必要时，我将增加符号以包括生物学特性，即与年龄x相关的两个Gompertz参数（hx，g）。因此，a（hx，g）表示在危险率为h=hx时购买的，在Gompertz（hx，g）空间中建模剩余寿命随机变量的个人每年1美元的终身年金的市场价格。这些都在前面的第3节中进行了解释。我在这里提出的观点是，这两个生物人口特征很容易观察到，并且可以（合法）用于承保，或者至少用于理论估价目的。就金融和市场而言，利率（显然）会影响养老金和终身年金的价格，因此，如果我必须提请注意潜在的价格：r，假设它是常数，我会在表达式的最开始处附加第三个参数，并将年金系数写为：a（r，h，g），以确保完整性。请注意，表达式中没有任何年龄（x），因为这已经包含在危险率（hx）中。当我想特别注意模式值（m）或全局分散参数（b）对（x）表示的明确年龄的年金估值因子的影响时，偶尔会出现表达式a（r，x，m，b）。请注意，到目前为止，我只提到了市场价格，而没有提到理论模型或经济价值，这两者自然会有所不同。

为了将这两个数字联系起来，我引用了精算师可能会称之为致命索赔定价的基本定律，或者金融经济学家可能会简单地称之为无套利估值。无论哪种情况，市场价格：Gompertz死亡率定律下的a（x）应等于以下值：a（r，hx，g）：=Zω-xe公司-rtp（t，hx，g）dt，（4），其中ω表示假定人们生活的最后可能年龄，p（t，hx，g）是条件（x岁和死亡率hx）生存概率。基本的经济学假设是，如果将足够多的已知（hx，g）类型集合在一起，根据大数定律，它们将消除任何特殊的死亡风险，估值很容易通过贴现现金流预期进行。方程（4）中另一个隐含的假设是利率是一个常数r，尽管这并不重要。通过假设恒定速率r，可以使用Gammafunction解析地求解方程（4）。有关这方面的更多信息，请参阅技术附录。方程式（4）经常被离散使用，例如在Poterba、Venti和Wise（2011）中。从这一点开始，我将避免使用市场价格或价值，并参考：a（.）作为年金因素。在我开始讨论这一问题的经济学之前，重要的是要关注a（r，hx，g）的偏导数的符号，关于三个明确列出的参数。首先，年金系数随着年龄和风险率hx的增加而下降。直觉上（与永久性收入不同的是），随着年龄的增长（以及离死亡越来越近），一个固定的1美元终身收入的成本会下降。同样，该因子在估值率r较高时下降，毕竟它只是一个现值。

同样重要的是，在任何有条件的年龄x和危险率hx下，年金系数都会随着增长率g的增加而下降，这与剩余寿命较低的个体同义。这些见解不需要太多计算，在技术附录中有更详细的讨论。回到问题的经济学上来。设（^hx，^g）表示最佳总体（组）死亡率的Gompertz参数，而（hix，gi）表示最佳个体（子组）死亡率的参数。特别是，利用第#3节中介绍的思想，我让：（hx，g）表示收入最低百分位个体（即子群体）的Gompertz参数，而（hx，g）表示收入最高百分位个体的Gompertz参数。因此，总体模式和分散参数将是主题值：分别为^h=hx和^gx=g（尽管有点挥手）。如前所述，当我想提请大家注意（mi）和（bi）参数的总体平均值时，我将使用明显的：（m）和（b）。4.2测量效用t:U**（w） 表示将其财富w和U年金化的个人的价值函数（最大效用）*（w） 决定自行投保（即根本不拥有任何年金）并决定通过系统性提款计划为退休提供资金的个人的价值函数，那么：**（w）≥ U*（w） 。（5） 注意。Gompertz变量的加权平均值不是Gompertz。其次，即使我选择了最合适的平均线，Hx和g值也不会是线性平均值。因此，这是一个近似值，但也正是Chetty et al.（2016）所假设的。这是年金经济学中众所周知的结果，在第#2节中有提及和引用。存在一个常数δ≥ 0，以便：U**（w） =U*（w（1+δ））。

（6） 不年金的退休人员需要增加财富的δ%，才能与年金的退休人员产生相同水平的效用。考虑到我们是在恒定相对风险规避（CRRA）效用下运营的，并且没有预先存在的年金收入，我将设置w=1，并通过：（1+δ）引用年金等价财富，通过δ引用长期风险池的价值。要结束所有这些（基于效用的）定义的循环，请注意，如果我的风险池主观价值为：δ=25%，AEW为1.25美元，那么初始财富W=125美元的人会愿意支付25美元或100美元δ/（1+δ）来访问年鉴。支付意愿为δ/（1+δ）。无论是AEW、WtP还是仅仅是池δ的值，所有这些基本上都度量相同的东西，并且在本文中可以互换使用，除非数字本身很重要。无论哪种方式，δ都是单个Gompertz参数（hix，gi）、市场定价参数（^hx，^g）和基于效用的偏好（涉及风险γ和贴现ρ=r）的函数。接下来，假设一个个体（用i表示）及其死亡率分别是Gompertz参数，人口也（近似为）Gompertz，Up年金因素的基础。个体的AEW可以表示为：1+δix=a（r，x，mi，bi）1/（1-γ） a（r、x、^m、^b）-1a（r，x- biln[γ]，mi，bi）γ/（1-γ） =a（r，hix，gi，）1/（1-γ） a（r，^hx，^g）-1a（r，hix/γ，gi）γ/（1）-γ） （7）式中，γ表示CRRA效用中的相对风险规避系数，并假设主观贴现率（也）等于r。我有意使用（m，b）和（hx，g）公式表示年金系数，主要是为了在任何一组参数可用时（容易）计算δ。请注意，当年金价格公平时（即风险相等的联营），hix值=^hx，gi值=^g。

