债券2 1 0 0 0 3 1 0 0 0 0 0 3 0 1 0 33 1总债券市场5 0 1 17 2 14 0 0 0 0 1 0 0 0 3 0 2稀有金属1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1所有上限股票1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1替代能源股票3 2 0 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0亚太地区股票1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 6 1 0 1 0 1 2建筑&构造0 1 0 71 1 0 0 6 0 0 0 0 0 1 0 0 1社区生产者股票0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0消费者Discrtnry。股票1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 11 0 0 0 0 2 0 0 1消费类大宗商品股票1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0金融类股票6 19 18 3 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2外国大盘股股票1 0 2 0 0 0 0 0 1全球股票1 0 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1健康与生物科技股票1 5 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 17 0 0 0 5 0 0 4大盘股增长股票0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2材料1个0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0技术股票3 1 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 2交通股票0 0 0 3 0 1 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0。5.1截距测试本节提供零截距测试。使用Fama-French 5因子模型作为比较，图3比较了我们的基础资产组合自适应多因子（AMF）模型和Fama-French 5因子（FF5）模型之间的截距测试p值。如图所示，FF5模型中有6.33%（高于5%）的证券具有显著的截获，而AMF中有4.12%（低于5%）的证券具有显著的α。

这可能表明AMF模型比FF5模型更具洞察力，因为AMF揭示了更多的相关因素，使截距接近0。由于我们在CRSP数据库中复制了约5000只股票的这一测试，因此控制错误发现率（FDR）非常重要，因为即使存在零截距，复制5000个测试也会有约5%的测试显示错误显著性。我们使用Benjamini-Hochberg（BH）程序【1】和Benjamini-Hochberg-Yekutieli（BHY）程序【2】调整错误发现率。BH方法不考虑测试之间的相关性，而BHY方法考虑。在我们的例子中，每个测试都是针对单个股票进行的，这些股票可能具有相关性。因此，BHY方法在这里更合适。Chordia et al.（2017）[7]建议应采用错误发现比例（FDP）方法，而不是错误发现率程序。BH方法仅控制FDP的预期值，而FDP直接控制家庭误差率。还有一个测试值得一提，那就是GRS测试。[15]中的GRS测试通常是测试拦截的一个很好的程序。然而，这两个测试在高维回归环境中并不适用，就像我们的情况一样。具体而言，这些测试隐含地基于以下假设，即所有公司仅与相同的一小部分基础资产相关。这里的“小”意味着基本集合比观测要少得多。我们的设置更为一般，因为我们的基础资产可能多于观察值，虽然每个公司只与少量基础资产相关，但不同的公司可能与不同的基础资产相关。GRS无法处理设置。如前所述，表3显示，多因素模型中4.12%的股票的截距t检验值小于0.05。

而在FF5模型中，该百分比为6.33%。在使用BHY方法控制错误发现率后，我们可以看到两个模型的q值（接受此拒绝为真实发现所需的最小错误发现率，请参见[43]）几乎为1，表明存在nosigni ficant非零截获。截获测试中显示的所有重要信息都可能是错误发现。这证明这两种模型都符合“大时间尺度”安全回报的行为。图3:Fama-French 5因子（FF5）模型和自适应多因子（AMF）模型截距测试p值的比较。股票价值范围百分比（%）FF5 p-val AMF p-val FF5 FDR q-val AMF FDR q-val0-0.05 6.33 4.12 0.00 0.000.05-0.9 84.87.22 0.02 0.000.9-1 8.83 8.67 99.98 100.00表3：控制错误发现率的截距测试。第一列是其他列中列出的p值或q值的值范围。其他4列与FF5模型和AMF模型的p值和错误发现率（FDR）q值相关。对于每一列，我们列出了价值在每个价值范围内的公司的百分比。很明显，几乎所有对零阿尔法的否定都是错误的发现。5.2样本内和样本外拟合优度本节测试以查看哪个模型最适合数据。图4比较了调整后的R在AMF和FF5模型之间的分布（参见[44]）。如前所述，AMF模型具有更强的解释力。AMF模型的平均调整RF0.348，而FF5模型的平均调整RF0.234。与FF5相比，AMF模型将调整后的RB增加49%。接下来，我们对每种证券进行F检验，以表明AMF和FF5模型的优度之间存在显著差异。

