我们有以下分解：ψ（W，θ，p，η）- ψ（W，θ，p，η）=D- g（X）p（1- g（X））（Y（1）- Y（0）- `（十） （）-D- g（X）p（1- g（X））（Y（1）- Y（0）- `（十） ）=U+g（X）- g（X）p（1- g（X））（V+`（X）- `（十） （）-UVp（1- g（X））。因此，我们有ψ（W，θ，p，η）- ψ（W，θ，p，η）=UVp（1- g（X））+U（`（X）- `（十） ）p（1）- g（X））+（g（X）- g（X））Vp（1- g（X））+（g（X）- g（X））（`（X）- `（十） ）p（1）- g（X））-UVp（1- g（X））。给定κ≤ g（X）≤ 1.- κ和κ≤ g（X）≤ 1.- κ、 kψ（W，θ，p，η）- ψ（W，θ，p，η）kP，2≤pκk U V（1- g（X））+U（`（X）- `（十） ）（1- g（X））+V（g（X）- g（X））（1- g（X））+（g- g）(`- `) (1 -g（X））- UV（1- g（X））kP，2。按κ≤ g（X）≤ 1.- κ和κ≤ g（X）≤ 1.- κ再次，我们可以得到kψ（W，θ，p，η）- ψ（W，θ，p，η）kP，2≤1.- κpκk U V+U（`（X）- `（十） ）+V（g（X）- g（X））+（g（X）- g（X））（`（X）- `（十） （）- UVkP，2。因此，EPU | X≤ C和EPV | X≤ C、 kψ（W，θ，p，η）- ψ（W，θ，p，η）kP，2≤(1 - κ)√Cpκk`- `kP，2+（1- κ)√Cpκk g- g kP，2+（1- κ） pκk g- g kP，2k`- `kP，2≤OεN+εN+（εN）=O（εN）。第三步。在这一步中，我给出了（A.2）的证明。定义（r）=EP[ψ（W，θ，p，η）+r（η- η))] .那么它的二阶导数是rf（r）=pEP“（D- 1） （g）- g） （1）- g级- r（g- g） ）（Y（1）- Y（0）- `- r(`- `))#-政治公众人物D- 1(1 - g级- r（g- g） （）(`- `) （g）- g）.因此|rf（r）|≤ Ok（克- g） kP，2+k（克- g） kP，2×k(`- `) kP，2≤ （εN）。第4步。请注意pψ（W，θ，p，η）=-pD公司- g（X）1- g（X）（Y（1）- Y（0）- `（十） ）=-p（ψ（W，θ，p，η）+θ），那么我们有kpψ（W，θ，p，η）- pψ（W，θ，p，η）kP，2=pkψ（W，θ，p，η）- ψ（W，θ，p，η）kP，通过步骤2，2=O（εN）。第5步。请注意pψ（W，θ，p，η）=pD- g（X）1- g（X）（Y（1）- Y（0）- `（十） ）=p（ψ（W，θ，p，η）+θ），那么我们有pψ（W，θ，p，η）- pψ（W，θ，p，η）=pψ（W，θ，p，η）- pψ（W，θ，p，η）+pψ（W，θ，’p，η）（p-p） =p（ψ（W，θ，p，η）- ψ（W，θ，p，η））-“”pD- g（X）1- g（X）（Y（1）- Y（0）- `（十） ）（p- p） ，其中“p”∈ （p，p）。

因此，kpψ（W，θ，p，η）- pψ（W，θ，p，η）kP，2≤pkψ（W，θ，p，η）- ψ（W，θ，p，η）kP，2+k'pD- g（X）1- g（X）（Y（1）- Y（0）- `（十） ）kP，2×| p-p |。第二行中的项以“pκk（U+g）”为界- g） （V+`- `) kP，2≤\'pκk U VkP，2+\'pκk U(`- `) kP，2+(R)pκk V（g- g） kP，2+(R)pκk g- g kP，2k`- `kP，2≤\'\'pκC类+√C k公司`- `kP，2+√C k g- g kP，2+\'\'pκk g- g kP，2k`- `kP，2=O（1）乘以k UVkP，2≤k UVkP，4≤ C，EPU | X≤ C、 EP公司V | X≤ C、 以及收敛速度的条件。