我们澄清，我们并不声称这些增益将保持在渐近状态，即对于更高的精度要求。此外，Richardson外推的使用仅限于前渐近区域，我们观察到的实验结果表明，对于弱误差，一阶收敛。我们强调，据我们所知，在粗糙波动性背景下没有进行适当的弱误差分析，但我们声称，混合方案和精确方案在e上都有弱阶误差，这至少在数值上是正确的。虽然我们的重点是rBergomi模型，但我们的方法适用于广泛的随机波动率模型，尤其是粗糙波动率模型。在这项工作中，我们仅限于将我们提出的新方法与标准MC进行比较。可以与文献[35]中提出的MC变体进行更系统的比较，但这有待于将来的研究。另一个未来的研究方向是提供一种可靠的方法来控制ASGQ的量化误差，据我们所知，这仍然是一个开放的研究问题。这在我们的背景下更具挑战性，尤其是对于H的低值。我们强调，这项工作的主要目的是说明确定性求积在与层次表示相结合时，在rBergomi模型下定价选项的高潜力。最后，我们注意到，通过使用ASGQ和QMC方法的更好版本，或基于Donsker型近似的粗波动率模型的替代弱近似，可以实现加速我们的新方法，正如最近在[28]中所建议的那样。

本工作中提出的ASGQ和QMC方法也可以应用于该方案中；在这种情况下，对于积分问题（4.1），我们只有N维输入，而不是（2N）维输入，其中N是时间步数。进一步的分析，特别是理查森近似，将在未来的研究中进行。致谢C.拜耳感谢德国研究基金会（DFG）通过C luster of Excellence MATH+（AA4-2项目）和individualgrant BA5484/1提供的支持。这项工作得到了KAUST赞助研究办公室（OSR）第URF/1/2584-01-01号奖项和亚历山大·冯·洪堡基金会的支持。C、 Ben Hammouda和R.Tempone是KAUST SRI计算科学与工程不确定性量化中心的成员。作者要感谢Joakim Beck、EricJoseph Hall和Erik von Schwerin的有益和建设性评论。作者也非常感谢匿名推荐人的宝贵意见和建议，这些意见和建议极大地帮助形成了论文的最终版本。引用的参考文献【1】Eduardo Abi J aber。提升赫斯顿模型。《定量金融》，19（12）：1995–2013、2019。[2] 彼得·阿克沃斯、马克·布罗迪和保罗·格拉斯曼。期权定价的蒙特卡罗和准蒙特卡罗方法的比较。《蒙特卡罗和准蒙特卡罗方法》（Monte CarloMethods 1996），第1-18页。斯普林格，1998年。[3] Elisa Al\'os、Jorge A L e\'on和Josep Vives。关于随机波动率跳跃扩散模型隐含波动率的短期行为。《金融与随机》，11（4）：571–5892007。[4] Pierre Bajgrowicz、Olivier Scaillet和Adrien Treccani。高频数据中的Ju mps：虚假检测、动态和新闻。《管理科学》，62（8）：2198–22172015。[5] 克里斯汀·拜尔、彼得·弗里兹和吉姆·盖瑟拉尔。

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求解随机微分方程数值格式的全局误差展开。随机分析与应用，8（4）：483–5091990。附录A。表5.1方法步骤1中设置1参数的1种情况- 2 2 -4 4 -8 8 -16QMC+理查森外推1.87（0.96,0.91）0.16（0.07,0.09）0.033（0.015,0.018）0.0044（0.002,0.002）M（#QMC样本）128 8192 131072 2097152MC+理查森外推1.88（0.96,0.92）0.14（0.07,0.07）0.03（0.015,0.015）0.0044（0.002,0.0024）M（##MC样本）4×10 8×1016×105×10表A.1：MC和随机化QMC与Richardson的总相对误差外推（1级），计算不同时间步数的调用价格。括号之间的值对应于导致总相对误差的不同误差：偏差和统计误差估计。选择MC和QMC样本数M，以满足（5.1）。方法步骤1- 2 2 - 4 4 - 8 8 - 16QMC+理查森外推1级0.018 2 18 333MC+理查森外推1级0.0012 12 152 4400表A.2：MC和随机化qmc的计算时间（秒）比较与理查森外推（1级）结合，以计算不同时间步数的rBergomimodel的看涨期权价格。平均MC CPU时间是在100个RUN上计算的。方法步骤1-2.- 4 2 -4.- 8ASGQ+Richardson外推2级（TOLASGQ=10-1） 0.54（0.24,0.30）0.113（0.006,0.107）ASGQ+Richardson外推的2级（TOLASGQ=5.10-2） 0.49（0.24,0.25）0.009（0.006,0.003）表A.3：ASGQ的总相对误差，加上Richardson外推（2级），计算不同时间步数的看涨期权价格。

