对于较低的利率和GDP增长率，增长率更大，并且每延迟一年，增长率都会迅速增加。这一比率。对于不同的GDP增长率和利率，将等式（24）中的增长率与开始减排的年份N（图8）绘制成图表。每延迟一年，其值就会增加，接近cas N，接近T。降低利率，通过在早期引入更高的减排利率，将减排延迟一年的成本增加。随着时间的推移，GDP增长率越高，减排率的增长越大，因为减排选项随着BAU排放量的增加而增加。因此，快速的经济增长可以相对降低延迟减排的成本。5.5无超调的最小全球变暖方程（14）中的最优路径没有规定避免温度超调，但这种区别很重要。因此，我们根据净正排放量的要求，即所有t<t的σ（t）<1，并且仅在t=t时达到零排放量，在等式（33）中检查了无需超调即可达到的全球变暖阈值（即最小值）。图e 9显示了由此产生的阈值（即最小值）共同引起的全球变暖0 20 40 60 80利率，i=1%r=0.01%r=0.02%r=0.03%r=0.04%0 20 40 60 80利率，i=2%0 20 40 60 80利率，i=3%（a）（c）（b）图9：在没有超调的优化场景下，2100年平均TCRE的最小共同引起变暖阈值。如果GDP增长放缓，且氮排放量较小，则该阈值较低。如果无风险利率较小，则该阈值也较低。每延迟一年开始减排，阈值就会增加，因为最佳减排率会随着时间的推移而增长。考虑到共排放和平均TCRE的历史，以及通过此处建模的最佳减排途径，可在2100年实现。

减排起始年和利率是GDP增长的重要制约因素，因为减排风险的大幅增加将导致未来减排成本的增加。因此，如果减排的开始被明显推迟，那么大幅限制由CO引起的全球变暖的选择将变得越来越昂贵。每一年的延迟都会导致全球变暖阈值不断增加，因为减排率以IC+θr给定的正速率增长。由于最优路径只能减少未来BAU排放量的一小部分，快速的经济增长会导致阈值增加。例如，对于早期开始减量的长时间范围，大约θr/ic+θr通过最佳途径减少BAU排放量。较高的利率会降低BAU排放的分数，因为这会导致早期的较低排放率，从而提高温度阈值。例如，利息率为3%的情况下，似乎不可能实现1.5 K的全球变暖目标，即使是平均TCRE，更不用说更高的估计了，除非未来的GDP增长实际上是不可忽视的。相反，如果利率接近1%，那么原则上，即使GDP快速增长，也可以实现更严格的全球变暖目标，但这相当于早期的高碳税。6结论和讨论全球变暖从COI大致占累积排放量的比例，更普遍地依赖于排放途径（Herrington和Zickfeld（2014）；Sesh adri（2017a）），这种“路径独立性”产生了累积排放量核算和碳预算的概念（Stocker（20 13）；Matthews等人（2018年）），提出了一种对气候建模不确定性具有鲁棒性的简化方法。

它还提出了新的问题，即在累积排放量的外部约束下，通过减少排放量来进行气候变化减排的经济分析。与庇古税不同，该税将排放活动的预计未来损害成本内部化（Pearce（2003）；Pindyck（20 19）），通过近似碳的社会成本（SCC）（附录7），目前的方法将碳税值视为有助于实现三元排放目标（Rogelj等人（2011、2015）；Millar等人（2017年））。这些以及巴黎会议（UNFCCC（2015）），作为全球变暖缓解措施的讨论背景，对SCC的估计没有直接的吸引力（Meinsh ausen et al.（2009）；Hoeg h-Guldberg et al.（2018）），这是出了名的难以估计，尽管人们认识到SCC相当大，过去被低估（参见Hope（2006））；诺德豪斯（2017）；Ricke等人（2018）；平迪克（2019））。此外，本方法中的碳t轴更易于计算，正如围绕方程式的讨论一样。（20） （65）显示；该标准要求计算随时间变化的共挤和变化的贴现未来效应（附录7），而在目前的方法中，通过发现时间t的全球变暖只取决于在此之前的累积排放量，避免了整合气候模型的挑战。然而，必须付出代价：碳税可以高于或低于SCC，因为目前的方法并不限制其经济效率。

