更多噪声如图3.5所示：^ETEUR→英镑和^ETGBP→EUR（每日收益率）在每日价格的离散化系列中，方程（3.17）中规定的有效转移熵显示为一至四天历史的区块长度。左图显示了估计的有效转移熵^ETEUR/USD→英镑/美元（百万美元）。在右图中，显示了由另一方向的有效转移熵（英镑/美元到欧元/美元）衡量的信息流。历史转移收益率l^Tnaive^Tu（^Tsh）±σ^ET雷亚尔英镑/美元欧元/美元【10】-3] [10-3] [10-3] [10-3] [%]1 4 40.774 26.176 15.18±3.973 10.996 2.291±0.8282 4 45.569 31.391 19.941±4.118 11.451 2.518±0.9063 4 54.445 39.991 32.488±5.116 7.504 1.666±1.1364 4 68.163 56.329 48.815±6.376 7.515 1.683±1.428表3.7：欧元/美元转移熵→ 英镑/美元从欧元/美元到英镑/美元的提款之间的信息流使用每日价格进行估计。这些是针对长达四天历史的区块长度计算的。用naiveestimator^Tnaive估计传递熵，并报道了Grassberger估计量^T。随着欧元/美元预测序列的反复调整，u（^Tsh）±σ报告了由于小样本效应导致的偏差。有效传递熵^ET和添加的相对解释（REA）在最后一栏中报告。当一增加m和l时引入。

当将ET估计值与上一节中报告的交互信息^I进行比较时，我们注意到信息增益的数量要低得多。为了理解转移熵带来的相对信息增益，我们遵循Marschinski和Kantz（2002），将该信息增益与历史转移熵l^T（bit）u（^Tsh）±σ（bit）ET（bit）REA[%]欧元/美元英镑/美元的熵相关联[10-3] [10-3] [10-3] 1 3 18.701 7.88±3.019 10.821 2.158±0.6021 4 27.073 14.992±3.972 12.081 2.409±0.7922 1 2.963 1.458±1.369 1.506 0.315±0.2872 2 13.611 5.721±2.527 7.891 1.649±0.5292 3 22.188 11.363±3.34 10.825 2.262±0.6982 4 29.685 19.356±4.277 10.329 2.159±0.894表3.8：转移熵英镑/美元→ 欧元/美元从英镑/美元到欧元/美元的取款之间的信息流使用每日回报进行估计。这些是针对长达四天历史的区块长度计算的。^T是转移熵的格拉斯伯格估计量。随着欧元/美元预测序列的反复调整，u（^Tsh）±σ报告了由于小样本效应导致的偏差。在最后一栏中报告了有效传递熵^ET和添加的相关解释（REA）。系列并产生以下REA（添加相对解释）测量值：REA（m，l）≡ETY→X（m，l）H（X | X-1.十、-（m） ）（3.18）=H（X | X-1.十、-m、 Y型-1.Y-l） H（X | X-1.十、-m）- 1此处，根据X的条件块熵，由传递熵测量的从Y到X的信息流与仅在X中测量的信息总流量相关。不同的是，当已经观察到X时，它通过观察X和Y的历史来衡量获得的额外信息。表3.7和3.8中的结果表明，从预测汇率中获得的信息量约为两种汇率的2.5%。

相比之下，Marschinskiand Kantz（2002）使用一分钟的刻度数据估计，使用DAX预测道琼斯工业指数的收益率仅为0.4%（三个SYMBOLDISCRETION）。最后，我们可以得出结论，从一个系列的给定DrawState中获得的最大信息是使用一天或两天的自身历史（m=1，2）和最多四天的预测值历史（l=4）。使用超过两天的较长历史记录可能包含更多信息，但也会引发更多噪音。现在，我们使用欧元/美元和英镑/美元的小时回报重复估算。m=1，…，估计的^ET，8和l=1。8列示于历史转移熵l^T（bit）u（Tsh）±σ（bit）^ET（bit）REAGBP/USD EUR/USD【10】-3] [10-3] [10-3] [%]4 8 66.219 35.427±1.253 30.792 6.849±0.2795 8 77.439 46.802±1.467 30.637 6.858±0.3296 8 88.898 58.035±1.612 30.863 6.963±0.3647 8 96.159 67.108±1.764 29.052 6.631±0.4038 7 88.994 63.064±1.672 25.931 6.015±0.3888 8 100.936 73.534±1.808 6 27.402 6.356±0.419表3.9：转移熵欧元/美元→ 英镑/美元（小时价格）从欧元/美元到英镑/美元的取款之间的信息流使用小时价格进行估计。这些是根据长达八小时的历史记录计算的区块长度。^T是转移熵的格拉斯伯格估计量。随着欧元/美元预测序列的反复调整，u（^Tsh）±σ报告了由于小样本效应导致的偏差。在最后一栏中报告了有效传递熵^ET和添加的相关解释（REA）。图3.6和3.7。^ET水平高于日收益水平。表3.9和表3.10总结了更重要结果的统计数据。图3.6：绘制从每小时欧元/美元到英镑/美元的信息流。方程式（3.17）中规定的有效传输熵显示了一到八小时历史的区块长度。

