（4.11）第（iii）项中的表示相当于光谱表示，ρu（X）=ZV aRα（X）φu（α）dα，（4.12），其中φu（α）=RIφi（α）du，and dφi:[0，1]→ [0，1]与示例2.12中的任何i∈ 一、 mapi→ φi（α）对任何α都是G-可测的∈ [0, 1]. 要验证此声明，请注意∈ φI（α）=R（α，1）sdmi（s），mi∈ M、 然后dνidui=在（0，1）上定义一个有限的度量值。因此，有ηi∈ M使得νi=βηi，β∈ R+。从Lemma4.15开始，我→ ηi（α，1）是可测量的任何α∈ [0，1]，那么我也是→ νi（α，1）=φi（α）。现在，我们可以提出在法律不变性下对偶表示的一个结果。下一个推论揭示了这样的内容。推论4.18。设ρI={ρI:L∞→ R、 我∈ 一} 是定律不变凸风险测度的集合，f:X→ R具有单调性、平移不变性、凸性和法图连续性，ρ：L∞→ 定义为ρ（X）=f（ρI（X））。

那么：（i）ρ可以表示为ρ（X）=supm∈M（Z（0,1）ESα（X）dm- βρ（m））， 十、∈ L∞, （4.13）式中，βρ（m）=infu∈V{βρu（m）+γf（u）}，γfand和βρu分别如（4.2）和（4.9）所定义。（ii）如果除初始假设外，f具有正同质性，则惩罚率变为βρ（m）=infu∈Vfβρu（m），其中Vfis如Re mark4.2所示。（iii）如果除了初始假设ρiPosses之外，对于任何∈ 一、 正均一性，则βρ（m）=∞,  m级∈ M \\∪u∈Vcl（Mρu）。（iv）如果除了初始假设之外，我们还有（ii）和（iii）中的情况，那么ρ的表示变成ρ（X）=supm∈MVfρZ（0,1）ESα（X）dm， 十、∈ L∞, （4.14）其中MVfρ是∪u∈Vfcl（Mρu）。（v） 如果i n除了初始假设ρiposs，f或任何i∈ 一、 共单调可加性，则βρ（m）=∞,  m级∈ M \\∪u∈V{muc}，其中muc=arg maxm∈cl（Mρu）Z（0,1）ESα（X）dm， u ∈ 五、 （vi）如果除了（ii）和（V）的初始假设之外，ρ的表示变成ρ（X）=supm∈MVfρ，cZ（0,1）ESα（X）dm， 十、∈ L∞, （4.15）其中MVfρ，cis为∪u∈Vf{muc}。证据直接来自定理4.11和命题4.16。备注4.19。由于对X，Y的共单调性并不意味着对RX，RY具有相同的性质，从命题3.5和引理4.1来看，当{fu}u∈五、 在这种情况下，我们有ρ（X）=ρu（X）=Z（0,1）ESα（X）dmuc， 十、∈ L∞. （4.16）从（4.12）中，我们得到φu（α）=R（α，1）sdmuc（s），其中φu如Remark4.17所示。备注4.20。也可以研究一种情况，如例2.13所示，f在X上具有ES的表示，但我们不考虑（I，G）上的任何基概率。

然而，请注意，这些将是我们框架的特殊情况。5验收集5.1属性在本节中，我们根据ρI和f的性质揭示了关于组合风险度量ρ=f（ρI）b验收集的结果。为此，我们利用了前几节的结果。当然，当f具有单调性时，我们有一个ρI十、∈ L∞:  R∈ f-1（0）s.t.ρI（X）≤ R,其中不等式为X的逐点顺序。如果加法f是内射函数，那么从归一化，f（0）=0，我们得到十、∈ L∞:  R∈ f-1（0）s.t.ρI（X）≤ R= {X∈ L∞: ρI（X）≤ 0}=AρW C。然而，由于X中的逐点顺序不是全序，因此集AρIcan可能比导致X的非正锥中元素的位置大得多。因此，为ρIis提供一个通用特征并非微不足道。我们首先将第3节中金融资产保护的作用转化为验收集。推论5.1。设ρI={ρI:L∞→ R、 我∈ 一} 是风险度量的集合，f:X→ R、 和ρ：L∞→ 风险度量定义为ρ（X）=f（ρI（X））。然后：（i）如果由单调的风险测度组成的ρIis和f具有相同的性质，那么ρ是单调的，即X∈ Aρ，Y∈ L∞和Y≥ X表示Y∈ Aρ。

特别是，L∞+ Aρ。（ii）如果由具有平移不变性的风险度量组成的ρIis和f具有相同的性质，则ρ（X）=inf{m∈ R：X+m∈ Aρ}。（iii）如果第（i）项和第（ii）项中的条件已满，则ρ为非空，且符合最高范数，即ρ∩ {X∈ L∞: X<0}=, 和inf{m∈ R:m∈ Aρ}>-∞.（iv）如果由具有凸性的风险测度组成的ρIis和f在具有单调性的空气中具有相同的性质，则ρ是一个凸集。（v） 如果由正齐次风险测度组成的ρIis和f具有相同的性质，则ρ是一个锥。（vi）如果ρIis由变律风险测度组成，则ρ在x意义下是不变律∈ Aρ和X~ Y表示Y∈ Aρ。（vii）如果ρIis由共单调风险度量和全加性组成，则ρ对于随机变量的共单调对之和是稳定的。（viii）如果第（i）、（ii）和（iv）项中的条件已满，则ρIis由Fatou连续风险度量组成，f具有Fatou连续性和单调性，则ρ是弱*闭合的。证据通过注意到它们是OREMS2.3和2.4以及命题3.5的含义，可以直接获得这些主张。推论5.2。设ρI={ρI:L∞→ R、 我∈ 一} 是风险度量的集合，f:X→ R、 和ρ：L∞→ 风险度量定义为ρ（X）=f（ρI（X））。

