我们注意到，VaR和ES的优化头寸可能具有类似的形式（命题3和命题4）。然而，根据定义，ES并没有忽略最优配置尾部的值（与VaR相比），这解释了为什么风险度量的相应值不会被低估。关于VaR和ES的稳健性有着广泛的讨论（虽然不在本文的优化内容中），保持一个平衡的观点可能是公平的。ES稳健性的一个重要方面是扰动引起的困难，扰动产生概率50 100 150 2002.02.12.22.32.42.650 100 150 2000.20.40.650 100 150 2001.51.61.71.81.950 100 150 200-15-10-5图4：ρ（gX（Z））和ρ（gX（X））10000个独立样本点的均方误差，每个都有一个最大似然估计量bθ，该估计量是根据Exp（1）分布风险因子Z的n个iid实现计算得出的。横轴显示数字n。ρ=VaR0.99的情况可以在左侧找到，ρ=ES0.975的情况在右侧找到。顶部的两个面板绘制均方误差（原始值），底部的面板对应于可能具有有限第一时刻的对数变换分布；这就是为什么在推论1中，ES相对于πqn的稳健性需要一个v和w增长率的条件。因此，在从历史数据中最小化ES时，需要始终做出适当的可积性假设，否则最小化ES可能会像VaR一样成问题。基本模型在风险管理中不是纯粹的学术性质；例如，参见《运营风险》中的Neˇslehov\'aet al.（2006）和《气候变化经济学》中的Weitzman（2009）。有关VaR和ES在银行和保险监管中可取性相关的各种问题的最新学术讨论，我们参考了Kou和Peng（2016）、Fissler和Ziegel（2016）、Embrechts等人。

（2018），Armstrong和Brigo（2018）以及其中的参考文献。8.2关于稳健公式的备注在本节中，我们进一步说明了稳健定义与优化和模型不确定性文献中相关概念之间的关系。我们首先考虑巴塞尔协议III/IV和偿付能力协议II中规定的企业偿付能力资本计算问题。假设Z是真实（但未知）模型，gZ是∈ GZ（ρ）；见（2）X=Z。在偿付能力资本计算中，以下数量具有不同的物理含义：（a）ρ（gX（X））：公司为X优化的感知风险值（偿付能力资本要求）；（b） ρ（gZ（Z））：为Z优化的理想风险值，就好像Z是已知的一样；（c） ρ（gX（Z））：模型Z的实际风险值，但对X进行了优化。在上述数量中，理想风险值ρ（gZ（Z））表示如果已知真实模型，最好的情况。由于真实模型未知，该值不可用，因此与偿付能力资本计算无关。因此，出于偿付能力风险管理的目的，我们对偿付能力缺口ρ（gX（Z））|{Z}实际风险感兴趣- ρ（gX（X））{z}感知风险，（16）非最优缺口ρ（gZ（z））{z}理想最优- ρ（gX（Z））{Z}实际风险，（17）或最优性转移ρ（gZ（Z））{Z}理想最优- ρ（gX（X））。|{z}感知最优（18）注意，（17）和（18）都涉及ρ（gZ（z）），这与偿付能力考虑无关。在优化文献中，集合映射的连续性Z 7→ GZ（ρ），以及函数Z 7的→ ρ（gZ（Z）），被称为稳定性问题，即。

当基础模型从X变为Z时，最优性解和最优性转移（18）如何变化；例如，见Bonnans和Shapiro（2000）及其参考文献。让我们通过以下两个例子进一步说明我们的稳健性概念。示例6。假设模型X导致唯一的最优决策gX（X）=X∈ R、 这意味着完全清算该资产或进行完美的对冲。在这种情况下，gXis是一个恒常函数，因此Z为7→ ρ（gX（Z））是一个常数映射，因此根据我们的定义，它总是稳健的。换言之，无论真正风险Z的优化器是什么，偿付能力缺口（16）都将为零。因此，模型不确定性与solvencycapital的计算无关。另一方面，如果真实模型Z不等于X，并且资产清算对于Z不是最优的，那么我们有ρ（gZ（Z））<ρ（X）；因此，最优性转移（18）将是严格负的。因此，在这种情况下，（16）中的偿付能力缺口是正确的概念，而不是最优性转移。示例7。假设X和Z在gX（X）和gZ（Z）的分布相同的意义上相似，但gX（Z）和gX（X）的分布不相同。在这种情况下，对于任何法律不变的风险度量ρ，例如VaRpor ESp，我们都有ρ（gX（X））=ρ（gZ（Z）），但ρ（gX（Z））>ρ（gZ（Z））=ρ（gX（X）），因为gXis通常对Z不是最优的。很明显，solvencygap（16）是严格正的，最优性转移（18）消失。在这种情况下，监管机构担心模型不确定性的破产问题。实际上，真实风险值ρ（gX（Z））大于感知风险值ρ（gX（X）），这意味着偿付能力资本不足。然而，请注意，ρ（gZ（Z））和ρ（gX（X））之间没有间隙。因此，同样在这里，偿付能力缺口是研究的正确概念，而不是最优性转移。备注2。

在下面的几句话中，我们提供了关于我们针对优化的鲁棒性公式的各种其他有趣的评论。1、三角不等式。注意三角不等式|ρ（gX（Z））- ρ（gX（X））| 6 |ρ（gX（Z））- ρ（gZ（Z））|+|ρ（gZ（Z））- ρ（gX（X））|。这个不等式表明，如果（18）中的最优性转移和（17）中的最优性差距都收敛到0，则为Z→ π中的X，那么我们的偿付能力差距收敛到0，从而对优化具有鲁棒性。然而，相反的情况并不成立，如例6所示，在例6中，稳健性总是有保证的，因为Xis的优化器可以完全清算资产，尽管最优性转移不是零。因此，针对优化的鲁棒性研究并不等同于对最优换档和稳定性的综合研究。换言之，最优性缺口和最优性转移的连续性是有效的，但对于对优化的鲁棒性来说并不是必要的。2、制定稳健性的替代方法。有一些替代方法可以在定义2中表述稳健性的概念。我们讨论了它们，并解释了我们公式的优点。（a） 人们可以在概率分布集上使用不确定性，而不是在随机向量集上使用不确定性。考虑随机向量的误判而非其分布有一些优点。首先，我们的框架是通用的，即对法律不变的风险度量或效用函数没有限制。对于本文研究的稳健性概念，无需指定概率度量（非法律不变风险度量包括芝加哥商品交易所使用的保证金要求风险度量；参见McNeil等人（2015年，第2.3节））。

