一旦rms混音已解决，消费者面临rms，每个都有二进制分布，它们像matryoshka玩偶一样相互嵌套。实验由rms可以按照Blackwell顺序进行排名，消费者可以按照其信息量的顺序进行搜索。只有当消费者在rm。否则，她将继续搜索，并选择最后一个rm，无论其实现。虽然这是一个允许召回的搜索，但消费者从未使用过它，也从未返回到她之前离开的rm。本节的分析总结如下定理。定理4.3。除了刀口的情况=1/2和=2，存在唯一对称平衡rms对e的竞争目标值。如果=1/2和=存在一个对称平衡的连续统。平衡e目标价值分布导致支付 具有线性结构的函数，如（5）所示。我们通过讨论搜索成本的ect，, 关于消费者福利。而具有直接负e消费者支出的ect, 这会导致rms，这可能有益于t消费者。事实上，在Choi et al.（2018）的价格竞争环境中，间接的强度ect竞争如此激烈，消费者剩余会随着搜索成本的增加而增加。相反，我们而且当搜索成本，, 为正，间接eect仅部分o设置directnegative eect，对消费者不利。推论4.4。

对于>0，增加了使e上的平衡分布恶化价值观意义上的一阶随机优势，从而损害消费者的事前福利。5两个基准在我们的主要模型中，消费者可以学习rms免费发布信号，但发现它们的实现是昂贵的。因此rm发布的信号具有吸引消费者访问和说服消费者购买的双重作用。吸引力的作用是推动我们充分披露和信息分散结果的关键；为了说明这一点，我们考虑两种备选方案。在首先，消费者可以免费学习发布的信号及其实现。在第二种情况下，信号不再发布，因此消费者会发现rm的信号及其在支付搜索费用后的实现。与我们的主要模型不同，这两种环境都不会产生信息分散作为唯一的均衡结果。此外，我们还表明，当信号在吸引消费者访问方面不起作用时，均衡披露可能会大大减少。5.1无成本信号实现本小节考虑了无搜索摩擦的情况(=0）并将其平衡时间与搜索摩擦情况下的平衡时间进行比较(>0）第4节研究。在没有搜索摩擦的情况下，消费者可以同时自由地访问每一个的信号（后）实现rm。虽然这种无摩擦的情况承认了许多对称平衡，这取决于领带的解决方式，但我们继续假设一个公平的领带断裂规则；i、 即消费者在rms，该oer最大后验实现。正义号这种平衡选择的阳离子如下。首先，它可以进行有意义的比较。

回想一下，平衡标识主张4.3中的ed还要求消费者采用公平平局打破规则，从而遵循马尔可夫策略，将所有rms相等（状态变量为rms’e目标价值实现）。在无摩擦的情况下，公平平局打破规则仍然是一种马尔可夫策略，它处理所有rms相等（状态变量为rms的后期实现）。第二，即使消费者对信号实现的采样不在我们提到的两个原因之首，也可以证明依赖于消费者对基于支付的rms-不相关的历史记录（如信号信息量）对干扰消费者对卖方产品的估价并不可靠。我们在下面解释为什么后验认识是e的自然对应物无摩擦情况下的目标价值实现。无摩擦的情况是连续的，对她来说，对所有人进行抽样是微弱的优势，因为访问是免费的。这种平衡可以作为一个有用的基准，因为它完全消除了吸引动机（因为rm后o无论信号选择如何，都将观察到ERG）。无论多小只要是积极的，消费者必须发现rms的信号依次实现，从而产生吸引动机。相反，当=0，消费者可以无成本地收集和观察所有信号实现，吸引力完全消失。定性di两种情景之间的差异导致了截然不同的均衡结果。首先，使用=0，对称纯策略均衡是可能的。第二，e的（对称）平衡分布目标值在以下位置不总是连续的=0、当不是(>), 平衡信号的信息量离散下降=0

这意味着，与直觉相反，消费者可能会严格选择较小的正搜索成本，而不是无搜索成本。什么时候=0，等式（1）意味着后验概率上的所有可行分布的保留值都等于1，因此，每个隐含的eective值与后部一致。因此主观价值观降低为一种直接的竞争，超越了表面认识。Au和Kawai（2020）对此博弈进行了研究，他们证明存在唯一纯策略对称均衡。直觉上，纯粹的战略均衡是可能的，因为o一个信息量稍大的信号再也不会导致保留价值的增加。A.因此，rm的信号对消费者检查的可能性没有影响。只要支付 后验islinear函数rm很乐意对支付的后验概率范围进行正权重 功能正在增加。因此，信息分散不是平衡的必要特征。di极限游戏（与=0）和限制性博弈（虽然小得离谱，但却是积极的) 提出了连续性的自然问题，这将在下面的命题中解决。提案5.1。