与步骤2一起，我们获得pψ（W，θ，p，η）- pψ（W，θ，p，η）kP，2≤O（εN）+O（1）×ON-1/2=O（εN），其中我假设εN收敛到零的速度不超过N-1/2.重复横截面：在步骤1中，我显示了主要结果和以下辅助结果：supη∈田纳西州Ekψ（W，θ，p，λ，η）- ψ（W，θ，p，λ，η）k1/2≤ εN，（A.5）supr∈(0,1),η∈TNk公司rE[ψ（W，θ，p，λ，η+r（η- η） ）]k≤ （εN）。（A.6）supη∈田纳西州EP公司kpψ（W，θ，p，λ，η）- pψ（W，θ，p，λ，η）k1/2≤ εN，（A.7）supη∈田纳西州EP公司kλψ（W，θ，p，λ，η）- λψ（W，θ，p，λ，η）k1/2≤ εN，（A.8）支持∈PN，η∈田纳西州EP公司kpψ（W，θ，p，λ，η）- pψ（W，θ，p，λ，η）k1/2≤ εN，（A.9）支持∈PN，λ∈∧N，η∈田纳西州EP公司kλψ（W，θ，p，λ，η）- λψ（W，θ，p，λ，η）k1/2≤ εN，（A.10）补充∈PN，η∈田纳西州EP公司kλpψ（W，θ，p，λ，η）- λpψ（W，θ，p，λ，η）k1/2≤ εN，（A.11），其中tn是所有η=（g，`）的集合，由P平方可积函数g和`这样的kη组成- ηkP，2≤ εN，k g- 1/2 kP，∞≤ 1/2 -κ、 k（克- g） kP，2+k（克- g） kP，2×k(`- `) kP，2≤ （εN），Pn和∧是由所有p>0和λ>0组成的集合，使得| p- p|≤ N-1/2和|λ- λ|≤ N-分别为1/2。根据正则条件（3.2），|^pk- p |=OPN-1/2, 和|^λk- λ|=OPN-1/2, 我们有^η2k∈ TN，^pk∈ PN和^λk∈ ∧n概率为1- o（1）。在步骤2-4中，我显示了上述辅助结果。第1步。

请注意√N~θ - θ=√NKKXk=1￠θk- θ!=√NKKXk=1En，khψW、 θ，^pk，^λk，^η2k我=√NKKXk=1En，k[ψ（W，θ，p，λ，^η2k）]+√NKKXk=1En，k[pψ（W，θ，p，λ，^η2k）]（^pk- p）+√NKKXk=1En，k[λψ（W，θ，p，λ，^η2k）]^λk- λ+ oP（1），其中术语oP（1），通过重复结果和辅助结果（A.9）-（A.11）中术语b的相同参数，包含二阶项√NKKXk=1En，kpψ（W，θ，’pk，λ，^η2k）（^pk- p） ，则，√NKKXk=1En，kλψW、 θ，^pk，(R)λk，^η2k^λk- λ,√NKKXk=1En，k[λpψ（W，θ，’pk，λ，^η2k）]^λk- λ（^pk- p） ，其中“pk”∈ （^pk，p）和|λk∈λk，λ. 另一方面，通过对术语ain重复结果和辅助结果（A.7）-（A.8）的相同论证，我们Haven，k[pψ（W，θ，p，λ，^η2k）]p→ Ep公司[pψ（W，θ，p，λ，η）]=G2p0，En，k[λψ（W，θ，p，λ，^η2k）]p→ Ep公司[λψ（W，θ，p，λ，η）]=G2λ0。因此，自^pk- p=En，k[D- p] 和λk- λ=En，k[T- λ] ，我们有√N~θ - θ=√NKKXk=1En，k[ψ（W，θ，p，λ，^η2k）]=√NKKXk=1En，k[ψ（W，θ，p，λ，^η1k）+G2p0（D- p） +G2λ0（T- λ） ]+oP（1）=√NNXi=1[ψ（Wi，θ，p，λ，η）+G2p0（Di- p） +G2λ0（Ti- λ)]+√NRN+oP（1），其中rn=KKXk=1En，k[ψ（W，θ，p，λ，^η2k）+G2p0（D- p） +G2λ0（T- λ)]-NNXi=1[ψ（Wi，θ，p，λ，η）+G2p0（Di- p） +G2λ0（Ti- λ） ]=KKXk=1En，k[ψ（W，θ，p，λ，^η2k）]-NNXi=1ψ（Wi，θ，p，λ，η）。使用（A.5）-（A.6）和重复结果中与步骤1相同的参数，可以证明√NRN=oP（1）。因此，仍需证明辅助结果（A.5）-（A.11）。第2步。回想一下，p=pλ（1- λ).

