在图14中，我们展示了在合成数据具有分数布朗运动分布的情况下估计方案的性能。此处使用的数据向量长度是用于计算石油价格和天然气数据的局部功率谱的数据向量长度，2=256，与8的并矢维数和大约一年的窗口大小相关。黑色虚线是具有对角协方差矩阵的目标估计器，红色线是具有全协方差矩阵的基于尺度的目标估计器，蓝色线是ML估计器。很明显，ML估计器在偏差和方差方面都更有效。在图e 15中，我们显示了相同数据被加性测量噪声破坏时的性能。可以看出，ML估计器和使用全协方差矩阵的标度谱估计器具有很强的偏差，尤其是对于赫斯特指数H的高值。当应用于实际数据时，这种估计器可能低估H的高值。相比之下，稳健估计的偏差要小得多，应该使用真实数据。在图16中，我们显示了Brent和West Texas数据集的相对光谱分辨率与标度的函数关系。相对残差是经验谱与稳健估计量估计的谱之间的均方差值与经验谱与ML估计量估计的谱之间的均方差值之比。robust方案在很短和很长的尺度上都显示出优越性，在大约一个月的尺度上出现了“光谱交叉”，显示了robust方案对光谱行为更一致的跟踪。

在此，我们寻求一种适用于各种尺度的稳健谱估计，尤其是对于在应用中可能很重要的长尺度，图中显示，对于长尺度，稳健估计可以更好地捕捉光谱特征。在图17中，我们通过实线显示了实际的局部尺度谱，通过虚线显示了robustestimates，通过直线实线显示了两种情况下的ML估计，其中Hurst指数估计值分别为高和低。在第一种情况下（图1，西得克萨斯州），估计值为H=。7，对于稳健估计，σ=82%，H=。5，对于ML估计器，σ=32%。在第二种情况下（b ottom figure，Brent），估计值为H=。2，对于RobustStimator，σ=14%，H=。5，对于ML估计器，σ=63%。我们可以用因子解释两种估计之间的显著差异，即ML估计对小尺度和高频噪声敏感。如果基础过程是纯分数布朗运动，则ML估计的性能非常好，但如果过程的频谱仅近似为幂律，则ML估计可能有偏差。C进一步的油价图在图3中，我们显示了整个数据期间的标度谱，而在图19中，谱对应于价格数据的第一年和最后16年（1987-2002年和2001-2016年）。在长标度数据的后半部分，价格波动的强度略大。然而，这两部分数据的光谱定性行为是相似的。与两半部分相关的赫斯特指数为H=。41前16年a和H=。42西得克萨斯州过去16年的数据（红色虚线）。蓝色实线是布伦特数据集的s谱，相关赫斯特指数估计值为H=。44和H=。分别为45。

对于西德克萨斯数据，前16年的估计波动率σ=28%，过去16年的估计波动率σ=32%（红色虚线）。H估计值的标准偏差0.3 0.4 0.5 0.6 0.70.050.1 H估计值的标准偏差0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.10.1 H估计值的偏差0.3 0.4 0.5 0.6 0.7σ°估计值的标准偏差0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 Hurst系数-10σ°估计值的偏差图14：ML估计值的性能（蓝色实线），基于标度的全协方差矩阵估计值（红色实线），对于纯分数布朗运动，给出了鲁棒估计（da-shed-blackline）。0.3 0.4 0.5 0.6 0.70.050.1 H估计值的标准偏差0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 H估计值的赫斯特系数-0.15-0.1-0.05偏差0.3 0.4 0.5 0.6 0.7σ°估计值的标准偏差0.3 0.4 0.5 0.6 0.7σ°估计值的赫斯特系数偏差图15：分数布朗运动被白色无ise破坏时估计值的性能。0 50 100 150 200 250 300天基于相对标度的光谱残差RentWest Texas图16：相对光谱残差（用绝对估计器获得的残差与用ML估计器获得的残差之比）作为Brent（蓝色实线）和West Texas（红色虚线）数据标度的函数-2-1年尺度-4-3-2-1年尺度-4-3-2-1年尺度-4-3-2-1年尺度-幂律图17：与实际光谱（红色实线）相比，稳健（黑色虚线）和ML（蓝色实线）估计方案的尺度光谱图示例。

