这些趋势显示了城市经济的方向性演变，由大城市主导，其次是小城市。我们以矩阵的形式总结了这些趋势。最后，我们测量了T年组间的平均相似性变化，称为“Lead followmatrix”，表示为LF。考虑到数据的时间跨度，我们将T设置为10年。平均速率由最小二乘法得出。LF（g，g）=Xτ=110τ·φ（g；g，τ）Xτ=1τ（S12）=Xτ=110τ·hφ（g，g，t，τ）- φ（g，g，t，0）itXτ=1τ。（S13）图S6C将各个城市的时滞相似性总结为一个“潜在客户跟踪矩阵”。图中观察到的一般模式是，小城市与大城市相似，而大城市与小城市不同。由于城市群按人口规模排序，上三角表示小城市在X轴上的时间行为，下三角表示大城市的行为。上三角中的正值表示小城市在其工业特征方面越来越类似于大城市的过去，而下三角中的负值表示大城市随着时间的推移逐渐远离小城市的过去。这种不对称性表明，城市产业的演进有一个明确的方向，即大城市引领变革，小城市从后面走。换言之，最大的3个城市组（前60个城市）被认为是leadfollow矩阵中重要模式的主要领导者。B、 稳健性检查我们检查超前跟踪矩阵在各种条件下的稳健性：时滞长度、NAICS水平和城市群数量。

我们根据10年时滞、2位数NAICS和20个城市组的参考参数，测试了3年和5年的时滞、3位数和4位数NAICS以及50组和70组的城市组。因此，lead-follow矩阵对于时滞、NAICS数字和城市群大小的变化具有鲁棒性。A0 2 4 6 8 10 12滞后（）-0.0500.050.10.150.2相似性变化2345678910B0 2 4 6 8 10 12滞后（）-0.14-0.12-0.1-0.08-0.06-0.04-0.020.04相似性变化123456789C1 2 4 6 7 9 10111241516171920城市组（参考）123456781011121314151617181920城市组（观察）-0.3-0.2-0.100.10.20.3 10年的相关变化。S6.（A-B）时间固定的参考组与时间演化的其他城市组之间在时间滞后τ内的相似性变化。对于2位NAIC，参考组为最大组（A）和最小组（B）。城市被分为10组，并根据人口规模来划分。（C） 潜在客户跟踪矩阵显示了按2位数NAICS分类的就业规模分组和排名的城市之间的行业相似性增加（红色）或减少（蓝色）。当X轴上的参考组在时间上固定时，每个单元格表示y轴上一组城市（目标）在一年、两年和五年内的相似性增加（或减少）。

正上方三角形（大部分为红色）表示未来的小城市与当前的大城市相似。A1 2 3 4 5 6 7 8 1011121314151617181920城市组（参考）123456789101121314151617181920城市组（观察）-0.1-0.0500.050.1 3年的相关性变化1 2 3 4 5 6 7 8 10111213141516171920城市组（参考）1234567891013141516171920城市组（观察）-0.2-0.15-0.1-0.0500.050.10.150.2 5年的相关性变化1 3 6 7 10111241516171920 81920城市组（参考）123456789101121314151617181920城市组（观察）-0.3-0.2-0.100.10.20.3 10年的相关性变化1 2 3 5 6 7 8 1011121314151617181920城市组（参考）123456789101121314151617181920城市组（观察）-0.15-0.1-0.0500.050.10.15 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10城市组（参考）1020304050城市组（观察）-0.6-0.4-0.200.40.6相关性变化10更改10年来，2010 20 30 40 50 60 70城市组（参考）10203040506070城市组（观察）-0.6-0.4-0.200.20.40.6 10年来的相关性变化。S7、对各种参数的超前跟踪矩阵进行稳健性检查。我们从参考条件、10年时滞、2位数NAIC和20个城市组中改变每个地块的一个条件。（A） 3年时滞。（B） 5年时滞。（C） 3位NAICS。（D） 4位NAICS。（E） 50个城市组。（F） 70个城市组。五、 集成框架A。基于时间无关的综合框架和标度关系通过标度关系，给出了人口规模为N（c）的c市工业i的规模Y（c，i）：Y（c，i）=Y（c，i）N（c）β（i）。（S14）通过对每个行业i的对数Y（c，i）和对数N（c）进行回归，获得前因子和标度指数β。