其次，我们的框架是灵活的，因为我们可以很容易地纳入我们感谢一位匿名仲裁人对这些问题的讨论，特别是通过三角不等式指出我们的概念与经典概念的关系。使用分布集上的度量（这是随机变量集上的伪度量）来错误指定分布。第三，在证明第4节和第5节中关于风险度量的稳健性和非稳健性的论文中的几个结果时，我们需要获得几乎确定意义上的等式（ω-态等式），以定位g的唯一形式。（b）定义2的另一种替代方法是要求所有而不是一个优化函数gXto满足Z 7的π-连续性→ ρ（gX（Z））在Z=X时。这一要求将比当前定义2更强。对于我们的主要结果，定理1，说明VaR通常不稳健，定义2中的当前公式给出了astronger结果。此外，要求所有优化函数的连续性可能导致病理陈述。例如，假设gX∈ G是ES（或任何其他风险度量）和X的连续优化函数∈ 五十、 如果将gXon修改为一组uX-measure零（如一组有理数），则得到的函数仍然是最优的，但稳健性失败，这是正确的。3、限制。本文研究的抗优化鲁棒性是一个理想的鲁棒性概念，但它应该被视为是在优化环境中使用的一个良好风险度量的必要条件，但通常不是有效条件。例如，即使gX（Z）在Z=X时是连续的，模型中的小规模扰动可能会导致实际例子中风险评估的巨大变化，因为我们的概念没有量化风险值的敏感性，这将是未来的研究方向。4、随机过程优化。

可以考虑连续时间模型，其中优化器是在一组随机过程中选择的（例如，可接受的交易策略）。我们的框架和讨论可以扩展到这些问题，只要优化器是随机源X的函数，无论是有限维的还是有限维的。事实上，在许多经典金融模型中，连续时间优化问题（如上面的对冲示例）可以通过鞅方法转化为单周期优化问题，因为我们可以看到示例4.9与分布式鲁棒优化的联系我们在分布式鲁棒优化的背景下讨论了我们的鲁棒性概念，从而得出本文的结论。我们在第4节中的结果表明，VaR通常不适用于（8）。在分布稳健优化的经典设置中（例如Quaranta和Zaffaroni（2008）、Zhu和Fukushima（2009）、Blanchet和Murthy（2019）），目标函数本身在一组表示不确定性的可能模型的最坏情况下进行评估。通过取目标的最坏情况值，将模型不确定性纳入优化问题。Hu和Hong（2013年）以及Zymler等人（2013年）也给出了最坏情况下VaR和ES的其他相关结果。我们想知道，采取这种方法是否会提高针对风险措施优化的稳健性。为了从数学上表述这种考虑，设ρ为不确定性三元组（G，Z，π）和X的相容目标泛函∈ Z、 我们研究以下优化问题，这是（1）的稳健版本，以最小化：supπ（Y，X）6ερ（g（Y）），受g∈ G、 （19）其中ε>0。用GX（ρ，ε）表示函数集g∈ G最小化（19）。显然，如果weallowε=0 in（19），那么GX（ρ，0）=GX（ρ），我们回到了第2节的设置。

在问题（19）中，投资者对风险头寸g（Z）的风险度量值ρ（g（Z））感兴趣，其中Z是不可知的真实模型。因此，与定义2类似，我们认为，如果存在sGx，目标函数ρ对设置（19）的优化具有鲁棒性∈ GX（ρ，ε），使得函数Z 7→ ρ（gX（Z））在Z=X时是π-连续的。不幸的是，即使对于第3节中的代表性设置以及VaR和凸风险度量的情况，极大极小问题（19）也不容易解析求解。通常，必须对此类问题应用线性规划方法。由于凸风险度量在第5节中已经被证明是一般稳健的，其分布稳健版本也是一般稳健的；因此，我们将重点放在VaR在这种情况下是否变得更加稳健的问题上。我们在本节中的结果应该被理解为探索性的，而不是决定性的。为了获得分析结果，我们研究了（8）的一个简单的一维情况，通过lettingG={g∈ G： 0 6 G 6 m，E[γ（X）G（X）]>X}，（20），其中X和m是满足0 6 X<mE[γ（X）]的两个常数。我们选择（Z，π）=（L∞, π∞)并将优化问题转化为最小化：supπ∞g上的（Y，X）6εVaRp（g（Y））∈ G、 （21）与第4节类似，用q表示（21）的最小值，即q=inf（supπ∞（Y，X）6εVaRp（g（Y））：0 6 g 6 m，E[γ（X）g（X）]>X）。我们作出以下更有力的假设。假设D。q>0，1/2 6 p<1，X在其支撑上的密度递减，γ是X的递增函数。幸运的是，通过假设D，我们能够获得问题（21）的解的显式形式，使我们能够将相应的鲁棒性属性与我们在第4节中获得的结果进行比较。提案5。对于（20）中的G，在假设D下，问题（21）允许一个解，即mgx（x）=m1{x>c+ε}+q1{x6c+ε}，x∈ R、 其中c=VaRp（X）。