允许是e的平衡分布当搜索成本为∈[0,], 然后让*成为搜索成本消失时的限制分布，即。，→*inSee还参考了第1.1节，该节引用了其他研究无摩擦问题变体的论文。分发组件→0.（i）如果≤, *=.（ii）如果>, *是一种保持平均值的传播.如果每rm提供了更多信息。此外，如果>消费者可能受益t从较小的正向搜索成本, 允许她通过访问保留值较高的rmsrst。这一承诺的权力强度在信息披露方面rms，为受益人tof消费者。事实上，如果≥, 然后，积极的搜索成本确保rms。与经典的钻石悖论（Diamond（1971））相反；在这里，一个小的搜索成本带来了完美的竞争(rst（最佳）信息提供水平。5.2隐藏信号本小节考虑以下情况：消费者在开始搜索时无法直接观察到rms的信号。特别是，她必须承担搜索成本>0到discoverboth arm信号及其实现。因此rm选择的信号不能为ect消费者的搜索顺序。与前一小节中的基准类似，这种场景是一种纯粹的说服；随着信号的吸引力作用消失，人们自然会期望rms信号应减少。事实上，我们信号的不可观测性带来了一个类似于钻石悖论的严重滞留问题：每个rm有一个动机，即秘密降低其信号的信息内容，以增加消费者访问后成功说服的机会。

这就产生了一个严峻的平衡结果：每个rm的信号没有信息，消费者只访问一个rm。理由如下。由于在消费者访问之前，随机性是无法解决的，因此关注rms。考虑一个所谓的平衡rms被认为可以为来访消费者提供有用的信息，即，在来访的前提下，消费者停止搜索并从来访者处购买的可能性rmis小于1。允许表示消费者对rm’s后验分布适用于该基准的均衡概念是完美贝叶斯均衡，其中消费者对其他均衡的猜测在此之前未被发现rms的行为是una被观察到的偏差所影响（“对你不知道的事情不屑一顾”）。我们省略了一个正式的de为了简洁起见，我们先来介绍一下。然后让是对应的保留值。考虑到消费者对rms，存在cuto 后意识，表示为*,消费者停止搜索并从中购买rm以参观为条件。根据潘多拉法则*≤. 如果*≤, 然后rm可以通过在上支持的后验分布确保消费者的购买（以访问为条件）[*,1]; 也就是说，rm未向消费者提供任何有用信息。相反，如果*∈(,], 然后，最佳信号rm不为上面的后验值指定权重*,制定保留值不可能的因此，唯一的平衡涉及所有rms向消费者提供无用信息，消费者停止搜索rst公司rm。以下定理总结了上述讨论。定理5.2。假设rms的信号选择只有在消费者支付访问费用后才会向消费者透露。

在所有平衡中rm oers a e分布在以下位置退化的目标值：, 消费者从rst已访问概率为1的rm。结果可以理解为一个信息钻石悖论——在所有的平衡中，RMS只提供垄断级别的信息，没有主动的消费者搜索。如果没有吸引动机，说服动机会鼓励在消费者的停止阈值之上集中精力，这会产生一个亲表偏差提供有用信息的rm。无法rms秘密偏离并提供比预期更少的信息对于通过（有用的）信息提供来维持平衡非常重要nding。Boardand Lu（2018）在定理2中建立了类似的“信息钻石悖论”；Whitmeyer（2020）表明，即使在价格设定的情况下，这种观点仍然存在。6扩展在本节中，我们将讨论基本模型的几个扩展。详情和正式结果留待补充附录。如果所谓的平衡是对称的，那么这个cuto的值 对所有人来说都很常见rms和. 如果导出的平衡是不对称的，那么这个曲线 是搜索的最佳连续值rm, 下面是弱的.这是凹陷的简单结果Kamenica和Gentzkow的阳离子技术（2011）。首先，事先的同质性rms justi这是我们对对称平衡的关注。什么是不对称平衡？只有两个人的时候就没有了rms，但三个或更多rms有一个较小，但su非常接近. 在这种平衡中，-1.rms提供完整信息th公司rm选择分发而不是e当有两个平衡分布时，与平衡分布一致的目标值rms和是低的。

这种均衡值得注意，因为它比共存的对称均衡产生了更高的消费者福利——事实上，rms提供rst最佳信息量。其次，我们还探讨了两个异构rms（即，带di不同的预期质量）。有四个di参数空间的不同区域，每个区域产生adi各种各样的平衡。如果平均值之间的差距足够大，则平均值越高rm已访问rst和在所有平衡中选择。在其他地区，常见的线性结构表现出来，尽管其中一个或两个rms可将质量置于0或最大保留值（较低的平均值）上rm可诱导。第三，我们允许消费者在退出搜索时始终返回积极的外部环境。与引理4.1类似，存在一个对称平衡，它会导致线性支付作用相关的外部选择意味着游戏不再是零和游戏：令人惊讶的是，行业专家ts不仅会受到消费者搜索成本增加的影响,但平均产品质量也有所提高. 更高的平均质量会引发更具攻击性的信息披露（因为吸引力变得更重要），这会损害marketpro通过增加消费者选择外部选项的可能性。第四，我们说明了早期结果的重要定性特征不依赖于二元先验，特别是当消费者的匹配值根据某些绝对连续先验分布时，这些特征仍然存在。吸引力和说服力之间的紧张关系依然存在：如果市场上的rms是su高得多，吸引人的动机很强，因此任何纯战略均衡都必须是rms竞争ercely待访问rst，从而得出最大保留值。