因此，方程式（7）中的表达式可以进一步简化，这将在稍后完成。寿命风险池δ的值是个体寿命变异系数（CoVoL）的递增函数。其运行的确切机制是通过较高的死亡率危险率hx。要清楚的是，即使g保持不变，hxin的高值也会导致δ的高值（CoVoL和）。这也是养老金定价合理的时候，使得hx=^hx和g=^g在等式（7）中。技术附录中给出了支持性证明和比较静力学。我还参考了Milevsky和Huang（2018）的其他支持材料。请注意，我在本文中的兴趣是使用年金等价财富的表达式a.k.a.（1+δ）。最后，在同质情况下，子组中的每个人都经历了完全相同的死亡率，即hx=^hx和g=^g。年金等价财富为：1+δx=a（r，x，m，b）a（r，x-^b lnγ，m，b）！γ1-γ=a（r，hx，g）a（r，hx/γ，g）γ1-γ. （8） 它是两个精算年金因素之比的简单函数，并且很容易以离散或连续形式计算。特别要注意的是，方程式（8）中各自的年金系数是在两个不同的年龄（或风险率）下计算的分子按生物年龄x（或危险率hx）计算，分母按修正（风险调整）年龄x计算-^b lnγ（或危险率hx/γ）当γ>1时，分母因子中的修正年龄低于（小于）x。较低的修改年龄会增加年金系数和AEW。然而，即使γ<1，δx>0的值也提供了γ>0。

这里有一些年金等价财富的数值例子和直觉。4.3一个简单的数字示例：两个假设组假设假设构建的A组65岁时的剩余预期寿命为：11.95岁，潜在的Gompertz死亡率参数为：m=75.02和b=11.87。65岁时的CoVoL为60.4%，这是剩余寿命的标准偏差：SD【T】按平均剩余寿命：E【T】缩放。现在，假设假设B组的剩余预期寿命为：E【T】=23.64岁，Gompertz参数为：m=91.72，B=12.87，寿命变异系数（CoVoL）为：47.4%。由于这只是一个数字示例，我将假设（主观贴现率和）估值率为：r=3%，相对风险规避系数为：γ=3（在CRRA效用中）。这些值对于主观效用和AW的评估并非不合理。在这些参数值下，代表性的a组（65岁，退休人员）如果能够与其他类似的a组成员共同承担这一风险，则他们会将长寿保险的价值定为：δ=89.32%，方法是根据自己的人口获得价格合理的终身年金：m=75.02，b=11.87参数。这个89.32%的数字基于方程式（8），首先通过计算a（0.03，65，75.02，11.87）=9.493，除以a（0.03，51.96，75.02，11.87）=14.528，得出(-3/2），然后减去1表示为百分比。特别是，注意分母中的年龄倒退，从：x=65到修改后的年龄51.96=（65-（11.87）ln 3），我将其标记为风险调整年龄。该AEW与过去30年（许多）其他研究中报告的（通常）年金化的巨大收益一致，如第2节的文献综述所述。

例如，Brown（2003）在相对风险规避（CRRA）值的系数范围内计算δ（数值），γ=1。。他的数字从36%到90%不等，这取决于人口因素。现在，假设相同的r=3%的估值率和γ=3，风险规避系数，让我们检查B组退休人员的代表性。如果将其与B组的同质风险合并，则其在x=65岁时的δ值低于A组对应的δ值。直觉上，65岁时，他们的CoVoL也较低。特别是，使用m=91.72，b=12.87的值，方程式（8）得出的值δ=48.39%，低于集团成员愿意支付的金额。尽管B组退休人员的预期寿命为24岁，而A组退休人员的预期寿命为12年，这一事实显而易见（但并不十分相关）。事实上，推动（公平）长寿保险δ的是长寿的波动性（通过m和b），而不是b组退休人员寿命更长这一人口统计学事实。再看一个更大的异质池，想象一下a组和B组，按年龄顺序都是65岁，在一个大池中等量地混合在一起。为了保持制度公平，养老金的定价基于混合人口死亡率。稍微挥动一下手臂，假设得出的Gompertz参数为：m=85.45，b=12.41，据此对集团年金进行定价。直觉上，A组成员的年金价格相对较差，B组成员的年金价格相对较好。这是假设在强制性制度下，两个群体都被迫以相同的价格购买年金。AEW基于群体（市场定价）和个人（生命周期效用）死亡率。见方程式（7）。