图中显示了估计的有效转移熵^ETEUR/USD→英镑/美元（百万美元）。考虑到四小时欧元/美元和八小时英国石油公司/美元的历史，每小时对的最大ET 0.0353位在英镑/美元的方向上达到，REA=7.828±0.25。因此，图3.7中显示了更多的信息流：从每小时英镑/美元到欧元/美元的信息流。方程式（3.17）中规定的有效传输熵显示了1到8小时历史的区块长度。图中显示了预计的有效转移熵（单位：英镑/美元）→欧元/美元（百万，升）。英镑/美元兑欧元/美元，而不是相反。从结果中可以清楚地看出，最大的信息增益是在l=8时，即使用预测变量过去历史的8小时。所需的自身历史量较少，且在^ET方面的差异较小。根据最大^ET，英镑/美元的最优m=6，欧元/美元的最优m=4。基于REA，与仅使用自己的过去历史相比，预测变量贡献了7%-8%的预测能力。考虑到欧元/美元对的重要性、其流动性和交易量，从英镑/美元到欧元/美元的信息流略高于其他方式的结果似乎有点令人兴奋。然而，我们应该注意到，对于日收益序列，每对历史数据块（m，l）的信息差异非常小，并且在一个标准误差σ（Tsh）范围内（见表3.7和3.8中的第五列）。

此外，考虑的提款量较大（各提款和提款分布的0.05、0.95分位数），因此它们属于收益/提款状态分布的一部分，其中两个系列之间的依赖性可能不同于分布主要部分的依赖性，因此，结果可能不需要匹配历史转移Entropym l^T（bit）u（^Tsh）±σ（bit）^ET（bit）REAEUR/USD GBP/USD[10-3] [10-3] [10-3] [%]4 8 69.081 33.756±1.18 35.326 7.828±0.255 8 79.416 44.428±1.358 34.988 7.782±0.2886 8 88.707 55.197±1.54 33.51 7.48±0.3277 8 97.141 64.83±1.677 32.311 7.279±0.3568 8 101.737 71.508±1.738 30.229 6.912±0.369表3.10：英镑/美元的转移熵→ 欧元/美元（小时价格）从英镑/美元到欧元/美元之间的信息流使用小时价格进行估计。这些是针对长达8小时的历史记录计算的块长度。^T是转移熵的格拉斯伯格估计量。随着预测序列英镑/美元的反复调整，u（^Tsh）±σ报告了由于小样本影响而产生的偏差。在最后一栏中报告了效应转移熵^ET和添加的相对解释（REA）。常见观察结果。欧姆兰（Omrane）和哈夫纳（Hafner）（2009）的影响分析表明，在很短的时间内（以小时为单位），美国公布的积极宏观经济新闻会使英镑/美元的波动性比欧元/美元的波动性更大。此外，在2007年的外汇市场危机期间，梅尔文·泰勒（Melvin and Taylor，2009）发现证据表明，所有主要货币对的现货交易买卖价差波动性都有所增加，英镑/美元对的增长幅度最大（平均买卖价差增加5000%）。我们发现，转移熵能够检测FX序列退出状态之间的信息流。每小时数据的信息流量是每日数据的三倍。

使用相对解释添加（REA），将获得的信息与区块历史的熵联系起来，我们能够证明这种信息获得是相当可观的，尤其是当将结果与文献中其他地方报告的结果进行比较时。3.6结论本章利用熵测度研究了欧元/美元和英镑/美元的提取和提取之间的依赖关系和溢出关系。对于每日序列，我们发现了最大抽奖数（即5%和95%分位数）之间存在相关性的证据，但在相同的相关性水平上，相关性不如correlatedGaussian序列预期的那么强。这些图纸的提前值或滞后值之间存在相关性。从小时数据中也获得了类似的结果，尽管小时数据的依赖性更强。接下来，我们使用传递熵来检验两种汇率的提取/提取之间的溢出和超前滞后信息流。这种信息流确实可以在每日和每小时的数据中检测到。每小时传输的信息量明显高于每日数据。估计传递熵测度需要大量的数据。考虑到每日序列中观测的数量有限，所考虑的超前滞后项被限制为四乘四（天）。对于每小时的数据，我们能够将分析扩展到八个小时。每日和每小时序列都显示了从欧元/美元到英镑/美元以及反向流动的信息。使用有效传递熵ET进行的鲁棒性测试表明，可测量的信息不是由噪声引起的。

通过使用将信息增益与过程熵联系起来的数量“相对解释添加”（REA），并将我们的结果与文献中记录的案例进行比较（见Marschinski和Kantz（2002），Dimp fl和Huergo（2011），Kwon和Yang（2008a）），我们的结论是，两种汇率之间存在着可测量的信息传递，这对预测和风险管理可能非常有用。许多问题仍然悬而未决，这些问题将在未来的分析中解决。目前，我们还没有数据生成过程的模型来理解两个时间序列之间的绘制状态依赖性有多强。计划的另一项即时改进是采用Horowitz（2003）的自举方法进行推断。其中一种解决方案是标准块引导。然而，正如Hiri（1999）所概述的，非重叠块引导、移动块引导或随机块长度引导等标准方法会产生有偏差的估计。Horowitz（2003）介绍了一种基于潜在马尔可夫过程转移概率的自举方法。在此过程中，根据计算的转移概率模拟Y，从而破坏Y和X之间的依赖关系，但保留序列Y的动态性。然后使用模拟的时间序列再次估计传递熵。在无信息流的零假设下，重复此过程可得出传递熵估计的分布。我们计划遵循的第三个扩展是，在计算转移熵时，使用尼伊熵而不是香农熵。