否则，不存在对称平衡；相反rms随机化信号。Choi等人（2018年）报告了类似的在他们的价格竞争环境中。7讨论与总结本文探讨了在顺序定向搜索环境中信息提供方面的竞争。我们的模型强调了在这种环境下起作用的关键经济力量；即，con吸引和说服的动机。我们揭示了一些与底层环境如何塑造这两种激励以及随后的信息提供有关的见解。例如，su极高的平均质量或大量的竞争对手使吸引动机占主导地位，从而使充分的信息处于均衡状态。在高平均质量的情况下，虽然吸引动机仍然存在，但说服动机更多的是ect：如果其他人都提供了完整的信息，那么现在值得rm不提供任何信息，并指望消费者在搜索失败后访问并选择该信息。吸引力和说服力只有在混合策略均衡中才能达到平衡，从而导致信息分散。通过对比在与吸引动机无关的替代设置中，我们不仅表明吸引动机是产生信息分散结果的关键，而且在某种程度上，消费者实际上可以从中受益因为有一个小的正搜索成本（而不是没有）。假设rms具有完美的他们设计信号的能力的灵活性不仅有助于SUS获得直接的平衡表征，而且有助于使上述吸引力和说服力之间的紧张关系透明化。

在降低噪音的同时，也吸引了消费者只有在一个特定的领域中引入认知，才能增强说服的客观性c方式。因此，一组限制性的可行信号可能会模糊我们模型的关键权衡. 此外，尽管在实践中rm对信息披露的控制从来都不是完美的，只要一组可行的信号不是太少，我们发现的经济见解仍然有效。例如，考虑与su充分披露的结果非常高或. 如果信号空间比我们所考虑的更具限制性，那么如果竞争是非常强烈。我们的分析提供了许多可测试的预测，等待实证调查。我们研究得出的一个主要观点是，当竞争不是那么激烈时，信息分散的可能性。我们是否在现实市场中观察到这种信息分散？与价格分散相对容易观察和衡量（因为价格是标度的）不同，信息水平更难量化，这可以解释这种现象缺乏正式证据的原因。此di尽管如此，不经意的观察表明这种变异确实存在。我们模型的另一种解释是RM通过选择其产品设计进行竞争将其匹配值的分布与消费者进行比较。自然，广泛的设计会导致匹配值的分布更加集中，而生态位设计会导致分布更加分散。

根据这一解释，我们的模型表明，尽管事先存在同质性，但设计分散仍然可能出现。A第3、4和5节证明A。引理3.2的证明这是引理a.1的特例，因此省略。A、 2命题3.3的证明该命题是定理4.3的特例；speci公司凯利，引理4.1的情况（iii）。A、 引理3.4证明。（i） 原子的存在还有那个(;)=1从（2）开始。原子的大小至少是/(1-). 通过（1），=(1-())×(-)()/(1-()).因为括号中的术语不大于1-, 我们有1个-()≥/(1-).（ii）分配给在后验概率上，隐含e的平均值目标值分布(·;)是(;)=-(;)=-()-1.=-(+-)=.我们获得通过部分积分的rst等式和通过DEE的第二等式起始日期(·;)（由（2）给出）。第三个等式使用保留值等式（1），这意味着()=+-. ■A、 4引理证明3.5防止。采取混合策略∈Δ（F）ofrm. 允许()≡({∶()≤})是保留值的隐含分布。允许(·|)∈Δ（F）是纯策略的条件分布诱导给定的保留值∈,.此外，dene，每个∈,, (;)≡()(|)后验概率分布条件分布的存在是Radon-Nikodym定理的结果，例如，参见Billingsley（1995）第33节。保留值.

e目标值分布(;)诱导人然后可以表示为(;)=Pr（最小值{,()}≤)=[()≤]+()[()>]()=()+()(|)(;)().相反，给定保留值分布∈Δ,和一个可行的后验分布(·;)∈每个保留值的F关于支持, 可以构建相应的混合策略∈Δ（F）由()=∩{(·;)∶∈支持{}}()对于每个FBorel可测量。■A、 5引理证明4.1防止。这里有一个证明路线图：1。权利要求A.1消除了e原子的可能性ective值不是0或.2、权利要求A.2确定了, 可能性rms提供完整信息。3、权利要求A.3得出speci公司引理陈述中的ed和veri这是可行的。权利要求A.4揭示了均衡支付的必要（弱）凹性 函数在[0，].5、权利要求A.5辩称，均衡支付 函数不能严格凹。6、权利要求A.6确定了均衡支付 函数不能是分段线性的。权利要求A.7揭示了e上的平衡分布目标值。权利要求A.1（除可能在0和/或). 在任何对称平衡中rm\'se公司目标值分布没有原子，除了0和. 因此，预期支出 面对个人rm, 作为其实现e的函数目标值, 采用以下形式∏(;)≡()-1，如果=0()-1，如果∈(0,)lim公司′→-1.-(′)(1-(′)), 如果=. (1） 证明。请记住，e目标值分布使用Armstrong（2017）和Choi et al.（2018）的离散ChoiceFormulation导出，其构造在引理3.5中进行了解释。认为有一个原子0,.

