我们求助于这种静态模型，因为我们在实证研究中没有发现自相关结构。医疗器械对uσuτσBP/CVX 0.9675 0.3551 4.0942·10-31.9615 0.8709 · 10-5BP/E 0.9827 0.2072 3.1735·10-33.5419 1.5074 · 10-5CVX/E 0.9487 0.3146 5.1204·10-32.3681 1.2568 · 10-5BP/PSX 0.9586 0.2875 5.4505·10-32.1768 1.2934 · 10-5CVX/PSX 0.9436 0.2286 5.7493·10-32.2265 1.1816 · 10-5E/PSX 0.9726 0.3406 5.9111·10-32.6825 2.0679 · 10-5BP/RDSA 0.9816 0.2018 2.4141·10-33.9130 0.6701 · 10-5CVX/RDSA 0.9660 0.2744 4.7031·10-31.9110 0.8604 · 10-5E/RDSA 0.9768 0.2564 3.3555·10-33.3164 1.3228 · 10-5PSX/RDSA 0.9403 0.3339 5.6414·10-31.8570 1.1742 · 10-5BP/TOT 0.9653 0.2604 2.9551·10-33.7663 1.1387 · 10-5CVX/TOT 0.9555 0.3332 5.0260·10-32.5196 1.2753 · 10-5E/TOT 0.9681 0.2514 2.6592·10-35.1985 1.5872 · 10-5PSX/TOT 0.9361 0.3448 5.5260·10-32.7046 1.7659 · 10-5RDSA/TOT 0.9830 0.2249 2.5487·10-33.8992 1.0673 · 10-5BP/XOM 0.9689 0.1988 4.7299·10-31.6379 0.6464 · 10-5CVX/XOM 0.9523 0.2228 3.7614·10-31.8123 0.5655 · 10-5E/XOM 0.9127 0.1664 5.0604·10-31.9967 1.1112 · 10-5PSX/XOM 0.9607 0.1839 5.6828·10-31.5600 0.8629 · 10-5RDSA/XOM 0.9726 0.1903 4.0018·10-31.3017 0.5872 · 10-5TOT/XOM 0.9624 0.1673 4.4425·10-31.9390 0.9087 · 10-5平均0.9608 0.2545 4.3813·10-32.5853 1.1296 · 10-5表3：采用TICK-MLE NRmethod估计的Ornstein–Uhlenbeck过程参数一步预测的确定中值系数和中值绝对误差MedAE。对于日方差参数σi，我们使用Corsi（2009）的HAR模型。他们通过不同时间段的已实现方差对波动性进行建模。具体而言，每日实现差异取决于前一天的实现差异、前一周的实现差异和前一个月的实现差异。

在我们的例子中，参数σi的对数遵循自回归过程lnσi=a+blnσi-1+cXj=1lnσi-j+dXj=1lnσi-j+εi，i=1，h、 （73）式中，a、b、c、dare表示系数，εiis表示高斯白噪声。我们使用132天（约6个月）的滚动窗口对模型进行训练，并执行提前预报。Ornstein–Uhlenbeck工艺参数一步预测的确定系数中值和绝对误差中值如表3所示。我们求助于中值统计数据，因为有好几天波动性极大。我们发现，长期平均参数的模型（71）解释了μ离子平均值96%的方差，而方差参数的模型（73）解释了σ离子平均值25%的方差。通过定义，回归速度参数模型（72）精确解释了τ方差的0%。总的来说，我们发现ui和σi参数的模型令人满意，而参数τi很难预测。4.4战略绩效对于通过预测模型获得的Ornstein–Uhlenbeck过程的一组参数，以及利润η的最大允许方差，我们发现最佳进入和退出信号以及最大预期利润。由于预测参数值不确定，我们仅在预期利润大于给定阈值ζ的情况下进行交易。我们使用交易成本c=0.0015/双程交易。在文献中，这被认为是中等水平的交易成本。例如，Avellaneda和Lee（2010）、Bertram（2010）和Liu等人（2017）使用了0.0010的乐观交易成本水平，Bowen等人（2010）使用了0.0015的适度水平，Bogomolov（2013）使用了0.0040的保守水平。我们总结了拟议的配对交易策略，并说明了我们的具体设置。