（22）对于解决方案gXin命题5，第3节中提到的VaR的连续性意味着映射Z 7→ VaRp（gX（Z））为π∞-在Z=X时连续。因此，VARPI对设置的优化具有鲁棒性（19）。这一观察结果与定理1形成鲜明对比，在定理1中，我们看到VaRpis对（G，L）不鲁棒∞, π∞) 在一些非常弱的假设下（这不符合假设D）。因此，至少对于特殊设置（19），修改后的优化问题（21）提高了VaR的稳健性。目前尚不清楚如何将此结果推广到其他优化问题，因为（19）的分析结果很少可用。虽然VaRpbecomes在设置（21）中很稳健，但它的优化函数采用了与命题3相似的形式，即一个跳跃分布和一个小概率的大损失分布。由于（22）中gX（X）的分布在其（p+ε）-分位数处有跳跃，这种类型的优化函数非常不可取，如果ε很小，则会受到相当大的模型不确定性的影响；参见第8节中的讨论。确认。作者感谢拉玛·康特、邓晓雪、保罗·格拉斯曼、李元林、马塞尔·纳茨和菲利普·普洛特对该论文早期版本的深刻评论。特别是，PaulGlasserman提出了术语“针对优化的鲁棒性”。RWA感谢加拿大自然科学和工程研究委员会（NSERC，RGPIN-2018-03823，RGPAS-2018-522590）和精算师学会精算卓越中心研究基金的财政支持。γ作为X函数的单调性具有简单的经济意义。回想一下，X表示资产的损失。因此，假设D要求当资产损失较大时，定价密度较大。

Arrow-Debreu（Arrow and Debreu（1954））概念中的经典平衡模型满足了这一要求。定理和命题的证明。1第2节命题1的证明。它需要显示函数Z 7→ ρ（g（Z））是π-连续的。Bydefinition，对于任何X、Y∈ Z、 πg（Z）（g（X），g（Y））=π（X，Y）。因此ρ的πg（Z）-连续性与函数Z 7的π-连续性等价→ ρ（g（Z））。命题2的证明。（i） 这需要证明，作为k→ ∞, Xk公司→ X英寸π∞nimplies thatg（Xk）→ g（X）inπ∞. 这是海涅-康托定理的直接结果（见Rudin（1976）的定理4.19）。（二）Xk→ X w.r.t.πqn乘以{| Xk | q}k∈Nis一致可积且Xk→ Xin概率。根据连续映射定理，g（Xk）→ g（X）不可能性。此外，对于非常大的c，Eh | g（Xk）| q{| g（Xk）|>c}i6 CqEh | Xk | q{| Xk |>c/c}i。因此，（| g（Xk）| q）是一致可积的，反过来，g（Xk）→ g（X）w.r.t.πq.（iii）可以证明，作为k→ ∞, Xk公司→ πwn中的X表示g（Xk）→ 这是连续映射定理的直接结果。A、 第4节中的2个证明由于γ的重新缩放不会改变优化问题（8），我们将在第4-6节中所有结果的证明中安全地假设[γ（X）]=1。定理1的证明。在下面的内容中，RNA上函数的等式和不等式几乎可以肯定地理解为关于uX的等式和不等式，而这些函数的基本上界和期望值则取在uX下（我们使用EXPRE强调关于uX的期望值）。如果极小化子集GX（ρ）为空，则没有任何显示。假设gX∈ G是问题（1）的极小值。我们将显示Z 7→ ρ（gX（Z））在X处不能连续，这在定理中给出了陈述。我们首先表明预算约束总是有约束力的，即对于任何优化器gXto（1），EX[γgX]=xf。

（A.1）假设EX[γgX]>xf为矛盾。用ε=EX[γgX]表示- x、 v=ess sup（v），并设gX=（gX- ε) ∨ v、 由于v 6 gX6 w和EX[γgX]>EX[γgX]- ε=x，我们有gX∈ G、 此外，由于v<VaRp（gX（X）），根据假设v，我们得到VaRp（gX（X））6 VaRp（（gX（X）- ε) ∨ v） =VaRp（gX（X）- ε) ∨ v=（VaRp（gX（X））- ε) ∨ v<VaRp（gX（X））。这与gX的最优性相矛盾。因此，（A.1）成立。考虑概率空间（Rn，B（Rn），uX），其中B（Rn）是Borelσ场。继Wang和Zitikis（2020）之后∈ B（Rn）被称为可测量函数的p尾事件h:Rn→ R和p∈ （0，1），如果uX（A）=1-对于ux-a.e.x，p和h（x）>h（x）∈ A和x∈ Ac.Wang和Zitikis（2020）的引理A.3暗示了尾事件在任何无原子概率空间中的存在，并指出假设G保证（Rn，B（Rn），uX）是无原子概率空间。设A是gXso的p尾事件，p（X∈ A） =uX（A）=1- p、 根据VARP的定义，我们有VARP（gX（X））=ess sup（gX | Ac），（A.2），其中ess sup（gX | Ac）是Ac上gXconditional的基本上确界（相对于uX）。定义函数^g=gXAc+w1A。很明显，^g>gX。此外，由于^g和Gxonlydifer对尾部事件A的影响，（A.2）意味着VaRp（^g（X））=VaRp（gX（X））。因此，^g也是（1）的胺化剂。注意，如果^g 6=gX，那么我们有EX[γ^g]>EX[γgX]=x。通过（A.1），预算约束总是有约束力的，我们得出结论，^g=gX。因此，gXA=w1A。接下来，通过矛盾的方式假设gX（X）的分位数函数是连续的atp。如果w的p尾事件Aof是uX-a.s.等于a，那么我们有，使用gXA=w1A=w1A，VaRp（w（X））6 limq↓pVaRq（w（X））=limq↓pVaRq（gX（X））=VaRp（gX（X）），与假设V中的VaRp（gX（X））<VaRp（w（X））相矛盾。因此，任何p尾事件Aofw都满足A6=a。