例如，设想温度快速升高或损坏功能将导致SCC在未来时间t内快速增加*: for mer a方法会使碳ta x在t附近快速增加*, 而基于累积排放限制的排放量大致以利率增长。这种方法需要简单的减排模型，我们开发了一个基于n个递增的基本减排成本曲线的模型，该曲线在存在内生学习的情况下，通过加法或乘法项或二者兼而有之，向下移动或缩放。该模型与Emmerlin g等人（2019）的模型相似，明确处理了经济增长的影响，并进一步对减排曲线进行了内生学习。随着经济增长，照常排放量相应增长，这导致减排选项的扩大和成本曲线的横向延伸。目前的研究与以往在累积减排约束下考察经济的研究有许多共同点（Dietz和Venmans（2019）；Emmerling等人（2019年）；van der Ploeg和Rezai（2019）），但除了气候损害和时变率分析之外，内生学习的治疗还有新的特点，以及对与气候变暖相关问题的应用。主要发现总结如下：最佳减排增长率和碳税o当不计算学习和损害时，相对于最大减排率e的减排率（我们表示为σ（t））具有由无风险利率比率和减排成本曲线指数给出的增长率。指数越高，即锐利化，减排成本曲线会使减排率g行越慢，从而限制未来减排成本的上升。这与之前的研究一致，例如。

Emmerling等人（2019年）。o然而，碳税增长率方程不受边际减排成本曲线形状的影响，遵循霍特林法则，与之前的研究类似（Dietz和Venman s（2019）；Emmerling等人（2019年））。对于相同的碳税，急剧上升的减排成本曲线会产生更高的初始减排率，随着时间的推移，减排率增长更慢。因此，虽然使用符号P来取消碳税，但它不再是庇古文。气候破坏成本和内生学习的影响o如果成本最小化可以解释内生学习，随着未来边际成本的降低，碳价格将以较小的速度增长。o损害成本影响最佳减排途径，尤其是在目标规定的累积减排水平较低的情况下，全球变暖和由此产生的损害成本较高。除了减排成本外，限制da-ma-ge成本还需要早期较高的碳价格，因此随后的碳税增长率可能会更小内生学习对初始碳税的影响取决于它是否进入乘法模型的加法，即它是将边际削减成本曲线向下移动还是通过常数因子将其降低。加性学习模型会导致较高的初始减排率，进而需要较高的初始碳税。乘法学习模型最初导致缓慢减排，涉及较低的起始碳税由于边际成本增加，只有当利率非零时，加性学习模型才会影响最佳减排率（附录5）。

然而，无论怎样，他们都会降低碳税的增长率，因为降低成本的好处并不取决于利率关于学习曲线的经验文献通常指向一个乘法模型，这意味着较低的初始碳税（与没有学习的情况相比）以较小的速度增长。乘法学习和损害对减排率的影响之间的竞争是根据减排情景的严格程度来解决的：高减排情景下对学习的依赖性更高，低减排情景下对损害的依赖性更高。初始碳税和延迟减排的成本o初始碳税随着减排的严格程度和BAU排放量的增加而增加，对于较低的利率，初始碳税会更高，因为这会导致早期较高的减排率。Emm erling等人（20-19）先前强调了低贴现率对于早期减排的重要性延迟减排开始的成本很高，因为我们假设边际减排成本曲线随着减排率的增加而增加。每一年的延误都会导致以现值计算的总建筑成本在t=0时增加。正利率并不意味着减排可以在累积排放框架内无成本地推迟，因为这已经被纳入到目标减排途径中。因此，对mor e快速减排的需求推动了延误的成本对于较低的利率和GDP增长率，现值成本的增长率较大，并且每延迟一年，现值成本的增长率都会迅速增加。