我们证明了∏的最佳响应(·;)不会产生任何正质量. 命题3.6暗示了对∏的最佳反应(·;)将正质量置于除非有>使得∏(;)=Π(;), 或者如果是最佳保留值。首先，一个原子在暗示∏(;)<lim公司→+Π(;).因此，∏(;)<Π(;)对于所有人>, 所以在每个保留值∈,, 在e处分配正质量是次优的目标值（回忆一下凹面第3.3.1节的阳离子法）。因此∏(;)必须是连续的∈(0,].下一个也不能是最佳保留值。要看到这一点，请回忆一下最大支付额给定保留值是()=1.-1.-×Π(();)+1.-×Π(;).像≠, ()∈(0,], 我们从上面知道Π(·;)持续时间为(). 这加上(·)暗示Π(();)持续时间为=. 原子在暗示∏(;)<lim公司→+Π(;); 因此，()<lim公司→+(). ■回想一下≡(1-lim公司→-())/是概率rmoers完整信息。索赔A.2（确定). （i） 如果≥, 对称平衡=1.（ii）如果∈,, 对称平衡由（6）确定。（iii）如果≤, 对称平衡=0.证明。如果对方rm以概率选择完整信息, 一rm的付款 从fullinformation是Π;+(1-)Π(0;)=, 如果=0-(), 如果∈(0,1), 如果=1，其中()≡(1-)-((1-))-(1-). 以下观察结果将非常有用：rst、0和1都是的根. 第二′′()>0<=><+-2(1-)-2.-1，所以′′changessign最多一次，更改只能从正到负。第三′()=1-和′()=1-(1-)-1、在特殊情况下=2和===1/2，arm\'spayo酒店 从完整信息中，1/2是另一个rm的选择.

这就产生了文本中描述的多重性。对于其余的证明，假设≥3.（i）出租≥. 如果=0，全部信息支付 是, 超过1/无论何时≥.因为≥, ′（）<0和′()≥0.因为′′只更改一次标志，′只能更改符号一次（从负到正），依此类推()<0适用于所有人∈(0,1). 这将产生完整的信息支付 超过1/, 这是不可能的。因此必须等于1。（二）出租∈,. 再次，如果=0完整信息支付 是>1/, 这是不可能的。=1均衡也是不可行的，因为它意味着完全的信息支付 共1个/, 这远远低于无信息支付 共（1）个-)-1无论何时<. 这将离开∈（0,1）为唯一可能。因为∈,, ′（）<0和′()<0. 像()=（）=0，连续性()意味着必须存在内部根。此外，作为′′()仅更改符号一次，最多存在一个间隔′()是积极的。的内部根()isthus独特，以及()=0等于（6）。（三）出租≤. =1在均衡状态下是不可能的，因为这意味着完全的信息支付 共1个/,严格低于无信息支付 共（1）个-)-1无论何时≤<. ≤暗示′()≥0和′()<0; 因为′′仅更改一次标志′此外，只更改一次标志。像()=()=0, ()>0适用于所有人∈(0,1). 因此，一个均衡不可能有一个anonzero; 否则，全部信息支付 低于1/, 矛盾。这将离开=0作为平衡的唯一可能性。■索赔A.3（确定). 在任何具有线性支付的对称均衡中 函数的值是支持()/, 按规范在引理的陈述中。此外是可行的。证据的情况≥是即时的，所以我们关注另外两个案例。如果≤, 权利要求A.2规定=0

此外，由于线性支付 面向每个功能rm表示付款 共1个/在平衡时，我们必须有∏(;)=1/. 只有当=. 显然≤担保≤.最后，如果∈,, 权利要求A.2规定∈(0,1). 同样，平衡支付 是1/需要∏(;)=1/和∏(;)-lim公司→0+Π(;)=Π;-lim公司→0+Π(;),重新排列后得到（7）。需要说明的是介于和.≥相当于-1.≤(1-)-1，紧随其后的是<和∈(0,1).直截了当的代数揭示了≤等于（1-)-1.≤/+(1-). 像和由（6）关联，最后一个不等式等于要求所有∈(0,1),-1+(1-)-1.-(1-)--1+(1-)-1.-(1-)≥0。要显示这一点，请表示()≡-1+(1-)-1，以便范围为--1,1. 通过变量的这种变化，上述不等式可以表示为()≡--1.-1.-1.--1(-1.-1)≤共1人∈--1,1.显然′()等于-(-2)-1+(-1)-2.-1，这显然是消极的<1，因为它在等于0at=1、因此，()≤--1.=1.■接下来，我们采取建立平衡点必要线性的第一步 函数∏(;), 通过证明它在区间[0]上一定是弱凹的，].索赔A.4。认为<. 每个rm可以获得均衡支付 由o没有任何信息。此外，∏(;)在区间[0，].证据证明rst语句，it suces显示∏(;)=1/处于平衡状态。应该不会。必须在inf中找到原子支持()∩,, 与∏相矛盾(;)没有内部原子。第二个语句相当于∏(;)=Π(;)对于所有人∈(0,]. 假设相反，有一些′∈(0,)使得∏(′;)<Π(′;).