然后：（i）如果由具有凸性的风险测度和f组成的ρIis具有单调性和拟凸性，则Aρ是一个凸集。（ii）如果ρIis由具有单调性和现金次加性的风险测度组成，且f具有单调性和平移不变性，则（ρ（X）≥ inf{m∈ R：X+m∈ Aρ}，如果ρ（X）≤ 0，ρ（X）≤ inf{m∈ R：X+m∈ Aρ}，如果ρ（X）≥ 0。（iii）如果ρIis由具有相关性的风险度量组成，且f具有严格的单调性，则aρ∩ {X∈ L∞-: P（X<0）>0}=.（iv）如果ρIis由具有盈余不变性的风险测度组成，且f与f具有单调性≥ fW C，然后是X∈ Aρ和Y-≤ 十、-暗示Y∈ Aρ， 十、 Y型∈ L∞.证据第（i）、（iii）和（iv）项是定理2.3和命题3.7的直接结果。对于第（ii）项，命题3.7暗示ρ具有现金次加性。注意，它可以重新表述为ρ（X- C）≤ ρ（X）+C， C∈ R+， 十、∈ L∞或m→ ρ（X+m）+m be n on-对于任意X，R+递减∈ L∞. 对于单调性，命题2.1 inCerreia Vioglio et al.（2011）确保ρ是Lipschitz连续的。修复X∈ L∞. 如果ρ（X）≤ 0，则ρ（X+ρ（X））=ρ（X- (-ρ（X）））≤ρ（X）-ρ（X）=0。因此，X+ρ（X）∈ Aρ和ρ（X）≥ 以f{m为单位∈ R：X+m∈ Aρ}。如果ρ（X）≥ 0，letk=inf{m∈ R：X+m∈ Aρ}。因此，k≥ 0.对于任何m∈ R带X+m∈ Aρ，我们得到ρ（X+k）+k≤ ρ（X+m）+m≤ m、 那么，ρ（X+k）+k是真的≤ 以f{m为单位∈ R： X+m∈ Aρ}=k。因此，ρ（X+k）≤ 0。因此，k≥ ρ（X+k）+k≥ ρ（X）。对于特殊情况，可以明确表示接受集的特征。示例5.3。我们得到以下关于Af（ρI）的例子：（I）对于f（R）=supi∈IR（i）我们得到f（ρi）=ρW C。在这种情况下，我们得到ρW C={X∈ L∞: ρi（X）≤ 0 我∈ 一} =\\I∈IAρi.（ii）对于f（R）=RIRdu，我们得到f（ρi）=ρu。

我们得到ρu=（X∈ L∞:Z{ρi（X）≤0}ρi（X）du≤ -Z{ρi（X）>0}ρi（X）du）。注意，根据假设2.8，两个{ρi（X）≤ 对于anyX，0}和{ρi（X）>0}在G中∈ L∞.（iii）通过选择ρi（X）=V aRi（X）和u，我们得到任何光谱（失真）风险度量ρφ（X）=RV aRα（X）φ（α）dα是ρu的特例<< λ，φ（i）=F-1dudλ（1-i） 。因为两个α→ V aRα和α→ φ（α）不增加，我们可以选择αX∈ [0，1]依赖于x∈ L∞使得V aRα（X）φ（α）≥ 0表示任何α<αX和V aRα（X）φ（α）≤ 0表示任何α>αX。在这种情况下，我们得到ρφ=十、∈ L∞:ZαXV aRαφ（α）dα≤ -ZαXV aRαφ（α）dα.从例子2.5、命题3.5和推论5.1中VaR的性质来看，该集是范数闭的、单调的、律不变的、锥的，对于共单调对的加法是稳定的。如果φ处的th也不增加，则接受集是凸的，弱*闭的。尽管如此，从组合产生的复杂性来看，ρIis的直接一般表征并不那么容易。在下一小节中，我们提供了凸风险测度的一般特征。5.2一般结果我们现在探索第4节中凸风险度量情况下f（ρI）的可接受集的更具信息性的特征。在这种情况下，下一个定理探讨了ρu在这种框架中的作用。定理5.4。设ρI={ρI:L∞→ R、 我∈ 一} 是Fatou连续凸风险测度的集合，f:X→ R具有单调性、平移不变性、凸性和法图连续性，ρ：L∞→ 定义为ρ（X）=f（ρI（X））。然后：（i）ρ的接受集由ρ=\\u给出∈V{Aρu- γf（u）}。（5.1）（ii）如果除了初始假设外，完全符合正同质性，则ρ的接受集由ρ=\\u给出∈VfAρu。（5.2）证明。