首先，我们需要选择策略的几个参数。策略的初始化需要以下步骤。1、选择一组潜在的可交易对。对的数量表示为p。在我们的例子中，我们考虑p=21对，由7个股票创建。2、选择历史长度h。在我们的例子中，我们使用h=132天的历史，对应大约6个月。选择每日利润的最大允许方差η。在我们的例子中，我们考虑η=10-5,η = 5 · 10-5和η=∞. η=5·10-发现5产生最佳结果。选择每日利润的最小允许平均ζ。在我们的例子中，我们考虑ζ∈ (0, 0.7).发现值0.009可产生最佳结果。接下来，我们将描述我们针对单个交易日h+1的策略。执行步骤如下。1、使用第2节所述的方法分析历史日内数据。对于每个空气j=1，p和每个历史日期i=1，h、 估计了Ornstein–Uhlenbeck参数uj、i、τj、i和σj。在我们的例子中，我们考虑了TICK-MLE和TICK-MLE再激励。2、利用第4.3节中描述的时间序列模型来捕获日常参数值的时变性质，并预测其未来值。对于每对j=1，p、 使用历史h估计每日Ornstein–Uhlenbeck参数的模型（71）、（72）和（73）。然后预测未来参数值uj、h+1、τj、h+1和σj、h+1。然后，假设未来一天内的价格遵循Ornstein–Uhlenbeck过程和预测参数。确定了第3节所述的最佳策略。对于每对j=1，p、 最佳进入信号a*j、 最佳退出信号b*jand最优平均利润Z*M、 jare foundusing（70）。在该模型中，平均利润ZM，jis最大化，而利润V，jis的方差低于η。

对于对价交易，最佳进入信号为*j=b*j、 最佳退出信号为b*j=a*jand最佳平均利润为Z*M、 j=Z*M、 j.4。对于每对j=1，p、 这对货币是否会在h+1日进行交易将由双方决定。如果该对的最佳平均值高于所选阈值，即Z，则该对将被交易*M、 j≥ ζ.对于每个可交易对j，监测日内价格。当价格达到入门级A时*jor a公司*j、 如第3节所述，输入适当的配对交易。当价格达到退出b级时*j=a*jor b公司*j=a*j、 多头和空头头寸切换。就在市场收盘之前，无论价格如何，这两个头寸都已平仓。我们评估了由7家大型石油公司组成的21对交易策略的可行性。由于我们使用6个月的历史来培训预测模型，我们评估了从2015年下半年到2018年下半年的战略。我们认为η=10-5, η = 5·10-5和η=∞ 作为最大允许偏差的水平。图5显示了基于21对最小平均利润ζ不同值的策略的总每日利润。我们可以看到，利润对阈值η和ζ的选择非常敏感。当预期平均值不受限制时，几乎所有的对都会在所有的日子里交易，导致巨大的损失。

什么时候-0.09-0.06-0.030.000.00 0.02 0.04 0.06最小平均值检验-姆莱蒂克-最大似然误差-NRMaximum VarianceNo Limit5e-51e型-5配对交易策略的平均每日利润图5：噪声敏感和噪声稳健估值器的每日利润与最大方差η和最小均值ζ的相关性。0200400601601720018EARSTIMATORTICK贸易数量-姆莱蒂克-最大似然误差-NR每日交易数图6：η=5·10的每日交易数-5和ζ=0.009，适用于噪声敏感和噪声破裂估计器。最小平均收益率ζ设定在0.009左右，基于TICK-MLE-NR估值器的策略表现最好，在η=5·10的连续复合收益率方面，每日收益率达到0.0069-5、当我们进一步提高最低平均利润ζ的阈值时，进行的交易会减少，甚至可盈利的交易也会减少，从而导致利润下降。随着最低平均利润ζ的增加，利润自然会收敛到零。有趣的是，交易数量和利润在这些年中的分布并不均匀。图6显示了每日交易数量。大多数交易在2015年、2016年和2018年执行，而2017年是基于TICK-MLE-NR估计器的策略的平静期。我们将此归因于2017年价差价格波动性较低。表4分别报告了每一对的每日利润，而表5则报告了交易数量。通常，τ和σ估计值较高的配对交易较多，因为其预期收益也较高。我们关注的是TICK-MLE-NR估计量，其最大方差设置为5·10-5和最小平均值0.009。表4表明，E/PSX、E/TOT和PSX/TOT是交易量最大的组合，而E/PSX和E/TOT也是最有利的组合。