集团年金系数（或双方支付的价格）现在是a（r=3%，65，^m=85.45，^b=12.41）=13.583，这在精算上对双方都不公平。这对B组成员有利（必须支付15.97英镑），对A组成员不利（只需支付9.493英镑）。这里是要点。B组成员现在经历：δ=74.48，比之前的（同质情况）更高：δ=48.39%。相比之下，A组成员面临着沉重的价格（13.583 vs.9.493），他们对年金的估值仅为：δ=32.32%。事实上，如果A组成员的预期寿命（甚至）更低，但仍然支付相同的组价，那么可以想象方程（7）中的δ实际上可能是有益的。在这种情况下，A组（鱼类）不愿意与健康的B组（鲨鱼）一起在游泳池中游泳。他们宁愿冒险，自保长寿。图#4如下图所示。图（#4）在可能的m值范围内以图形方式说明了这种关系。左边是预期寿命较低（以m表示）的个人（想想A组），退休时的寿命波动性相对较高。右边是预期寿命较高、寿命波动性较低的个人（如B组）。为了计算公式（7），Gompertzdispersion的寿命（与寿命的波动性相反）保持不变：1/g=b=12年。上限是基于γ=5，即较高的风险规避水平，而下限是γ=1，尽管方程式（7）中略有修改，以说明对数效用。请注意，随着m的增加，长寿风险池和支付意愿的价值下降——当池是同质的。

B组退休人员（支付公平价格）的Aδ低于A组（支付公平价格）；但当它们混合在一起，并且都支付相同的集团价格时，曲线就颠倒了。从本质上讲，A组更重视长寿保险，因为他/她长寿的波动性更高，但正负荷降低了其吸引力。相比之下，B组成员对长寿风险池的好处有些矛盾，现在愿意为相对便宜的终身年金支付更多。仅仅根据市场价格来改变购买某样东西的主观意愿似乎有些奇怪。毕竟，我买苹果或桔子的意愿不应该取决于价格。事实上，这就是衡量标准的要点，即对市场价格保持不变。更确切地说，正确的方式是，在年金时，愿意支付一些橘子（即A组）与苹果（即B组）混合的费用。健康而富有的B组成员（鲨鱼）愿意为混合袋支付更多的费用。有了这种直觉，我们可以回到主要的经验问题上来。美国不同收入百分位数的情况如何？最低收入百分位数（即Simon）是否经历了足够大的寿命波动，以克服因必须补贴最高收入者（即Heather）的年金而产生的隐性负担？5美国按收入百分比计算的AEW我现在使用寿命风险池价值的主方程（7），即a.k.a。

年金等价财富，相对风险规避系数的合理值γ=1。。以及Gompertz参数（mi，bi）的实际值，作为收入百分比的函数。图#5如前所述，根据前面解释和介绍的死亡率补偿法，图（#5）显示了（h）和（g）之间的关系，作为收入百分位数的函数，基于Chetty et al.（2016）中前面提到的数据。请注意，根据Milligan和Schirle（2018），初始死亡率和死亡率增长率之间存在相同的负相关关系。如图#6所示。因此，这并不是一种仅在美国存在的虚假关系。图6所示，就衡量风险厌恶而言，我知道正在进行的辩论和校准γ的众所周知的问题，请感兴趣的读者参考O\'Donoghue和Somerville（2018）、orSchildberg-H¨orisch（2018）和Andersen（2008）最近的工作，为了使用这些值的公正性。同样，在对不同百分位进行比较时，我假设γ保持不变，并不取决于（mi，bi）或（hi，gi）值的特定选择。事实上，可以提出一个论点，即死亡率较高的个体实际上可能具有较低的水平或风险厌恶。参见Cohenand Einav（2007），了解风险敞口与保险需求之间的可能联系。表（#4）使用γ=3的中点显示结果，并根据要求提供其他（数值表）。首先，我估计相关的Gompertz-miand-bi（或hiand-gi）值，然后计算剩余寿命预期值：E[Tx]和标准偏差：SD[Tx]。有了这些数字，我可以显示个人的长期波动性以及最终的两个AEW值。