（i） 我们记得，任何Fatou连续凸风险测度ρ的可接受集都可以通过其惩罚项asAρ=（X∈ L∞: supQ公司∈Q均衡器[-X]- αmin（Q）≤ 0)=十、∈ L∞: 均衡器[-X]≤ αmin（Q） Q∈ Q.注意，这相当于aρ={X∈ L∞: 均衡器[-X]≤ α（Q） Q∈ Q} 对于任何表示ρ的惩罚项αρ，不一定是最小的。因此，从定理4.11我们得到ρ=十、∈ L∞: 均衡器[-X]≤ infu∈V{αρu（Q）+γf（u）} Q∈ Q= {X∈ L∞: 均衡器[-X]≤ αρu（Q）+γf（u）u ∈ 五、 Q∈ Q} =\\u∈V{X∈ L∞: 均衡器[-X]≤ αρu（Q）+γf（u） Q∈ Q} =\\u∈V{X∈ L∞: ρu（X）≤ γf（u）}=\\u∈V{Aρu- γf（u）}。（ii）这是直接从（i）中获得的，因为从引理4.1中，在这种情况下，我们有γf（u）=0，如果u∈ Vf和γf（u）=∞ 否则因此，我们得到ρ=\\u∈V{Aρu- γf（u）}=\\u∈Vf{Aρu- γf（u）}=\\u∈VfAρu。备注5.5。很明显，ρu在第4节的双重表示中扮演的关键角色也出现在接受集中。一种财务解释是，为了使位置X可接受组合f（ρI），它必须可接受所有可能的加权方案u，并通过γf表示的校正进行调整。如果不进行此类调整，该集将限制性太大。事实上，对于具有正同质性的f，我们可以减少对权重方案的限制，而不是Vf。备注5.6。最后一个定理中的结果与定理4.11中的四种情况一致。更准确地说，如果ρIis由一致的风险度量组成，那么ρ=十、∈ L∞: 均衡器[-X]≤ infu∈V{αρu（Q）+γf（u）} Q∈ ∪u∈Vcl（Qρu）.与一般凸面情况下的类似扣除导致ρ=Tu∈V{Aρu- γf（u）}。Fur thermore，当ρIis组成一致风险度量且f具有正同质性时，我们得到ρ=十、∈ L∞: 均衡器[-X]≤ 0 Q∈ clconv公司(∪u∈Vfcl（Qρu））=十、∈ L∞: 均衡器[-X]≤ 0 Q∈ ∪u∈Vfcl（Qρu）=\\u∈Vf{X∈ L∞: 均衡器[-X]≤ 0 Q∈ cl（Qρu）}=\\u∈Vf{X∈ L∞: ρu（X）≤ 0} =\\u∈VfAρu。备注5.7。

作为最后一个定理的例子，值得探讨ρu和ρW C的特殊情况。对于ρu，请注意，f（R）=RIRdu会导致γ值为0 inu，并且∞ 发票\\{u}。因此，Vf={u}，我们确实有ρu=Tν∈VfAρν=Aρu。当cerning为ρW C时，f（R）=sup R导致γf=0。因此，我们必须得到ρW C=Ti∈IAρi=Tu∈VAρu。实际上，ρW C（X）很简单≤ 0如果且仅当ifRIρi（X）du≤ 0表示任何u∈ 五、 这证实了这一说法。6基于概率的风险度量6.1准备工作从现在起，我们将致力于∞= L∞(Ohm, F） 有界随机变量的点空间(Ohm, F） 将前几节中的P-a.s.概念替换为逐点对应的概念。请注意，L∞ L∞（Q） ，则， Q∈ P、 我们表示F={FX，Q:X∈ L∞, Q∈ P} 。在这一节中，不确定性与概率联系在一起 P、 我们认为∞（Q） ，Q∈ 一、 是无原子的。I的极端选择是单个或整个P。其他可能的选择是围绕基于距离、度量、差异或关系的参考概率度量的封闭球，例如inShapiro（2017）。我们追求这些细节并不是为了以更普遍的方式实施我们的方法。我们在直观的想法下定义风险度量，即我们从表示场景的不同概率中获得相同的函数。这些可能有不同的解释，如模型、经济状况、异质信念等。定义6.1。基于概率的风险度量是一系列风险度量ρI={ρQ:L∞→ R、 Q∈ 一} ρQ（X）=Rρ（FX，Q），十、∈ L∞, Q∈ 一、 式中Rρ：F→ R被称为磁盘功能。备注6.2。苏奇风险函数法的灵感来自于康特等人（2010）的两步风险度量。这一定义意味着每个ρQ都具有Q定律不变性，或者基于Q，如果FX，Q=FY，Q，那么ρQ（X）=ρQ（Y），十、 Y型∈ L∞.