如Jizba、Kleinert和Shefat（2011）所示，TheRenyi熵很容易用于尾部事件的分析，并允许以更稳健的方式检查拖尾分布的不同部分。第4章FXVolatile区域之间的信息流摘要我们使用波动率的状态空间模型来研究下一个变化率之间的波动溢出。我们使用熵相关测度来研究两态空间序列的依赖关系是一种新颖的方法。使用1999-2012年新兴和发达经济体对美元的五日汇率。我们发现，在货币对中，欧元/美元和瑞士法郎/美元波动状态的共同运动显示出最强的观察关系。通过使用转移熵，我们发现了澳元、加元和BRL波动状态之间信息流动的证据。我们可以进一步衡量从欧元/美元到BP/美元的信息流，这表明存在因果波动溢出关系。4.1引言前一章重点讨论了大额提款和两种货币对提款之间的关系。动荡时期是本研究的主题，在大多数情况下，动荡时期是市场机制产生巨大吸引力的时期。利用hiddenMarkov模型识别波动周期，我们运用前一章中使用的信息论工具研究了汇率之间的波动传递。历史提供了许多金融危机的例子，以及金融市场的动荡如何在短时间内蔓延到各个市场。许多市场都发现了波动传递的证据。Edwards和Susmel（2000）使用转换GARCH模型（SWARCH）分析了一组拉丁美洲国家的每周股市数据。

SWARCH模型的单变量版本用于确定条件方差和高波动期ARCH模型中的断点。多元SWARCH用于发现各国间挥发性CO运动的证据。不同资产类别之间也存在波动溢出效应。Baba、Packer和Nagano（2008）发现，2007年下半年，货币市场的动荡蔓延至外汇掉期市场和跨货币基础掉期市场。此次抛售背后的机制是，当时，金融机构越来越多地利用外汇掉期市场来弥补美元资金短缺。恩格尔（Engle）、伊藤（Ito）和林（Lin）（1990）是最早关注外汇市场波动溢出的研究之一。利用日元和美元汇率，他们发现了跨市场日间波动溢出的证据。Hong（2001）研究了以美元计价的德国马克和日元，发现了德国马克对日元单向波动溢出的证据。另一方面，Baillie和Bollerslev（1989）没有发现1980-1985年间英国英镑、德国马克、瑞士法郎和日元的每日名义美元汇率之间波动溢出的重要证据。从方法论的角度来看，这些方法识别溢出、共同运动或相互依存的程度差异很大。Engle、Ito和Lin（1990）在向量自回归中采用了GARCH模型来检验条件变量是否受到其他市场平方创新（即新闻、信息）的影响。Cheung和Ng（1996）使用平方残差之间的互相关函数作为波动溢出的测试，平方残差由各自的条件方差估计量标准化。

Poon和Granger（2003）的实证研究表明，GARCH估计的波动率在大冲击后似乎过于持久。一般来说，标准的单州GARCH模型不能为不同州的波动率调整提供不同的速度。汉密尔顿（1989）提出了一个模型，在该模型中，政权的变化受马尔可夫隐状态过程的控制。它使波动率的不同调整速度更加灵活，不同国家的估计波动率的持续性与使用标准的单一国家GARCH估计的波动率非常不同。后来，Hamilton和Susmel（1994）采用了该模型，并引入了SWARCH模型，他们将该模型用于确定股票回报的波动性机制。SWARCH模型有一个马尔可夫调制的GARCH过程，其中条件方差依赖于状态。Engle、Ito和Lin（1990年）在他们的挥发度Pillover分析中使用了该模型。Bia lkowski和Serwa（2005）使用了一个二元马尔可夫切换过程，其中每个状态对应一个二元正态分布。他们发现了1997年亚洲金融危机期间日本和香港股市指数之间存在反馈溢出效应的证据（基于格兰杰因果关系检验）。波动性溢出是指一个市场的波动性变化与另一个市场的波动性变化相关的情况。当两个市场的波动性区域的变化是同时发生的，当两个市场在不同时期的变化是相关的时，它被称为协同运动，或相互依存。在文献中，溢出一词有时专门用于方差因果关系。在从分析中得出结论时，我们将强调我们所指的具体情况。在这项研究中，我们遵循Hamilton（1989）的观点，确定了一系列货币对美元汇率的波动机制。

我们使用平方货币回报率作为每日波动率的代理。定义了一个两状态隐马尔可夫模型，利用该模型我们对高波动和正常波动状态进行建模。按照第3章中的步骤，我们使用熵框架和互信息和传递熵来评估各种相互依赖假设。估计的状态过程是一个离散的马尔可夫过程，它有助于用信息论工具进行分析。我们在样本中发现了货币对之间各种波动率制度关系的证据。在欧洲货币（欧元/美元、英镑/美元、瑞士法郎/美元）中，存在着可衡量的波动机制协动关系。加元/美元和澳元/美元表现出波动性协动关系，并在较小程度上与时滞相互依赖。我们还发现了货币对波动状态之间信息流动的证据。最值得注意的是从欧元/美元到英镑/美元的信息流动，这表明存在因果波动溢出关系，这与Inagaki（2006）的研究结果一致，Inagaki报告了1999年至2004年间从欧元到英镑的单向波动溢出的证据。我们的工作还展示了相互信息和传递熵的概念在分析波动溢出关系时的有用性。4.2隐马尔可夫模型4.2.1基础隐马尔可夫模型（HMM）由随机过程{y，…，yn}组成，其中概率分布取决于有限状态空间I={1，…，N}的“隐”马尔可夫链{q，…，qn}的实现。{yt}的分布取决于状态qt，因此P（yt | qt）。