通过定义，显示的比较优势（RCA）可以表示为人口和标度指数的函数。rca（c，i）=Y（c，i）PiY（c，i）/PcY（c，i）Pc，iY（c，i）~Y（i）N（c）β（i）PiY（c，i）PcY（i）N（c）β（i）=N（c）β（i）PiY（c，i）PcN（c）β（i）（S15），其中pc，iY（c，i）为常数。由于（c，i）是一个城市的工业总规模，因此可以近似地与N（m）成比例。所有城市的总工业规模PcN（c）β（i）是通过连续人口近似估计的，其分布遵循P（N）~ N-γ. 对于β6=γ- 1，求和为，XcN（c）β\'ZNmaxNminP（N）dNNβ~ZNmaxNmindNNβ-γ~β - γ+1（Nβ-γ+1max- Nβ-γ+1min）。（S16）对于β=γ- 1，求和可通过取极限β→ γ - 1或更改集成toRNmaxNmindNN-1、limβ→γ-1XcN（c）β~ limβ→γ-1β - γ+1（Nβ-γ+1max- Nβ-γ+1min）=limδ→0δ（（Nδ最大值- 1) - （Nδmin- 1） ）=对数Nmax- 记录Nmin（S17），其中δ=β- γ+1，对数x=limδ→0（xδ-1δ）定义。通过将积分更改为XcN（c）β，可以获得相同的结果~ZNmaxNmindNN-1=对数Nmax- 记录Nmin。（S18）因此，RCA近似为RCA（β，N）~（Nβ-1[(β-γ+1）Nβ-γ+1max-Nβ-γ+1min]，β6=γ- 1，Nβ-1日志Nmax-log Nminforβ=γ- 1、对于遵循齐普夫定律的城市，人口分布的标度指数γ通常等于2。对于γ=2，RCA近似为RCA（β，N）~ (β - 1） Nβ-1[Nβ-1最大值- Nβ-1分钟]。（S19）根据人口规模，得出的RCA有不同的趋势。大约，对于largeN，RCA与β成正比，而对于small N，RCA与β成反比。在这种情况下，如果我们将小城市和大城市的RCA向量相关联，则相关性变为负，而小城市和大城市内部的相关性保持为正。该属性生成两个小型和大型城市集群。B

城市集群的固定点现在，我们找到区分大小城市的特征城市规模。特征尺寸作为方程式S19的鞍点给出。鞍点应满足rca公司/β=0和rca公司/N=0。由于rca是连续的，我们只考虑β6=γ的情况- 1在计算鞍点时。rca（β，N）N=（β- γ + 1)(β - 1） Nβ-2[Nβ-γ+1max- Nβ-γ+1min]=0因此，β*= 1、上述条件意味着，只有当β=1附近的标度指数概率不为零时，才存在突变点。例如，如果everyscaling指数大于1或小于1，则城市集群所需的叠加点不存在。rca（β，N）β= (β - γ + 1)(β - 1） Nβ-1【n】- m] ×[n- mβ- γ+1+（n- m） 日志N- （n对数Nmax- m log Nmin）]=0，其中n=nβ-γ+1max，m=Nβ-γ+1min。因此，可添加点总体在，N处给出*= Nnorm（β*= 1，γ）e-1/(β-γ+1）（S20）=Nnorm（1，γ）e1/（γ-2） （S21）其中Nnorm=exp（n log Nmax-m log Nminn-m） 。鞍点种群N*γ=50 100 150 200 250 300 350城市人口rank50100150200250300350城市人口rank-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81产业相关性n*A105106107城市人口10-110010RCA0.6 0.8 1 1.2 1.4标度指数非特征n*BFIG计算为120万。小城市如何转变为创新型大城市经济。（A） 城市之间的产业关联。我们在两位数NAICS分类中测量以对数（rca+1）为特征的城市之间的皮尔逊相关性，并在整个时间跨度内对其进行平均。城市按人口（从大到小）排序。（B） 对数组合人口组的各行业平均RCA。