请注意，衡量随机变量内在离散度的Gompertz b值和寿命波动性如何降低高收入百分位数。同样，随着年龄x接近值m，由于b的下降和CoVoL的内在增加，CoVoL较低。表4所示为表（#4）中的最后两列分别使用公式（7）和（8）计算个人和群体。需要明确的是，标有AEW的列表示个人，假设在任何百分位上，这些65岁的人与具有相同EMI、BIAN和相同风险类型的人汇集在一起。他们为年金支付公平的精算价格。在个人定价下，较高的收入百分位数与（较低的CoVoL）和较低的年金等价财富价值相关。第（#4.1）节给出了该结果的直观性，图（#4）显示了该结果。请注意，当养老金定价合理时，对穷人和富人来说，它们的价值要高出多少。接下来是强制性年金定价，最右边的一栏是基于加载定价，这显然对一些人（穷人）不利，对其他人（富人）有利正如论文中多次指出的那样，如果你比年金定价池中的一些人更健康，并且你没有为你的风险支付公平的利率，那么团体定价会提供更高的等价物价值。AEW的集团价值随着收入百分比形式的增加而增加，因为他们获得了更好的相对折扣。女性没有观察到这种模式（图4中假设的模式）。造成这种差异或缺乏统一性的原因是，尽管年金是有负担的，而且对收入最低的群体来说相对不具吸引力，但负担还不足以为收入最低的群体与收入较高的群体产生更低的年金等价物。

从某种意义上说，男性（群体）δ值的统一递增模式是一个令人惊讶的结果。不管怎样，这里的重点是，对于γ=3的情况，δ的所有值都大于0。他们都从一起游泳中受益（就效用而言）。同样，从该表中得出的关键（政策）是，即使在收入最低的百分位，在Gompertz风险率较高且退休预期寿命为梅雷德凯德（meredecade）左右的情况下，δ的值也为正值，即使在集团定价率下也是如此。当然，这假设价格完全基于群体死亡率，这是由50%参数决定的。如果增加了额外荷载或成本，δ可能变为负值。我应该注意到，在我对低收入百分位数、大量现有养老金年金收入和较低风险规避水平γ进行的广泛分析（并非全部显示）中，δ值几乎没有正值。6总结与结论在强制性养老金制度中，寿命较短的参与者会提前补贴预期寿命更长的人。此外，由于收入较高的个人往往较低，穷人最终会补贴富人。引用Brown（2003）的话，“如果在财务基础上进行衡量，这些转移可能相当大，而且往往远离经济弱势群体，转向财务状况较好的群体。”这一令人不安的事实在文献中得到了很好的证实，偶尔也被吹捧为转换为固定缴款（DC）计划的（社会）理由。

然而，Brown（2003）继续写道，“年金化的保险价值非常大，相对于没有年金的世界来说，所有群体都可以通过强制年金获得更好的效果。”激励这篇论文的问题是：在什么情况下，长寿预期的差距变得如此巨大，以至于年金的价值对于那些预期寿命最短的人来说实际上是负的？这是一个经验性的问题，与美国死亡率随收入增长的差距密切相关。在此背景下，本文重点关注剩余寿命第二时刻的异质性，这在经济学文献中并没有引起太多兴趣。我基于这样一个事实，即在任何给定年龄的情况下，低收入者的寿命变异系数（CoVoL）都比高收入者大。从某种意义上讲，穷人的生活（金融）风险相对较高，也绝对较高。这就意味着相对于高收入者，他们愿意支付长寿保险和年金等价财富的意愿更高。因此，在强制性DB养老金体系中，有两种相互竞争或相反的效果。一方面，财富从穷人（即高死亡率）向富人（即低死亡率）的转移是明确且预期的。另一方面，由于风险较高，经济弱势参与者从风险池中受益更多。本文，尤其是δ的主方程，有助于确定分界点。如果我可以用我一开始介绍的人物来总结一下，Heatherand Simon都受益于长寿风险池，即拥有终身年金，无论他们是与自己一样的人一起游泳还是被迫与他人一起游泳。

当年金定价合理时，即根据其自身的风险类型量身定制，并且我们使用小型隔离池时，Simon从汇集长寿风险和持有年金中获得了相对较高的收益。大自然赋予他更高的死亡率和较慢的死亡率增长率。这就意味着（或导致）长寿的高可用性，而规避风险的退休人员愿意（昂贵地）支付费用来降低更高的长寿风险。从某种意义上说，自然的死亡补偿法则导致死亡率最高的人对长寿保险的需求更高。相比之下，Heather的年金化相对收益可能（远）比Simon的小，因为她的预期寿命（远）更高，这意味着她的死亡率更低，她的个人寿命波动性更低。实际上（以及在现实世界中），在增加了相对较小的保险收益——也许还有一些预先存在的年金收入——之后，希瑟可能不会从额外的年金中获得任何价值。这也是她独自游泳的时候。一旦他们被迫进入同一个保险池，尽管Simon正在支付罚款（隐性保险加载）并且正在消退Heather，但她现在正受益于更便宜的养老金。这增加了她的支付意愿。因此，联营的价值是否为正是一个实证问题，所提供的数据表明（目前）情况仍然如此。参考文献[1]Andersen，S.、Harrison，G.W.、Lau，M.I.和Rutstrom，E.E.（2008），《引出风险和时间偏好》，计量经济学，第76卷，第583-618页。[2] Andersson，E.、P.Lundborg和J.Viksrom（2015），《收入和死亡率：瑞典公共部门员工的证据》，《公共经济学杂志》，第131卷，第21-32页。[3] Barseghyan、L.、F.Molinari和T。