对于（A.5），注意ψ（W，θ，p，λ，η）- ψ（W，θ，p，λ，η）=D- g（X）p（1- g（X））（（T- λ） Y型- `（十） （）-D- g（X）p（1- g（X））（（T- λ） Y型- `（十） ）=U+g（X）- g（X）p（1- g（X））（V+`（X）- `（十） （）-UVp（1- g（X））。分解为ψ（W，θ，p，λ，η）- ψ（W，θ，p，λ，η）=UVp（1- g（X））+U（`（X）- `（十） ）p（1）- g（X））+（g（X）- g（X））Vp（1- g（X））+（g（X）- g（X））（`（X）- `（十） ）p（1）- g（X））-UVp（1- g（X））。考虑到κ≤ g（X）≤ 1.- κ, κ ≤ g（X）≤ 1.- κ、 我们有kψ（W，θ，p，λ，η）- ψ（W，θ，p，λ，η）kP，2≤pκk U V（1- g（X））+U（`（X）- `（十） ）（1- g（X））+V（g（X）- g（X））（1- g（X））+（g- g）(`- `) (1 -g（X））- UV（1- g（X））kP，2。按κ≤ g（X）≤ 1.- κ, κ ≤ g（X）≤ 1.- κ再次，我们得到kψ（W，θ，p，λ，η）- ψ（W，θ，p，λ，η）kP，2≤1.- κpκk U V+U（`（X）- `（十） ）+V（g（X）- g（X））+（g- g）(`- `)- UVkP，2。给定EPU | X≤ C、 EP公司V | X≤ C、 收敛速度的条件，kψ（W，θ，p，λ，η）- ψ（W，θ，p，λ，η）kP，2≤(1 - κ)√Cpκk`（X）- `（十） kP，2+（1- κ)√Cpκk g（X）- g（X）kP，2+（1- κ） pκk g- g kP，2k`- `kP，2≤OεN+εN+（εN）=O（εN）。对于（A.6），设f（r）=EP[ψ（W，θ，p，λ，η+r（η- η))]. 那么二阶导数是rf（r）=pEP“（D- 1） （g）- g） （1）- g级- r（g- g） ）（（T- λ） Y型- `- r(`- `))#-政治公众人物D- 1(1 - g级- r（g- g） （）(`- `) （g）- g）因此|rf（r）|≤ Ok（克- g） kP，2+k（克- g） kP，2×k(`- `) kP，2≤ （εN）。第3步。

对于（A.7），请注意pψ（W，θ，p，λ，η）=-pλ（1-λ） D- g（X）1- g（X）（（T- λ） Y型-`（十） ）=-p（ψ（W，θ，p，λ，η）+θ），那么我们有kpψ（W，θ，p，λ，η）- pψ（W，θ，p，λ，η）kP，2=pkψ（W，θ，p，λ，η）- ψ（W，θ，p，λ，η）kP，2=O（εN），通过（A.5）的证明。对于（A.8），请注意λψ（W，θ，p，λ，η）=-1.- 2λλ(1 - λ） D- g（X）p（1-g（X））（（T- λ） Y型-`（十） （）-Ypλ（1-λ） D- g（X）1- g（X）。定义λψ:= λψ（W，θ，p，λ，η），然后λψ（W，θ，p，λ，η）- λψkP，2=kψ（W，θ，p，λ，η）- ψ（W，θ，p，λ，η）kP，2×| 1-2λ|λ(1 - λ） +kYpD- g（X）1- g（X）-D- g（X）1- g（X）kP，2=O（εN）+kYpD- g（X）1- g（X）-D- g（X）1- g（X）kP，2≤O（εN）+pκk Y（g- g） （D）- 1） kP，2≤O（εN）+√Cpκk g- gkP，2=O（εN），通过（A.5）和EPY | X≤ C、 第4步。对于（A.9），请注意pψ（W，θ，p，λ，η）=pλ（1-λ） D- g（X）1- g（X）（（T- λ） Y型-`（十） ）。定义pψ：=pψ（W，θ，p，λ，η），那么我们有pψ（W，θ，p，λ，η）- pψ=pψ（W，θ，p，λ，η）- pψ+pψ（W，θ，’p，λ，η）（p-p） =p（ψ（W，θ，p，λ，η）- ψ（W，θ，p，λ，η））+pψ（W，θ，’p，λ，η）（p-p） ，其中“p”∈ （p，p）。