那周围一定有空旷的街区′没有最优eective value distribution指定任何正度量，并且∏(·;)必须是在这附近。As∏(′;)<Π(′;)意味着′′∈(′,]使得∏(′;)<Π(′′;), Π(·;)必须有一个混凝土跳跃（因此有一个原子）在间隔的某个地方(′,′′], 自相矛盾的索赔人。1以上。■注意∏的弱凹性的直接含义(;)在[0，]该值是否为0取决于. 建立payo的线性 功能开启0,, it sufces显示其在（0，).凹度意味着∏的左右导数(,)存在于所有点（0，)他们最多可以在许多点上意见分歧。允许≡sup{sup()∩[0,]}（注=如果∈支持()). If∏(,)在（0，], 有两种可能性：1。Π(,)是非线性的[-,]对于所有人∈(0,).2. Π(,)是线性覆盖[-,]对于一些最大∈(0,).其余的证据排除了这些可能性。扩散系数氖()≡(-(1-))/(-), 的反转(·); 然后让∈Δ,是保留值与密度的平衡分布. 下一个声明消除了rst可能性。索赔A.5。Π(·,)在某些区间上不是严格凹的[-,]. 此外，∏(·,)不能包含in任意邻域上直线段的nite序列.证据If∏(·;)在某个区间上是严格凹的[-,], 它一定在增加[-,].因此，e目标值[-,]必须在均衡分布的支持下. 此外，e目标值∈[-,]只能依靠（纯策略）e的支持带保留值的ectivevalue分布(). 因此，保留值[(),(-)]必须得到.

此外，所有保留值在[(),(-)]产生预期收益 共1个/意味着∏(·;)必然是严格对流的[(),(-)]. 因此，e中的目标值[(),(-)]仅作为保留值（而不是后验值）实现。此外，as∏(·;)是超过时[,]（如果间隔非平凡）和∏(;)=1/, 付款人 函数必须为在1处/结束[,()]; 否则，apayo 超过1/可以通过在此间隔内的某些保留值来实现。上述观察结果表明，以下情况必须成立。（一）[(),(-)]∈支持(), 和(())=0、原因如下。假设∏(;)=+-1.-/对于所有人∈(0,], 哪里=lim公司→0Π(;).如果有的话′∈,has∏(;)>+-1.-/, 然后是二进制e目标值分布{(),}实现支付 超过1/. 如果有的话′∈,has∏(;)<+-1.-/, 然后任何e具有此保留值的Objective valuedistribution无法生成付款 小于1/因此不能依靠.因为没有内部原子，一定是在上′,, 与de相矛盾起始日期.（ii）任何保留价值 ∈[(),(-)]由（唯一最优）二进制实现上支持的ective值分布{(),}, 各重量1-/(1-)和/(1-).（iii）保留值超出[(),(-)]将零度量值指定给e中的目标值[-,].使用（ii）和(())=Π(();)-1=Π(;)-1=-1.-1，预留值 ∈[(),(-)],()=-1+()1.-(). (2） 使用（iii），作为保留值∈[(),(-)], 我们有()-(())=(). (3） 我们可以结合三件事–i.保留价值∈[(),(-)]必须产生付款 1/,二。Π(;)=()-1对于所有∈0,, 和iii(3） –获得1.-()-1+1.-1.-(()-())-1=. (4） 使用(2), ′()=()/(1-).

Di公司二连冠(4） 关于并替换infor′, 我们获得0=()-1.-(()-())-1.-(-1)(1--)(()-())-2.-()-2.().(5） 替换=()进入(5） 给予(())=0.对于任何∈((),(-)], ()>0，所以(5） 暗示（1--)(()-())-2.-()-2>0. 重新安排(5） 收益率()()=/(-1)(1--)(()-())-2.-()-2.()-1.-(()-())-1.()≡Υ().(6） 根据L\'H^opital的规则，Υ(())=/(1-)-. AsΥ()是连续的，可以在[(),(-)]; 判定元件氖Υ≡最大值{(),(-)}Υ(). 整合(6） 在一段时间内[,(-)], 我们获得()=自然对数((-))-(-)Υ()≥自然对数((-))-Υ×((-)-).因为它的右侧是nite和处没有原子(), 拿→()产生冲突。我们可以用这个证明来排除具有in的平衡减少“扭结”点的nite序列{}这样我。→(), 二。Π(·;)在每个[+1.], 和iii.∏(·;)isnon di在每一个扭结点都是可忽略的.首先(2） 适用于所有人∈[(),]. 其次，根据上述类似论点(3） 因此(4） 保持所有扭结点。类似于(5） 可以通过减去(4） 用于从那以后+1调用中值定理如下：0≤-(-1)(1--)(1--+1)(()-())-2.-(+1)-2+((+1)(-+1))+(+1)+(+1)-1.-((+1)-(+1))-1.,哪里+表示的右导数. 两边除以(+1） ，以限制（作为→∞) 和重新安排lim+(+1)/(+1） 是有界的。另一方面，∏的线性(·;)结束[+1.]意味着()正在减少在整个时间间隔内。因此()/()≤+(+1)/(+1） 对于所有人∈(+1.). lim的有界性+(+1)/(+1） 因此意味着lim→()()/()是有界的[(),]. 如上所述，这是一个矛盾。