事实上，我们有很强的交叉定律不变性，如果FX，Q=FY，Q，那么ρQ（X）=ρQ（Y）， 十、 Y型∈ L∞, Q、 Q∈ 一、 如果X∈ AρQand FX，Q=FY，Q，然后Y∈ AρQ.有关交叉定律不变性的更多详细信息，请参见Laeven和Stadje（2013）。示例6.3。在示例2.5所示的所有情况下，都尊重交叉定律不变性。我们确实有：（i）预期损失（EL）：ELQ（X）=REL（FX，Q）=-等式[X]=-射频-1X，Q（s）ds。（ii）风险价值（VaR）：V aRQα（X）=RV aRα（FX，Q）=-F-1X，Q（α），α∈ [0, 1].（iii）预期短缺（ES）：ESQα（X）=RESα（FX，Q）=αRαV ARQ（X）ds，α∈ （0，1）andESQ（X）=RES（FX，Q）=V aRQ（X）=- ess infQX。（iv）最大损失（ML）：MLQ（X）=RML（FX，Q）=-ess infQX=-F-1X，Q（0）。我们可以考虑由基于Q的风险度量ρqq组成的风险度量，而不需要公共链接Rρ。然而，我们将非常接近前面章节的标准组合理论，但没有建模直觉。然后，我们对风险度量进行了检验，该风险度量考虑了整个集合I，因为它们是基于概率的风险度量的组合，ρ（X）=f（ρI（X）），其中f:X→ R是一个组合函数。如果FX，Q=FY，Q， Q∈ 一、 然后ρ（X）=f（ρI（X））=f（ρI（Y））=ρ（Y）。这种风险度量在Wang和Z iegel（2018）中被称为基于DI的功能性度量。备注6.4。将Qu定义为Qu（A）=RIQ（A）du， A.∈ F、 u∈ 五、 我们不必有那个Qu∈ 一、 然而，假设4.4确保了当每个ρQis为凸时，积分得到了很好的定义。在这一框架下，我们试图在e h上写出ρQu（X）=ρu（X）。然而，通常情况并非如此。根据Aciaio和Svindland（2013）的命题5，我们得到了定义I，当每个ρQis都是凸的时，Rρ在F中是凹的，即ρQu（X）≥ ρu（X）。当且仅当ρQ（X）=ELQ（X）时，存在质量。

这种结果是mapQ线性的结果→ 等式[X]， 十、∈ L∞以及Aciaio和Svindland（2013）的推论2，该推论声称EL是F.6.2表示中唯一的凸的法律不变凸风险度量。对于基于概率的风险度量的组合，不可能获得像定理2.7中那样的表示，因为这些风险度量不是由单一概率度量确定的。然而，尽管如此，仍有可能修改此类表述。为此，我们需要一个关于可测性问题的引理。引理6.5。设ρI={ρQ:L∞→ R、 Q∈ 一} 是由凸风险度量组成的基于概率的风险度量。那么下列映射是G-可测的：（i）Q→ V aRQα（X）， 十、∈ L∞,  α ∈ [0, 1].（二）Q→ ESQα（X）， 十、∈ L∞,  α ∈ [0, 1].（三）Q→R（0,1]ESQα（X）dmQ， 十、∈ L∞,  α ∈ [0，1]和对于任何{mQ∈ M： Q∈ 一} 。证据（i） 根据假设4.4，我们得到Q→ FX，Q（x）=Q（x≤ x） G-可测量 十、∈ L∞,  x个∈ R、 然后我们有一个固定对（X，α）∈ L∞×[0，1]对于任何k∈ RnQ公司∈ I:V aRQα（X）≥ ko=nQ∈ I：F-1X，Q（α）≤ -ko={Q∈ I：FX，Q(-k）≥ α} ∈ G、 因此，映射Q→ V aRQα（X）对于任何X都是G-可测的∈ L∞和任何α∈ [0, 1].（ii）我们有固定对（X，α）∈ L∞×[0，1]esqα（X）=αZαV aRQs（X）ds=supYQ~XEQα[-Y]，其中F-1dQαdQ，Q（1- s） =秒≤αα,  s∈ [0, 1].值得注意的是，Qα是相对于Q绝对连续的概率测度。根据假设4.4，我们得到Q→ 等式α[-Y]对任何q都是G-可测的~ 十、 通过重复引理4.15第（i）项中的推导，我们得出以下结论：→ ESQα（X）对于任何X都是G-可测的∈ L∞和任何α∈ [0, 1].（iii）按照第（ii）项中的类似步骤，fix一对（x，α）∈ L∞×[0，1]和{mQ∈ M： Q∈一} 。

我们为每个Q∈ I thatZ（0,1）ESQα（X）dmQ=supYQ~XEQ′型[-Y]，其中F-1dQ′dQ，Q（1- s） =Z（s，1）vdmQ（v）， s∈ [0, 1].通过将第（ii）项中的参数（这是第（iii）项的特例）替换为Q′，而不是Qα，我们可以证明→R（0,1）ESQα（X）dmQare G-可测任意X∈ L∞, 任意α∈ [0，1]和对于任何{mQ∈ M： Q∈ 一} 。在下面的命题中，我们建立了ρu和ESuα，oreven VuaRα之间的直接表示。这一事实将ρu与光谱风险度量联系起来。提案6.6。设ρI={ρQ:L∞→ R、 Q∈ 一} 是基于概率的风险度量，由凸风险度量和ρu：L组成∞→ 定义见（2.7）。那么：（i）ρu可以表示为：ρu（X）=supm∈M（Z（0,1）ESuα（X）dm- βρu（m））， 十、∈ L∞, （6.1）βρu：M→ R+∪ {∞} 定义见（4.9）。（ii）如果除ρQful fills外，每Q∈ 一、 正同质性，则表示为ρu（X）=supm∈cl（Mρu）Z（0,1）ESuα（X）dm， 十、∈ L∞, （6.2）其中Mρu的定义如（4.10）所示。（iii）如果ρQalso为，则对于每个Q∈ 一、 则表示为ρu（X）=Z（0,1）ESuα（X）dm， 十、∈ L∞, （6.3）其中m∈ cl（Mρu）。证据自L起∞ L∞（Q） ，则， Q∈ 一、 我们可以将每个ρqc视为L上泛函的限制∞（Q） 。因此，根据定理2.6和2.7，ρqc可以表示为概率m上ESQα的组合∈ M、 证明遵循定理4.7的类似步骤，注意到ZIZ（0,1]ESQα（X）dmQdu=ZIZ（0,1]ZIESQα（X）dudmQdu=Z（0,1]ESuα（X）dm，其中M=RImQdu∈ M、 备注6.7。第（iii）项中的表示具有类似于ρu（X）=ZV aRuα（X）φ（α）dα的光谱，其中φ如示例2.12所示。这是通过定义ESuα直接获得的。备注6.8。ρu的情况是一种特殊情况，而不是一条规则。例如，自ρW C（X）以来，ρW CI的此链接受阻≤ 卸荷点法∈M（Z（0,1）ESW Cα（X）dm- βρW C（m）），其中βρW C（m）=infQ∈IβminρQ（m）。