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蛤蜊的极端形式表明，瞬时死亡率危险率在某个有利年龄收敛到一个常数。为了正确地模拟这种影响，我首先从一个同质的人口分组开始，在这个分组中，每个成员由两个参数识别：h[I]，g[I]，其中I=1。。N、 是子组数。在我们的背景下，我代表收入百分位数（N=100），如inChetty et al.（2016）。请注意，h【i】代表一个假设的零年龄生物危害率，g【i】是相应的死亡率增长率，假设在此早期阶段没有限制，除了：h【i】>0和g【i】≥ 此外，尽管有“零岁”这个短语，但我并不是在模拟生命的早期阶段（我忽略了婴儿死亡率）因此，实际上，在任何按时间顺序排列的年龄：x>>0时，第一亚组成员的总死亡率风险率λx[i]在一定的高龄之前都遵循所谓的Gompertz-Makeham（GM）关系，之后就会出现。形式：λx【i】=λ+h[i]eg[i]xx<x*[i] λ*[i] x个≥ x个*[i] （9）注意非生物（和非时间相关）危害率：λ≥ 0，对于总体的所有成员都是常量，但λ*[i] >>λ和相应的x*, 方程（9）非常一般。首先，平台可能依赖于i，即λ*[i] 6=λ*[j] ，对于i6=j。此外，对于一些i，它是可以想象的x*【一】→ ∞, 并且没有（确定的）死亡率平台。重新排列方程（9），GM模型也可以表示为：Qxz}|{ln（λx[i]- λ） =Cz}|{ln h[i]+Cz}|{g[i]x，x<x*[i] ，这是“Gompertzian”制度下所有年龄段的（对数）生物死亡率的标准线性表示。请注意，我故意使用：Qx，而不是左侧的标准一年死亡率：Qx，因为它们不是完全相同的东西。稍后将对此进行详细介绍。Chetty等人。

（2016）假设Qx=Qx，并报告C（theintercept）和C（斜率）的估计值，假设λ=0，基于2001年至2014年期间美国x至63岁的死亡率。Milligan和Schirle（2018）对加拿大数据也做了同样的处理，并获得了具有类似结构的Cand C估计值。然后，Cand Care的值用于预测或预测中老年人的一年死亡率（他们的样本中没有相关数据）一般来说，他们都发现：的最佳拟合值与C的值呈负相关。图5和图6说明了这一点。为了回到qx和qx之间的区别，在GM框架中，在任何给定的按时间顺序排列的年龄x，一年死亡率qx与持续死亡率相关，通过以下方式：1- qx=e-Rx+1xλydy。（11） 当λx=λ为常数（即h=0）时，任何时间t的存活率为s（t）=e-λt，然后qx=1- e-λ、 任何一年。在这种情况下（过于简单，显然不是Gompertz），参数λxis是连续复合死亡率和qxis有效年（一年）死亡率的同义词。在完全Gompertz-Makeham（h>0）情况下，任何子组的qx和模型参数（λ，h，g）之间存在以下关系：-ln[1- qx]=R（λ+heg（x+s））ds=Rλds+hegxRegsds=λ+hegx（例如- 1） /g（12）定义：-ln[1- qx]>λ≥ 0，所以我们可以从两侧减去λ，再取一次对数，通过GM参数得到一年死亡率（LHS）和年龄x（RHS）之间的线性关系：ln自然对数1.- qx公司- λ=Kz}|{ln[h]+ln[（例如- 1） /g]+g x，（13）其中，为了方便起见，定义了新常数：K，并建议使用适当的回归（或最小二乘）方法来校准：λ，h，g。目标是从（经验）~qx值的向量估计（λ，h，g）值。

为此，我们定义了一个新变量：~z：=ln自然对数1.- qx- λ, （14） 理解为λ≥ 0，提前知道并确定。目前，这导致了（基本的）Gompertz回归方程：~zj=K+gxj+j、 （15）式中，xjis是年龄向量，例如x=35、x=36、x=37等，Zi由一年死亡率qxi计算得出。运行回归公式化的不等式（15）可得出最佳截距和斜率参数K和g，这是基于方程（13）得出的，可以很容易地得出Gompertz参数的无偏估计：g=~gln【h】=~K- ln[（eg- 1） /▄g]h=e▄Kge  g- 1.. （16） 这些分别是零岁时的死亡率增长率、对数（生物）危害率和实际（生物）危害率。事实上，知道Gompertz模型会导致（非常）高且显著的系数，人们会试图跳过正式回归（测试）并通过最小二乘线方程估计（h，g）：C=PN（xj- (R)x）（yj- 是）PN（xj- x） ，C=\'y- C'x，（17），其中'y和'x分别是y和x的算术平均值。而且，由于年龄变量是一个线性序列：(R)x=（xmin+xmax）/2。总之，无论采用何种精确校准方法，上述程序都会得出一对值：（h，g）用于人群中的每个亚组i。现在，死亡率的弱形式补偿定律表明，生物危害率相对较高的群体：h【i】>h【j】，增长率相对较低，g【i】<g【j】，反之亦然。更多信息，请参见Gavrilov&Gavrilova（原文章1979，1991年出版）。换言之，CLaM假设h[i]和g[i]之间存在形式分析关系，表示为h：=h（g），范围为：gmin≤ g级≤ gmax。

