如果依赖约束足够强（即β≥Wni=1αi），然后我们得出Embrechts等人（2018年，命题5）得出的最小总风险度量值（6.5）的相同值。如果依赖性约束处于中间状态，则总风险度量Vβ（X）在这两个值之间变化，β减小。这表明，使用弱共名性作为依赖约束会产生一系列灵活的风险分担问题公式。7总结与结论在本文中，我们引入了弱共单调性的概念。通过对几个性质和应用的分析，我们证明了弱共单调性的同构性质，作为特例，它包含了经典的共单调性概念。这一新概念为ran dom变量的共名性的经典概念与（in）依赖性和关联性的许多众所周知的说明（例如，Joe，2014；Durante和Sempi，2015，以及其中的引用）之间的联系架起了一座桥梁。更重要的是，我们说明了引入的弱共名性为经济学、银行业和保险业中的许多问题，特别是那些涉及风险聚合和风险分担的问题提供了必要和充分的条件。具体而言，研究表明，弱共单调性的通知产生了最大VaR聚集的充分条件，以及最大ES聚集的必要和充分条件。据我们所知，这种情况一直难以预测。此外，我们还提供了一个风险分担问题的解析解，该问题对可容许分配的依赖结构的约束最自然地由弱共单调性描述，弥补了文献中研究的强共单调性和节点依赖性之间的差距。

最后，我们注意到，由于弱共单调依赖于乘积测度集P，其范围非常广泛，包括许多类型的依赖。致谢作者感谢编辑EmanueleBorgonovo和四位匿名推荐人对该论文早期版本的各种有益评论。作者获得了加拿大自然科学与工程研究委员会（NSERC）的个人研究资助（RGPIN-2018-03823、RGPAS-2018-522590、RGPIN-2016-427216），以及加拿大国家研究组织“信息技术与复杂系统数学”（MITACS）的支持。附录：引理证明6.1陈述（i）的证明。由Y的定义↑βX，对于a.s.allω∈ B和ω′∈ Bc，我们有（ω）≥ Y（ω′）。因此，存在一个常数z∈ R使B {Y≥ z} 和Bc {Y≤ z} a.s.很容易看出，该常数可以选择为z=Qβ（Y），因为P（Y≥ Qβ（Y））≥ 1.-β和P（Y≤ Qβ（Y））≥ β.声明证明（二）。根据界（6.6），我们有qα-β（z1B+Y 1Bc）+Qβ（Y- z） 1B）≥ Qα（Y）。注意，Qβ（（Y- z） 1B）=自Y起为0≥ 通过语句（i）和P（B）=β，z在B上。因此，Qα-β（z1B+Y 1Bc）≥ Qα（Y）。（A.1）为了说明另一个方向，我们考虑了两种情况。如果Qα（Y）<Qβ（Y），则{Y≤ Qα（Y）}{Y<Qβ（Y）} Bcby语句（i）。在这种情况下，P（z1B+Y 1Bc≤ Qα（Y））=P（z≤ Qα（Y），B）+P（Y≤ Qα（Y），Bc）=P（B）+P（Y≤ Qα（Y））≥ β + 1 - α.如果Qα（Y）=Qβ（Y），则Bc {Y≤ Qβ（Y）}={Y≤ Qα（Y）}通过语句（i）。在这种情况下，P（z1B+Y 1Bc≤ Qα（Y））=P（z≤ Qα（Y），B）+P（Y≤ Qα（Y），Bc）=P（B）+P（Bc）=1。在这两种情况下，P（z1B+Y 1Bc≤ Qα（Y））≥ 1.- (α - β） ，表示Qα-β（z1B+Y 1Bc）≤ Qα（Y）。通过界（A.1），我们得到Qα-β（z1B+Y 1Bc）=Qα（Y）。声明证明（三）。

请注意P（z1B+Y 1Bc≥ Qα（Y））=P（z≥ Qα（Y），B）+P（Y≥ Qα（Y），Bc）=P（B）+P（Y≥ Qα（Y），Bc）≥ P（Y≥ Qα（Y），B）+P（Y≥ Qα（Y），Bc）=P（Y≥ Qα（Y））≥ α.这显示了SQα（z1B+Y 1Bc）≥ Qα（Y）。（A.2）对于另一个方向，我们考虑了两种情况，类似于陈述（ii）。如果Qα（Y）<Qβ（Y），则{Y≤ Qα（Y）} {Y<Qβ（Y）} Bcby语句（i）。在这种情况下，P（z1B+Y 1Bc≤ Qα（Y））=P（z≤ Qα（Y），B）+P（Y≤ Qα（Y），Bc）≥ P（Y≤ Qα（Y））≥ 1.- α.如果Qα（Y）=Qβ（Y），则Bc {Y≤ Qβ（Y）}={Y≤ Qα（Y）}通过语句（i）。在这种情况下，P（z1B+Y 1Bc≤ Qα（Y））=P（z≤ Qα（Y），B）+P（Y≤ Qα（Y），Bc）≥ P（Bc）=1- β ≥ 1.- α.在这两种情况下，P（z1B+Y 1Bc≤ Qα（Y））≥ 1.- α，表示Qα（z1B+Y 1Bc）≤ Qα（Y）。通过bou-nd（A.2），我们得到Qα（z1B+y1bc）=Qα（Y）。声明证明（四）。如果α≤ β、 然后，对于所有z，Qα（Y）=Qα（Y 1B+z1Bc）≤ y、 注意P（y 1B+z1Bc≤ Qα（Y））=P（Y≤ Qα（Y），B）+P（z≤ Qα（Y），Bc）=P（Y≤ Qα（Y），B）+P（Bc）≥ P（Y≤ Qα（Y））≥ 1.- α.这显示了sqα（Y 1B+z1Bc）≤ Qα（Y）。（A.3）对于另一个方向，我们再次考虑两种情况。如果Qα（Y）>Qβ（Y），则{Y≥ Qα（Y）}{Y>Qβ（Y）} B根据声明（i）。在这种情况下，P（Y 1B+z1Bc≥ Qα（Y））=P（Y≥ Qα（Y），B）+P（z≥ Qα（Y），Bc）≥ P（Y≥ Qα（Y））≥ α.如果Qα（Y）=Qβ（Y），则B {Y≥ Qβ（Y）}={Y≥ Qα（Y）}通过语句（i）。在这种情况下，P（Y 1B+z1Bc≥ Qα（Y））=P（Y≥ Qα（Y），B）+P（z≥ Qα（Y），Bc）≥ P（B）=β≥ α.在这两种情况下，P（Y 1B+z1Bc≥ Qα（Y））≥ α，表示Qα（Y 1B+z1Bc）≥ Qα（Y）。通过bou-nd（A.3），我们得到Qα（Y 1B+z1Bc）=Qα（Y）。陈述证明（五）。利用（6.6），我们得到了Qα（Z）+Qβ（（Z-z） 1B）≥ Qα+β（z1B+Z1Bc）。注意Qβ（（Z-z） 1B）≤ 自P（Z）起为0-z） 1B级≥ 0) ≤ P（B）=1-β. 因此Qα（Z）≥ Qα+β（z1B+Z1Bc）。这确立了陈述（v）并总结了Lemma6.1ReferencesBox，G.E.P.、Jenkins，G.M.、Reinsel，G.C.a和Ljung，G.M.（2015）的全部证明。时间序列分析：预测和控制。

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