事实上，命题3.3和3.5表明，由于（2.6）中的上确界一般无法达到，所以ρW顺子可加性对于共单调随机变量。在基于概率的风险度量框架下，在集合I上的某些条件下，如紧密性，Bartl et al.（2019）提供了达到最高值的情况。此外，Wang和Ziegel（2018）的定理1表明，在I为有限基数的情况下，V aRW Cα具有共单调可加性。在Wang和Z iegel（2018）的定理3和4中，当I为有限集时，共单调和相干情况下基于I的风险度量的表示是公开的，并限制了p概率Q的假设∈ 一、 在下一个推论中，我们展示了一个适用于凸情况和一般I的表示，尽管仅限于由组合生成的表示。推论6.9。设ρI={ρQ:L∞→ R、 Q∈ 一} 是基于概率的风险度量，由凸风险度量组成，f:X→ R具有单调性、平移不变性、凸性和Fatou连续性，ρ：L∞→ 定义为ρ（X）=f（ρI（X））。

那么：（i）ρ可以表示为ρ（X）=supu∈五、 m级∈M（Z（0,1）ESuα（X）dm- βρ（m））， 十、∈ L∞, （6.4）式中，βρ如（4.13）所示。（ii）如果除初始假设外，f具有正同质性，则惩罚率变为βρ（m）=infu∈Vfβρu（m），其中Vfis如Re mark4.2所示。（iii）如果除了初始假设ρiPosses之外，对于任何∈ 一、 正均一性，则βρ（m）=∞,  m级∈ M \\∪u∈Vcl（Mρu）。（iv）如果除了初始假设外，我们还有（ii）和（iii）中的情况，则ρ的表示形式变为ρ（X）=supu∈Vf，m∈MVfρZ（0,1）ESuα（X）dm， 十、∈ L∞, （6.5）式中，MVfρ为（4.14）。（v） 如果i n除了初始假设ρiposs，f或任何i∈ 一、 共单调可加性，则βρ（m）=∞,  m级∈ M \\∪u∈V{mucc}，其中mucc=arg maxm∈cl（Mρu）Z（0,1）ESuα（X）dm， u ∈ 五、 （vi）如果除了（ii）和（V）的初始假设之外，ρ的表示变成ρ（X）=supu∈Vf，m∈MVfρ，ccZ（0,1）ESuα（X）dm， 十、∈ L∞, （6.6）其中MVfρ，cci是∪u∈Vf{mucc}。证据这些主张直接来自定理4.11、推论4.18和命题6.6.6.3随机顺序。考虑适合决策的风险度量是合理的。这通常是在随机序的单调性下解决的，例如Seebauerle和Muller（2006）。然而，在概率度量选择存在不确定性的情况下，必须进行调整。定义6.10。

我们考虑以下X、Y订单∈ L∞:（i） X个1，QY（基于Q的一阶随机优势）当且仅当F-1X，Q（α）≥ F-1Y，Q（α），α ∈[0, 1].（二）X2，QY（基于Q的二阶随机优势）当且仅当ifRαF-1X，Q（s）ds≥RαF-1Y，Q（s）ds， α ∈ [0, 1].（三）X1，IY（基于I的一阶随机优势）当且仅当F-1X，Q（α）≥ F-1Y，Q（α），α ∈[0, 1],  Q∈ 一、 （四）X2，IY（基于I的二阶随机优势）当且仅当ifRαF-1X，Q（s）ds≥RαF-1Y，Q（s）ds， α ∈ [0, 1],  Q∈ 一、 A风险度量ρ：L∞→ 如果X Y表示ρ（X）≤ ρ（Y）， 十、 Y型∈ L∞.备注6.11。当然，如果ρq方面1，Qor2、Qfor any Q∈ I和f是单调的，那么ρ=f（ρI）表示1，Ior分别为2、I。当I={P}且风险度量是L上的函数时∞(Ohm, F、 在标准情况下，出现了一些众所周知的结果：关于1，P；任意P-律不变凸风险测度方面2，P.更多详细信息，请参阅引言中引用的参考书。正如我们在下一个建议中所示，在一般I下，Remark6.11中的事实并不总是正确的。这些结果突出了这样一种讨论，即考虑到一个对概率测度选择稳健的框架可能会导致基于风险测度的决策出现悖论。尽管如此，当考虑由基于概率的风险度量的适当组合产生的风险度量时，这种情况是可以避免的。为此，我们需要以下辅助定义。定义6.12。A风险度量ρ：L∞→ 如果ρ（X）=supu，则R具有（ES，I）表示∈五、 m级∈M（Z（0,1）ESuα（X）dm- β（m））， 十、∈ L∞,式中β：M→ R+∪ {∞} 是一种惩罚条款。备注6.13。很容易注意到，这类泛函都是基于I的Fatoucontinuous凸风险测度。