需要明确的是，弱式CLaM（仅）规定：h（g）/如果把h看作g的函数，那么g<0。一个强形式的蛤蜊在生命周期的最后通过假设开始：x*[i] =x*, i、 所有亚组的死亡率平台相同。这实际上对函数h（g）施加了更严格的限制，并且通过等式（10）可以得出：L：=ln（λ*- λ） =ln h（g）+gx*, （18） 其中L是一个（新的）方便常数。重新排列方程（18）得到函数的线性表示：ln h（g），可以表示为：ln h（g）=L- x个*g、 （19）我将引用并标记：ln h（g），作为CLaM函数。指数方程（18），实际零龄生物危害率：h（g）可表示为：h（g）=（λ*- λ） e类-x个*g、 （20）（g=0时）恢复死亡率平台：λ*= h（0）+λ。因此，在死亡率的强补偿定律下，我可以将方程（9）改写为：λx（g）=λ + (λ*- λ） eg（x-x个*)x<x*λ*x个≥ x个*（21）进行评估。回想一下，我可以访问一组100个值：{lnh[I]，g[I]}，假设它们与CLM的强形式一致，我可以估计（截距）L和（斜率）x*通过回归。特别地，根据等式（19），关系为：yjz}|{ln h[i]=Cz}|{L+Cz}|{(-x个*)zjz}{g[i]+j、 （22）注意，第二个回归程序不应与第一个回归程序混淆，第一个回归程序用于提取或估计方程（10）中的原始Gompertz参数。如Chetty等人所述，第一次回归（或最小二乘估计）是导致：ln h[i]和g[i]值的原因。

（2016）或Milligan和Schirle（2018）。要明确的是，一旦我们实际掌握了（h，g）参数，该参数将用于年金定价和价值池，第二个过程的要点是确认CLaM-e效应的存在，这意味着低收入者的CoVaL更高，反之亦然。表5显示了我所说的第二次回归的结果，从某种意义上说，第二次回归测试了数据中是否存在强CLaM。事实上，ln h[i]和g[i]之间的关系与接近98%的Rv值呈线性关系，这为按收入划分的美国人口中的强烈反对提供了支持。估计的L=ln（λ*- λ） ，揭示或定位高原。还有斜坡(-x个*) 是达到这一目标的年龄，即Gavrilov和Gavrilova（1979年）规定的物种特定寿命。作为最后的补充说明，有以下理论支持：L≈ ln（ln 2）），因此高原的一年生存率和死亡率为：-λ*= 0.5=e-eL，假设意外事故率（也称为Makeham常数）为零。Chetty等人（2016年）指出了L的低值，Milligan和Schirle（2018年）的数据也是如此。A、 2个封闭式年金系数和时刻在每个人口亚组内，直至死亡平台，一旦可以将连续时间风险率函数表示为：λx+t=hxegt=be（x+t-m） /b，（23），其中hxis是（任意基线）年龄x时的危险率，g是危险增长率。

回想一下，参数g表示对数危险率（作为自变量）与年龄（因变量）回归的斜率，如前一小节所述。再次注意：b=1/g，它测量剩余寿命随机变量的离散度，表示为（m，b）公式中的：Txin。对于下面的内容，我使用：（hx，g）公式，其中hxis是当前x岁时的死亡率危险率，这导致与年金等价财富δ的关系更清晰、更直观。人们可以很容易地从（m，b）-空间移动到（hx，g）-空间。例如，假设65岁时的危险率为：h=0.5%，假设增长率为：g=10%，则寿命的模式值为：m=94.957=65- ln【0.005/0.1】/0.1年，离散值为：b=1/g=10。同样，如果：h=0.5%，但增长率为g=8%，则：m=98.761年，b=12.5年。接着，在（hx，g）危险率公式下，条件生存概率，表示为：p（t，hx，g）等于：p（t，hx，g）=exp{-Zthx+sds}=exp{（hx/g）（1- egt）}。