较低的利率会在早期导致较高的资产负债率，因此会导致延迟资产负债的相对成本较高。GDP增长放缓导致未来减排增长放缓，因此延迟减排的相对成本很高延迟一年的成本相对增加并不取决于减排水平，而是随着时间范围的接近而迅速增加每年推迟减排，推迟征收全球碳税，如果下一年开始减排，则需要相应增加税收的初始值。每延迟一年的car bontax增长率有两个组成部分：霍特林增长率和与现值支出增长率相同的贡献，因为当我们假设减排曲线具有零截距时，减排边际成本与平均成本成比例。避免温度超调的经济性o避免温度超调对于防止不可逆转的气候变化承诺非常重要，例如冰原和生物多样性的丧失。由于全球变暖和累积排放量之间的比例关系，CO对全球变暖的贡献过大通常对应于净负排放量。因此，我们估计全球变暖的目标是可以实现的，△T*未来，通过优化路径，使净正排放始终保持不变，并仅在t=t时达到零排放无净负排放的约束限制了阈值（即最小值）△T*未来。这一阈值随着GDP增长和减排开始时间的推迟而上升，因为最优路径使年减排率以利率和经济增长率控制的速度增长。

因此，它们只能减少未来BAU排放的一小部分，如果没有净负排放，短期内的高累积排放目标就无法实现对于较小的无风险利率和减排成本的高增长，门槛会降低，因为这些会在早期产生较高的减排率。在很长的时间范围内，假设n提前开始减排，大约是θr的分数/ic+θr减少了Bau的排放量。只有在零利率的限制下，才能通过严格优化轨迹来减少所有BAU排放开始减排的每一年的延迟都会使阈值越来越大，边际效应的衡量如下△T*未来/N、 只要o ptima lpathway的年减排率在增长，则会上升。o如果将（乘法）学习的影响包括在内，则超调量会小幅增加，如果将气候损害的经济成本计算在优化范围内，则超调量会小幅减少。如果损害分数考虑了延迟效应，则这种影响可能会增加，但尚未对此进行建模。在不受保护原则或经济数据约束的情况下，创建更多基于优化的减排模型是一种风险，尤其是在研究长期未来时。与此同时，累积排放预算对全球变暖减排构成了重要制约，其对经济优化方法的影响是一个重要的研究领域，导致越来越多的工作（Dietz和Venmans（2019）；Emmerling等人（2019年））。本文试图开发一个简化模型，以研究以最低成本满足累积排放约束的情况，尽管由此产生的思维实验非常初步，但与上述先前的研究有一些一致点。

还有几个例子，未来的工作可以弥补，特别是：从成本、学习和损害的数据中进行详细的估计，其中还包括累积减排的积分效应，以解释海平面上升等延迟效应；考虑到未来经济增长和利率的认知不确定性；并在研究脱碳途径时引用进一步的跨时选择标准。附录1:t+△t可以写为˙EBAU+△˙EBAUG+△G=1+θ△GG1+△GGu，并将分母扩展为其泰勒级数˙EBAU+△˙EBAUG+△G=（1+（θ- 1)△游戏打得好-△游戏打得好+ . . .!)u（35）变化为△u=u（t+t）- u（t），并考虑△t=1年，因此克/克≡ r、 根据全球GDP的增长率，我们得出约为ydudt~=△u△t=- (1 - θ)r- r+r- . . .u（36）我们可以使用事实r简化表达式- r+r- . . . 是一个有限的几何级数，称为r/（1+r），因此BAU下的发射强度演变为udt~=- (1 - θ） r1+ru。附录2：导出固定T的Eule r-拉格朗日方程，以最小化积分RTGt、 M（t），˙M（t）dt受制于约束TM（t）dt=Mtot，我们首先定义IM（t），˙M（t）=RTg（t）dt+λRT˙M（t）dt- Mtot公司. 平稳需要积分中的第一个变化δI，因为δM和δ˙M的微小变化为零。变化量δI=IM+δM，˙M+δ˙M- 我M、 ˙MisδI=ZT(gMδM+g˙Mδ˙M+λ˙MMδM+˙M˙Mδ˙M！）dt=0（37），通过部件积分，RTg˙Mδ˙Mdt=-滴滴涕g˙M应用δM（0）=δM（T）=0的条件后的δMdt，因为变化必须保持问题的边界条件。有一个对应的方程涉及累积负迁移的积分约束。