从命题6.6和推论6.9中，我们发现这是由基于概率的风险度量与适当组合f组成的风险度量的情况。基于I的有限和相互单一I的一致性风险度量也是如此，如Wang和Ziegel（2018）的Theorem 4。提案6.14。设ρ：L∞→ R是一种风险度量。那么：（i）如果ρ1，I，那么ρ是基于I且单调的。反之，当I=P.（ii）时，如果ρ有（ES，I）表示（因此它是基于I的Fatou连续凸风险度量），则它会2，I.在ρmonetary和comonotone对的凸的附加假设下，反之成立，加上I是单态。证据（i） 设FX，Q=FY，Q Q∈ I表示任意X，Y∈ L∞. 然后通过hypothesis，我们得到ρ（X）=ρ（Y）。让X≥ Y然后是X1，IY，因此ρ（X）≤ ρ（Y）。相反，请注意，当I=P时，ρ始终是基于I的，因为FX，Q=FY，qf对于任何Q∈ Pimplies X=Y。让X1，IY。然后是X≥ Y，因此单调性意味着ρ（X）≤ ρ（Y）。（ii）让X2，IY。因此ESQα（X）≤ ESQα（Y）， α ∈ [0, 1],  Q∈ 一、 从积分的单调性和s上remum，以及罚项的非负性，我们得到ρ（X）≤ ρ（Y），对于具有（ES，I）r表示的任何ρ。关于相反的主张，这是文献中众所周知的结果，因为我们有单例I的标准案例，例如见命题5.1 inF–ollmer和Knispel（2013）。备注6.15。在（i）中，陈述conver se主张的困难在于1，IY并不意味着X≥ 明智的Y点。即使我们假设有一个参考测度P，我们也会研究L∞(Ohm, F、 P）在P几乎可以肯定的意义下，我们能得到的最好结果是用q取代P P、 由于并非每个基于I的凸风险度量都具有（ES，I）表示，因此不可能像在标准情况下那样，仅通过假设凸性来获得（ii）中的结果。

（ii）中的相反陈述需要加以限制，因为任何一方都不可能存在，Y∈ L∞, 一对单子ZX，ZY∈ L∞对于任何Q∈ 我们有FX，Q=FZX，Qand，FY，Q=FZY，Q，当我是一个单体时，这对于证明是必不可少的。6.4可引出性和最坏情况风险度量最近强调的统计特性是可引出性，它可以比较风险预测中的竞争模型。更多详情请参见Ziegel（2016）及其参考文献。在本小节中，我们将其改编为我们的框架。定义6.16。A地图S:R→ 如果R+具有以下性质，则称其为评分函数：（i）S（x，y）=0，当且仅当x=y；（ii）y→ 对于任何x，对于y>x，S（x，y）不递减，对于y<x，S（x，y）不递增∈ R（iii）S（x，y）在y中是连续的，对于任何x∈ R、 基于概率的风险度量ρI={ρQ:L∞→ R、 Q∈ 一} 如果存在scoringfunction S:R，则可导出→ R+使得ρQ（X）=- arg miny∈需求【S（X，y）】， 十、∈ L∞,  Q∈ 一、 （6.7）备注6.17。可引出性可能会受到限制，因为根据手头所需的财务属性，我们可能只会给出一个满足要求的风险函数示例，见Bellini和Bignozzi（2015）的定理4.9和Kou和Peng（2016）的定理1。例如，EL和VaR可在分数（x）下得出- y） 和α（x- y） ++（1-α） （十）- y）-, 而ES和ML则不是。在我们的框架中，当Q=Q′， Q∈ 一、 并且f具有平移不变性。很容易观察到ρ=f（ρI）继承了ρIsince RXis为常数的可导性f。然而，我们可以表示一个n上可引出的风险度量，在这种情况下，它是lqa的最坏情况组合（fW C），并且对于任何X都可以获得I上的上确界∈ L∞. 从其对偶表示的性质来看，这对于相干风险度量非常有用。提案6.18。

设ρI={ρQ:L∞→ R、 Q∈ 一} 是基于概率的风险度量，在评分函数S:R下可得出→ R+和ρW C:L∞→ 如（2.6）所定义，使得在Qxf中，每个X都能达到I中的最高值∈ L∞. 那么我们得到ρW C（X）=- arg miny∈需求X【S（X，y）】， 十、∈ L∞. （6.8）证明。对于任何X∈ L∞我们得到ρW C（X）=ρQX（X）=- arg miny∈需求X【S（X，y）】。备注6.19。例如，设I=QESPα，ρQ=ELQ，： Q∈ 一、 我们得到ρW C（X）=ESPα（X）=- arg miny∈需求X（十）- y）,其中QX=arg max{EQ[-十] ：Q∈ QESPα}，我们现在知道它有相对密度dqxdp=αX≤F-1X，P（α）。正如Inarbi和Szekely（2017）所述，可以为后测性和可识别性的概念开发类似推理，但我们在本文中不进行研究。7模型不确定性7.1初步在本节中，我们使用我们开发的框架来量化风险不确定性。我们这里的方法侧重于风险度量过程的可变性，而不是某些特定模型的准确性。SeeMller和Righi（2020）最近在此类文献中的讨论。我们现在将此类量化定义为ρI定义7.1上的函数。设ρI={ρQ:L∞→ R、 Q∈ 一} 是基于概率的风险度量，f:X∩ K∞→ R+。那么模型不确定性度量是一个函数M:L∞→ R+定义的asM（X）=f（ρI（X））。（7.1）备注7.2。很容易看出，在这种情况下，组合可以为f=f- f、 其中f，f:X∩ K∞→ R和f≥ f、 然后我们得到M（X）=f（ρI（X））- f（ρI（X））。为了简单起见，为了具有良好的一致性，我们将组合域限制为K∞. 可以对整个X进行调整。示例7.3。修复m∈ 五、 我们有以下模型不确定性度量的例子：（i）一个非常激进的例子是与范围相关的最坏情况，例如，inCont（2006）探索，其中我们有f（R）=supi∈IR（i）和d f（R）=单位：fi∈IR（i）。