■我们排除∏的可能性(·;)在某个极大值上是线性的[-,][0,].索赔A.6。对于所有人∈(0,)和∈(0,-), Π(·;)线性打开[--,].证据有两种情况需要考虑：i。=和ii。<.案例一。=: 假设∏(·;)线性打开[-,], 哪里∈(0,)是最大值。我们rstexplain为什么∏(·;)必须为线性打开[-,(-)]. 表示为>0付款直线段的斜率 功能开启[-,]. 假设有一些′∈(,(-)]使得∏(′;)>Π(;)+(′-). 然后是可诱导的e使用binarysupport实现有效的值分布{(′),′}可以实现支付 超过平衡水平∏(;), 矛盾。接下来，假设有一些′∈(,(-)]使得∏(′;)<Π(;)+(′-).E目标值′无法交付平衡支付 因此，不能依赖于以下理由的支持。()可以表示为(+)-1对于某些常量和>0.因此，′()=(+)--2.-1/(-1). 将此等同于′()=()/(1-)（召回(2） ），我们有()=(+)--2.-1(1-)/[(-1） ，这在.平衡e目标值分布. 由于没有内部原子，这意味着′≥和∏(;)<Π(;)+(-)对于所有人∈′,. 此外，由于以及∏的凹度(·;), 我们有∏(;)<Π(;)+(-)对于∈(0,-).因此，对于小于(-), 将正视图指定给e是次优的在（0，-). 这个，加上(-)>, 暗示e在区间（0，-)不能依赖于均衡分布的支持.

这个π的atness(·;)间隔（0，-)与引理A.4相矛盾。接下来，我们解释在平衡状态下，e上的目标值分布[-,(-)]是“自包含的：”任何保留值∈支持{}∩[,(-)]由e实现上支持的ectivevalue分发[-,]还有预订价值吗∈支持{}超过(-)必须通过e实现无质量的目标值分布[-,(-)].这个rst观测遵循以下最大值：; speci公司凯莉，无论如何∈(0,-), Π(;)<Π(;)+(-). 要查看第二个观察结果，请让∈支持{}某些保留值超过(-), 因此()<-. 如果其对应的e目标值分布将正质量分配给[-,(-)], 然后还必须将正质量指定给[0，()). ’s极大值表示∏(();)>Π(;)+(1-)Π(;)对于以下任意组合和因此≥-, <()和+(1-)=(). 因此，这不可能是异常的e给定的有效值分布.这些事实意味着()=-1+(-)-1用于∈[-,(-)]还有那个#()≡()-(-)((-))-(-),的条件分布∈[-,(-)], 是可诱导的。其余的证明通过证明平均条件(-)-#()=无法满足。我们的显示平均条件不可达到性的第一步是推导斜率参数的上限. 一方面∏的凹度(·;)超过（0，]意味着不能超过（1/-lim公司→0+Π(;))/. 另一方面，as∏((-);)是atmost lim→-Π(;), 不能超过lim公司→Π(;)--1./((-)-)任何一个Recalllim公司→0+Π(;)=((1-))-1和lim→-Π(;)=(1-)-1.

上限()在斜坡上因此()≡最小值-((1-))-1.-,(1-)-1.-1.-+=-((1-))-1.-如果≤-(1-)-1.-1.-+如果>-.(7） 请注意()是非递增的.的平均条件#’s诱导率可表示为ψ(,)=0，其中ψ(,)≡(-)-#()-((-)-).直接，ψ（0，)=0和Ψ(,)=-1.---2.-1.-1.-++1.-+--2.-1..括号内的术语在, 它最多可以更改一次标志增加，变化只能从负到正。因此，ψ(,)正在增加, 或者是aU形函数(邢). 在前一种情况下，ψ(,)显然没有非零解。因此，我们关注后一种情况。It suces显示ψ((),)<0适用于所有人∈(0,).考虑一下情况≤-. 请注意()独立于（参见(7)). Ψ(（），0）=0，和Ψ((),)=-1.---2.-1.-(1-)(+)+(1-)+--2.-1..括号内的术语在增加, 所以它最多可以改变一次标志增加（从负到正）。因此ces检查ψ((*),*)<0其中*≡-.直接，ψ((*),*)=()#()--<()()-(1-)(1-)-(1-)--=最后，考虑一下案例∈-,. 使用(7),Ψ((),)=-1.-(1-)-1.--11-(+)--2.-1.(1-)-1.--1.(+)(-1)(1-)>0、看到cuto 的值与相关, 请注意是唯一的保留值，因此点（0，lim→0Π(;)),(,Π(,)), 和,lim公司→Π(;)都位于∏图上的同一条直线上(·;).在=+≡和=(),Ψ+,+=#()--<()-(1-)(1-)-(1-)--=0，自-1.-()>((1-))-1（调用de起始日期(·), 这意味着()<-1.-((1-))-1./).案例二。<: 我们从一些观察结果开始分析这个案例。