由于我们需要对F检验进行嵌套比较，因此我们比较FF5和GIBS+FF5之间的结果（如果未选择任何FF5因素，则将FF5因素返回GIBS进行拟合）。在我们的例子中，FF5是受限模型，具有p- r自由度和残差平方和SSR，其中r=5。AMF是完整型号，具有- r- rdegrees of freedom（其中ris是除FF5外选择的基础资产数量）和平方残差SSF之和。在FF5是真实模型的无效假设下，我们有FOBS=（SSR- SSF）/rSSF/（p- r- r） H类~ Fr，p-r-r、 （26）共有4881只股票。对于其中的1459只股票（30%），GIBS算法只选择了一些FF5因子，因此对于这些股票，GIBS+FF5不会提供额外信息。然而，对于其中的3422个（70%），GIBS算法确实在FF5因子之外选择了ETF。对于这些股票，我们进行F检验，以检查两个模型之间的差异是否显著，换句话说，AMF是否提供了显著更好的信息。如表4所示，对于99.24%的股票，AMF模型优于FF5模型。同样，测试错误发现率（FDR）也很重要。表4包含使用BH方法和BHY方法的Pvalue和错误发现率q值。如前所述，对于大多数股票，即使考虑到错误发现率，AMF也明显优于FF5模型。对于99.24%的股票，AMF模型在0.05的显著水平上优于FF5。在使用严格的BHY方法（包括测试之间的相关性）考虑虚假发现率后，仍有87.93%的股票q值小于0.05。即使我们将错误发现率q值显著性水平调整为0.01，仍有74.08%的股票显示出显著差异。

因此，这有力地证明了多因素模型在刻画证券收益方面的优越性。图4:Fama-French 5因子（FF5）模型和自适应多因子（AMF）模型的调整后RF值范围股票SP值BH q值BHY q值的百分比比较0~ 0.01 93.19% 92.78% 74.08%0 ~ 0.05（显著）99.24%99.24%87.93%0.05~ 1（无显著性）0.76%0.76%12.07%表4：控制错误发现率的F检验。我们进行F测试，并报告每个公司的itsp值和q值。第一列是其他列中列出的p值或Q值的值范围。在其他三列中，我们报告了在每个价值范围内具有p值、BH方法q值和BHY方法q值的公司的百分比。该表显示，对于大多数公司来说，IT优度的增加非常显著。除了样本内拟合优度结果外，我们还比较了预测时间段内FF5和AMF模型的样本外拟合优度。我们使用这两个模型预测下周的收益率，并报告预测的样本外Rf（见表5）。样本外R（见[6]）用于测量模型的预测精度。FF5的样本外Rf为0.209，而AMF的样本外Rf为0.331。也就是说，与FF5模型相比，AMF模型将样本外RB增加了58%。AMF模型通过使用更少的因子进行更准确的预测，显示了其优越的性能，这也是反对过度拟合的有力证据。与FF5.5.3稳健性测试相比，AMF模型提供了更多的见解。作为稳健性测试，对于截获率不为零的证券，我们测试了基础资产隐含多因素模型，以了解积极的阿尔法交易策略是否会产生比特率机会。

为了构建积极的阿尔法交易策略，我们使用2017年的数据作为样本外时段。回想一下，之前的分析是在2014年至2016年期间进行的。如上所述，我们使用截至2016年最后一周的数据拟合AMF模型。然后，我们按照字母从正到负对证券进行排名。我们选取阿尔法显著（p-val小于0.05）为正的前50%的投资者，形成一个初始资本为1美元的仅长期等重投资组合。类似地，将那些字母值为负的投资者中最底层的50%作为投资组合，形成一个仅做空且权重相等的投资组合，初始资本为-1美元。然后，在2017年的每一周，我们通过重新调整AMF模型并重复相同的结构来更新这两个投资组合。将只做多和只做空的投资组合组合形成一个初始投资为0的投资组合。如果Alpha代表套利机会，那么组合的多头和短头投资组合的价值变化在一定时期内将始终为非负且严格为正。套利测试的结果如图5和图6所示。如图所示，0-投资组合的价值变化在0的两侧随机波动。这否定了积极阿尔法交易策略是套利机会的可能性。因此，在控制错误发现率后，此鲁棒性测试证实了我们之前的截获测试结果。虽然没有报道，但我们也研究了10%到40%之间的不同分位数，它们给出了类似的结果。图5：纯多头和纯空头投资组合的回报图6：0-投资组合的价值变化百分比6与替代方法的比较6.1 Fama French 5因素是否过度匹配？我们首先测试Fama-French 5因子（FF5）是否超过数据中的噪声。这可以通过估算“GIBS+FF5”模型来实现。