（24）回想一下，任何直接人寿年金系数都可以表示为：a（r，hx，g）=r∞e-rtp（t，hx，g）dt（25）=R∞e-rtexp{（hx/g）（1- egt）}dt=ehx/gR∞e-rtexp{-（hx/g）egt}dtI可以使用变量的变化来简化积分：s=（hx/g）egt，因此：s=hxgegt→ t=ln【sghx】/克→ dt=sgds（26）使用新变量s，而不是（hx/g）egt，我们可以简化被积函数：ehx/gZ∞e-rtexp-（hx/g）egtdt=ehx/gZ∞e-rte公司-sdt（27）我们现在可以将t替换为：ln[sg/hx]/g，以获得：ehx/gZ∞e-rte公司-sdt=ehx/gZ∞e-r（ln【sghx】/克）e-sdt=ehx/gZ∞e-s（sghx）(-rg）dt（28）用（1/sg）ds替换dt，并将所有非s项移出积分：a（r，hx，g）=ehx/gZ∞e-s（sghx）(-rg）sgds=ehx/克（ghx）(-rg）gZ∞hx/ge-不锈钢(-rg）-1ds（29）积分外部和左侧的项可以简化为：ehx/g（ghx）(-rg）g=gexp{g（hx+r ln[hx/g]）}=g exp{(-1/g）（hx+r ln[hx/g]}（30）Gompertz（尽管没有Makeham常数）终身年金系数现在可以正式重写为：a（r，hx，g）=g exp{(-1/g）（hx+r ln[hx/g]}Z∞hx/ge-不锈钢(-rg）-1ds（31）从看起来凌乱的方程（31）中可以看出，我似乎没有改善问题，但积分实际上可以被识别为不完整的伽马（IG）函数：Γ（α，β）=Z∞βe-ssα-1ds。（32）当积分下界β=0时，IG函数塌陷为基本Gammafunction，当α为整数时，则Γ（α，0）=（α-1)(α-2)... 等，也称为（α-1） 阶乘，理解为Γ（1，0）=1和Γ（2，0）=1。对于α和β的一般值，IG函数在大多数商业和科学软件包（当然还有R）中都很容易获得，类似于误差函数或正态分布。例如，Γ的值(-0.5，1）=0.178148到五位数，值为：Γ(-0.5, 0.3678) = 0.89635. 我要提醒的是，对于α的非正值，存在一些数值稳定性问题。

合并方程（32）和（31），我可以使用一个封闭形式的表达式来编写年金因子：a（r，hx，g）=Γ(-r/g，hx/g）g exp{(-（33）这是我们的基本年金系数。下面是一些数值例子。让我们任意设置利率r=3%。如果我们将g常数保持在0.08，那么当hx分别取0.1、0.2和0.3时会发生什么。a（0.03，0.1，0.08）=5.552432，a（0.03，0.2，0.08）=3.464195，和：a（0.03，0.3，0.08）=2.543422请注意，随着hxin的增加，年金系数的值会发生变化。这应该是直观的，因为死亡率（或危险率）的力量会杀死你，因此如果死亡率增加，你的寿命会缩短，因此收入会减少，从而使年金因素更便宜。同样，如果我们fix:hx=0.1，并将g更改为分别取0.09、0.12、0.15。然后，a（0.03，0.1，0.09）=5.392625，和：a（0.03，0.1，0.12）=4.981276，最后：a（0.03，0.1，0.15）=4.646376，均以美元计。因此，随着g的增加，年轮因子的值下降，同时保持hxconstant。图7如图7所示。x轴表示当前（或初始）危险率H，范围为hx=0.005至hx=0.5，增量相等。假设m=90，b=8，在备选（m，b）规范中，这恰好对应于x=64到x=101的范围。x轴标记有速率（顶部）和年龄（底部）。而且，虽然前者（顶行）线性增加，但后者（底行）没有，因为在Gompertz定律下x：=b ln[hb]+m。图7a中的y轴表示对应于特定（x轴）风险率和年龄的年金系数，假设：在上述（h，g）公式中，g=12.5%。请注意年金系数是如何下降的，因为我们从左向右移动，风险率（以及年龄）会增加。

面板#7b绘制了年金系数在hx=0.005到hx=0.5的相同范围内的值，假设减少：g=8%。年金系数在每一个值上都较高（从突出显示的几点可以看出），尽管它在风险率和/或年龄上也有所下降。请注意，在这种情况下，相应的b=1/g=12.5年，相应的（第二）x轴值范围为x=55至113。最后，回顾一下在实际金融中常见的Gompertz（m，b）公式，死亡率风险率表示为：λx+t=（1/b）e（x+t-m） /b.在这种情况下，立即年金系数a可以通过（x，m，b）的形式得出，用（1/b）exp{x替换：hx-mb}，并用1/b替换g。为了完整性，我给出：a（r，x，m，b）=bΓ(-rb，exp{x-mb}）exp{r（m- x）- exp{x-mb}}。（34）A.3推导年金等价财富或δI在假设个人没有预先存在的年金收入的情况下，快速证明年金等价财富（AEW）的表达式：1+δ。这是基于Milevsky和Huang（2018）的推导，他们在替代死亡率假设和更一般（非零）养老金收入下为AEW提供了各种封闭形式的表达式。另见Cannon和Tonks（2008）。设u（c）表示由风险规避γ参数化的常数相对风险规避（CRRA）效用（又称幸福度）函数，以及主观贴现率ρ=r。形式上，u（c）=c1-γ/(1 - γ). 无年金的最大效用：U*（w） =最大Ctzω-xe公司-rtp（t，hi，gi）u（ct）dt，（35），其中（hi，gi）是相关收入百分位的Gompertz参数，预算约束为：dWt=（rWt- ct）dt，W=W。（36）最佳消耗函数表示为：c*t、 不允许任何借贷，因为财富≥ 始终为0。选择早期vs。