结合这些方程得出δI=ZT(gM-滴滴涕g˙M+ λ˙MM-滴滴涕˙M˙M！！）δMdt=0（38），对于径向变化δM，得出Euler-Lagrange公式（12）。附录3：Euler-Lagrange方程中的公式。（11） 和（13）gM=-e-I（t）f′（M（t））h（M（t））˙M（t）+e-I（t）（c+c˙M（t）˙Mmax（t）！c- f（M（t）））h′（M（t））˙M（t）+e-I（t）d′（M（t））G（t）（39）鉴于g˙M=e-I（t）cc˙M（t）˙Mmax！ch（M（t））+e-I（t）（c+c˙M（t）˙Mmax（t）！c- f（M（t）））h（M（t））（40）这里我们假设˙Mmax（t）是已知的时间函数，它可以与BAUemissions相关，因此与M（t）和˙M（t）无关。上述方程式简化为g˙M=e-I（t）（c+c（c+1）˙M（t）˙Mmax（t）！c- f（M（t）））h（M（t））（41）使滴滴涕g˙M= -i（t）e-I（t）（c+c（c+1）˙M（t）˙Mmax（t）！c- f（M（t）））h（M（t））+e-I（t）cc（c+1）˙Mcmax˙M（t）c-1–M（t）- f′（M（t））˙M（t）h（M（t））+e-I（t）（c+c（c+1）˙M（t）˙Mmax（t）！c- f（M（t）））h′（M（t））˙M（t）- e-I（t）cc（c+1）˙M（t）˙Mmax（t）！c˙Mmax（t）滴滴涕˙Mmax（t）h（M（t））（42）使用˙MM=0和˙M˙M=1，因此滴滴涕˙M˙M= 0我们最终获得′（M（t））G（t）=-i（t）（c+c（c+1）˙M（t）˙Mmax！c- f（M（t）））h（M（t））+cc（c+1）˙Mcmax˙M（t）c-1–M（t）h（M（t））+cc˙Mcmax˙M（t）c+1h′（M（t））- cc（c+1）˙M（t）˙Mmax（t）！c˙Mmax（t）滴滴涕˙Mmax（t）h（M（t））（43），将第二个独立项取到一边，除以h（t）>0，得到等式（14）。附录4：学习模型对边际成本曲线的影响让我们考虑两种内生学习模型对边际成本曲线的影响。平均成本γ˙M，M与边际成本β相关M、 ˙MasγM、 ˙M=˙MR˙Mβ（M，˙s）d˙s从0到˙M积分。替换等式中的平均成本形式。

（3） ，边际成本与asZ˙Mβ（M，˙s）d˙s=c+c˙M（t）˙Mmax有关！c- f（M）！h（M）˙M（44）和与˙Mβ相关的差异M、 ˙M=c+（c+1）c˙Mcmax˙Mc- f（米）h（M）（45），这表明f（M）是边际成本曲线的加性贡献，其中sh（M）将其乘以。附录5：零利率下加性内生学习的影响对于最佳减排途径上加性学习模型的非零影响，即使我们假设没有GDP增长，也需要非零利率i（t），其中inrbau（t）=0且˙Mmaxis常数。因此，我们在讨论这种行为的起源时做出了这些限制。考虑减排ra t e˙M（t）=MtotT+x（t），0<<<MtotT，因此x（t）是对具有恒定衰减率的轨迹的小扰动。这种情况下的累积费率为M（t）=Rt˙M（s）ds=MtottT+X（t），其中X（t）=Rtx（s）ds。M（t）上的边界条件要求X（0）=X（t）=0。如果只有加性模型f（M（t））有效，且h（M（t））固定为1，则在替代a（t）=c以上的M（t）和˙M（t）模型后，t年的减排成本为，从M等式（9）开始MtotT+x（t）+c˙MmaxMtotT+x（t）c+1-MtotT+x（t）fMtottT+X（t）（46）我们假设˙Mmax是常数，就像在稳态GDP轨迹中一样，这是我们的简单讨论。如上所述，利率对加性学习的影响不取决于任何增长假设。我们进一步通过截断为一阶的泰勒级数逼近上述函数f，并遵循一些代数，仅计算减排成本，在i=0的情况下，贴现支出总计=ZTA（t）dt=CMtot-MtotTZTfMtottT公司dt+c˙MmaxZT˙M（t）c+1dt（47），如下所述。那些对细节不感兴趣的人可能会跳过下面的讨论。