因此，我们有pψ（W，θ，p，λ，η）- pψkP，2≤pkψ（W，θ，p，λ，η）- ψ（W，θ，p，λ，η）kP，2+kD- g（X）1- g（X）（（T- λ） Y型- `（十） ）kP，2×’pλ（1- λ） | p-p |。通过（A.5），我们得到kψ（W，θ，p，λ，η）- ψ（W，θ，p，λ，η）kP，2=O（εN）。第二行中的项以κk（U+g）为界- g） （V+`- `) kP，2≤κk U VkP，2+κk U(`- `) kP，2+κk V（g- g） kP，2+κk g- g kP，2k`- `kP，2≤κC类+√C k公司`- `kP，2+√C k g- g kP，2+κk g- g kP，2k`- `kP，2=O（1）乘以k UVkP，2≤k U VkP，4≤ C、 EP公司U | X≤ C、 和EPV | X≤ C、 因此，我们获得pψ（W，θ，p，λ，η）- pψkP，2≤O（εN）+O（1）×ON-1/2=O（εN），其中我假设εN收敛到零的速度不超过N-1/2.对于（A.10），请注意λψ（W，θ，p，λ，η）=cpλ（1- λ） D- g（X）1- g（X）（（T- λ） Y型-`（十） ）+2- 4λpλ（1- λ） D- g（X）1- g（X）Y，其中cis是一个常数，取决于λ。

定义λψ:= λψ（W，θ，p，λ，η），我们有λψ（W，θ，p，λ，η）- λψ=λψ（W，θ，p，λ，η）- λψ+ λpψ（W，θ，’p，λ，η）（p-p） +λψW、 θ，p，(R)λ，η(λ - λ） =cλ（1- λ） （ψ（W，θ，p，λ，η）- ψ（W，θ，p，λ，η））+2- 4λpλ（1- λ)D- g（X）1- g（X）-D- g（X）1- g（X）Y+λpψ（W，θ，’p，λ，η）（p-p） +λψW、 θ，p，(R)λ，η(λ - λ） ，其中“p”∈ （p，p）和¨λ∈ (λ, λ). 通过三角不等式，我们得到λψ（W，θ，p，λ，η）- λψkP，2≤| c |λ（1- λ） kψ（W，θ，p，λ，η）- ψ（W，θ，p，λ，η）kP，2+| 2-4λ| pλ（1- λ） k级D- g（X）1- g（X）-D- g（X）1- g（X）Y kP，2+kλpψ（W，θ，’p，λ，η）kP，2 | p-p |+kλψW、 θ，p，(R)λ，ηkP，2 |λ-λ| .范数项是第二条线，以κk Y（D）为界- 1） （g）-g） kP，2≤√Cκk g- gkP，2=O（εN），通过EPY | X≤ C和D∈ {0, 1}. 这两个高阶项以k为界λpψ（W，θ，(R)p，λ，η）kP，2≤| c | pλ（1- λ） kD公司- g（X）1- g（X）（（T- λ） Y型-`（十） ）kP，2+| 2-4λ|(R)pλ（1- λ） kD公司- g（X）1- g（X）Y kP，2。andk公司λψW、 θ，p，(R)λ，ηkP，2≤| c | p'λ1.-λkD公司- g（X）1- g（X）T-λY- `（十）kP，2+| c | p'λ1.-λkD公司- g（X）1- g（X）×Y kP，2，式中，CdCare常数取决于λ。使用（A.9）中的相同参数，可以显示kd- g（X）1- g（X）（（T- λ） Y型-`（十） ）kP，2≤ O（1），kD- g（X）1- g（X）T-λY- `（十）kP，2≤ O（1）。还有，我们有KD- g（X）1- g（X）×Y kP，2=kU+g（X）- g（X）1- g（X）×Y kP，2≤κ（k U Y kP，2+k（g- g） Y kP，2）≤κC类+√C k g- g kP，2=O（1）k UY kP，2≤ C和EPY | X≤ C、 最后，我们获得λψ（W，θ，p，λ，η）- λψkP，2≤O（εN）+O（εN）+O（1）ON-1/2+ O（1）ON-1/2=O（εN），其中我假设εN收敛到零的速度不超过N-1/2.对于（A.11），请注意衍生工具是λpψ（W，θ，p，λ，η）=1- 2λpλ（1- λ） D- g（X）1- g（X）（（T- λ） Y型-`（十） ）+Ypλ（1-λ） D- g（X）1- g（X）。定义λpψ：=λpψ（W，θ，p，λ，η），那么我们有λpψ（W，θ，p，λ，η）- λpψ=λpψ（W，θ，p，λ，η）- λpψ+λpψ（W，θ，’p，λ，η）（p-p） ，其中“p”∈ （p，p）。