这些趋势通过其标度指数进行逆转，并在定点分析预测的特征城市规模处相遇，其中N*≈ 1.2（灰色条）。1.9，Nmin=10，Nmax=10，与数据观察结果相似。由于RCA与规模关系之间的联系，我们可以预期城市会根据其产业构成进行集群。图S8A是以RCA为特征的城市的行业向量与两位数行业分类之间的皮尔逊相关性得出的结果。在第50大城市附近有一个固定点，可以清楚地观察到城市的聚集。我们还可以使用图S8B中的趋势来确定固定点。RCA作为等式S19中N和β的函数，可以通过在两侧取对数来简化。对数rca（β，N）~ (β-1） 对数N+对数（β- 1)-对数（Nβ-1最大值- Nβ-1min）（S22）。RCA的对数成为N的线性函数，斜率为β-1、当β从β<1变为β>1时，它会使趋势反转，并通过人口产生两个集群。C、 RCA与标度关系的时变集成框架为了理解RCA的时变行为，根据标度关系，我们在几种假设下推导了RCA的时变方程。除了时间独立性推导中使用的两个假设（即，（1）幂律分布人口，（2）城市中的总员工人数），我们还包括两个额外的假设：（3）全国总员工人数占总人口总和的比例，以及（4）时间独立的Y、β、γ、nmax和Nmin。第三个假设由第二个假设定义得出。Xc，iY（c，i）=XcXiY（c，i）\'XcC（t）N（c）（S23），其中，对于时间相关常数c（t），给出了第二个假设asPiY（c，i，t）\'c（t）N（c）。对于第四个假设，标度指数β和前因子yD在时间上没有太大变化，如图所示。

S5，人口分布的标度指数γ预计也不会在时间上发生很大变化。对于最大和最小人口，第一年（1998年）和最后一年（2013年）之间的平均城市人口变化约为23%，因此，当我们在短期内观察动态时，我们可以稍微假设其与时间无关。四个假设如下：1。P（N）\'1- γN1-γmax- N1型-γminN-γ2.XiY（c，i，t）\'c（t）N（c，t）3。Xc，iY（c，i，t）\'c（t）XcN（c，t）4。与时间无关的Y、β、γ、nmax和Nmin。我们可以通过替换定义中与时间相关的行业规模Y（c，i，t）来推导与时间相关的RCA。rca（c，i，t）=Y（c，i，t）PcY（c，i，t）/PiY（c，i，t）Pc，iY（c，i，t）（S24）rca（β，N，t）=YN（c，t）βPcYN（c，t）β/PiY（c，i，t）Pc，iY（c，i，t）（S25）=N（c，t）βPcN（c，t）c（t）PcN（c，t）PcN（c-1PcN（c，t）PcN（c，t）β（S26）105106107城市人口6.577.588.599.51010.5Avg。特色行业数量图。S9.作为2位数NAICS产业人口函数的特征产业平均数量。我们统计每个城市的特色产业数量，并根据其对数人口确定10个城市组的平均值。误差条表示每组的标准误差。可以使用幂律分布连续总体的近似值获得求和（假设1）。XcN（c，t）\'ZNmaxNmindN1- γN1-γmax- N1型-γminN1-γ=1 - γ2 - γN2-γmax- 氮气-γminN1-γmax- N1型-γmin（S27）XcN（c，t）β\'ZNmaxNmindN1- γN1-γmax- Nβ-γminN1-γ=1 - γβ - γ+1Nβ-γ+1max- Nβ-γ+1min1-γmax- N1型-γmin（S28）最后，我们可以得到闭合形式的时间依赖性rca，作为β，N和t的函数。rca（β，N，t）=N（t）β-1β - γ + 12 - γN2-γmax- 氮气-γminNβ-γ+1max- Nβ-γ+1min（S29）=CN（t）β-1（S30），其中C是用于简化方程的时不变常数。