首先，as∏(·;)是超过时[,], 也必须是超过时[,()]; 否则rm可以实现A支付 超过∏(;)（通过在和()). 第二，modied凹面阳离子法告诉我们间隔中的保留值[(),(-)]必须在均衡保留值分布的支持下. 第三，（平衡）任何保留值在时间间隔内[(),(-)]只能使用ane实现目标值分布形式如下：权重/(1-)穿上, 和补充重量1-/(1-)到间隔中的值[-,]以这样的方式，条件平均值是().最后，作为最优e保留值条件下的有效值分布∈[(),(-)]必须产生平衡支付 1/, 付款人 函数∏(·;)在…上∈[-,(-)]必须采用以下形式：∏(;)=+(-), 如果∈[-,), 如果∈[,()]-(-)-(1-)-(-), 如果∈((),(-)], (8） 对于某些坡度参数>第三个观察结果告诉我们[(),(-)], 和相关人员(2).因此′()=[/(1-)]×(). 此外，使用(8), Π(;)/=(-)/.As∏(;)=()-1、我们有()=(-)/(-1)×(1-)/()-2., 所以(())=-2.-1.(-1)(1-). (9） 下面，我们推导出(3） 对于这种情况。注意，由于payo的局部线性 函数，我们无法再保证保留值∈[(),(-)]我看到这个了，是苏ces需要注意的是，不应对间隔中的任何值进行加权((),). 应该不会。那一定有一些∈((),)在∏的图上(·;),(,Π(;))位于从该连接点延伸的直线上(-,Π(;))以及(,Π(;)).

显然，保留值产生付款 严格超过∏(;), 矛盾。由二进制e唯一生成上支持的ective值分布{(),}. 尽管如此，我们仍然可以依赖上面的第三个观察结果来推导(). 允许是一个正实数。对于任何保留值∈[(),], 其对应的eective valuedistribution指定质量为1-/(1-)到间隔中的值[-,]以这样的方式，条件平均值是(). 因此，根据Bayes规则，它分配给区间以外的值的质量[()-(-()),]不能超过（1-/(1-))×(-())/[(1+)(-())].因此，对于任何∈[(),(-)],()≤()-(()-(-()))+()1.-1.--()(1+)(-())().使用(·)=Π(·;)-1和付款 speci公司阳离子(8） ，上述不等式可以重写为()-()1.-1.--()(1+)(-())()≤-1.-[(-)-(1-)-(-)]-1.--1.-(1+)(-())-1. (10） 划分的左侧(10） 根据-()并达到极限→()给予：()-()1.-1.--()(1+)(-())()=()=(())1.-(1+)1.-1.-,通过L\'H^opital规则和(·). 对的右侧执行同样的操作(10） 收益率-2.-1.-1(-)1+(1+)-1.-,再次通过L\'H^opital的规则。这些计算(9） ，和(10） 暗示≤-(1-)√+1/21+. 这减少到 ≤1+1/√-1/√2as→0.因为 ≥ 0无论何时，这都是不可能的≤√2.-1、As>√2.-1用于≥4、仍需考虑以下情况：=2和3。

为此，请注意payo的局部分段线性 功能(8） 意味着e区间上的目标值分布条件[-,(-)], 表示为#, 由给出#()≡+(-)-1.---1./, 如果∈[-,)--1.-+-1./, 如果∈[,()]--1.((-)-(1-)-(-))-1.-+-1./, 如果∈((),(-)],哪里≡--1.((-)-(1-)-(-)(-))-1.-+-1.#必须是可诱导的。必要地(-)-#()-[(-)-]=0，或Υ(,)=0，其中Υ(,,)≡-1.(--)-1.-(-)--1++1.--+-1.+-1(1-)(--)-(-)(1-)--+-++1.--+-1.-(-)(--(-))--1.Υ(,,)是线性的, 所以它是苏ces显示Υ(,,)<两个都为0=0和=-对于所有可能的和. =-减少到实际情况=以上研究。还有待分析=0.对于=2,Υ(,,0)=---+(1-)-(-+)((-)+).像≤和>0，括号中的术语为正。对于=3,Υ(,,0)=-√-+(-)+√1.-3.+(1-)-(1-)1+31.--+.括号中的术语在. 此外，de氖≡为payo直线段的垂直增量 函数∏(·;). 不能超过1/3-((1-)), 哪里是（6）的非平凡解，当=3、表示该上限为(). It suces将向所有人展示这一点≤()和≥/,Υ(,)≡+--+-√1.-3.-(1-)1+31.-<结果如下：Υ(,)/<0和Υ(/,)<0■最后，（5）和(1） 允许我们恢复e上的平衡分布目标值。索赔A.7。e上的平衡分布有效值为()=(1-), 如果=0((1-))-1+(1-)-1.-((1-))-1.-1，如果∈0,1.-, 如果∈(,)1，如果=. (11)■A、 6引理证明4.2Proof。