（52），恢复本次讨论的主题。{旁白：在下文中，我们推导出公式（47）。对于公式（46）中t年的减排支出，将泰勒级数展开替换为小参数f中的1存储MtottT+X（t）~=fMtottT公司+ X（t）f′MtottT公司（48）我们得到a（t）=MtotTc- fMtottT公司+ ddtcX（t）- fMtottT公司X（t）+c˙MmaxMtotT+x（t）c+1（49）我们假设max | x（t）|的阶数为1，因此x（t）的量级比toMtotT小。其中，为了一致性，我们仅在中为序列衍生贡献定义了1个存储项。对于δ=0Ctotal=ZTMtotT，总支出变为c- fMtottT公司dt+ZTddtcX（t）- fMtottT公司X（t）dt+c˙MmaxZTMtotT+x（t）c+1dt（50）和，使用ZTDDTcX（t）- fMtottT公司X（t）dt=c（X（T）- X（0））+f（Ttot）X（T）- f（0）X（0）=0（51）根据X（t）上边界条件的最后一个等式，我们得到Ctotal=ZTMtotTc- fMtottT公司dt+c˙MmaxZTMtotT+x（t）c+1dt（52），简化为等式（47）。}除此之外，研究还表明，ar位元加性学习函数对恒定排放轨迹的一阶影响为零。此外，非恒定减排率的影响仅通过公式（47）中的最后一项进入，我们希望通过恒定减排率途径将其最小化。如下所示。由于c>0，p˙M≡˙Mc+1是˙M的凸函数。回想一下，排放率˙M（t）=MtotT+x（t），其平均值e˙M=TRT˙M（t）dt=MtotT，进一步˙M=TZTp˙M（t）对于凸函数p，dt=TZT˙M（t）c+Jensen不等式中的1dt（53）˙M, Ep公司˙M≥ pE˙M. 但是pE˙M=MtotT公司c+1。HenceTZT˙M（t）c+1dt≥MtotT公司c+1（54）或等效YC˙MmaxZTMtotT+x（t）c+1dt≥c˙MmaxZ-TMtotT公司c+1dt（55），相等于=0。

最小值需要=0，因此，如果无风险利率为零，则加法内生学习模型不会影响最优路径。这个结果呼吁函数N（t）c+1的凸性，但这并不限制其一般性，因为如果c>0，函数肯定是凸的，而边际成本在增加。附录6：无内生学习的减排成本现值假设没有内生学习，减排成本的现值为CZTOtal=cZTNe-I（t）σ（t）c+1˙Mmax（t）dt（56），假设c=0，并使用等式。（2） 和（15）。对于这种情况，从等式（16）σ（t）=σ（N）eRtNi（s）cds=σ（N）e-I（N）/ceI（t）/c，其中我们回顾I（t）=Rti（s）ds。类似地，˙Mmax（t）=˙Mmax（N）eRtNθr（s）ds也可以写为˙Mmax（t）=˙Mmax（N）e-θR（N）eθR（t），其中total=cσ（N）c+1˙Mmax（N）e-I（N）1+ce-θR（N）ZTNeI（t）/c+θR（t）dt（57）或等效值yctotal=c（N）e-I（N）1+ce-θR（N）ZTNeI（t）/c+θR（t）dt（58），其中c（N）=cσ（N）c+1˙Mmax（N）（59）是初始年t=N期间的减排成本。其值根据累积排放量约束进行估计。减排率的演变为˙M（t）=M（N）Ertni（s）c+θr（s）ods，因此累积减排量为˙M（t）dt=˙M（N）e-I（N）/ce-θR（N）ZTNeI（t）/c+θR（t）dt（60），其中σ（N）=˙M（N）/˙Mmax（N）减少到σ（N）=Mtot˙Mmax（0）eI（N）/cRTNeI（t）/c+θR（t）dt（61），其中我们使用了˙Mmax（N）=˙Mmax（0）eθR（N）。代入式（59）C（N）=CMtot˙Mmax（0）c+1˙Mmax（0）eI（N）1+ceθR（N）nRTNeI（t）/c+θR（t）dtoc+1（62），最后，从等式。