因为唯一的时变项是N（t）β-1、RCA的时间导数仅取决于总体的时间导数。为了便于计算，我们在两边取对数，然后取导数。对数rca（β，N，t）=（β- 1） 对数N+对数C（S31）滴滴涕（对数rca（β，N，t））=（β- 1） ddt（log N）（S32）这些方程中一个有趣的事情是与尺寸的标度关系的类比。按照比例关系Y=YNβ，对数大小及其时间导数的形式与RCA相似，只是比例常数1存在差异。log Y（β，N，t）=βlog N+log Y（S33）ddt（log Y（β，N，t））=βddt（log N）（S34）从这个意义上讲，RCA类似于坐标变换，它将缩放关系投影到X轴上，因为缩放关系的斜率通常为1。使用RCA的一个显著优点是对超线性或亚线性敏感。在城市规模关系有效的情况下，如果城市人口增长，每个行业的规模总是会增长，然而，RCA取决于每个行业是否具有超线性或次线性规模。1、对于dN/dt>0和β>1，drca/dt>0.2。对于dN/dt>0和β<1，drca/dt<0.3。对于dN/dt<0和β>1，drca/dt<0.4。对于dN/dt<0和β<1，drca/dt>0。RCA对总体的依赖性可以是行业超线性或次线性的更直观的衡量标准，即正相关的超线性标度和负相关的次线性标度。D、 特征行业数量的多样性图。S8B和式S31表明，β（i）<1的产业在小城市具有特征，而β（i）>1的产业在大城市具有特征。N*成为小城市和大城市的参照物。可以预期，β的分布将决定城市规模的特色产业数量。

β（i）<1的产业比β（i）>1的产业要少，因此，预计特色产业的数量会随着城市规模的增加而增加。图S9显示，这一预期在我们的城市就业数据中是真实的。N<N的小城市*特色产业较少，约占19个产业中的7个，而大城市的特色产业较多，约占8-9个。这表明，随着城市规模的增加，产业多样性增加。六、 城市概况a。每个行业的城市轨迹城市的人口增长和行业规模可以表示为人口-产业平面上的轨迹，如比例关系。在图S10中，我们将每个城市的行业表示为两位数NAICS行业的箭头。在某些行业中，大多数城市的增长遵循比例关系的固定线，但在某些行业中，它们会漂移或不规则移动。横截面视图的比例关系提供了解释动力学的细节。我们将依赖于时间的标度关系线性化和微分，以数学形式描述动力学。由于标度指数β在我们的时间范围内变化不大（图S5），我们可以将标度指数视为时间常数（即，表示为β（i））。Y（c，i，t）=Y（i，t）+N（c，t）β（i）（S35）log Y（c，i，t）=log Y（i，t）+β（i）log N（c，t）（S36） 对数Y（c，i）= 对数Y（i）+β（i） 日志N（c）（S37），其中 是指我们时间范围的开始年（1998年）和结束年（2013年）之间X值的差异，即。，X=X（2013年）- X（1998年）。等式S37将增长分解为与时间相关的全球增长 对数Y（i）和人口依赖性生长β（i） 日志N（c）。图S10中的轨迹直接呈现了全球移位所基于的这些增长分解 对数Y（i）和城市特定移动基于β（i） 日志N（c）。基于等式。