隐马尔可夫模型表示为θ={P（q），P（qt+1 | qt），P（yt | qt）}：oP（q）是初始状态概率aij公司≡ P（qt+1=i | qt=j）为1≤ i、 j≤ N是状态之间的转移概率P（yt | qt）是发射概率。对于排放概率分布的选择没有任何限制。在许多应用中，使用了正态分布、正态分布和泊松分布的混合（西葫芦和麦克唐纳（2009））。setFigure 4.1：一个隐马尔可夫模型，其中{qt}表示隐藏状态，{yt}排放量和箭头描述依赖关系。图4.1描述了一个隐马尔可夫模型的up。图中的每个节点表示一个随机变量的值。连接两个节点的线表示独立，没有连接线表示条件独立。时间t+1时的隐藏状态qt+1仅取决于前一状态中的qt，如等式（4.1）所示，时间t+1的发射仅取决于时间t+1的qt+1，如方程（4.2）所示：P（qt+1 | q，…qt，y，…yt）=P（qt+1 | qt）（4.1）P（yt+1 | q，…qt，y，…yt）=P（yt 1 | qt+1）（4.2）方程（4.1）意味着马尔可夫过程{q，…，qn}完全由初始状态概率P（q）和转移概率P（qt | qt | qt确定-1). 这些关系允许在估计HMM参数时使用各种条件独立关系。

有关图形模型中的条件独立关系和d-separationfeature的更一般性讨论，请参见Barber（2012）。4.2.2 HMM估计我们将在本节中解释估计HMM模型的两种主要方法。期望最大化算法（EM），也称为鲍姆韦尔奇算法，使我们能够在无法观察所有数据时找到HMMmodel参数的最大似然估计（Barber（2012））。还有维特比算法，根据观察结果推断隐藏状态的最可能状态序列。首先，我们注意到，根据上下文，有两种索引时间序列的方法。从时间tand开始到时间t结束，序列{yt}表示为dytt=yt，yt+1，年初至今。对于观测值由y表示的特定时间参考点，我们用y回顾-ny-1，y向前，y。yn。在给定时间序列{yT}1中的所有观测值的情况下，前向-后向算法用于计算特定时间内隐藏状态的条件概率（qt，yT）≤t型≤T、 正演算法涉及所有T的p（qt，yt）的联合概率∈ {1，…T}和状态空间I={1，…，N}。在backward算法中，计算所有t的条件概率P（yTt+1 | qt）∈ {1，…T}。假设发射概率P（yT | qt）、跃迁概率P（qt+1 | qt）和初始分布P（q）已知，同时使用向后和向前算法，可以计算条件概率P（qt | yT）。

这遵循方程式（4.1）和（4.2）中的独立关系，如下所示：P（qt | yT）∝ P（qt，yT）=P（qt，yT，yTt+1）=P（yTt+1 | qt，yT）·P（qt，yT）=P（yTt+1 | qt）·P（qt，yT）=βt（qt）·αt（qt）（4.3）对于上述等式（4.3）中的最后一行，使用向后算法计算第一项P（yT+1 | qt），使用向前算法计算第二项P（qt，yT）。上述等式（4.3）中最后一行的术语解释如下。概率P（qt，yt）≡ αt（qt）对于给定的一组参数θ={P（q），P（qt+1 | qt），P（yt | qt）}遵循递归关系，可以使用独立关系（4.1）和（4.2）计算如下：P（qt，yt）=NXqt-1=1P（qt，qt-1，yt）=NXqt-1=1P（yt | qt，qt-1，yt-1） P（qt | qt-1，yt-1） P（qt-1，yt-1） =NXqt-1=1P（yt | qt）P（qt | qt-1） P（qt-1，yt-1） =NXqt-1=1P（yt | qt）P（qt | qt-1） ·αt-1（qt-1） =αt（qt）（4.4）对于给定的一组参数θ={P（q），P（qt+1 | qt），P（yt | qt）}，概率P（yTt+1 | qt）≡ βt（qt）类似地基于以下反向算法计算：P（yTt+1 | qt）=NXqt+1=1P（yTt+1，qt+1 | qt）=NXqt+1=1P（yTt+2 | qt+1，qt，yt+1）P（yt+1 | qt+1，qt）=NXqt+1=1P（yt+2 | qt+1）P（yt+1 | qt+1 | qt）=NXqt+1=1βt+1（qt+1）·P（yt+1 | qt+1）·P（qt+1 | qt）=βt（qt）（4.5）这两种算法的计算复杂度都为O阶（N·t）。我们解释了反向算法的缺点。在方程（4.5）中，βt（qt）是所有状态1，…，的和，N在每个时间点t重复∈ {1，…，T}，并且对于时间T的每个可能状态，给出了N·T计算。相比之下，如果对所有状态序列组合的P（qt，yt）求和如下：P（qt，yt）=NXq=1···NXqt=1P（qt，qt-1，yt），（4.6）计算涉及从时间1到时间t的所有可能状态路径以及某个状态的联合概率。对所有t重复此操作∈ {1, . . .