表2显示，这些对具有τTICK-MLE估计器TICK-MLE-NR估计器对ζ=0.000ζ=0.009ζ=0.040ζ=0.000ζ=0.009ζ=0.040BP/CVX-0.003235-0.003235 0.000000-0.002608 0.000018 0.000000BP/E 0.000944 0.00002 0.000611 0.001127 0.000000BP/PSX-0.004420 0.000000-0.002965-0.000011 0.000000BP/RDSA-0.002371-0.002362-0.000130-0.002364-0.000056 0.000000BP/TOT-0.002026-0.002026 0.000151-0.001873 0.000239 0.000000BP/XOM-0.004307-0.004307 0.000000-0.003813-0.000063 0.000000CVX/E-0.000925-0.000946 0.000000-0.001030 0.000780.000000CVX/PSX-0.005322 0.000000-0.004387-0.000760 0.000000CVX/RDSA-0.003398-0.003417 0.000000-0.002683 0.000128 0.000000CVX/TOT-0.002068-0.002068 0.000000-0.001198 0.000607 0.000000CVX/XOM-0.004745-0.004752 0.000000-0.003945 0.000051 0.000000E/PSX-0.001614-0.001614 0.000000-0.000254 0.001487 0.000000E/RDSA 0.000144 0.000144 0.000455 0.001219 0.000000E/TOT 0.001941 0.001941 0.000654 0.001360 0.001823 0.000000E/XOM-0.000196-0.000126 0.000000-0.000961-0.000019 0.000000PSX/RDSA-0.004710-0.0047100.000000-0.003634 0.000122 0.000000PSX/TOT-0.003660-0.003660 0.000000-0.001192-0.000034 0.000000PSX/XOM-0.005219 0.000000-0.003389 0.000031 0.000000RDSA/TOT-0.001325-0.001264 0.000150-0.001266 0.000128 0.000000RDSA/XOM-0.004145-0.004069 0.000000-0.003553 0.000000 0.000000TOT/XOM-0.002483-0.002481 0.000000-0.002504 0.000053 0.000000Sum-0.053140-0.0529690.000826-0.041193 0.006868 0.000000表4：η=5·10的平均日收益-5和噪声敏感和噪声鲁棒估计器的各种ζ值。和σ。最后，我们比较了TICK-MLE和TICK-MLE-NR估计量。

图5表明，两个估计员对平均收益及其方差的想法截然不同。如第3.4节所示，当参数估计有偏差时，矩的值会发生很大的扭曲，就像TICK-MLE估计的情况一样。更重要的是，即使分别为每种方法的最小平均利润率ζ和利润率η的最大方差选择最佳阈值，TICK-MLE-NR估计器也明显优于TICK-MLE估计器。这是因为基于TICK-MLE估计器的优化可以找到入口和出口信号的次优值。另一方面，TICK-MLE-NR估计器可以找到最佳值，从而获得更大的收益。这一发现是我们的配对交易应用程序的关键结果。4.5讨论配对交易策略的一个固有特征是其对几乎所有方面的敏感性。文献中发现，该策略对交易成本、执行速度、形成期长度、模型参数随时间的变化、交易证券的多样性和新闻冲击敏感。例如，Bowen等人（2010）、Do和Faff（2012）、Huck（2013）以及Jacobs和Weber（2015）对这些令人不快的特性进行了研究。我们在这个长长的列表中添加了入口对交易策略对市场微观结构噪音的敏感性。未来研究的一个可能方向是在发现交易信号的优化问题中加入参数不确定性。在本研究以及许多其他研究中，包括康明斯和布卡（2012年）、曾和李（2014年）以及G"oncü和Akyildirim（2016年），交易信号的优化基于Ornstein–Uhlenbeck参数的给定值。然而，在现实中，参数值具有相当大的不确定性。