S37，我们衡量行业规模的变化 对数Y（c，i）与人口变化的关系 每个城市的日志N（c）。图S11A显示了它们之间的共同正相关。根据公式S37，每个行业的斜率，纵向尺寸依赖性，^β（i）应与横截面比例指数β（i）相同。我们通过对图S11A中散点图进行线性回归，获得纵向尺寸相关性。斜率和标度指数的比较如图S11B所示。如果动力学通过缩放关系完全符合理论预期，则所有数据点应位于预测线上（红点）。虽然两者并不完全匹配，但标度关系预测了其总体趋势，即产业规模变化的方向与人口变化的方向一致。B、 重述得分重述的程度可以从每个城市遵循装配线的程度来衡量。让我们考虑一下完美概括的情况。在这种情况下，每个城市的轨迹都将恰好位于终点线上。当一个城市的人口增长时，其产业规模也会随之增长。在这种情况下，衡量的增长条件 log^Y（i）和^β（i）使用等式S37和图S11A量化真实数据在多大程度上遵循理论预测的动力学。自漂移量 对数Y（i）仅移动拟合线，我们可以通过比较纵向尺寸依赖性β（i）和横截面标度指数β（i）来衡量“重演程度”。它们之间的差异成为衡量每个行业概况的直接指标。我们使用我们时间范围内β（i）与平均β（i）的相对误差来确定每个行业的重述得分S（i）。S（i）=1-^β（i）- β（i）β（i）（S38）当^β（i）=β（i）时，得分变为最大值（S（i）=1），当^β（i）没有趋势（^β（i）=0时，得分变为零。

当^β（i）与β（i）的符号相反时，核心变为负值。图S11C和图S11C显示了2位数和3位数行业的总分。S11D。具有显著比例关系的行业的平均概括得分（R≥ 0.5）是0.70，这验证了城市中是否存在重演。“农业”和“采矿”行业的得分明显较低，这似乎源于它们对区域特征的强烈依赖。现在，我们如何衡量每个城市的概括程度？为此，我们需要在规模框架中确定单个城市工业增长的衡量标准。使用测量的全球增长 log^Y（i）inEq。S37中，我们可以估计特定行业i中城市c的增长系数^B（c，i）。由于方程式是针对行业定义的，因此可以使用行业指数i轻松地对其进行推广。 对数Y（c，i）= 对数^Y（i）+^B（c，i） 对数N（c）（S39）^B（c，i）= 对数Y（c，i）-  对数^Y（i） 对数N（c）（S40）系数^B（c，i）表示c市工业增长与人口增长的比率。由于许多城市的相对人口变化较小 如图S11A所示，城市规模中的对数N、^B（c，i）非常容易变化。为了观察总体趋势，我们将城市分为20组，并测量 对数Y（c，i）-^ 日志Y（i）与on 使用最后一个平方误差记录N（c）。^B（g，i）=Pc∈g级( 对数Y（c，i）-  log^Y（i））· 日志N（c）Pc∈g级( log N（c））（S41）测得的^B（g，i）是g城市群对工业i的人口依赖性增长系数。当g中的每个城市都能完美概括时，它应该与β（i）相同。groupg对工业i的城市群概括得分可以用EQ的同样方法来衡量。

S38.S（g，i）=1-^B（g，i）- β（i）β（i）（S42）最后，每个城市产业的城市群重述得分可以定义为每个产业重述得分的平均值i.S（g）=| i | Xi∈I（S（g，I））（S43）=1-|I | Xi∈我(^B（g，i）- β（i）β（i）) （S44），其中| I |是行业数。图S11E和图S11F显示了每个城市的汇总得分。我们可以看到，大多数城市都有积极的投降分数。一般来说，除非常小的城市外，概括性很强。它验证了在大多数城市中普遍存在重述。C、 漂移的详细解释在图S10中，随着时间的推移，每个城市在人口产业化空间上移动，其趋势可以通过比例关系来描述。在许多情况下，例如“制造业”，2013年的装配线位于1998年装配线的右下方，坡度变化很小。这是否意味着行业规模的下降与图S1B中的总体增长相矛盾？它取决于相对工业增长与相对人口增长的比率，与总体增长并不矛盾。让我们用数学公式看看细节。当对数-对数标度中的标度关系得到一条拟合线时，拟合线的这种移动可能是由于种群或产业规模的一致相对变化引起的。让这些人口和行业规模的相对变化 日志N（c）和 城市c和工业i的对数Y（c，i）。