由于两个集合具有相同的概率，集合C：=A\\A必须是α：=uX（C）∈ (0, 1 - p] 。写入a=VaRp（gX（X））和b=VaRp（w（X））。对于每个δ∈ （0，α），设Cδ是C的子集，使得uX（Cδ）=δ，aδ是gX的（p+δ）-尾事件，Bδ：=a \\ aδ。注意，自C以来，Cδ上的w>频带gX6 a A\\A.因此，w- gX>b- Cδ上的a>0。此外，Cδ∩ Bδ=.由于γ>0，uX（γ>ε）→ 1为ε↓ 因此，我们可以自由选择Cδ，使得对于每个δ，γ在Cδ上远离0∈ (0, α). 由于γ是从上面有界的，我们可以让`，ube两个常数，使得Cα/2上的0<`<γ，和γ<u<∞ 关于Bα/2。设gδ=a1Bδ+w1Cδ+gX（1- 1Bδ∪Cδ）。换言之，gδ是通过在概率δ的集合Bδ上减小gXto a的值，并在集合Cδ上增大其值到w也就是在概率δ上获得的。很明显，v 6 gδ6 w。注意交流上的gX6 a，这意味着交流上的gδ6 a\\Cδ。此外，gδ6 a在Bδ上。因此，P（gδ（X）6 a）>uX（Bδ）+uX（Ac\\Cδ）=1- p、 这使得VaRp（gδ（X））为6 a。由于gX（X）的分位数在p处是连续的，因此存在δ∈ （0，α/2）使得| gX- a |<（b- a） `/u在Bδ上。把上述观察结果放在一起，我们得到了[γgδ]- E[γgX]=E[γ（gδ- gX）1Cδ]- E[γ（gX- gδ）1Bδ]>（b- a） E[γ1Cδ]-`u（b- a） E[γ1Bδ]>（b- a） `δ-`u（b- a） uδ>0。VaRp（gδ（X））6 a=VaRp（gX（X））和EX[γgδ]>EX[γgX]=X的事实进一步保证了gδ是（1）的优化器。然而，这与任何优化器（1）都需要满足（A.1）的事实相矛盾。这一矛盾表明了所期望的结论，即gX（X）的量子化函数在p处有一个跳跃。对于ε>0，设aε={X∈ Rn:d（x，A）6ε}，其中d是欧氏距离。为每个人∈~Aε，设fε（y）是一个Borel函数，它将y映射到A中最近的一个点；有关Borel选择器的存在，请参见Jayne和Rogers（1985）。确定随机变量ZεbyZε=fε（X）1{X∈Aε}+X1{X∈Acε}。注意π∞n（Zε，X）6ε。

因此，Zε→ X为ε↓ 0英寸π∞n、 这是我们考虑的最强度量π。此外，通过假设G，X在其支撑上具有正密度，这是一个凸集，这意味着P（Zε∈ A） =P（X∈Aε）>P（X∈ A） =1- p、 还要注意，ifZε∈ A、 然后gX（Z）>limq↓pVaRq（gX（X））。因此，VaRp（gX（Zε））>limq↓pVaRq（gX（X））>VaRp（gX（X）），表明Z 7→ ρ（gX（Z））在X处不是π-连续的。备注3。假设v中的假设ess sup（v）<VaRp（X；G）不是必要的。正如我们从证明中看到的，这个假设被用来表示两个条件。首先，它用于显示（A.1）；i、 例如，预算约束具有约束力。其次，它用于保证v 6 gδ6 wf或δ足够小。这两种情况都是自然的，而且相当脆弱。另一方面，γ在上有界的假设仅用于保证概率为δ的集合Bδ上的某些u＞0的γ＜u↓ 注意，如果gX（X）是连续分布的，那么Bδ的集合是uX-a.s.等于{X∈ Rn:VaRp（gX（X））<gX（X）<VaRp+δ（gX（X））}。因此，在这种情况下，必须假设γ在{x的任何小邻域中从上方有界∈ Rn:gX（x）=VaRp（gX（x））}。这一假设实际上总是令人满意的。需要以下引理来说明命题3。引理A.1。在假设G和V下，问题（9）至少允许一个解。引理A.1的证明。通过dQ/dP=γ确定Q，并让u=Qo 十、-1、集合G是L（u）的一致可积子集。设{gn}n∈Nbe VaRpin G的一个最小化序列。根据Dunford-Pettis和EberleinˇSmulian定理（Dunfordand Schwartz（1958）的定理IV.8.9和V.6.1），存在一个子序列{gnk}k∈n在L（u）中弱收敛于某些函数gX∈ L（u）。由于G在L（u）中是凸的和闭的，我们得到了gX∈ G、 此外，L（u）中的弱收敛清楚地表明gnk（X）定律弱收敛于gX（X）定律。

但VaRpis是一个左手分位数，因此在Towerak收敛方面具有较低的半连续性（例如，参见F¨ollmer and Schied（2016）中的练习a.6.1）。这证明gXis是最优的。命题3的证明。很容易检查VaRp（gX（X））6q。根据引理A.1，问题（9）至少有一个优化器。让g∈ G是（9）的优化器。由于VaRp（g（X））=qand g（X）6 X，我们有，在uX-a.s.的意义上，g（X）6 X1A+（X∧ q） 1Ac，其中A是g（X）的p尾事件。显然，在上述不等式中取一个等式只会增加EX[γg]，同时保持VaRp（g（X））6 q，并且不会影响g的最优性。此外，正如我们在定理1的证明中所看到的，预算约束是有约束力的；这意味着我们不能在保持VaRp（g（X））6 q的同时严格增加EX[γg]。因此，它必须是g（X）=X1A+（X∧ q） 1Ac。注意E[γ（X）g（X）]=E[γ（X）X1A]+E[γ（X）（X∧ q） 1Ac]=E[γ（X）X]- E[γ（X）（X- q） +交流]=E[γ（X）X]- E[Y+Ac]。（A.3）在满足的P（A）=1上最大化上述项- p、 很明显，当Y+在Ac上取其最小值时，e[γ（X）g（X）]达到最大值。换句话说，A是Y+的p-尾事件。此外，通过假设V，我们得到了q<VaRp（X）。因此，A上的Y=Y+>0，并且A也是Y的p尾事件。再次使用预算约束具有约束力这一事实，任何不能在固定VaRp（g（X））=q的情况下最大化EX[γg]的函数g都不能是优化器。由于Y+的p尾事件由p（Y 6 VaRp（Y））=p唯一，我们知道g=gXin（10）是唯一的g，VaRp（g（X））=q，因此EX[γg]=X。因此，g=gXis是（9）的uX-a.s唯一解。最后，我们展示了（11）。由于A是Y+的p尾事件，我们知道Acis A（1- p） -尾部通风口-Y+。此外，我们还有E[-Y+| Ac]=ES1-p(-Wang和Zitikis（2020）的引理A.7中的Y+。