，T}给出了总的NT·T计算。HMM模型中的参数θ基于以下期望最大化算法进行估计：θ=arg maxθP（y，…，yT |θ）（4.7）该算法分两步迭代进行。首先，估计步骤计算给定观测值的缺失数据的条件期望和θ的当前估计。接下来，最大化步骤将整个数据集（包括隐藏状态）关于θ的日志可能性最大化。ξij（t）=P（qt=i，qt+1=j | yT，θ）（4.8）=αt（qt=i）·aij·P（yT+1 | qt+1=j）·βt+1（qt+1=j）P（yT |θ）（4.9）=αt（qt=i）·aij·P（yT+1 | qt+1=j）·βt+1（qt+1=j）P1≤t型≤TβT（qt）·αT（qt）（4.10）最后，使用估计的可能性对状态进行分类，特别是根据方程式（4.7）给出估计参数（^θ）：qt=arg maxqTP（yT，qt |^θ）（4.11）4.3数据。数据集包括彭博每日报的日志回报，包括澳元（Australialandollar）、巴西雷亚尔（Brazilian Real）、加元（Candadian Dollar）、瑞士法郎（瑞士法郎），1999年1月1日至2012年3月11日期间，欧元（欧洲货币联盟货币单位）和英镑（英镑）以美元计价。每个货币对有3180个数据点。样本期包括几个图4.2：货币时间序列1999年1月至2012年3月样本期内的所有汇率均以美元报价。市场机制和重大经济事件，如后dot。2007年的金融危机，2010年欧洲债务危机的开始。表4.1显示了所有货币对的无条件相关性。欧元和瑞士法郎之间的相关性最高，^ρ=0.875。欧洲货币欧元、英镑和瑞士法郎之间的相关性更高，澳元和加元也表现出更高的相关性。

BRL与样本中所有其他货币的相关性最弱。在本文中，我们将在大多数情况下仅根据其基础货币澳元、BRL、CAD、欧元、英镑来参考货币对澳元/美元、BRL/美元、CAD/美元、瑞士法郎/美元、欧元/美元和英镑/美元。澳元BRL加币CHF欧元GBPAUDBRL 0.333加币0.623 0.306CHF 0.395 0.075 0.303EUR 0.543 0.175 0.428 0.875GBP 0.505 0.176 0.416 0.57 0.651表4.1：样本中每日汇率回报之间无条件相关性的相关矩阵。澳元BRL加币CHF欧元GBP面板A：最小数量【10】-3] -72.8-99.76-33.08-29.76-25.22-34.65q（0.1）[10-3] -9.38-11.47-6.16-8.24-7.94-6.83q（0.25）[10-3] -3.98-4.61-2.95-3.91-3.86-3.3q（0.5）[10-3] 0.56 0 0.19 0.09 0.09 0.07q（0.75）[10-3] 4.88 5.13 3.37 4.18 3.8 3.37q（0.9）[10-3] 9.02 10.98 6.61 8.75 8.08 7.08最大值[10-3] 82.47 103.44 39.51 46.92 34.51 29.26面板B：力矩u[10-3] 0.16 -0.11 0.15 0.13 0.06 -0.02σ [10-3] 8.69 11.61 5.89 6.91 6.59 5.88u[10-5] 7.54 13.48 3.47 4.78 4.34 3.45u/σ-0.42 -0.36 -0.15 0.14 0.06 -0.28u/σ- 3 9.97 12.17 3.36 1.62 1.19 2.29表4.2：汇总统计数据该表显示了样本中汇率回报的基本统计数据。面板A显示了回报分布的各个分位数，包括最大值和最小值。面板B显示了一阶矩和二阶矩、标准偏差（σ）、标准偏斜度（uσ）和超额峰度（uσ- 3).表4.2总结了样本的返回统计数据。从表4.2可以看出，澳元和BRL的日波动率分别为0.87%和1.16%；样本中的最高波动率。这两种货币的极端回报率（最小值、最大值）也很高，而峰度则表明了显著的肥胖。

其他货币的回报分布具有可比性，以分位数和矩来衡量，欧元/美元是世界上最重要的货币对，波动性最低，尾部最短。4.4 HMM估计结果我们对波动性较高或较低的市场状态感兴趣。作为波动率的代理，我们使用每日回报平方RTA并估计两种波动率状态qt=1，2的HiddenMarkov模型。假设依赖于状态的发射分布为正态分布，如下所示：P（yt | qt=i）\'N（ui，σi）i=1，2（4.12），其中yt={rt}表示1≤ t型≤ THMM模型通过第4.2.2节中描述的最大似然法进行估计。然后在维特比算法中使用估计参数（见第4.2.2节），以识别最可能的隐藏状态序列。表4.3中报告了两种隐藏状态的估计HMM参数（转移矩阵aij、发射分布参数ui和σi）。估计参数旁边是标准误差，由估计的渐近协方差矩阵得出，该矩阵由有限差近似计算得出。从表4.3可以清楚地看出，州1的波动性水平远高于州2。“激发”态依赖于状态的平方回报分布的平均值在9.48[10]之间-5] 英镑至54.97[10-5] 对于BRL。“正态”状态分布的范围低于“激发”状态，介于0.89[10]之间-5] 英镑至2.74[10-5] 对于BRL。澳元和BRL的波动水平与集团、瑞士法郎、欧元、加元和英镑不同。在所有六种货币对中，巴西雷亚尔最为持久，最有可能长期保持不变（高波动或低波动），而澳元在低波动状态下的停留时间往往比其他所有货币都长。