我们认为TICK-MLE估计器TICK-MLE-NR估计器对ζ=0.000ζ=0.009ζ=0.040ζ=0.000ζ=0.009ζ=0.040BP/CVX 5.59 5.59 0.00 4.10 0.14 0.00BP/E 5.89 5.89 0.03 4.39 0.87 0.00BP/PSX 5.99 5.99 0.00 4.25 0.25 0.00BP/RDSA 4.50 4.49 1.73 3.61 0.03 0.00BP/TOT 5.24 5.24 1.47 3.84 0.25 0.00BP/XOM 4.83 4.83 0.00 4.04 0.01 0.00CVX/E 5.94 5.93 0.00 4.37 0.76 0.00CVX/PSX6.05 6.05 0.00 4.25 0.34 0.00CVX/RDSA 5.18 5.17 0.00 3.88 0.12 0.00CVX/TOT 6.35 6.35 0.00 4.29 0.65 0.00CVX/XOM 4.62 4.61 0.00 4.00 0.06 0.03 0.00E/PSX 6.79 6.79 0.00 4.88 2.21 0.00E/RDSA 5.35 5.35 0.00 4.18 0.69 0.00E/TOT 6.28 6.28 1.50 4.52 1.52 0.00E/XOM 4.93 4.89 0.00 4.15 0.12 0.00PSX/RDSA 5.74 5.74 0.00 3.97 0.25 0.00PSX/TOT 6.42 6.42 0.00 4.61 1.39 0.00PSX/XOM 5.47 5.47 0.004.30 0.10 0.00RDSA/TOT 5.11 5.10 1.31 3.91 0.22 0.00RDSA/XOM 4.61 4.59 0.00 4.01 0.00 0.00 TOT/XOM 5.09 5.06 0.00 4.03 0.02 0.00 SUM 115.99 115.84 6.04 87.64 9.96 0.00表5：η=5·10的平均每日交易数-5和噪声敏感和噪声鲁棒估计器的各种ζ值。解决这一问题将提高竞争力的稳定性，并有助于消除不确定贸易机会的模糊性。5结论我们提出了直接考虑市场微观结构噪声的Ornstein–Uhlenbeck过程的三个估计量。对于初始估计，我们提出了闭式矩量法。对于规则间隔观测，我们提出了一种基于过程到ARMA（1,1）过程的重新参数化以及随后通过最大似然或条件平方和方法进行估计的方法。对于不规则间隔的观测，我们提出了一种基于最大似然的方法。我们在仿真研究和实证研究中都表明，所提出的噪声鲁棒估计优于忽略噪声的传统估计。

估计器的行为与处理市场微观结构问题的高频文献一致。我们以纽约证券交易所交易的7家大型石油公司的股票为例，说明了拟议估值器的益处。我们的研究旨在深入了解超高频数据背景下的日内对交易策略。我们表明，基于Ornstein–Uhlenbeck过程参数的拟议估计的策略比基于忽略市场微观结构的有偏估计的策略的稳定性显著提高，尽管我们在实证研究中仅限于成对交易策略，我们发现，当存在市场微观结构噪声时，传统的估计量是有偏差的。我们提出的Ornstein–Uhlenbeck噪声稳健估计可用于时间序列表现出均值回复行为的各种应用，如货币汇率、商品价格、利率和金融资产随机波动的建模。致谢我们要感谢MichalCern'y和TomásCipra的评论以及Alena Holá的校对。