该模型与GIBS非常相似，只是它包含了最后一步选择的Fama French 5因素。也就是说，如果GIBS未选择任何FF5因素，我们将其添加回所选的基本资产集，并使用这组基本资产来拟合和预测回报。通过比较GIBS+FF5模型和GIBS模型的样本内调整和样本外R（见[6]），我们可以确定FF5因子是否过拟合。取样器外（见[6]）用于测量模型预测的准确性。令人惊讶的是，结果显示，FF5中的一些因素是过度拟合的！如表5所示，与我们的GIBS模型相比，GIBS+FF5实现了更好的样本内调整R，具有更重要的基础资产，但给出的样本外R更差。这表明GIBS未选择的FF5因子是“错误发现”——它们超过了培训数据，但在预测方面做得很差。因此，如果GIBS未选择这些FF5系数，则不应将其用于公司。表5不仅通过比较样本Rof GIBS和FF5模型的样本内调整随机数，提供了GIBS优于FF5的证据，还通过比较样本内调整随机数Rof GIBS和样本外GIBS+FF5.6.2与弹性净值的比较，表明了FF5的过度拟合。由于存在大量相关ETF，自然会使用岭，套索和弹性网（E-Net）方法（Zou和Hastie（2005）[61]）。E-Net类似于岭回归对多重共线性的处理，带有一个额外的调整（岭）参数α，用于调整相关性。我们将GIBS、LASSO、RIDGE和Net与不同的αs进行比较。每个模型中的稀疏诱导参数λ是通过通常的10倍交叉验证选择的（Kohavi等人（1995）[27]）。比较结果如表5所示。

图7显示了通过每个方法选择的基础资产数量的分布。从表5可以看出，GIBS模型比FF5模型具有更好的预测能力。与FF5相比，GIBS模型将样本外RB增加了58%。在所有模型中，GIBS的样本外R最高，这支持了其他模型（LASSO、RIDGE、E-Net等）调整后的更好样本是由于过度拟合。此外，从表5和图7可以看出，GIBS选择的因子数量最少。型号选择标志。在样本调整中。样本RFF5 5.0 1.8 0.234（00%）、0.209（00%）、GIBS 3.4 2.2 0.347（49%）、0.331（58%）、GIBS+FF5 6.6 2.5 0.352（50%）、0.213（02%）、LASSO 13.4 NA 0.372（59%）、0.294（40%）E-Net（α=0.75）15.7 NA 0.370（58%）、0.296（41%）E-Net（α=0.50）17.3 NA 0.364（56%）、0.300（43%）-Net（α=0.25）24.8 NA 0.344（47%）0.225（08%）Ridge 186.0 NA NA 0.329（57%）。表5：替代方法对比表。“选择”列给出了模型所选因素的平均计数。“签名”列给出了模型选择的重要因素的平均计数。“样本调整R”列给出了每个模型的样本调整R的平均值，括号中的百分比是与FF5模型相比的百分比变化。“样本外R”列给出了每个型号的样本外R的平均值，括号中的百分比是与FF5型号相比的百分比变化。图7：不同方法交叉验证选择的基础资产数量比较。套索的λ通常通过交叉验证来选择，利用该λ，模型选择13.4个因子的平均值，如表5所示。然而，交叉验证选择的大多数因子都是“假阳性”。因此，我们不使用交叉验证，而是使用“1se规则”，硬阈值最多为20个基本资产。