通过三角不等式，我们得到λpψ（W，θ，p，λ，η）- λpψkP，2≤主键λψ（W，θ，p，λ，η）- λψ（W，θ，p，λ，η）kP，2+kλpψ（W，θ，’p，λ，η）kP，2 | p-p |。使用（A.9）和（A.10）中相同的参数，可以证明高阶项是有界的λpψ（W，θ，(R)p，λ，η）kP，2≤ k2级- 4λ′pλ（1- λ） D- g（X）1- g（X）（（T- λ） Y型- `（十） ）kP，2+k2Y？pλ（1- λ） D- g（X）1- g（X）kP，2≤O（1）。与（A.8）一起，我们获得λpψ（W，θ，p，λ，η）- λpψkP，2≤O（εN）+O（1）ON-1/2=O（εN），其中我假设εN收敛到零的速度不超过N-1/2.定理2重复结果的证明：在步骤1中，我使用辅助结果supp显示主要结果∈PN，η∈田纳西州EP公司k′ψ（W，θ，p，η）-ψ（W，θ，p，η）k1/2≤ εN，（A.12）EPh？ψ（W，θ，p，η）i1/4≤ C、 （A.13）其中Pn和Tn在定理1的证明中有规定，Cs为常数，且|ψ（W，θ，p，η）：=pD- g（X）1- g（X）（Y（1）- Y（0）- `（十） （）-实际上，我们有EPhψ（W，θ，p，η）i=∑。在步骤2中，我显示了辅助结果（A.12）和（A.13）。第1步。注意∑=KKXk=1En，kψW、 θ，^pk，^η1k+^G1p（D- ^pk）=KKXk=1En，k^pkD- ^gk（X）1- ^gk（X）Y（1）- Y（0）-^\'1k（X）-D▄θ^pk！=KKXk=1En，kψW、 θ，^pk，^η1k,式中，第二个等式从^G1p=-θ/^pk。由于K是固定的，与N无关，因此需要显示每个K∈ [k] ，Ik：=| En，kψW、 θ，^pk，^η1k- EPh？ψ（W，θ，p，η）i |=oP（1）。通过三角不等式，我们得到了≤ I3，k+I4，k，其中I3，k：=| En，kψW、 θ，^pk，^η1k- En，kh′ψ（W，θ，p，η）i |，I4，k：=| En，kh′ψ（W，θ，p，η）i- EPh？ψ（W，θ，p，η）i |。要绑定I4，k，我们有I4，k≤n-1EPh？ψ（W，θ，p，η）i≤n-1C，其中最后一个不等式来自（A.13）。根据切比雪夫不等式，I4，k=OPn1/2.接下来，我们定义I3，k。这一部分基本上与Chernozhukov等人（2018）中定理3.2的证明相同，为了方便读者，我在这里复制它。

观察任何数字a和δa，|（a+δa）- a|≤ 2（δa）（a+δa）。表示ψi=’ψ（Wi，θ，p，η）和^ψi=’ψWi，|θ，^pk，^η1k, 和a：=ψi，a+δa：=ψi。ThenI3，k=| nXi∈Ik^ψi- （ψi）|≤nXi公司∈Ik|^ψi- （ψi）|≤nXi公司∈Ik |^ψi- ψi |×| ψi |+|ψi- ψi|≤nXi公司∈Ik |^ψi- ψi|1/2nXi公司∈Ik| ψi |+|ψi- ψi|1/2≤nXi公司∈Ik |^ψi- ψi|1/2nXi公司∈Ik |ψi|1/2+nXi公司∈Ik |^ψi- ψi|1/2.因此，I3，k.SN×nXi公司∈Ikk？ψ（Wi，θ，p，η）k+SN,其中SN：=nXi∈Ikk？ψWi，|θ，^pk，^η1k-ψ（Wi，θ，p，η）k.SincenPi∈Ikk？ψ（Wi，θ，p，η）k=OP（1），它适用于束缚SN。我们有分解sn=nXi∈Ikk？ψ（Wi，θ，^pk，^η1k）+θψWi，’θ，^pk，^η1k~θ - θ-ψ（Wi，θ，p，η）k=nXi∈Ikk？ψ（Wi，θ，^pk，^η1k）+Di^pk~θ - θ-ψ（Wi，θ，p，η）k≤nXi公司∈IkkDi^pk~θ - θk+nXi∈Ikk？ψ（Wi，θ，^pk，^η1k）-ψ（Wi，θ，p，η）k，其中θ∈~θ - θ. 第一项以Nxi为界∈IkkDi^pk~θ - θk≤nXi公司∈Ik迪^pkk￠θ- θk=nXi公司∈Ik蘸+ oP（1）k￠θ- θk=OP（1）×OPN-1..