我们还要感谢2017年12月16日至19日在金奈举行的第三届金融统计方法会议和研讨会、2018年1月21日至26日在Rybnik举行的第二十届冬季研讨会以及2019年6月23日至26日在都柏林举行的第三十届欧洲运筹学会议的与会者，他们进行了富有成效的讨论。资助本论文的工作得到布拉格经济大学内部资助机构F4/63/2016项目和捷克科学基金会19-02773S项目的支持。附录我们表明，受高斯白噪声污染的Ornstein–Uhlenbeck过程的条件概率分布是正态分布，矩由（7）给出。为此，我们利用以下命题：P=P，uP=u，σP=σ/（2τ），E=E，uE=0，σE=ω，X=X。命题1。让P~ N（uP，σP），E~ N（uE，σE）和P⊥ E、 设X=P+E。条件概率密度函数为fP（P | X=X）=q2πσC（X）exp(-（p- uC（x））2σC（x）），（74），其中uC（x）=uPσE- uEσP+xσPσP+σE，σC（x）=σPσEσP+σE。（75）证明。P和X的联合概率密度函数由gp给出，X（P，X）=q2πσPexp-（p- uP）2σPq2πσEexp-（十）- p- uE）2σE=q2πσPq2πσEexp-σP+σE2σPσEp+uPσE+xσP- uEσPσPσEp+2xuEσP- uPσE- xσP- uEσP2σPσE.（76）利用高斯函数积分的性质∞-∞经验值-ap+bp+cdp=rπaexpb4a+c, （77）我们得到了边际概率密度函数hx（x）=Z∞-∞gP，X（p，X）dp=q2πσPq2πσEvuutπσp+σE2σpσE×expuPσE+xσP-uEσPσPσEσP+σE2σPσE+2xuEσP- uPσE- xσP- uEσP2σPσE=q2πσP+σE经验值-（uP- x+uE）2（σP+σE）.（78）然后导出条件概率密度函数，即fp（p | X=X）=gP，X（p，X）hX（X）=r2πσpσEσp+σEexp-（p- uP）2σP-（十）- p- uE）2σE+（uP- x+uE）2（σP+σE）=q2πσC（x）exp(-（p- uC（x））2σC（x））。（79）参考Sahalia，Y.，Mykland，P.A.，Zhang，L.2005。

在存在市场微观结构噪音的情况下，对连续时间过程进行采样的频率。金融研究回顾。第18卷第2期。第351-416页。ISSN 0893-9454。https://doi.org/10.1093/rfs/hhi016.Avellaneda，M.，Lee，J.H.2010。美国股市的统计套利。量化金融。第10卷。第7期。第761-782页。ISSN 1469-7688。https://doi .org/10.1080/14697680903124632。Ball，C.A.，罗马，A.1994年。欧洲货币体系汇率的目标区建模和估算。经验金融杂志。第1卷。第3-4版。第385-420页。ISSN0927-5398。https://doi.org/10.1016/0927-5398(94)90010-8.Barndorff Nielsen，O.E.，Shephard，N.2001年。非高斯Ornstein-Uhlenbeck模型及其在金融经济学中的一些应用。皇家统计学会杂志：Serieb（方法学）。第63卷。第2版。第167-241页。ISSN 1369-7412。https://doi.org/10.2307/2680596.Barndorff-Nielsen，O.E.，Hansen，P.R.，Lunde，A.，Shephard，N.2008。设计RealizedKernels来衡量存在噪声时股票价格的事后变化。计量经济学。第76卷。第6期。第1481-1536页。ISSN 0012-9682。https://doi.org/10.3982/ecta6495.Barndorff-Nielsen，O.E.，Hansen，P.R.，Lunde，A.，Shephard，N.2009。实践中实现的核心：交易和报价。计量经济学杂志。第12卷。第3期。第1-32页。ISSN1368-4221。https://doi.org/10.1111/j.1368-423X.2008.00275.x.Bertram，W.K.2009。It扩散过程的最佳交易策略。物理A：统计力学及其应用。第388卷。第14期。第2865–2873页。ISSN 0378-4371。https://doi.org/10.1016/j.physa.2009.04.004.Bertram，W.K.2010。最优统计套利交易的解析解。物理学：统计力学及其应用。第389卷。第11期。第2234-2243页。ISSN0378-4371。