（58）Ctotal=cMtot˙Mmax（0）c+1˙Mmax（0）nRTNeI（t）/c+θR（t）dtoc（63）附录7：碳的社会成本碳的社会成本（SCC）通常定义为CO脉冲发射的贴现损害成本，通常为1 tonSCC（t）=Z∞te公司-~I（t）d′（t（s））G（s）△eT（s）ds（64），其中SCC贴现率为i（t），通常不同于无风险利率。计算SCC时，假设在时间t发出COI的单位脉冲，并取决于该脉冲随后对全球变暖的贡献△eT（s），s≥ t、 使用△eT（s=t）=0；全球气候损害对温度变化的敏感性d′（T（s））G（s）。例如，对于损伤分数的幂律模型，碳的社会成本isSCC（t）=dT CREZ∞te公司-I（t）D（s）E（s）△eT（s）ds（65），我们记得，TCRE是全球变暖对累积排放量的常数，d>1是损伤函数的指数，d（s）/E（s）是每次累积排放的损伤成本。由于损害是全球变暖的凸函数，因此只要全球温度上升，这一比例就会增加。这是SCC随时间增加的主要原因。贡献△eT（s）取决于单位CO脉冲的辐射强迫减弱与全球变暖过程中海洋吸收多余热量和CO的能力减弱之间的竞争，这是由于对数辐射强迫与过量浓度的关系。通常地△eT不仅仅是△eT（s）- t） ，但实际上△eT（s）- t，△T（s），CO（s）），即不仅取决于脉冲发射后经过的时间，还取决于全球战争△在没有影响其在大气中归宿的脉冲的情况下，T（s），以及在没有影响脉冲辐射强迫贡献的脉冲的情况下，大气中过量的二氧化碳CO（s）（Seshadri（2017b））。

此外，积分中出现的rat io D（s）/E（s），乘以s≥ t、 不仅需要全球战争和累积排放量的现值，还需要对累积排放量的未来演变进行假设，以便可以计算出所有时间的损失≥ t、 显然，估算SCC的信息需求量巨大，且相应的不确定性较大。参考Allen、M.R.、D.J.Fr ame、C.Huntingford、C.D.Jones、J.A.Lowe、M.Meinshausen和N。Meinshausen（2009年），《累积碳排放量达到万亿吨造成的变暖》，《自然》，458，11 63–1166，内政部：http://dx.doi.org/10.1038/nature08019.Allen，M.R.、J.S.Fuglestvedt、K.P.Shine、A.Reisinger、R.T.Pierrehumbert和P.M.Forster（2016年），《全球变暖潜能值的新用途以比较累积和短期气候污染物》，《自然气候变化》，6773–777，内政部：10.1038/NCLIMATE2998。箭头，K。J、 （1962），《在实践中学习的经济影响》，《经济学研究评论》，第29155-173页，内政部：10.23 07/22959 52。Bowerman，N.H.A.、D.J.Frame、C.Huntigford、J.A.Lowe和M.R.Allen（2011），《累积碳排放量、排放流量和短期变暖率：政策含义》，伦敦皇家学会哲学转变A，369，4 5–66，内政部：http://dx.doi.org/10.1098/rsta.2010.0288.Burke，M.、S.M.Xiang和E.Miguel（2015），《全球温度对经济生产的非线性影响》，《自然》，527235–2 39，doi:10.10 38/nature15725。Dietz，S.和F.Venmans（2019），《累积碳排放量与经济政策：寻找一般原则》，环境经济与管理杂志，96（108-129），108-129。Emmerling，J.、L.Drouet，K.-I.van der Wijst、D.van Vuuren、V.Bosetti和M。

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