另外，请注意，conditional on（Wi）i∈Ick，^pk和^η1k都可以视为固定的。在^pk事件下∈ PNand^η1k∈ TN，我们有Ephk？ψ（Wi，θ，^pk，^η1k）-ψ（Wi，θ，p，η）k |（Wi）i∈埃斯科≤ 支持∈PN，η∈TNEP公司k′ψ（Wi，θ，p，η）-ψ（Wi，θ，p，η）k= （εN）乘以（A.12）。因此，SN=OPN-1+（εN）. 因此，我们得到ik=OPN-1/2+ 操作N-1/2+εN= oP（1）。第2步。还有待证明（A.12）和（A.13）。通过泰勒级数展开，(R)ψ（W，θ，p，η）-ψ（W，θ，p，η）=ψ（W，θ，p，η）-ψ（W，θ，p，η）+pψ（W，θ，’p，η）（p-p） =ψ（W，θ，p，η）- ψ（W，θ，p，η）+pψ（W，θ，’p，η）（p-p） ，其中“p”∈ （p，p）。那么我们有k′ψ（W，θ，p，η）-ψ（W，θ，p，η）kP，2≤ kψ（W，θ，p，η）- ψ（W，θ，p，η）kP，2+k'pD- g（X）1- g（X）（Y（1）- Y（0）- `（十） ）+Dθ′pkP，2×| p-p |。通过（A.1），我们得到kψ（W，θ，p，η）-ψ（W，θ，p，η）kP，2=O（εN）。

第二行中的术语以k'pU+g为界- g1级- g（U+`- `) kP，2+kDθ′pkP，2≤\'pκk U VkP，2+\'pκk U(`- `) kP，2+(R)pκk V（g- g） kP，2+’p |θ|+’pκk g- gkP，2k`- `kP，2≤\'\'pκC类+√C k公司`- `kP，2+√C k g- g kP，2+C'ppκ+'pκk g- gkP，2k`- `kP，2=O（1），其中我使用k U VkP，2≤k U VkP，4≤ C，EPU | X≤ C、 EP公司V | X≤ C、 和|θ|=| EPY（1）- Y（0）pD- g（X）1- g（X）|≤pκ| EP[（Y（1））- Y（0））U]|=pκ| EP[（`（X）+V）U]|=pκ| EP[紫外线]|≤Cpκ通过| EP[紫外线]|≤k U VkP，4≤ C、 因此，我们得到了k？ψ（W，θ，p，η）-ψ（W，θ，p，η）kP，2≤O（εN）+O（1）ON-1/2=O（εN），其中我假设εN收敛到零的速度不超过N-1/2.对于（A.13），k|ψ（W，θ，p，η）kP，4=kpUV1- g级-DθpkP，4≤ kpUV1- gkP，4+kDθpkP，4≤pκk U VkP，4+p |θ|≤自k U VkP以来的Cpκ+Cpκ，4≤ C、 重复横截面：在步骤1中，我显示了主要结果和辅助结果：supp∈PN，λ∈∧N，η∈田纳西州EP公司k？ψ（W，θ，p，λ，G2λ0，η）-ψ（W，θ，p，λ，G2λ0，η）k≤ εN，（A.14）EPh？ψ（W，θ，p，λ，G2λ0，η）i1/4≤ C、 （A.15）其中（PN，λN，TN）在定理1的证明中规定，Cis为常数，且|ψ（W，θ，p，λ，G2λ，η）：=λ（1-λ） pD公司- g（X）1- g（X）（（T- λ） Y型-`（十） （）-Dθp+G2λ（T- λ) .事实上，我们有EPhψ（W，θ，p，λ，G2λ，η）i=∑。在步骤2中，我证明（A.14）和（A.15）。第1步。注意∑=KKXk=1En，kψW、 θ，^pk，^η1k+^G2p（D- ^pk）+^G2λT-^λk=KKXk=1En，k^λk1.-^λk^pkD- ^gk（X）1- ^gk（X）T-^λkY-^\'2k（X）-D￠θ^pk+^G2λT-^λk=KKXk=1En，kψW、 Иθ，^pk，^λk，^G2λ，^η2k,式中，第二个不等式从^G2p=-θ/^pk。由于K是固定的，与N无关，因此需要显示jk：=| En，KψW、 Иθ，^pk，^λk，^G2λ，^η2k- EPh？ψ（W，θ，p，λ，G2λ0，η）i |=oP（1）。通过三角不等式，我们得到了≤ J5，k+J6，k，其中J5，k：=| En，kψW、 Иθ，^pk，^λk，^G2λ，^η2k- En，kh？ψ（W，θ，p，λ，G2λ0，η）i |，J6，k：=| En，kh？ψ（W，θ，p，λ，G2λ0，η）i- EPh？ψ（W，θ，p，λ，G2λ0，η）i |。通过I4的相同论点，kin证明了重复结果和（A.15），我们可以显示J6，k=oP（1）。