就基础马尔可夫系列的动态而言，大多数货币在兴奋状态下的概率p（qt+1=1 | qt=1）介于0.318（澳元）至0.369（欧元）之间，但RL为0.452除外。对于所有货币，保持在“正常”状态的概率高于“兴奋”状态的概率。过渡矩阵排放分布^aij=p（qt+1=j | qt=i）Nuσ[10-5] N个uσ[10-5] 澳元0.318（0.024）0.683（0.024）0.146（0.008）0.855（0.008）！31.85（2.4）0.04（0.01）2.34（0.06）0.01（0.01）BRL0.452（0.023）0.549（0.023）0.142（0.008）0.859（0.008）！54.97（4.03）0.11（0.01）2.74（0.08）0.01（0.01）CHF0.368（0.018）0.633（0.018）0.374（0.013）0.627（0.013）！11.2（0.39）0.01（0.01）0.99（0.03）0.01（0.01）CAD0.341（0.021）0.66（0.021）0.21（0.01）0.791（0.01）！11.5（0.51）0.01（0.01）0.92（0.03）0.01（0.01）英镑0.362（0.02）0.639（0.02）0.272（0.012）0.729（0.012）！9.48（0.37）0.01（0.01）0.89（0.03）0.01（0.01）欧元0.369（0.018）0.632（0.018）0.364（0.013）0.637（0.013）！10.29（0.33）0.01（0.01）0.91（0.03）0.01（0.01）表4.3：隐马尔可夫模型估计Markovhidden状态的估计转移矩阵^aij=p（qt+1=j | qt=i）报告了从估计的渐近协方差矩阵得出的标准误差。在右栏中，报告了RTA的估计状态相关排放分布，括号中为standarderror，我们假设其为正态分布（Ni，statei=1，2）。所有参数估计值在99%置信水平上具有统计意义。通过基于动态规划方法的维特比算法确定与给定观测序列相关的最佳状态序列。图4.3中的上图显示了EUR时间序列的派生状态序列。图4.3中的下图描述了特定状态下的相关概率。该图允许“关注”各州的福利状况。

很明显，与其他时期相比，有些时期对国家的识别不太确定。为了简洁起见，我们省略了其他货币的诊断图。图4.4绘制了每日RTA和RTD分布的核密度估计图4.3：每日欧元/美元汇率的状态序列上图显示了每日欧元/美元汇率的维特比算法确定的最可能波动状态序列。低挥发性状态和高挥发性状态用{1，2}表示。下图显示了两种状态的平滑概率。欧元/美元。所有其他汇率的结果都非常相似，因此，此处不提供这些结果。图4.4显示了右图，在“兴奋”市场状态下，状态1中捕捉到了长尾巴，包括负尾巴和正尾巴。较小的正回报和负回报处于状态2，即“正常”市场状态。图4.4显示了两种挥发物的发射分布的小重叠和“激发”态的较小密度计数。在附录4.8中，所有货币的波动性状态序列以超时显示，高波动性状态以红色标记。2008年至2009年的金融危机可以清楚地确定为样本中所有货币对都处于波动期的时期。其他金融市场事件也显而易见。可以观察到2010年5月的崩盘、2007年8月金融危机的开始以及其他众所周知的动荡时期。

2006年8月至2007年5月是一个延长的平静期，样本中的所有货币对都只有很少的短期波动。图4.4：欧元/美元依赖于州的回报分布左图显示了依赖于州的平方回报分布。右图显示了回报分布。4.5隐藏状态之间的相关性在本节中，我们应用香农熵来衡量序列之间的相关性。我们使用第4.5.1节中的互信息来测量两个系列状态之间的相关性，并使用第4.5.2节中的传递熵来测量两个系列状态之间的信息流。我们首先分别分析每个状态序列的熵和信息含量。理解状态序列的熵，尤其是过程块的熵，是有帮助的，因为它们是计算互信息和传递熵的基本输入。他们还揭示了在当前事件状态下，过去包含了多少信息，可以用来预测未来的状态序列。在第2.3.3节中，我们引入了各种方法来确定一系列随机变量的信息含量，例如熵率h∞= 画→∞H（X | X-1.十、-（n+1）），它量化了过去预测未来观测所需的平均信息。

HMM模型的一个假设是，隐藏状态形成一个马尔可夫过程。虽然隐藏状态序列通常不是马尔可夫过程，但使用估计状态序列的熵度量来测试马尔可夫特性是很有趣的。Spreij（2001）证明了隐状态序列是马尔可夫过程的条件。由于马尔可夫链是不可约和非周期的，n个随机变量的分布趋于平稳分布，如n→ ∞. 在第2.3.3节中，我们推导了马尔可夫过程的平稳分布和相应的熵。给定估计的转移矩阵，我们可以计算马尔可夫过程的平稳分布。在表4.4的面板A中，列出了不同货币对的状态概率。对于所有货币，“激发”态π的相对频率都低于“正常”态π的相对频率。澳元和BRL的π最低，而欧元的π最高。AUD和BRL在样本中的剩余峰度最高，EUR的剩余峰度最低（见表4.2）。在我们的设置中，我们为具有正态分布的两个状态的平方回归系数规定了一个简单的模型。在尾较重的AUD和BRL的情况下，“激发”态的发射分布平均值更倾向于尾，捕捉到了更极端、更不频繁的波动性区域。马尔可夫过程的熵和熵率可以从平稳分布中推导出来（见第2.3.3节）。表4.4的面板B列出了马尔可夫过程H（X）的熵，给出了转移概率和assuminga平稳分布。^H（X）是通过维特比算法得出的状态序列测量的熵。对于所有货币，H（X）都大于^H（X）。