在这种情况下，我们得到f=fW C- fBCandMW C（X）=supi∈IρI（X）- infi公司∈IρI（X）=ρW C（X）- ρBC（X），（7.2），其中BC代表最佳情况。（ii）最坏情况方法的变体是f=fW Cand f=fu对的一半，如Kerkhof et al.（2010）所述，或f=fu和f=fBC，如Breuer和Csisz\'ar（2016）所述。因此，我们得到了上限和下限模型不确定性度量asMUR（X）=supi∈IρI（X）-ZIρi（X）du=ρW C（X）- ρu（X），（7.3）MLR（X）=ZIρi（X）du- infi公司∈IρI（X）=ρu（X）- ρBC（X）。（7.4）（iii）文献中有大量关于前面示例中组合f的标准化。参见Barrieu和Scandolo（2015年）、Bernard和Vandu Offel（2015年）以及Danielsson等人（2016年），了解我们在此介绍的示例。在这种情况下，我们可以得到f asfW C的配方- fufW C- fBC，fu- fBCfW C- fBC、fW C- fufW C，fu- fBCfW C，fW C- fufBC，fu- fBCfBC、fW C- fufu，fu- fBCfu。（iv）常用p-规范，p∈ [1, ∞], 也可以考虑inMller和Righi（2020），以及他们的半负和半正对应项。在这种情况下，我们有fp（R）=RI | R- fu（R）| pdu将半副本扩展为fp-（R）=RI |（R- fu（R））-|pdupand fp+（右）=RI |（R- fu（R））+| pdup、 请注意，由于我们经营的是X，所以它们都很明确∩ K∞. 因此，我们得到了模型的不确定性度量sp（X）=ZI |ρI（X）- ρu（X）| pdup、 （7.5）Mp-（十）=ZI公司（ρI（X）- ρu（X））-pdup、 （7.6）Mp+（X）=ZI公司（ρI（X）- ρu（X））-pdup、 （7.7）备注7.4。请注意，在所有此类示例中，如果I是单态，则M=0，这反映了BSENCE模型的不确定性。此外，当Igets越大时，M（X）的值越大也是可取的。在最后一个示例中，第（i）、（ii）和（iii）项中的所有泛函都会出现这种情况。备注7.5。在前面的示例中，ρu对ben chmark起作用。在文献中，通常有一个支配度量或参考度量Q∈ 一、 在这种情况下，我们用fq（R）=R（Q）代替fu，因此用ρQin代替ρu。

这避免了选择特定u的不确定性∈ 五、 然而，另一方面，我们必须假设存在参考Q。备注7.6。直观地说，f起着色散的作用。事实上，这一概念与Rockafellar等人（2006）提出的偏差度量的通知有关。更多详情，请参见Grechuk等人（2009）、Rockafellar和Uryasev（2013）。与我们已经研究的风险度量相关，需要添加的关键特性是翻译不敏感，即M（X+C）=M（X）， C∈ R 十、∈ L∞.备注7.7。由M继承ρi和f的属性与第3节中所述的类似。此外，如果ρI={ρQ:L∞→ R、 Q∈ 一} 由具有翻译不变性和完全翻译不敏感性的风险度量组成。然后M:L∞→ R+还具有翻译插入性。直截了当的是，当nf=f时，翻译不敏感- F和F都具有平移不变性。此外，如果f是凸的且f是凹的，则f=f- fconvex。此外，由于f≥ 0，则没有与研究常规验收集相关的内容。7.2拟议方法我们现在通过提出一类新的模型不确定性度量，为量化提供了一些概括。我们在这里的目标是引入这样的概念，为将来的研究留下数值或实证分析。定义7.8。让u:X∩ K∞→ R如例2.13的（2.9）所示。也让g:R→ R+someBorel函数。我们假设u和g都被归一化为u（0）=g（0）=0。然后我们定义fu，g（R）=u（g（R- fu（R）））。在这种情况下，我们得到了模型不确定性度量u，g（X）=u（g（ρI（X）- ρu（X）））。（7.8）备注7.9。通过改变u和g，我们确定了整个类。请注意，示例7.3中的大多数度量值都位于此类中。