同样，通过I3的相同论点，以及重复结果的证明，我们得到了J5，k.SN×nXi公司∈Ikk？ψ（W，θ，p，λ，G2λ0，η）k+SN,其中SN：=nXi∈Ikk？ψW、 Иθ，^pk，^λk，^G2λ，^η2k-ψ（W，θ，p，λ，G2λ0，η）k.SincenPi∈Ikk？ψ（W，θ，p，λ，G2λ0，η）k=OP（1），它仍然是束缚态SN。定义？ψ：=？ψ（W，θ，p，λ，G2λ0，η）。通过三角不等式，我们得到≤nXi公司∈Ikk？ψWi，θ，^pk，^λk，G2λ0，^η2k-ψk+nXi∈Ikk公司θψWi，’θ，^pk，^λk，^G2λ，^η2k~θ - θk+nXi∈Ikk公司G2λ′ψWi，θ，^pk，^λk，G2λ，^η2k^G2λ- G2λ0k、 其中\'θ∈~θ, θ和G2λ∈dG2λ，G2λ0. 那么我们有≤nXi公司∈Ikk？ψWi，θ，^pk，^λk，G2λ0，^η2k-ψk+nXi∈IkkDi^pk~θ - θk+nXi∈Ikk公司Ti公司-^λk^G2λ- G2λ0k、 最后一行中的两个术语的边界为nXi公司∈Ik迪^pk×k￠θ- θk=OP（1）×OPN-1.和nXi公司∈IkTi公司-^λk×k^G2λ- G2λ0k=OP（1）×（OP（1））。以辅助样本Ick为条件，^pk，^λk，^η2k可以视为固定的。此外，在^pk事件下∈ PN，^λk∈ ∧N和^η2k∈ TN，我们有Ephk′ψWi，θ，^pk，^λk，G2λ0，^η2k-ψ（Wi，θ，p，λ，G2λ0，η）k |（Wi）i∈埃斯科≤ 支持∈PN，λ∈∧N，η∈TNEP公司k？ψ（Wi，θ，p，λ，G2λ0，η）-ψ（Wi，θ，p，λ，G2λ0，η）k= （εN）乘以（A.14）。因此，SN=OPN-1+εN+ （oP（1）），因此jk=oP（1）+oPN-1/2+εN+ oP（1）=oP（1）。第2步。这仍需显示（A.14）和（A.15）。定义？ψ：=？ψ（W，θ，p，λ，G2λ0，η）。通过三角不等式和ψ（W，θ，p，λ，G2λ0，η）-ψ=ψ（W，θ，p，λ，η）- ψ（W，θ，p，λ，η），我们有k？ψ（W，θ，p，λ，G2λ0，η）-ψkP，2≤ kψ（W，θ，p，λ，η）- ψ（W，θ，p，λ，η）kP，2+kλψWi，θ，p，(R)λ，G2λ0，ηkP，2 |λ-λ|+kp？ψ（Wi，θ，？p，λ，G2λ0，η）kP，2？p-p |，其中'p∈ （p，p）和¨λ∈ (λ, λ).

第二行中的项以k为界λψWi，θ，p，(R)λ，G2λ0，ηkP，2≤| 1.-2'λ'p'λ1.-λkD公司- g（X）1- g（X）T-λY- `（十）kP，2+p'λ1.-λkD公司- g（X）1- g（X）×Y kP，2+| G2λ0|≤O（1）通过（A.9）-（A.11）和| G2λ0 |=| EP”中的相同参数-1.- 2λλ(1 - λ） pD公司- g1级- g（（T- λ） Y型- `) -Yλ（1- λ） pD公司- g1级- g级#|≤| 1.-2λ|λ(1 - λ） pκ| EP[紫外线]|+λ（1- λ） pκ| EP[Y U]|≤| 1.-2λ|λ(1 - λ） pκC+λ（1- λ） pκC=O（1），自| EP【UV】|≤k U VkP，4≤ C和| EP【Y U】|≤ C、 还有，我们有p？ψ（Wi，θ，？p，λ，G2λ0，η）kP，2≤λ (1 -λ） (R)包装- g（X）1- g（X）（（T- λ） Y型-`（十） ）kP，2+kDθ′pkP，2≤O（1）（A.9）-（A.11）和|θ|=| EP中的相同参数D- g（X）p（1- g（X））（T- λ） Y型|≤pκ| EP[（T- λ） Y U]|=pκ| EP[（`（X）+V）U]|=pκ| EP[紫外线]|≤Cpκ自| EP【UV】|≤k U VkP，4≤ C、 与（A.5）一起，我们得到了k？ψ（W，θ，p，λ，G2λ0，η）-ψkP，2≤O（εN）+O（1）ON-1/2+ O（1）ON-1/2=O（εN），其中我假设εN收敛到零的速度不超过N-1/2.