晚期消费归因于死亡率信念和替代的跨期弹性，1/γ。现在，由于没有预先存在的养老金收入，相关的消费率必须足以一直持续到ω，因此：w=c*Zω-xe公司-rtp（t，hi，gi）1/γdt，（37），这导致相应的：c*t型=wR公司∞e-rtp（t，hi，gi）1/γdtp（t，hi，gi）1/γ，（38）等式（38）分母中的积分是一个年金因子（各种），假设生存概率p（t，hi，gi）移动1/γ。例如，当γ=1时，最优消耗函数c*tin方程（38）被简化为假设年金：w/a（r，hi，gi）乘以生存概率p（t，hi，gi），这小于终身年金所能提供的。将所有流动财富w转换为年金的个人将消费w/a，但非年金者根据生存概率按比例减少消费。与之相反：U*（w） ，让U**（w） 表示财富的贴现终身效用，假设财富w在x岁时完全年金化或集合。贴现效用为：U**（w） =Z∞e-rtp（t，hi，gi）u（w/a（r，^h，^g））dt，（39），其中优化的消耗路径是平凡的c*t=w/a（r，^h，^g），对于所有t。下一步（本质上是最后一步）是注意δ将满足以下等式：U*（（1+δi）w）=U**（w） ，（40）根据AEW的定义。我们请感兴趣的读者参考Milevsky和Huang（2018），了解从上述方程中提取：δIf的代数。A、 4δ的比较静态最终图（#8）将整个技术附录汇集在一张汇总图中。假设四种不同的假设死亡率风险率hx，它绘制了寿命风险池值的方程式：δx，一系列死亡率增长率g。

顶行（红色）点将初始死亡率固定为3%，第二行（蓝色）假设为2%，第三行（紫色）基于1%，底行（黑色）基于0.5%。假设r=3%，γ=3，这四个死亡率风险率与表#4中显示的高收入与低收入的数字范围相当（尽管并不完全相等）。图#8在此指出，在x轴上死亡率增长率g的任何特定值，所谓的高死亡率δ值均位于低死亡率δx值之上。但是，当一从左向右移动并增加g的值时，在其他条件相同的情况下，对δxis的影响是非单调的。的确δx/g无法签名。在低死亡率时，它实际上会增加（g），而在高死亡率时，它会下降（g）。然而，如果我在这张图上叠加适当校准的死亡率线补偿定律，并且只关注或使用Hx和g的生物现实组合，即箭头穿过点的地方，就会出现一个清晰的模式。增加死亡率增长率g会降低初始死亡率hxitself（每只蛤）。寿命风险池的值在g中下降，因此在1/g中增加。因此，我得出结论，δxin的值在寿命变异系数（CoVoL）以及寿命的标准偏差方面都会增加，这要归功于LAM。Q、 E.D.Table#1：养老金补贴直觉Mon Heather当前年龄：65 65已赚养老金额度：最大年养老金收入：25000美元预期寿命（地平线）：10年30年期M年金PV（3%）：212750美元487250资金系统资产：700000养老金总供款：350000美元转移和补贴：-137250美元+137250美元注。有关详细信息和上下文，请参阅正文，尤其是导言。表#2a：美国。

每1000人的死亡率。男性女性收入组年龄=40年龄=50年龄=60年龄=40年龄=50年龄=60最低（第一个百分点）5.8 12.5 22.1 4.3 8.0 12.825百分位2.0 4.5 10.9 1.2 2.7 5.9中值（第50个百分点）1.2 2 2.9 7.3 0.8 2.0 4.575百分位0.8 1.8 4.9 0.5 1.3 3 3 3.5最高（第100个百分点）0.6 1.1 2.8 0.3 0.8 0.8 0.8 2.2表格2b：死亡率增长率和项目收入男女组g：=ln qx+Tln qx/T 1000qg：=ln qx+Tln qx/T1000qLowest（第1个百分点）5.63%208.5 4.81%89.225个百分点8.74%355.2 8.32%171.1地中海（第50个百分点）9.21%285.7 8.68%158.975个百分点10.22%302.1 10.21%211.4最高（第100个百分点）10.00%163.2 9.97%115.0注：来源于Chetty等人（2016），2001年至2014年期间的死亡率使用两年的收入滞后。第二组中g的计算（由作者）基于从x=50到x=63的年龄增长。每个百分位的g值用于预测：~q。请注意，在x=100岁时，预测死亡率在两倍以内。根据理论，他们应该趋同。表#3：寿命变化系数（CoVoL）：Дx。。。当模态寿命值（m）为：98年时。死亡率下降。平均标准偏差。CoVoL危害是指StDev。