利用预算约束具有约束力的事实和（A.3），我们得到X=E[γ（X）gX（X）]=E[γ（X）X]- E[γ（X）X]+pE[-Y+| Ac]=E[γ（X）X]+pES1-p(-Y+。这给出了所需的等式（11）。A、 3定理2第5节的证明。在第一步中，我们证明了G中存在一个极小值。很明显，G是非空的。设{gn}n∈Nbe G中的一个序列，使得ρ（gn（X））收敛到λ：=infg∈Gρ（G（X））。由于gntakes的值介于v和w之间，标准的Koml'os类型参数（例如，引理1.70 inF¨ollmer和Schied（2016）），允许我们传递到序列{egn}n∈GN的Nof凸组合使得EGnConvergeuX-a.s.到某个函数g。支配收敛产生e[γ（X）g（X）]=limn↑∞E[γ（X）egn（X）]>lim infn↑∞EX[γ（X）gn（X）]>X.（A.4），因此，G延伸到G。ρ的凸性意味着ρ（egn（X））收敛到最小值λ。此外，由于ρ由于（13）而具有Fatou性质，因此我们有ρ（g（X））6lim infnρ（egn（X））。因此gX：=G中的一个极小值。现在我们推导gX的结构。为此，考虑`（x）：=supy>0（xy- ^1（y））。然后`在R上是凸的、非减量的、非恒定的和有限的，因为Д具有超线性增长。此外，Ben-Tal和Teboulle（2007）中的定理4.2（参见Ben-Tal和Teboulle（1987）中的引理1）提供了以下对偶表示，ρ（Y）=infz∈RE[`（Y+z）]- z, Y∈ L∞. （A.5）我们声称实际达到了（A.5）中的上限。要了解原因，请首先注意，我们对Д的假设意味着存在y>1，使得Д（y）<∞, 这意味着对于足够大的x，`的斜率至少为yf。这在所有z的范围内产生了一个上限，该范围对in（A.5）中的最大值有贡献。第二，存在y<1，其中包含Д（y）<∞, 这意味着对于足够大的负x，`的斜率最多为y。这给出了z的下界。

z 7的连续性→ E[`（Y+z）]- z现在同意我们的要求。现在让z*使ρ（gX（X））=E[`（gX（X）+z*)] - z*. 然后，infg∈Gρ（G（X））6 infg∈GE[`（g（X）+z*)] - z*6 E[`（gX（X）+z*)] - z*= infg公司∈Gρ（G（X））。因此，gXminimizes E[`（g（X）+z*)] 超过g∈ G、 因此，我们在定理4（优化预期损失）的背景下，其证明产生了gXas的形式，即E[`（G（X）+z的最小值*)]超过g∈ G、 现在假设Zn∈ Ln是规律收敛于X的随机变量。通过Skorokhod嵌入，我们可以在不损失一般性的情况下假设Zn→ X holdsP-a.s.ρ的稳健性现在与定理4的证明一样，通过使用ρ具有所谓的Lebesgue性质这一事实，这反过来又是F¨ollmer and Schied（2016）练习4.2.3和4.3.4的结果。推论1的证明。首先，通过使用（14）中最右边的表示，当用以下更一般的参数替换（A.4）时，Amimizer GxC的存在可以如定理2的证明所示。我们假设E[γ（X）| w（X）|]是有限产量，且Fatou的柠檬酸盐[γ（X）g（X）]>lim supn↑∞E[γ（X）egn（X）]>lim infn↑∞E[γ（X）gn（X）]>X。接下来，我们将使用identityESp（Y）=minz∈R1.- pE[（Y+z）+]- z, Y∈ 五十、 其中，在z=F时达到最小值-1年（1- p） ；例如，参见F¨ollmer and Schied（2016）中的命题4.51，并注意到其中给出的证明在不修改Y的情况下有效∈ Land不需要假设Y∈ L∞. 因此，我们处于定理2的设置中，本证明的后面部分与该结果完全相同。除此之外，还需要注意的是，在定理3的证明中，ESpis是连续的。让`*（y） ：=supx∈R（xy- `（x） ）是`的芬切尔-勒让德变换。风险度量ρ可以用ρ（Y）=maxQ的形式表示P等式[Y]- infλ>0λx+Eh`*λdQdP我, Y∈ L∞; （A.6）见F¨ollmer and Schied（2016）中的定理4.115。

使用此表示，amimizer gX的存在性∈ G是在定理2的证明中建立的。如F¨ollmer and Schied（2016）中命题4.113的证明开头所示，z*:= ρ（gX（X））是方程E[`（gX（X））的唯一解-z） ]=x。由此可知，gXminimizes E[`（g（x））-z*)] 超过g∈ G、 事实上，假设通过矛盾的方式，有G∈ G，其中E[`（G（X））-z*)] < E[`（gX（X））-z*)]. 那么方程E[`（g（X））的解z=ρ（g（X））- z） ]=X将严格小于z*, 与gX的最佳性相矛盾。定理4的证明由此得出gXas的结构为uX-a.e.连续函数。ρ的稳健性现在与定理4的证明一样，通过使用ρ具有所谓的Lebesgue性质这一事实，这反过来又是F¨ollmer and Schied（2016）中练习4.2.3和命题4.113的结果。推论2的证明。设ρ（Y）表示Y的期望值∈ Land `凸损失函数\'（x）=τx+- (1 - τ） x个-. 我们有`*（y） =0如果1- τ6 y 6τ和`*（y） =+∞ 否则因此，lettingeρ（Y）：=supnEQ[Y]：Q 存在λ>0 s.t.1- τ6λdQdP6τo，Y∈ 五十、 （A.7）恒等式（A.6）得出ρ（Y）=eρ（Y）表示Y∈ L∞. 对于Y∈ 土地n∈ N、 we letYn：=(-n）∨ Y∧ n、 然后我们得到ρ（Yn）=eρ（Yn）。很容易看出ρ（Yn）→ ρ（Y）。此外，这些概率测度Q的密度集 存在λ>0且1- τ6λdQ/dP 6τ在L中有界∞. 因此，Cheridito和Li（2009）中的定理4.2暗示eρ在L上是范数连续的。因此，eρ（Yn）→ eρ（Y），我们得出结论，对于所有Y，eρ（Y）=ρ（Y）∈ 五十、 利用这个恒等式和ρ的范数连续性，ρ的鲁棒性现在如下定理3的证明所示。命题4的证明。结果来自于F¨ollmer和Schied（2016）的定理8.26。