对于（A.15），我们有k？ψ（W，θ，p，λ，G2λ0，η）kP，4=kλ（1- λ） pUV1- g级-Dθp+G2λ0（T- λ） kP，4≤λ(1 - λ） pκk U VkP，4+p |θ|+| G2λ0|≤O（1）自k U VkP以来，4≤ C、 定理3的证明：通过定理1证明中的相同参数，我们可以√N~θ - θ=√NNXi=1ψ（Wi，θ，p，η）+G1p0（D- p） +操作εN+√N（εN）对于重复结果和√N~θ - θ=√NNXi=1ψ（Wi，θ，p，λ，η）+G2p0（D- p） +G2λ0（T- λ） +操作εN+√N（εN）对于重复的横截面。ε是核估计量^gkh、^\'1kh和^\'2kh的收敛速度。仍需显示k^gkh-gkP，2=oPN-1/4, k^\'1小时-`kP，2=oPN-1/4, andk^\'2kh- `kP，2=oPN-1/4.这里我使用了Newey&McFadden（1994）中的标准核估计结果。设^γkh（x）表示使用辅助样本Ick的γ（x）=f（x）EP[z | x]的核估计量，其中z∈{1，D，Y（1）- Y（0）| D=0，（T- λ） Y | D=0}。

根据Newey&McFadden（1994）的假设（3.3）和引理8.10，我们得到了supx∈X |^γkh（X）- γ（x）|=OP（对数N）1/2Nhd+2s-1/2+公顷=oP公司N-1/4根据h上的条件，设^fkh（x）用z=1表示^γk（x），^mkh（x）用z=D表示^γk（x）。然后^gkh（x）=^mkh（x）^fkh（x）=^mkh（x）/f（x）^fkh（x）/f（x）。对于分母，我们有supx∈X |^fkh（X）f（X）- 1 |≤supx公司∈X |^fkh（X）- f（x）| infx∈Xf（x）=oPN-1/4给定infx∈Xf（x）6=0。对于分子，让m（x）表示γ（x），z=D，我们有supx∈X |^mkh（X）f（X）- g（x）|≤supx公司∈X |^mkh（X）- m（x）| infx∈Xf（x）=oPN-1/4给定infx∈Xf（x）6=0。上述两个不等式意味着x上的一致∈ 十、 ^gkh（X）=g（X）+oPN-1/41+oPN-1/4= g（x）+oPN-1/4.那就是supx∈X |^gkh（X）- g（x）|=oPN-1/4. 使用相同的参数，还可以显示supx∈X |^\'1kh（X）- `（x） |=oPN-1/4和supx∈X |^\'2kh（X）- `（x） |=oPN-1/4. 由于一致收敛意味着L-范数收敛，我们完成了证明。定理4的证明：如果定理3中的假设成立，则证明与定理2中的证明相同。引理A.1（条件收敛意味着无条件）设{Xm}和{Ym}为随机向量序列。（i） 如果用于m级→ 0，Pr（k Xmk>m | Ym）p→ 0，然后Pr（k Xmk>m）→ 如果E[k Xmkq/qm | Ym]p→ 0表示某些q≥ 1、马尔可夫质量。（ii）设{Am}为正常数序列。如果k Xmk=OP（Am）conditionalon Ym，即对于任何\'m→ ∞, Pr（k Xmk>` mAm | Ym）p→ 0，则k Xmk=OP（Am）无条件，即，对于任何\'m→ ∞, Pr（k Xmk>` mAm）→ 0.证明：这个引理是Chernozhukov等人的引理6.1。

(2018).模拟图3：重复结果：N=200，p=300。图4：重复结果：N=200，p=100。图5：重复结果：N=500，p=300。图6：重复结果：N=500，p=100。图7：重复结果：N=200图8：重复结果：N=500图9：重复横截面：N=200，p=300。图10：重复横截面：N=200，p=100。图11：重复横截面：N=500，p=300。图12：重复横截面：N=500，p=100。图13：重复横截面：N=200图14：重复横截面：N=500图15：多水平治疗：N=200，p=300。图16：多级治疗：N=200，p=100。图17：多级治疗：N=500，p=300。图18：多级治疗：N=500，p=100。图19：多级治疗：N=200图20：多级治疗：N=500