“1se规则”使用最大的λ，使得交叉验证误差在交叉验证实现的最小误差的一个标准误差范围内。换言之，λ1定义了最正则的模型，使得误差在交叉验证获得的最小误差的一个标准误差范围内（见[14，39，46]）。为了进一步避免过度拟合，我们加入了一个阈值，即每家公司的基础资产不能超过20个。如表5所示，我们在GIBS中使用的方法运行良好，并达到了最佳预测能力。与交叉验证Lasso相比，GIBS的性能优越的原因是交叉验证往往超过了极限，尤其是当样本量很小，或者数据不完全独立且分布不均匀时。此外，我们的GIBS结果既稳定又可解释。我们结合原型聚类和LASSO的改进版本选择降维技术，是因为我们希望从一组强相关ETF中选择一组稀疏且可解释的基础资产，以解释资产回报率之间的横截面变化。这两个步骤被用作模型选择工具来识别基础资产，我们随后使用OLS估计模型系数。在未来的研究中，可能会设计一种更为综合的方法，将模型选择和估计步骤结合起来。使用原型聚类的动机有两个方面。首先，它可以用来派生ETF的集群结构，以便删除冗余的ETF。这减少了相关性并验证了套索的使用。其次，该方法对原型进行了精确的解释，这对于我们对基础资产的解释很重要。

处理经验资产模型的传统方法是基于基础资产（X矩阵）的方差分解，如主成分分析（PCA）方法。最近，有一些现代统计方法在这些传统方法中引入了稀疏性和高维设置（seeZou et al.（2006）[62]）。然而，正如我们在导言中所述，由于这些方法在解释基础资产时存在困难，因此它们对于基础资产模型不是最优的。此外，在确定基础资产时，重要的是相关性，而不是方差本身。因此，在这种情况下，专注于找出方差最大的旋转（如PCA）的方法不是最优的。相反，我们在原型聚类步骤中使用相关性作为度量，这可以对候选基础资产进行更清晰的解释和直接的分析，而不是对基础集的线性组合。因此，我们认为在这种情况下，原型聚类比主成分分析更可取。对于未来的工作，可能会使用现代的模型选择和推理方法。对于高维模型，很难获得有效的p值。这部分是因为，建立高维模型通常需要惩罚和复杂的估计程序，这意味着很难描述此类估计量的分布特征。对于稀疏情况下的统计检验，文献中出现了许多新方法。一种替代方法是Tibshirani等人（2016）提出的后选择程序【47】。另一种为高维模型构建frequentistpp值和置信区间的方法使用了一系列文章[48、24、51]中提出的去偏思想。

在去偏方法中，从正则化估计量开始，首先构造一个去偏估计量，然后根据去偏估计量的低维泛函的渐近正态性进行引用。原则上，该方法还为检验模型中每个参数的假设提供了渐近有效的p值。然而，在我们对这些方法的数值探索中，我们发现，对于当前的应用来说，置信区间太大，无法获得有意义的见解。这些方法的p值也不是很稳定。因此，我们在赵等人（2017）[53]的论文中提供了理论保证，使用LASSO后的OLS代替后选择方法。7风险因素确定我们关注2014年至2016年这三年期间，计算基础资产的平均年收益率，以确定哪些具有非零风险溢价（平均超额收益），即哪些是传统意义上的风险因素。在此期间，选择了186种基础资产，包括Fama French 5 factors和181种ETF。Fama French 5因子的风险溢价如表6所示。Fama French 5因子市场回报SMB HML RMW CMA年度超额回报（%）10.0-2.1 1.7 1.2-1.1表6：Fama French 5因子的风险溢价在181只选定的ETF中，有141只ETF的绝对风险溢价大于FF5因子的最小值（即RMW，绝对风险溢价为1.1%）。因此，至少（141+5）/（181+5）=78%的基础资产是风险因素。此外，181只精选ETF中有37只绝对风险溢价大于10.0%（市场回报的绝对风险溢价，是所有FF5因素中最大的绝对风险溢价）。