F¨ollmer and Schied（2016）定理8.26的证明中说明了r是gX（X）的p-分位数的事实。A、 第6节定理4的证明中的4个证明。考虑功能`*（z，x）：=supv（x）6y6w（x）yz公司- `（y）, （A.8）y定义∈ R和x∈ 注册护士。让y*（x，z）表示最大最大值。我们一定有*（x，z）=v（x）<==> `-（y） >z代表所有y∈v（x），w（x）,y*（x，z）=w（x）<==> `-（y） 所有y均为6 z∈v（x），w（x）.（A.9）此外`-（y）*（x，z）6 z 6`+（y*（x，z））如果y*（x，z）∈v（x），w（x）（参见F¨ollmer and Schied（2016）中的提案A.9（A））。让I（z）：=inf{y：`-（y） >z}=sup{y：`-（y） 6 z}表示的右连续广义逆函数`-, 因此，我们看到y*（x，z）=后一种情况下的I（z）。总之，我们得到y*（x，z）=v（x）∨ I（z）∧ w（x）。让我们定义（c）（x）：=v（x）∨ I（cγ（x））∧ w（x），x∈ Rn，c∈ R、 （A.10）函数I是非减量的，因此最多有可数目的跳跃，形成uXoγ-1-nullset，由于我们的假设P。由于我们的假设E[γ（X）| w（X）|]<∞, 我们可以应用单调收敛定理，得到函数c 7→ E[γ（X）g（c）（X）]从E[γ（X）w（X）]>xto K连续减小：=E[γ（X）（v（X）∨ I（0）∧ 当CDE从+∞ 到0。让我们首先考虑K<x的情况。在这种情况下，有一些c*> 0，其中E[γ（X）g（c*)（十） ]=X。我们现在显示gX：=g（c*)是最佳的。事实上，从（A.8）和我们对gX的定义来看，很明显，对于任意的g∈ G、 c类*γ（X）gX（X）- `（gX（X））=`*（c）*γ（X），X）>c*γ（X）g（X）- `（g（X））。（A.11）在（A.11）的两边取期望值，并使用E[γ（X）g（X）]>xhence得到E[`（gX（X））]6 E[`（g（X））]，这是期望的最优性。现在让我们来看看K>x的情况。为此，考虑a：=infy`-（y） >0和b：=supy`-（y）∈ [a，∞]. 那么I（z）=-∞ 对于z<a和I（z）=+∞ 对于z>b。

此外，I（a）=limz↓aI（z）是有限的当且仅当`是线性on(-∞, I（a）]，斜率为a。由于K>xcan仅在I（0）为有限时出现，并且我们明显有I（0）6 I（a），因此`在(-∞, I（a）]和I（0）=I（a）。另一方面，On的斜率（I（a），∞) 将大于A。因此，任何函数g∈ G取大于v的值∨具有正uX-概率的I（a）必须是次优的，前提是我们可以解决以下辅助问题：最小化E[`（g（X））]over g∈ GNV 6 g 6 v∨ I（a）∧ 如果A=0，则w和E[γ（X）g（X）]>X.（A.12），因此`为开启状态(-∞, I（a）]，则满足（a.12）中约束的每个g将是最优的。例如，我们可以用gx：=f表示f：=v∨ I（a）∧ w、 （A.13）如果A>0，那么我们让h：=f- v，并将（A.12）中的g替换为f- g、 然后（A.12）等价于辅助问题，最大化g上的E[g（X）]∈ GN0 6 g 6 h和E[γ（X）g（X）]6 K- x、 （A.14）如果K=x，该问题只有平凡解g≡ 0，因此（A.13）显然是uXa。s、 （A.12）的独特解决方案。对于K>x，我们选择c>0，使得E[γ（x）1{γ（x）6c}h（x）]=K- x；这是可能的，因为通过“on”的线性(-∞, I（a）]，我们假设E[`（v（X））]和E[γ（X）| w（X）|]都是有限的，这意味着E[γ（X）1{γ（X）6c}h（X）]是c的有限连续函数∈ R、 现在定义g*:= h1{γ6c}，取任何其他g∈ GN满足（A.14）中的约束条件。那么我们有（γ- c） （g）- g级*) > 0和hence0 6 E[（γ（X））- c） （g（X）- g级*（十） ）]6-cE[克（X）]- E[克]*（十） ].这表明g*求解（A.14）。下面是gx：=f- g级*= （五）∨ I（a）∧ w） 1{γ>c}+v1{γ6c}（A.15）在K>x的情况下解决了我们的原始问题。总之，我们的原始优化问题允许一个具有（A.10）、（A.13）或（A.15）形式之一的解决方案Gx。有了这个最小值，我们现在可以继续验证所断言的健壮性。假设Zk→ Lpq中的X+n。