因此，估计的状态序列比平稳的马尔可夫序列更规则，熵更低。对此的一种可能解释是“小样本效应”，我们在第2章中提到了这一点。计算出的平稳分布是理论熵，它不支持经验熵的偏差。这两个图之间差异的另一种可能解释是，估计的状态序列实际上不是马尔可夫过程。上一节中估计的HMM状态序列被假定为马尔可夫过程。这意味着，考虑到现在，未来是独立于过去的。这种与过去历史的条件独立性超过一天，意味着序列的熵可以简化为H（Xn | Xn-1.十） =H（Xn | Xn-1). 在表4.4的面板C中，隐马尔可夫过程的熵率h∞, 假设平稳，则列出。估计熵率^h∞=^H（X | X-1） 略低于平稳分布熵率H（X）。这是意料之中的，因为对于我们只有有限样本的过程来说，平稳性是一个极限情况。此外，小样本偏差也是低估的一部分（Grassberger（2003））。在估计较长历史的熵时，也可以观察到这种小样本效应。最高关联利率AUD BRL CAD CHF EUR GBP面板A：平稳分布频率π0.177 0.206 0.241 0.372 0.366 0.299π0.824 0.795 0.76 0.629 0.635 0.702面板B：过程熵（X）0.6715 0.733 0.7964 0.9515 0.9471 0.8789^H（X）0.6363 0.7049 0.7613 0.9253 0.9198 0.8406面板C：熵率∞0.6526 0.6723 0.7846 0.9515 0.9471 0.8732^H（X | X）0.6199 0.6535 0.7517 0.9252 0.9197 0.8351表4.4：熵率H∞样本^H（X | X）in（bit）用于HMM过程的平稳分布。CHF为0.9515位，接近最大值1。

只有欧元具有类似的高熵率。这与观察结果有关，即对于两种货币对，平稳分布的权重更相等，因此状态不太可预测。4.5.1隐藏状态依赖在第2章中，我们引入了互信息I（X，Y）τ=H（Y）-H（Y | Xτ）作为两个随机变量X和Y之间相关性的度量。它通过观察Xτ来测量关于Y的信息的平均增益。我们在第2章中已经看到，I（X，Y）=I（Y，X），因此X提供了与X相同的Y信息量。从这个意义上讲，它不是方向度量。我们估计滞后τ=0，1，-1，分析波动率协动（τ=0）和波动率溢出（τ=±1）。格拉斯伯格（2003）对单位样本的估计有偏差。这些偏差与样本量有关，AUDT+τBRLt+τEURt+τGBPt+τCADt+τCHFt+τ面板A：τ=0AUDt16.611（1.442）44.18（1.512）43.649（1.523）63.445（1.537）32.566（1.532）BRLt6.082（1.484）4.979（1.502）10.154（1.506）1.785（1.555）EURt74.079（1.475 4）16.987（1.468）305.02（1.5）GBPt25.378（1.536）60.996（1.504）CADt12.19（1.475）CHFtPanel B：τ=-1AUDt4.578（1.447）3.805（1.526）5.673（1.517）5.118（1.542）0.437（1.526）BRLt0.035（1.526）1.663（1.509）2.589（1.512）0.001（1.548）EURt1.127（1.47）2.289（1.476）0.532（1.498）GBP T6.417（1.53）0.048（1.505）CADt0.162（1.509）CHFtPanel C：τ=+1AUDt3.947（1.568）0.839（1.529）7.525（1.517）7.305（1.521）1.027（1.526）BRLt0.136（1.512）0.664（1.509）3.872（1.489）0.191（1.526）EURt0.292（1.47）0.173（1.488）0.11（1.522）英镑T5.197（1.5）0.07（1.495）加元T0.552（1.509）瑞士法郎表4.5：波动状态协动和相互依赖此表显示了互信息^I（X，Y）τ的估计值[10-3] （以位为单位）用于具有不同时滞的隐藏状态序列。

波动率协动（τ=0）如图A所示，波动率状态相互依赖关系（τ=±1）如图B和C所示。误差估计值如括号所示。这些是通过生成其中一个系列的reshu-ed系列来生产的。99%分位数报告为q0.99（^I（Xsh，Y））[10-3]. 在面板A中，所有测量的互信息^I（X，Y）都是重要的。面板B和C中的重要测量值以粗体显示。状态空间的大小和底层进程的熵率。在这里，我们遵循第4章中的方法，通过计算相互信息来量化这种偏差，其中一个进程被重新创建，从而破坏其所有时间序列模式。通过充分重复该恢复过程，我们生成了一个互信息包含小样本噪声的样本。作为对噪声的估计，我们取reshu-free ed系列q0.95（^I（Xsh，Y））测得的相互信息的99%分位数，并将其报告在表中的括号中。表4.5中的面板A、B和C显示了不同滞后τ=0的结果，-1, +1.我们在第2.3节中看到，互信息衡量两个随机变量的独立性差异。在这个特定的设置中，对于二进制值序列，互信息是四项的总和，表示两个随机变量Xτ，Y中值的可能组合：I（X；Y）τ=-Pxτ，y∈{1,2}p（xτ，y）·logp（xτ，y）p（xτ）p（y）。^I（X，Y）τ>0的任何统计显著性测量都意味着，与这些变量是独立的相比，随机变量更经常处于同一状态、高波动性或低波动性，以及在特定时间（X情况下滞后于τ）。对于所有货币对，互信息在滞后τ=0时达到峰值，其中所有估计值都高于“噪声”的99%分位数。