Jokhadze和Schmidt（2020）研究了u为体风险测度且g（x）=x的特殊情况。我们现在探讨拟议的Mu，g的一些性质。我们强调，我们的目的不是讨论这种度量必须满足哪一组性质，因为这是文献中的一个空白。然后，我们精确地关注那些描述偏差和分散的特征。在下面的内容中，我们定义了一个概率u∈ 五、 提案7.10。让fu，g:X∩ K∞→ R如定义7.8所示。然后我们有：（i）fu，gful fills翻译不敏感。（ii）如果对于非常数R和g凸，u（R）>fu（R），则fu，ghas非负性，即对于任何常数R，fu，g（R）=0∈ 十、∩ K∞对于任何非常数R，fu，g（R）>0∈十、∩ K∞.（iii）如果u和g都满足凸性、正齐性和可加性之间的任何性质，那么fu，g.（iv）如果g（x）≤ |x |， x个∈ R、 然后fu，gful填充上限D优势，即fu，g（R）≤ 辅助R-任何R的RIRdu∈ 十、∩ K∞.（v） 如果g是连续的，u是勒贝格连续的，那么fu，gful将填充勒贝格连续性。证据（i） 对于任何C∈ 我们有（R+C）-RI（R+C）du=R-RIRdu适用于任何∈ 十、∩ K∞.（ii）fu，g（C）=0， C∈ R是第（i）项的结果。让R∈ 十、∩K∞保持非常数。塞努gR-ZIRdu>ZIg公司R-ZIRdudu≥ gZI公司R-ZIRdudu= 第二步是由于Jensen不等式。（iii）由于u是m on otone和凸的，它与任何凸函数的组合也是凸的。对于正同质性和加性，结果是明显的。（iv）由于u是货币效用，我们对任何R∈ 十、∩ K∞thatu公司gR-ZIRdu≤ uR-ZIRdu≤ u辅助R-ZIRdu= 辅助R-ZIRdu。（v） L et{Rn} 十、∩ K∞有界并使limn→∞Rn=R∈ 十、∩ K∞. Thenfu，g（R）=ug画→∞（注册护士- fu（Rn））= u画→∞g（Rn- fu（Rn））= 画→∞fu，g（Rn）。我们在第一次平等中主导了趋同。

其他的则分别遵循g的连续性和u的Lebesgue连续性。备注7.11。这些性质表征了fu，gas在X上的偏差度量∩ K∞. 这加强了我们正在寻找“估计值”{ρQ（X）=Rρ（FX，Q），Q之间的可变性或离散度的解释∈ 一} 对于给定的X∈ L∞. 当然，这种推理可以外推到风险度量之外的其他概率功能主义者。从fu的性质出发，gwe直接推导出Mu，g的性质。nest推论揭示了这些结果。推论7.12。设ρI={ρQ:L∞→ R、 Q∈ 一} 是基于概率的风险度量和MU，g:L∞→ R+定义见（7.8）。那么我们有如下结果：（i）如果我是单态，那么μ，g（X）=0， 十、∈ L∞.（ii）如果ρIis组成具有平移不变性的风险度量s，那么Mu，gpossessesTranslation insensitivity。（iii）如果ρIis由具有平移不变性的风险度量组成，对于非常数R，g凸和内射，u（R）>fu（R），则Mu，g（C）=0， C∈ 对于任何X，R和Mu，g（X）>0∈ L∞ρW C（X）- ρBC（X）>0。（iv）如果ρI、u和g的成员具有正同质性，那么Mu、g也具有正同质性。（v）如果ρIis组成为法律不变性风险度量，那么Mu、gposses具有法律不变性。（vi）如果ρIis作为共单调风险测度与g和u一起构成可加性，则具有共单调可加性。（vii）如果g（x）≤ |x |， x个∈ R、 然后Mu，g（X）≤ ρW C（X）- ρu（X）， 十、∈ L∞.（viii）如果ρIis由点态有界风险测度组成，该测度具有从上、下、Fatou或Lebesgue连续的任何性质，g是连续的，u是Lebesgue连续的，则也进行Mu，g证明。这些权利要求直接来自命题3.5、3.9和7.10。备注7.13。Mu，g（X）的值越大，因为对于合适的g和u选择，I越大。

第（ii）项中的正确性与偏差度量的非负性密切相关，但通常它必须对任何非常数X有效。这里的区别是，即使是非常数X也可以有一个常数ρI（X）。在第（vi）项中，如果除此之外，ρIis还包括货币风险度量和ρI（X）≥ 均衡器[-十] 对于一些Q∈ P、 那么M是低范围支配的，即Mu，g（X）≤ 等式[X]- inf X， 十、∈ L∞. 这是因为在这种情况下，μ，g（X）≤ρW C（X）- ρu（X）≤ - inf X+等式[X]。这个属性对于偏差度量的双重表示起着关键作用。关于范数连续性，由于fu，gis不是单调的，我们没有Lipschitz连续性保持，如命题3.9的第（i）项。备注7.14。既然u，gis不是monotone，我们就不能再保证Mu，gis是凸的，即使u和g都有这个性质。因此，没有理由处理双重表示和其他凸相关概念。尽管如此，如果模型不确定性度量必须或不必须是凸（甚至准凸）泛函，还有很大的讨论空间。在这种情况下，财务状况如λX+（1- λ） 事实上，由于X，Y对的联合分布，Y比单个对应项表现出更多的模型不确定性。参考ACCIAIO，B.，斯文德兰，G.，2013年。分布上的法律不变风险函数是凹的吗？依赖建模1，54–64。Acerbi，C.，2002年。风险谱度量：主观风险厌恶的一致表示。《银行与金融杂志》第26期，第1505–1518页。Acerbi，C.，Szekely，B.，2017年。可回溯测试统计的一般属性。工作文件。Aliprantis，C.D.，英国边境，2006年。有限维分析。3 ed.，Sp ringer，柏林。Ang，M.，Sun，J.，Yao，Q.，2018年。关于一致风险度量的双重表示。运筹学年鉴26229–46。Artzner，P.、Delbaen，F.、Eber，J.、Heath，D.，1999年。

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