由于函数v、w和γ是连续的uX-a.e，并且由于I最多有可数的许多不连续，因此我们有`（gX（Zk））→ `（gX（X））在L.此外，|`（gX（Zk））| 6|`-（v（Zk））|+| `+（w（Zk）））| 6 c（1+| Zk | rq-) + c（1+| Zk | pq+）6 c（1+| Zk | pq+）。因此，序列|`（gX（Zk））|是一致可积的，因此E[`（gX（Zk））]→ E[`（gX（X））]。这就是所断言的健壮性。A、 5证明在第9节为了证明命题5，我们需要以下两个引理。在下面的内容中，我们用aε={x表示∈ R：| x- 对于某些y，y | 6ε∈ A} 对于集合A R和ε>0。引理A.2。如果A R要么是紧的，要么是区间，然后是ε∈ B（R）和SUPπ∞（Y，X）6εP（Y∈ A） =P（X∈ Aε）。证据如果A是紧集或区间，那么ε也是紧集或区间，这证明了ε∈ B（R）。接下来，对于任何Y∈ L∞带π∞（Y，X）6ε，条件Y∈ A表示X∈ AεA.s.因此，P（Y∈ A） 6 P（X∈ Aε），导致supπ∞（Y，X）6εP（Y∈ A） 6 P（X∈ Aε）。为了显示不等式的相反方向，必须取Y=fA（X）1{X∈Aε}+X1{X6∈Aε}，其中，对于紧集A，fA（x）是A中x的最近点（精确地说，可以有两个这样的最近点；通过将fA（x）取为两者中的较低者，fAbecomes较低半连续，因此是可测量的）。如果A是非退化区间，我们在区间内部和letfA（x）中确定A点=一∨ （十）- ε） 如果x>sup A，A∧ （x+ε）如果x 6 inf A，则x否则。在这两种情况下，| Y- X | 6ε和P（Y∈ A） =P（X∈ Aε），从而获得所需的结果。引理A.3。设ε>0，p∈ [1/2，1），并假设X满足假设D。如果A R是紧集或满足supπ的区间∞（Y，X）6εP（Y∈ A） 6.1- p、 然后p（X>VaRp（X）+ε）>p（X∈ A） 。证据通过让*= （VaRp（X）+ε，∞), 断言可以重写为P（X∈ A.*) > P（X∈A） 。根据引理A.2，我们有1- p=p（X∈ A.*ε） =supπ∞（Y，X）6εP（Y∈ A.*). （A.16）如果P（X∈ Aε）<1-p、 我们可以放大A得到p（X∈ Aε）=1-p

那么x：=inf（Aε）满足6 VaRp（x），因为P（x 6 x）6 1- P（X∈ Aε）=p。我们分别考虑两种情况。首先，我们假设x>ess infX。根据x的定义，inf（A）=x+ε。因此，（x，x+ε） Aε\\A.还要注意P（X∈ （x，x+ε））>P（x∈（VaRp（X），VaRp（X）+ε），因为X的密度减小，而X的密度为6 VaRp（X）。因此，wehaveP（X∈ A） =P（X∈ Aε）- P（X∈ Aε\\A）6 1- p- P（X∈ （x，x+ε））6 1- p- P（X∈ （VaRp（X），VaRp（X）+ε））=P（X∈ A.*).接下来，我们假设x 6 ess infX。自p起∈ [1/2，1），我们有P（X<VaRp（X）+ε））>P>1- p、 因为p（X∈ Aε）=1- p和x 6 ess infX，存在x∈ （x，VaRp+ε）使得x6∈ Aε。设x=sup{y<x:y∈ Aε}。通过定义Aε和x，我们得到了x- ε>x和（x- ε、 x） Aε\\A.使用与第一种情况类似的参数，我们得到p（X∈ A） =P（X∈ Aε）- P（X∈ Aε\\A）6 1- p- P（X∈ （十）- ε、 x）6 1- p- P（X∈ （VaRp（X），VaRp（X）+ε））=P（X∈ A.*).我们得出结论，在这两种情况下，P（X∈ A.*) > P（X∈ A） 。命题5的证明。回想一下，G由（20）给出，对于任何函数h，EX[h]表示E[h（X）]。取任意g∈ G.用a=supπ表示∞（Y，X）6εVaRp（g（Y）），设h由h（X）=m1{g（X）>a}+a1{g（X）6a}，X给出∈ R、 （A.17）所有Y∈ L∞带π∞（Y，X）6ε，我们有VaRp（g（Y））6 a。因此，P（g（Y）>a）6 1- p、 这意味着VaRp（h（Y））6 a。因此，supπ∞（Y，X）6εVaRp（h（Y））=a。注意h∈ G，因为m>h（x）>G（x）>0，x∈ R、 因此，对于任何g∈ G、 我们可以找到一些∈ G的形式（A.17），即SUPπ∞（Y，X）6εVaRp（h（Y））=supπ∞（Y，X）6εVaRp（g（Y））。因此，需要搜索优化器h∈ 表格G（A.17）。

此外，对于这种h，我们有EX[γh]=mQ（g（X）>a）+aQ（g（X）6 a，其中Q由dQ/dP=γ给出。由于Q定律的内在规律性o 十、-1，对于任何a>a，我们都可以找到一个紧凑的setK {g（X）>a}使得h（X）=m1{X∈K} +a{x∈Kc}满足EX[γh]>EX[γh]>x。自P（Y）以来∈ K） 6 P（g（Y）>a）6 1- p代表所有Y∈ L∞带π∞（Y，X）6ε，我们有supπ∞（Y，X）6εVaRp（h（Y））=a。让我们用K表示所有紧集K的类 R满足P（Y∈ K） 6.1- p代表盟友∈ L∞带π∞（Y，X）6ε。上面的参数表明K不是空的。定义函数hk（x）=m1{x∈K} +aK{x∈Kc}，x∈ R、 （A.18）其中aK∈ R是这样的，EX[γhK]=x。P（x）保证了aKis的存在∈ Kc）>p>0。注意，0<aK<m，因为x<m，q>0。前面的参数表明，构造函数h是有效的*这样e[γh*（十） ]=xandsupπ∞（Y，X）6εVaRp（h*（Y））6 supπ∞（Y，X）6εVaRp（hK（Y））=所有K的aK，（A.19）∈ K我们定义h*byh公司*（x） =m1{x>c+ε}+a*{x6c+ε}，x∈ R、 其中a*6 m表示EX[γh*] = x、 现在让K∈ K，并填写表格（A.18）。我们拿k∈ R使得P（X>k）=P（X∈ K） 。引理A.3给定sp（X>c+ε）>P（X∈ K） =P（X>K），因此K>c+ε。此外，由于γ是X的增函数，因此上哈代-利特尔伍德不等式的形式为F¨ollmer和Schied（2016，定理A.28），yieldsx6 EX[γhK]6 E[γ（X）（m1{X>k}+aK{X6k}）]6 E[γ（X）（m1{X>c+ε}+aK{X6c+ε}）]。我们的条件EX[γh*] = X因此产生aK>a*. 此外，通过构造，supπ∞（Y，X）6εVaRp（h*（Y））=a*和supπ∞（Y，X）6εVaRp（hK（Y））=aK，我们得出结论，（A.19）成立，h*因此是问题（21）的解决方案。A、 6无界条件下VaR和ES的稳健性对于ρ=VaRporρ=ESp，我们考虑最小化无界优化问题：ρ（g（X））服从g∈ Gn，E[γ（X）g（X）]>X，（A.20），其中γ：Rn→ (0, ∞) 和x∈ R、 问题（A.20）对应于w=∞ andv=-∞.提案A.1。