表7列出了37只ETF。Risk PreETF name mium类（%）ProShares Ultra Bloomberg天然气杠杆化商品-30.4iShares PHLX Semiconductor ETF Technology Equities 26.4ProShares Ultra Real Estate杠杆化房地产26.2Global X MSCI Nigeria ETF Foreign Large Cap Equities-24.0Global X FTSE Greece 20 ETF Emerging Markets Equities-20.8First Trust Indxx Global Agriculture ETF Large Cap Blend Equities-20.6 Invesco高收益股票股息达成者ETF全市值股票20.4 Invesco S&P SmallCap Information Technology ETF Technology股票19.7 Proshares Short VIX短期期货杠杆波动率18.8 Proshares Ultra Consumer Services杠杆化股票18.3 Direction Daily Energy Bull 3倍股票杠杆化股票-17.5 Invesco DB Energy Fund Oil&Gas-17.3 Invesco S&P SmallCap ConsumerStaples ETF消费类Staples股票15.8SPDR标准普尔地区银行ETF金融类股票15.5VanEck Vectors稀土/战略金属ETF材料-15.5Global X铀ETF全球股票-15.3NYSE Technology ETF Technology股票15.1SPDR标准普尔医疗保健设备ETF Health&Biotech股票15.0Vanguard Utilities ETF Utilities股票15.0VanEck Vectors埃及指数ETF Emerging市场股票-15.0iShares MSCI Colombia ETF拉丁美洲股票-14.6SPDR S&P Insurance ETF Financials股票14.2First Trust Morningstar股息领导者大盘股混合股票14.2iShares美国航空航天和国防ETF Industrial股票13.8ProShares超短基本材料杠杆股票-13.8iShares北美科技多媒体网络ETF Communications股票13.3iShares美国。

医疗保健提供商ETF Health&Biotech股票12.6FLAG-Forecast Accounting Long Short ETF Long Short 12.2SPDR SSGA美国大盘股低波动指数ETF波动对冲股票12.0Global X MSCI葡萄牙ETF欧洲股票-11.7iShares Edge MSCI美国动量因子ETF大盘股增长股票11.5Invesco Dynamic Software ETF Technology股票11.3Vanguard Consumer Staples ETF ConsumerStaples股票10.9VanEck Vectors波兰ETF欧洲股票-10.8VanEck Vectors零售ETF消费者非必需股票10.7VanEck Vectors Morningstar Wide Moat ETF大盘股混合股票10.6Invesco Russell前200名等权重ETF大盘股增长股票10.2表7：具有较大绝对风险溢价的ETF列表。8说明在本节中，我们将说明我们的多因素估计过程，并将结果与三种证券（Adobe、美国银行和英特尔）的Fama-French 5因素（FF5）模型进行比较。8.1 AdobeThis部分包含Adobe的结果。利用方程（14），我们估计了FamaFrench 5因子（FF5）模型，如表8所示。对于我们的自适应多因素（AMF）模型，最终结果如表9所示，表10描述了GIBS选择的ETF基础资产。FF5的调整后RFR为0.39，而AMF的调整后RFR为0.55。从表中可以清楚地看出，选择了不同的重要基础资产，GIBS选择的基础资产提供了更好的解释和预测能力。在FF5因素中，只有市场回报是显著的，它是AMF模型选择的唯一一个F5因素。此外，Adobe的收益与Invesco Dynamic Software ETF和NYSE Technology ETF相关，表明Adobe对科技软件行业的风险敏感。

对于Adobe来说，这两种模型都没有明显的截距，这表明证券的定价是正确的。βSE t值P值（截距）0.002 0.002 1.234 0.219市场收益率1.048 0.123 8.495 0.000SMB-0.167 0.191-0.873 0.384HML-0.456 0.248-1.838 0.068RMW-0.330 0.311-1.063 0.290CMA-0.279 0.426-0.654 0.514表8：带FF5模型的Adobe。β列提供了Adobe对FF5因子的OLS回归系数。还提供了与各系数相关的标准误差（SE）、t值和P值。βSE t值P值（截距）0.002 0.002 0.955 0.341市场回报-0.481 0.312-1.539 0.126iShares Edge MSCI美国动量因子ETF 0.569 0.253 2.249 0.026 Invesco Dynamic Software ETF 0.420 0.175 2.395 0.018 NYSE Technology ETF 0.559 0.186 3.007 0.003AGFiQ美国市场中性价值基金-0.443 0.162-2.739 0.007表9：Adobe with AMF。β列提供了Adobe在AMF中选择的基础资产上的第二次逐步回归系数。还提供了与每个系数相关的标准误差（SE）、t值和P值。ETF名称类别大类股Edge MSCI美国动量因子ETF大盘股增长股票股票股票Invesco Dynamic Software ETF Technology EquityNYSE Technology ETF Technology EquityAGFiQ US Market Neutral Value Fund Long Short Alternative ETF表10：Adobe的重要ETF基础资产。此表显示了在AMF中选择的每个ETF基础资产的类别和bigclass。8.2美国银行本节包含美国银行（BOA）的结果。结果见表11、12和13。FF5的调整后RFR为0.72，而AMFI的调整后RFR为0.83。对于BOA，它与除SMB之外的所有FF5因素相关。

