κκ+ 45κκ+ 20κκσ+210 · (κ+ 143 · (2κκ+ 12κκ+ 9κκ+ 5κκ)) σ+15 ·κ+ 13 ·28κκ+ 11 ·7κκ+ 12κ+ 21κκ+ 14κκσ+ (κ+ 13 · (35κκ+ 105κκ+ 231κκ+ 495κκ+ 385κκ)) σ+ 10, 897, 286, 400 · σ · (5κ+ κσ)]]-1oo。（C.1）参考文献M。Avellanda，R.Buff，C.Friedman，N.Grandchamp，L.Kruk&J.Newman（2001）《加权蒙特卡罗：校准资产定价模型的新技术》，国际理论与应用金融杂志4（01），91-119。R、 Balieiro&R.Rosenfeld（2004）《Edgworth扩展测试期权定价》，Physica A 344484-490。F、 黑色和M。

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