假设X是连续分布的，E[γ（X）]<∞, 和p∈ (0, 1).（i） 对于ρ=VaRp，问题（A.20）没有解。（ii）对于ρ=ESp，当且仅当ESS supγ（X）61时，问题（A.20）允许解- p、 （A.21）此外，如果（A.21）成立，则（A.20）的解由常数函数gX（·）=x给出。用GUB={g表示∈ Gn:E[γ（X）g（X）]>X}。（i） 设A是一个集，使得P（X∈ A） =1- p、 写入λ=E[γ（X）1{X∈A} ]>0。对于d<x，定义函数gd（x）=d+x- dλ{x∈A} ，x∈ 注册护士。很明显，gd（X）∈ Gubbecause E[γ（X）gd（X）]=d+X-dλE[γ（X）1{X∈A} ]=x.另一方面，VaRp（gd（x））=d.让d→ -∞,VaRp（X；Gub）=inf{ρ（VaRp（g（X））：g∈ Gub}=-∞,因此（A.20）没有优化器。（ii）通过ESpin（14）的双重表示，我们得到esp（Y）=supB∈BpE[依据]适用于所有Y∈ 五十、 其中，Bp={B∈ L∞: E[B]=1，0 6 B 61-p} 。如果ess supγ（X）61-p、 然后γ（X）∈ Bp，因此对于任何g∈ Gub，ESp（g（X））>E[γ（X）g（X）]>X。显然，取恒常函数gX（·）=X，我们有gX∈ Guband ESp（gX（X））=X。因此，gXis是问题（a.20）的解决方案。接下来，假设ess supγ（X）>1-p、 用y=E[γ（X）1{γ（X）>1表示-p} ]>0且k=ESp（1{γ（X）>1-p} ）。请注意，k 6 y是因为{γ（X）>1-p}= supB公司∈BpE[B1{γ（X）>1-p} ]1- pE[1{γ（X）>1-p} ]<E[γ（X）1{γ（X）>1-p} 】。对于λ>0，取gλ（x）=λ1{γ（x）>1-p}- λy+x，x∈ 注册护士。很明显，E[γ（X）gλ（X）]=λy- λy+x=x，因此gλ∈ 古布。我们可以计算esp（gλ（X））- E[γ（X）gλ（X）]=λESp{γ（X）>1-p}- y= λ（k- y） 。出租λ→ ∞, we getinf{ESp（g（X））：g∈ Gub}=-∞,因此，问题没有解决方案（A.20）。作为命题a.1的直接结果，对于（Z，π）的任何选择，VaRpis对（Gub，Z，π）的优化都不具有鲁棒性，如果（a.21）成立，则ESpis对（Gub，Z，π）的优化具有鲁棒性。

从证明中可以清楚地看出，X具有连续分布的假设仅用于第（i）部分，并且可以放宽到要求P（X∈ （A）∈ (0, 1 - p） 对于某些事件，A.ReferencesAcharya，V.V.，Cooley，T.和Richardson，M.（2010）。制造业尾部风险：2007-2009年金融危机透视。现出版公司股份有限公司Armstrong，J.和Brigo，D.（2018）。流氓交易者与风险价值和预期缺口的对比。RiskMagazine，2018年4月。Arrow，K.J.（1963年）。不确定性与医疗福利经济学。《美国经济评论》，53（5），941-973。Arrow，K.J.和Debreu，G.（1954年）。竞争经济中均衡的存在。《计量经济学》，22（3），265–290。Artzner，P.、Delbaen，F.、Eber，J.-M.和Heath，D.（1999年）。一致的风险度量。MathematicalFinance，9（3），203–228。BCBS（2016）。标准。市场风险的最低资本要求。2016年1月。巴塞尔银行监管委员会。巴塞尔：国际清算银行。Cheridito，P.和Li，T.（2009）。Orlicz心脏的风险措施。《数学金融》，19（2），189-214。Ben Tal，A.、El Ghaoui，L.和Nemirovski，A.（2009）。稳健优化。普林斯顿大学出版社，新泽西州。Ben Tal，A.和Teboulle，M.（1987年）。基于φ-散度泛函的随机规划中的罚函数与对偶。运筹学数学，12224–240。Ben Tal，A.和Teboulle，M.（2007年）。凸风险度量的一个古老的新概念：优化确定性等价物。《数学金融》，17（3），449–476。Bernard，C.、He，X.、Yan，J.A.和Zhou，X.Y.（2015）。秩相关期望效用下的最优保险设计。数学金融，25154–186。Blanchet，J.和Murthy，K.（2019年）。通过最优运输量化分布模型风险。运筹学数学，44（2），565–600。Bonnans，J.F.和Shapiro，A.（2000年）。

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