这与Proshares Ultra 7-10年期国债、Invesco CurrencyShares Swiss Franc Trust和FirstTrust Morningstar股息领导者有关，表明美国银行的证券回报（作为一家银行）受到利率期限结构相关风险的影响。这也与Direxion Daily Energy牛市3倍的股票有关，这与经济的健康状况有关。最后，两个模型中的α与零没有显著差异，表明该证券不存在套利机会。βSE t值P值（截距）0.000 0.002 0.295 0.769市场收益率1.046 0.098 10.669 0.000SMB 0.236 0.152 1.556 0.122HML 1.980 0 0.197 10.033 0.000RMW-1.140 0.247-4.620 0.000CMA-2.057 0.339-6.077 0.000表11：FF5模型的BOA。β列提供了BOA对FF5因子的OLS回归系数。还提供了与各系数相关的标准误差（SE）、t值和P值。βSE t值P值（截距）0.000 0.001 0.329 0.743市场回报率1.892 0.197 9.583 0.000HML 1.856 0.174 10.636 0.000RMW-1.012 0.203-4.986 0.000CMA-1.122 0.281-3.999 0.000 ProShares Ultra 7-10年期国债-0.239 0.111-2.157 0.033AdvisorShares New-fleet多部门收入ETF-1.111 0.757-1.468 0.144 Invesco DB贵金属基金-0.085 0.071-1.199 0.233Invesco CurrencyShares瑞士法国信托-0.170 0.075-2.286 0.024iShares摩根士丹利资本国际土耳其ETF-0.062 0.036-1.741 0.084Direxion Daily Energy Bull 3X Shares-0.132 0.026-5.120 0.000第一信托标准普尔国际股息贵族ETF-0.125 0.118-1.054 0.294Invesco标准普尔国际开发的低波动性ETF 0.037 0.180 0.204 0.839第一信托晨星股息领袖-0.447 0.194-2.301 0.023表12美国银行AMF。β列提供了根据资产管理框架中选择的基础资产对美国银行账户进行第二次逐步回归的系数。

还提供了与每个系数相关的标准误差（SE）、T值和P值。ETF名称类别大类ProShares超7-10年期国债杠杆债券LeveragedInvesto CurrencyShares瑞士法郎信托货币CurrencyDirexion Daily Energy Bull 3X股杠杆股票LeveragedFirst Trust晨星股息领导者大盘股混合股票股票表13：美国银行的重要ETF基础资产。此表显示了在AMF中选择的每个ETF基础资产的类别和bigclass。8.3英特尔本节在表14、15和16中给出了英特尔的结果。FF5的调整后RF0.45，而我们的AMF模型的调整后RF0.57。对于英特尔而言，市场回报和中小企业是重要的FF5因素。这与iShares Phlx semiconductor ETF密切相关，因为Intel生产半导体芯片。最后，两个模型中的α与零没有显著差异。βSE t值P值（截距）0.001 0.002 0.483 0.630市场返回1.289 0.117 11.007 0.000SMB-0.390 0.181-2.150 0.033HML-0.044 0.236-0.187 0.852RMW 0.499 0.295 1.691 0.093CMA 0.019 0.404 0.046 0.963表14：配备FF5型号的Intel。β列提供Intel对FF5因子的OLS回归系数。还提供了与各系数相关的标准误差（SE）、t值和P值。βSE t值P值（截距）0.000 0.002-0.094 0.925市场返回0.332 0.170 1.950 0.053SMB-0.486 0.149-3.255 0.001iShares PHLX Semiconductor ETF 0.673 0.101 6.674 0.000表15：Intel with AMF。β列提供Intel在AMF中选择的基础资产的第二步OLS回归中的系数。还提供了与每个系数相关的标准误差（SE）、t值和P值。ETF名称类别大类股PHLX Semiconductor ETF Technology EquityTable 16:Intel的重要ETF pbasis资产。