左图是从西德克萨斯数据获得的局部光谱，右图是从布伦特数据获得的局部光谱-3-2-1年标度0.9820.9840.9860.9880.990.9920.9940.9960.998相关性西德克萨斯原油和伦敦原油图18:1987年5月至2009年6月期间布伦特和西德克萨斯数据之间基于标度的相关性b（蓝色交叉）和2016年7月至6月（红色交叉）。布伦特原油数据前16年的估计波动率σ=32%，后16年的估计波动率σ=34%（蓝色实线）。图中的直线是对应的模型谱，代表了一个“完美”的幂律，并具有估计值。我们可以观察到，在很长的时间内，光谱保持着近似的幂律行为。此外，两部分数据的幂律非常相似。当我们估计16年的长期尺度谱时，就会出现这种情况。我们在第4.1节中表明，如果我们考虑较短子窗口上的数据，s标度光谱会随时间变化，因为我们可以观察到光谱中的垂直位移，对应于局部波动性的变化。这些变化以协调的方式发生在西德克萨斯和布伦特数据集上。D进一步的天然气价格图在本节中，我们进一步研究了天然气现货价格，并显示了与原油价格数据相关的校正图。在图20中，我们绘制了图10所示HenryHub natural ga s数据的回报，如方程式（1）所示。同样，回报过程的波动性不是恒定的，而是呈现出时间变化，此外，对于特殊的市场事件，可以看到峰值。图21显示了完整气体数据时间序列的标度谱。估计的赫斯特指数为H=。38，相关波动率估计值为σ=45%。红色虚线显示了刻度光谱。

再次注意与有效的“单分数”行为相对应的线性行为，其外部尺度超过一年。波动率被视为略高于原油价格波动率，而赫斯特指数和价格粗糙度则相似。我们在图22中分别展示了前半部分和后半部分数据的对应s标度spe c tra（1997-20 07年和-2标度-4-2年电价法德克萨斯州布伦特威斯特-2标度-4-2年电价法德克萨斯州布伦特威斯特-图19：1987-2002年（左）和20 01-20 16年（右）。1987-2002年期间，估计的赫斯特指数为H=。41（WestTexas，红色虚线）和H=。44（布伦特，蓝色实线），估计可用性为σ=28%（西得克萨斯）和σ=32%（布伦特）。直线是一年多的外部尺度的拟合光谱和数据。2001年至2016年期间，估计的赫斯特指数为H=。42（西得克萨斯州）和H=。45（布伦特），估计波动率为σ=32%（西得克萨斯州）和σ=34%（布伦特）。2000 2005 2010 2015年-0.8-0.6-0.4-0.20.20.40.60.8原始回报数据Henry Hub图20：Henry Hub天然气回报-2年比例尺-4-2亨利·胡伯价格幂律图21：亨利·胡伯天然气的“格洛-巴尔幂律”。当从完整的对数变换数据计算标度谱时，我们观察到近似的幂律。估计的赫斯特指数为H=。38、估计波动率σ=45%。虚线表示已确定的光谱，并很好地拟合了一年以上的外部尺度数据。2007–2016 ). 估计的赫斯特指数为H=。37和H=。40对于第一和最后一半的数据，相关波动率估计值分别为σ=49%和σ=43%。

两部分数据的s谱定性行为相似。我们计算了天然气数据的光谱误差，即原油数据的经验和估计对数尺度光谱差异的均方根，如图6所示。与crudeprices的情况一样，我们观察到，spec-tral mis fit较低，并且在时间上具有统计上的同质性，这表明时间序列由具有Hurst指数Ht和σt的多分数模型很好地描述。此外，我们还考虑了当我们假设H=1/2时的情况，相应的tomodeling具有不相关的回报。因此，估计的波动路径比多分数情况下更不稳定，谱残差更大且具有更强的时间相关性。因此，我们发现，与多分数情况相比，H的引入大大降低了光谱的增益-2年比例尺-4-2电价法Henry Hub-2年比例尺-4-2电价法Henry Hub图22:1997-2009年期间Henry Hub天然气比例尺谱（上图）和2009-2016年期间Henry Hub天然气比例尺谱（下图）。估计的赫斯特指数H=。37（顶部）和H=。40（b ottom）。估计波动率为σ=49%（顶部）和σ=43%（底部）。红色虚线是一年以上的固定光谱和数据。