对于惯例，让我们只考虑我们范围内最初一年（1998年）和最后一年（2013年）之间的变化。 日志N（c）\'N（c）N（c）=N（c，2013）- N（c，1998）N（c，1998）（S45） 日志Y（c，i）\'Y（c，i）Y（c，i）=Y（c，i，2013）- Y（c，i，2013）Y（c，i，1998）（S46），因为对数值的差异等于相对变化，d（对数N）=dN/N\' 对数N（c），当每个城市经历统一的相对人口增长时，标度关系的拟合线可能会在水平方向上移动， 对数N.同样，当每个城市都实现了统一的相对产业增长时，装配线会沿垂直方向移动， 日志Y（i）。当人口增长没有伴随着高效的行业增长时，装配线会移到较低的一边。要保持在当前位置，装配线应垂直移动 对数Y（i）=β（i） 水平移动时记录N log N。我们也可以从等式S37中标度关系的时间导数中推导出它。β（i）=d（对数Y（i））d（对数N）= 日志Y（i） 日志N（S47） 对数Y（i）=β（i） log N（S48）因此，图s10中蓝线下的红线并不意味着行业规模的实际减少。这是由相对低于人口增长的行业增长造成的，即：。， 对数Y（i）<β（i） log N.类似地，在“医疗”行业中，装配线向上移动的是相对较高的行业增长，其中 对数Y（i）>β（i） 日志N。D、 从产业规模和人口变化的时间相关标度关系来看，让我们考虑一下，人口和产业的相对变化在城市之间并不一致。它可以描述为 日志N（c）和 图S11A显示了NAICS 2数字产业的关系。

可以简化为线性关系， 对数Y（c，i）=y（i）+k（i） 日志N（c）（S49），其中y（i）是所有城市的全球增长，k（i）是人口依赖型增长的系数。使用 对数Y=是/是，我们可以推导出与时间相关的刻度关系。d（log Y（c，i））=dy（i）+k（i）d（log N（c））（S50）Y（c，i，t）Y（c，i，t）=ey（一）N（c，t）N（c，t）k（i）（S51），其中t=t+t、 由于标度关系为asY（c，i，t）=Y（i，t）N（c，t）β（i，t），因此方程可以表示为扰动形式。Y（c，i，t）Y（c，i，t）N（c，t）β（i，t）=ey（一）N（c，t）N（c，t）k（i）（S52）Y（c，i，t）=Y（i，t）ey（i）N（c，t）k（i）N（c，t）β（i，t）-k（i）=Y（i，t）ey（i）N（c，t）β（i，t）+（i） N（c，t）-（i） =Y（i，t）ey（i）N（c，t）β（i，t）+（i） （N（c，t）- N（c））-（i） =Y（i，t）ey（i）N（c，t）β（i，t）（1-N（c）N（c，t））-（i） “Y（i，t）ey（i）N（c，t）β（i，t）（1+（一）N（c）N（c，t））（S53），其中（i） =k（i）- β（i，t） β（i，t）和N（c）=N（c，t）- N（c，t） N（c，t）。自从（一）N（c）是二阶项，在k（i）和β（i，t）之间存在微小差异的情况下，我们可以获得t=tin的近似标度关系。Y（c，i，t）\'Y（i，t）N（c，t）β（i，t）（S54），其中Y（i，t）=Y（i，t）ey（i）表示全球指数增长。根据上述推导，全球增长项y（i）与y（i，t）的生长有关。它代表着工业空间中每个城市的全球漂移。人口依赖系数k（i）与标度指数β（i）相关。