https://doi.org/10.1016/j.physa.2010.01.045.Blasques，F.，Hol'y，V.，Tomanová，第2018页。具有过多零的离散交易持续时间的自回归条件持续时间模型。工作文件。Bogomolov，T.2013年。配对交易基于价差过程的统计可变性。量化金融。第13卷。第9期。第1411–1430页。ISSN 1469-7688。https://doi.org/10.1080/14697688.2012.748934.Bowen，D.，Hutchinson，M.C.，O\'Sullivan，N.2010。高频股权对交易：交易成本、执行速度和回报模式。交易杂志。第5卷。第3期。第31–38页。ISSN 1559-3967。https://doi.org/10.3905/jot.2010.5.3.031.Corsi，2009年成立。已实现波动率的简单近似长记忆模型。金融计量经济学杂志。第7卷。第2版。第174-196页。ISSN 1479-8417。https://doi.org/10.1093/jjfinec/nbp001.Cox，D.R.，Miller，H.D.1965年。随机过程理论。第一版。伦敦甲基苯。ISBN 978-0-416-23760-3。https://books.google.com/books?id=1f0hYAAACAAJ.Cummins，M.，Bucca，A.，2012年。原油和炼油产品市场的定量价差交易。量化金融。第12卷。第12期。第1857-1875页。ISSN 1469-7688。https://doi.org/10.1080/14697688.2012.715749.Delbaen，F.，Schachermayer，W.1994年。资产定价基本定理的一般版本。Mathematische Annalen。第300卷。第1版。第463–520页。ISSN 0025-5831。https://doi.org/10.1007/bf01450498.Do，B.，Faff，R.2012年。配对交易是否对交易成本具有鲁棒性？金融研究杂志。第35卷。第2版。第261-287页。ISSN 0270-2592。https://doi.org/10.1111/j.1475-6803.2012.01317.x.Dunis，C.，Lequeux，第2000页。息差交易中的日内数据和套期保值效率。《欧洲金融杂志》。第6卷。第4期。第332–352页。ISSN 1351-847X。https://doi.org/10.1080/13518470050195100.ElliottR

J、 ，Van Der Hoek，J.，Malcolm，W.P.2005。配对交易。量化金融。第5卷。第3期。第271–276页。ISSN 1469-7688。https://doi.org/10.1080/14697680500149370.Engle，R.F.2000。超高频数据的计量经济学。计量经济学。第68卷。第1版。第1-22页。ISSN 0012-9682。https://doi.org/10.1111/1468-0262.00091.Gatev，E.，Goetzmann，W.N.，Rouwenhorst，K.G.2006。配对交易：执行相对价值套利规则。财务研究回顾。第19卷。第3期。第797–827页。ISSN 0893-9454。https://doi.org/10.1093/rfs/hhj020.G"oncü，A.，Akyildirim，E.，2016年。商品对交易的随机模型。量化金融。第16卷。第12期。第1843-1857页。ISSN 1469-7696。https://doi.org/10.1080/14697688.2016.1211793.Hansen，P.R.，伦德，A.2006年。实现了方差和市场微观结构噪声。商业和经济统计杂志。第24卷。第2版。第127-161页。ISSN 0735-0015。https://doi.org/10.1198/073500106000000071.Huck，第2013号。对交易回报的高度敏感性。应用经济学快报。第20卷第14期。第1301–1304页。ISSN 1350-4851。https://doi .org/10.1080/13504851。2013.802121.Jacobs，H.，Weber，M.，2015年。关于配对交易能力的决定因素。金融市场杂志。第23卷。第75-97页。ISSN 1386-4181。https://doi.org/10.1016/j.finmar.2014.12.001.Jacod，J.、Li，Y.、Mykland，P.A.、Podolskij，M.、Vetter，M.2009年。连续情况下的微观结构噪声：预平均法。随机过程及其应用。第119卷。第7期。第2249-2276页。ISSN 0304-4149。https://doi.org/10.1016/j.spa.2008.11.004.Krauss，C.2017年。统计套利对交易策略：回顾与展望。经济调查杂志。第31卷。第2版。第513-545页。ISSN 0950-0804。https://doi.org/10.1111/joes.12153.Liu，B.，Chang，L.-B.，Geman，H.2017年。