此表显示了在AMF中选择的每个ETF基础资产的类别和bigclass。9结论通过收集基础资产，本文旨在测试Jarrow和Protter（2016）[21]和Jarrow（2016）[20]最近开发的广义套利定价理论（APT）所隐含的新的自适应多因素（AMF）模型。想法是收集所有可能的基础资产，并同时提供一个测试，一个证券接一个证券，其中基础资产非常重要。由于所选调查基础资产的收集量大且高度相关，我们提出了一种新的高维算法——分组可解释基础选择（GIBS）算法来进行分析。为了与现有文献进行比较，我们比较了AMF（使用GIBS算法）与Fama-French 5-factormodel和所有其他替代方法的性能。Fama-French五因素模型和AMF模型都符合“大时间尺度”证券回报的行为。在将AMF与Fama-French 5因素模型进行比较的拟合度检验中，AMF模型的样本内调整后的样本外R大得多。这证明了AMF模型在描述证券回报方面的优异性能。最后，作为稳健性测试，对于截获量非零的证券（尽管不显著），我们测试了AMF模型，以了解积极的阿尔法交易策略是否会产生入股机会。但事实并非如此，因此证实了多因素模型提供了证券回报的合理表征。参考文献【1】Yoav Benjamini和Yosef Hochberg。控制错误发现率：一种实用而强大的多重测试方法。《皇家统计学会杂志：B辑（方法学）》，57（1）：289–3001995年。[2] Yoav Benjamini和Daniel Yekutieli。

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然而，在此之前，我们首先讨论了因子模型估计的传统方法。基于Merton（1973）[34]和Ross（1976）[38]的因子模型估计的传统方法，从风险资产和风险因子的有限集合之间的预期收益关系开始。默顿关系源自投资者优化问题的一阶条件，如预期中所示。Ross的关系源自于资产预期收益满足的有限套利定价条件。考虑到这些是预期收益关系，所包含的风险因素的超额预期收益按构造均为非零。这些非零预期超额收益被解释为风险因素所显示的系统风险所赚取的风险溢价。詹森的阿尔法指数则被视为风险资产预期回报率和风险因素预期回报率之间的一个楔子，意味着市场定价错误。为了获得估计的实际收益的经验关系，传统方法将这些风险因素预期收益重写为实际收益减去误差。替代产生一个表达式，将风险资产的已实现回报与风险因素的已实现回报加上累积误差联系起来。由于风险因素不反映特殊风险，这种关系中的累积误差可能不满足回归模型所需的标准假设。特别是，误差项可能是自相关的和/或与估计方程中未包括的其他特殊风险项相关的。由于估计的关系是从涉及使用风险因素的预期的关系中推导出来的，因此实现回报回归的theRof可能很小。Jarrow和Protter（2016）在不同和更一般的背景下得出了一个可测试的多因素模型。

在连续时间内，连续交易市场假设只有满足无套利和无支配地位的无摩擦和竞争性市场，即存在等价的可套利测度，在有限数量的风险资产交易中，他们能够得出由任何交易策略的实现回报满足的无套利条件。为经济增加额外的结构，然后考虑预期，得出默顿（1973）[34]和罗斯（1976）[38]的模型作为特例。广义APT使用线性代数证明未来某个时间T风险资产支付空间中存在代数基。由于这是一个连续时间和交易经济，该支付空间是有限维的。代数基构成了基资产的集合。需要注意的是，这组基础资产是可交易的。代数基础意味着任何风险资产的回报都可以写成一个有限个基础资产回报的线性组合，不同的风险资产可能有不同的基础资产组合来解释其回报。由于可容许交易策略生成的随机变量空间是有限维的，因此相关风险的代数基表示是简约和稀疏的。事实上，在一个微观维度空间中，只有有限数量的基础资产可以解释任何交易策略的回报过程。无套利，即鞅关系，意味着同一组基础资产可以解释任何特定风险资产在所有早期的实现收益∈ [0，T]也是。这是已实现回报过程满足的无套利关系。

将非零alpha添加到此关系（Jensen的alpha）意味着违反了无套利条件。这种无套利条件在实现的收益空间中是有效的和可测试的。与传统方法（如上所述）相比，推导实际回报空间中的关系意味着误差结构更有可能满足回归模型的标准假设。这是因为包括预期收益为零的基础资产（在基于风险因素的传统方法中排除了这些基础资产）将减少误差项之间的时间相关性和误差项与其他基础资产（自变量）之间的横截面相关性。结果是，估计的方程应具有更大的R。在实际回报中建立多因素模型后，估计相关的基础资产预期将确定哪些是风险因素，即。