观察到的最强关系是欧元和瑞士法郎之间的相互信息为305.02[10-3] 位。这大约是其他任何货币的五倍。下一个最强的联动关系是英镑和欧元之间的联动关系，为74.079[10-3] 位。英镑和瑞士法郎之间的联系，^I=60.996[10-3] bits完成了样本中欧洲货币的三角形强链接。在这个欧洲集团三角之外，另一个强大的联动关系是澳元和加元之间的联动关系为63.445[10-3] 测量的位。对于所有货币对，当τ6=0时，互信息急剧下降。这意味着在同一天，一个系列的波动率制度变化对另一个系列的波动率制度影响最大。面板B和C显示，在τ±1时，30对中只有13对在99%置信水平下具有统计意义的互信息。最强的双向leag lag连接为AUD-GBP、AUD-CAD、AUD-BRL、CAD-GBP，其次为CAD-BRL。薄弱环节包括澳元-欧元-1，BRL-GBP-1和EUR-CAD-1.4.5.2隐藏状态信息流互信息量化与X和Y的偏差是独立的，传递熵量化与X的偏差是由其自身的历史决定的（通过条件概率）。与互信息不同，传递熵→在第2章中介绍并在下文中定义的X（m，l）是非对称的，只考虑来自Y的统计相关性，而不考虑来自公共信号的统计相关性。泰→X（m，l）=H（X | X-1.十、-m）- H（X | X-1.十、-m、 Y型-1.Ym公司-l） 为了度量由HMM模型估计的波动状态的任何依赖性，估计了两个序列的隐藏状态序列之间的转移熵。

传递熵TY→X从Y到X是Y对X未来的不确定性小于X已经给出X未来解析信息的程度。在这种情况下，从Y到X的检测信息表明Y中过去的波动状态（达到规定长度l）包含信息，这使得X中第二天的波动状态更具可预测性。在当前情况下，我们将使用维特比算法确定的最可能的隐藏状态。我们使用两个字母的字母表示波动率状态，并使用方程（3.15）中的格拉斯伯格估计量^Hψ估计转移熵。为了计算估计误差，我们遵循Marschinski和Kantz（2002）（如第3章所述）的方法，通过自举方法估计平均值和标准误差，包括预测序列，破坏其所有时间序列模式。该过程重复足够多次，然后计算平均值u（^Tsh）和标准偏差σ。有效传递熵（ET）（详见第2章）是通过从估计的传递熵ETY中扣除shu-freing模拟的平均值而形成的→X（m，l）≡ 泰→X（m，l）-u（^Tsh）。对于ETY→X（m，l），m指的是预测中包含的X自身过去历史的数量，而l指的是预测X时使用的Y过去历史的数量。此外，如第3章所述，我们使用Marschinski和Kantz（2002）的A（添加了相对解释）度量来计算传递熵带来的相对信息增益。下面定义的REA将TE的信息增益表示为序列的熵：REA（m，l）=ETY→X（m，l）H（X | X-1.十、-（m） ）表4.6显示，通过有效传递熵ET测量的最大信息流是BRL和CAD之间的信息流，带有^ETBRL→CAD（4，4）=21.521[10-3]. 该信息流在REA方面也是最强的。

它将SREA=2.963[%]添加到CAD本身波动状态历史中已经包含的信息中。这与Marschinski和Kantz（2002年）报告的REA=1.32%相比，道琼斯指数对道琼斯指数的信息流基于2000年5月至2001年6月期间一分钟的日内回报率。与整个样本相比，BRL、CAD和AUD组成了三组货币，产生了最强的信息流。澳元和加元可以清楚地看到货币对之间的直接联系，这两种货币具有更高的相关性^ρ=0.623（表4.1），我们测量的相互信息^I（澳元，加元）τ=0=63.445（表4.5）。传输熵在BRL和CAD之间拾取大量信息流，BRL→ CAD比CAD更强大→ BRL带^ETCAD→BRL（4，4）=15.666[10-3]. 因此，虽然BRL和CAD的波动状态之间的相互作用较弱，但我们可以通过传递熵检测到一个强大的波动，指出RLL波动会影响CAD波动。欧洲强劲的信息流在瑞士法郎、欧元和英镑之间，其中包括^ETCHF→欧元（4，4）=19.038[10-3] 和^ETEUR→英镑（4，4）=15.889[10-3]. 稻谷（2006）研究了1999-2004年间英镑和欧元对波动溢出的影响。与我们的结果一致，作者发现支持欧元对英镑的单向波动溢出，欧元对英镑具有单边影响。在前一章中，我们研究了英镑和欧元每日和小时提取之间的关系。挥发性状态之间的转移熵^ETEUR→英镑（4，4）=15.889[10-3] 与第3章的结果相当。我们估计的每日收益率→英镑（2，4）=11.451[10-3] ，有两天英镑的历史记录。

这与Rebonato和Chen（2009）中的发现相对应，该发现指出了大额提款和激发波动状态之间的联系。Rebonato和Gaspari（2006）推测，美元利率市场中至少存在两种制度（“正常”和“兴奋”）。根据这一观点，Rebonatoand Chen（2009）使用隐马尔可夫模型计算利率。作者指出，大的吸引主要来自激发态，特别是如果吸引是短的。激发态表现出正的自相关（连续爆发），在“正常”和“安静”状态下，返回具有负的自相关，在正常状态下反转的比例很高。