括号之间的值对应于导致总相对误差的不同误差：偏差和四次误差。方法步骤1- 2.- 4 2 - 4.- 8ASGQ+Richardson外推2级（TOLASGQ=10-1） 0.2 2ASGQ+Richardson外推的2级（TOLASGQ=5.10-2） 0.5 74表A.4:ASGQ coup的计算时间（以秒为单位）与Richardson外推（2级）的比较，以计算不同时间步数的rBergomi模型的看涨期权价格。A、 表5.1中设置2参数的情况方法步骤2 ASGQ（TOLASGQ=10-1） 0.03（0.02,0.01）0.022（0.008,0.014）0.022（0.004,0.018）0.017（0.001,0.016）ASGQ（TOLASGQ=10-2） 0.03（0.02,0.01）0.017（0.008,0.009）0.008（0.004,0.004）0.001（0.001,4e-04）QMC 0.04（0.02,0.02）0.017（0.008,0.009）0.008（0.004,0.004）0.002（0.001,0.001）M（#QMC样品）4096 8192 32768 262144MC 0.04（0.02,0.02）0.016（0.008,0.008）0.007（0.004,0.003）0.002（0.001,0.001）M（#MC样品）16×108×104×10表A.5：不使用Richardson外推的不同方法的总相对误差，用于计算不同时间步数的看涨期权价格。括号之间的值对应于导致总相对误差的不同误差；对于ASGQ，我们报告偏差和正交误差，对于MC和Q MC，我们报告偏差和统计误差估计。选择MC和QMC样本数量M，以满足（5.1）的要求。方法步骤2 4 8 16 ASGQ（TOLASGQ=10-1） 0.1 0.1 0.2 0.8ASGQ（TOLASGQ=10-2） 0.1 0.5 8 92QMC方法0.3 0.7 3.25 27MC方法0.6 6.4 66 1976表A.6：不同方法的计算时间（秒）比较，以计算rBergomi模型在不同时间步数下的看涨期权价格。

在100次运行中计算平均MCCPU时间。A、 表5.1中设置3个参数的情况方法步骤2 ASGQ（TOLASGQ=10-1） 0.008（0.006,0.002）0.009（0.004,0.005）0.008（0.003,0.005）0.009（0.002,0.007）ASGQ（TOLASGQ=10-2） 0.008（0.006,0.002）0.009（0.004,0.005）0.005（0.003,0.002）0.002（0.002,1e-04）ASGQ（TOLASGQ=10-3） 0.008（0.006,0.002）0.006（0.004,0.002）0.003（0.003,1e-04）0.002（0.002,1e-04）ASGQ（TOLASGQ=10-4） 0.006（0.006,4e-04）0.004（0.004,2e-04）0.003（0.003,1e-04)-QMC 0.015（0.006,0.009）0.008（0.004,0.004）0.0066（0.003,0.0036）0.004（0.002,0.002）M（#QMC样本）2×2=8192 2×2=16384 2×2=32768 2×2=65536MC 0.01（0.006,0.005）0.008（0.004,0.004）0.006（0.003,0.003）0.004（0.002）M（##MC样本）8×1016×1024×1032×10表A.7：不使用Richardson外推的不同方法的总相对误差，计算不同时间步数的看涨期权价格。括号之间的值对应于导致总相对误差的不同误差；对于ASGQ，我们报告偏差和正交误差，对于MC和Q MC，我们报告偏差和统计误差估计。选择MC和QMC样本数量M，以满足（5.1）的要求。方法步骤2 4 8 16 ASGQ（TOLASGQ=10-1） 0.1 0.1 0.1 1ASGQ（TOLASGQ=10-2） 0.1 0.15 9 112ASGQ（TOLASGQ=10-3） 0.2 2 27 2226ASGQ（TOLASGQ=10-4) 1 6 136 -QMC方法0.65 1.4 3.25 7.5MC方法4 12 40 160表A.8：计算rBergomi模型不同时间步数的看涨期权价格的不同方法的计算时间（秒）比较。

在100次运行中计算平均MCCPU时间。A、 表5.1中设置4个参数的情况方法步骤2 ASGQ（TOLASGQ=10-1） 0.09（0.07,0.05）0.07（0.03,0.04）0.07（0.02,0.05）0.06（0.01,2e-04）ASGQ（TOLASGQ=10-2） 0.09（0.07,5e-04）0.07（0.03,0.04）0.02（0.02,3e-04）0.02（0.01,2e-04）ASGQ（TOLASGQ=10-3） 0.07（0.07,5e-04）0.03（0.03,4e-04）0.02（0.02,3e-04）0.01（0.01,2e-04）QMC 0.155（0.07,0.085）0.07（0.03,0.04）0.039（0.02,0.019）0.02（0.01,0.01）M（#QMC样品）2×2=2048 2×2=4096 2×2=16384 2×2=32768MC 0.14（0.07,0.07）0.07（0.03,0.04）0.04（0.02,0.02）0.02（0.01）M（#MC样本）24×108×1032×108×10表A.9：不使用Richardson外推的不同方法的总相对误差，计算不同时间步数的看涨期权价格。括号之间的值对应于导致总相对误差的不同误差；对于ASGQ，我们报告偏差和正交误差，对于MC和Q MC，我们报告偏差和统计误差估计。选择MC和QMC样本数量M，以满足（5.1）的要求。方法步骤2 4 8 16 ASGQ（TOLASGQ=10-1） 0.1 0.1 0.2 0.5ASGQ（TOLASGQ=10-2） 0.1 0.1 8 97ASGQ（TOLASGQ=10-3） 0.7 4 26 1984 QMC方法0.17 0.35 1.6 4MC方法0.08 0.6 5.6 40表A.10：计算rBergomi模型不同时间步数的看涨期权价格的不同方法的计算时间（秒）比较。平均MC CPUtime是在100次运行中计算出来的。