高频数据日内配对交易策略：石油公司案例。量化金融。第17卷。第1版。第87–100页。ISSN1469-7688。https://doi.org/10.1080/14697688.2016.1184304.Liu，Z.，Kong，X.B.，Jing，B.Y.2018年。使用零持续时间的高频数据估计综合波动率。计量经济学杂志。第204卷。第1版。第18–32页。ISSN0304-4076。https://doi.org/10.1016/j.jeconom.2017.12.008.Miao，G.J.2014。基于统计套利的高频动态配对交易，采用两阶段相关和协整方法。国际经济与金融杂志。第6卷。第3期。第96–110页。ISSN 1916-971X。https://doi.org/10.5539/ijef.v6n3p96.Peters，G.W.、Kannan，B.、Lasscock，B.、Melleny，C.、Godsill，S.2011。贝叶斯协整向量自回归模型，通过近似贝叶斯计算，将α稳定噪声纳入日间价格变动。贝叶斯分析。第6卷。第4期。第755–792页。ISSN 1931-6690。https://doi.org/10.1214/11-BA628.Ricciardi，L.M.，佐藤，S.1988年。Ornstein–Uhlenbeck过程的首次通过时间密度和矩。应用概率杂志。第25卷。第1版。第43-57页。ISSN0021-9002。https://doi.org/10.2307/3214232.Rinne，K.，索米南，M.2017年。一些银行家如何只交易两种证券就赚了一百万？经验金融杂志。第44卷。第304–315页。ISSN 0927-5398。https://doi.org/10.1016/j.jempfin.2016.12.001.Rowan，T.H.1990年。数值算法的功能稳定性分析。博士论文。德克萨斯大学奥斯汀分校。https://www.researchgate.net/publication/2487989.Schwartz，E.S.1997年。商品价格的随机行为：对估价和对冲的影响。《金融杂志》。第52卷。第3期。第923–973页。ISSN 0022-1082。https://doi.org/10.1111/j.1540-6261.1997.tb02721.x.TangC

Y、 ，Chen，S.X.2009年。扩散过程的参数估计和偏差校正。计量经济学杂志。第149卷。第1版。第65–81页。ISSN 0304-4076。https://doi.org/10.1016/j.jeconom.2008.11.001.Uhlenbeck，G.E.，奥恩斯坦，L.S.1930年。关于布朗运动理论。物理回顾I.第36卷。第5期。第823–841页。ISSN 0031-899X。https://doi.org/10.1103/physrev.36.823.Vasicek，O.1977年。期限结构的平衡特征。金融经济学杂志。第5卷。第2版。第177-188页。ISSN 0304-405X。https://doi.org/10.1016/0304-405x(77)90016-2.Vidyamurthy，G.2004年。配对交易：定量方法和分析。第一版。霍博肯。威利。ISBN 978-0-471-46067-1。https://www.wiley.com/en-us/Pairs+交易{%}3A+定量+方法+和+分析-p-9780471460671。Zeng，Z.，Lee，C.G.2014年。配对交易：最佳阈值和可行性。量化金融。第14卷。第11期。第1881-1893页。ISSN 1469-7688。https://doi.org/10.1080/14697688.2014.917806.Zhang，L.，Mykland，P.A.，A"it-Sahalia，Y.，2005年。两个时间尺度的故事：用嘈杂的高频数据确定综合波动率。美国统计协会杂志。第100卷。第472期。第1394–1411页。ISSN 0162-1459。https://doi.org/10.2307/27590680.