因为()结束0,, it suces表明，在该地区，有一种混合策略可以匹配其密度，表示为:()=(1-)-1.-((1-))-1(-1)((1-))-1+(1-)-1.-((1-))-1.--2.-1. (12） 为此，dene a映射∶,→[0,]通过()=(()), 哪里∶0,→R是()≡((1-))-1+(1-)-1.-((1-))-1.-1×+(-1)(1-)-1.-((1-))-1.((1-))-1.-,和参数和符合规范引理4.1中的ed。对于每个∈,, 允许(·;)成为具有支持的二进制发行版{(),}和平均值; 然后让·;是支持的二进制分布0,和平均值. 此外，让是具有anatom的保留值分布∈[0,1]at和密度∈,具体如下：()≡(1-)-1.-((1-))-1(-1)((1-))-1+(1-)-1.-((1-))-1.--2.-1.-()-().我们声称混合策略,(·;)∶∈,∪, (13） 生成e目标值分布（de内德在(11)).首先，我们证明e目标值分布(·;)可为每个 ∈,∪. 请注意，映射是很好的奈德：直接计算表明()严格来说，在还有那个()=. 我们需要证明这一点()≤()≡--1.--（dened第4页）。此外，请注意，因为()=(), =0=≤, 和()是递减且严格凹的ces表明()是凸面的。为此，我们对变量进行了更改：let=-, 和()=-(+).隐式de起始日期暗示(+)=(-()); 或同等地(+)-1((-1)-)=(-())-1((-1)+()), (14） 在哪里≡+((1-))-1(1-)-1.-((1-))-1、因此()<.现在()凸当且仅当′′()≤0

使用(14), ′′()≤0当且仅当′′(-())(′(-()))≥′′(+)(′(+)).导数的直接计算表明，上述不等式成立的充要条件是-()+-1.≤(-1)-()(())/(-1)+.使用(14） 同样，上述不等式等于()<.仍需验证e混合策略de隐含的目标值密度nedabove匹配项()（在中给出(12)). 观察e上述有效值在混合策略中实现为保留值(13). 对于≥, 混合策略所暗示的密度为()×-()-()=(1-)-1.-((1-))-1(-1)((1-))-1+(1-)-1.-((1-))-1.--2.-1.-()-()×-()-()=().e以下为有效值在混合策略中实现为低后验实现。扩散系数ne by公司∶[0,]→,映射的逆. 对于≤, 混合策略所暗示的密度为-′()×()-()-×(())=-′()′(())×()-()-×(())=((1-))-1+(1-)-1.-((1-))-1.--2.-1.((1-))-1+(1-)-1.-((1-))-1.()--2.-1×-()-×(())=(),凭直觉，(·)表示“re第节关于根据功能.要准确了解这一点，请注意函数(+)-1((-1)-)-(-)-1((-1)+)等于0时=0并且正在增加对于所有人≥0.此外(-)-1((-1)+)正在减少对于所有人≥0.其中rst相等使用de映射的初始化, 第二个和最后一个等式使用de函数的定义和, 分别地■A、 7推论4.4证明。的情况>是平凡的，因为分布是二进制的，支持{0,1-/}.考虑下一个案例<. 如引理4.1所示，独立于, 所以它是苏ces检查cdf的连续部分和.

后者是线性的，在, 其中连续部分(11） 在. 最后，根据Choi et al.（2018）的推论1，并根据重复期望定律（因为我们是从事前的角度评估福利），消费者的事前支付 由最高e的期望值给出目标值。更糟的e经济价值分配rst顺序随机优势因此降低了消费者的事前支付. ■A、 8命题5.1证明。对于 =0，eective值只是后验值，因为任何可行的后验分布都有一个等于1的保留值。对称平衡分布ofe公司ective值在Au和Kawai（2020）中计算，并采用以下形式()=(1-)×-1，如果∈0,1.-, 如果∈,1.1，如果=1、通过对齐隐含付款的斜率 功能（π1.=Π(;)如果>0）和theBayes合理性条件(()=), 这个和可以按如下方式固定。如果≤=1/, =0和=. 如果>, 然后=(1-)-11-(1-), 哪里是唯一的解决方案（1-)=1.-.对于该案例≤, 的收敛性到*通过比较引理A.7中报告的分布与如上所述。接下来，考虑一下这个案例∈,. 具有→0, →; 因此*由给出(11） 带（1-)-((1-))=1.-, 和=(1-)-1.-((1-))-11/-((1-))-1.. 撤回索赔人的证明。2当∈,, ()≡(1-)-((1-))-(1-)为负的当且仅当小于内部根部属于. 像()<0，如下所示<. 现在，π;是完全线性的0,, 具有零垂直截距，并通过点(,1/)和,(1-)-1.; 鉴于∏(;*)是线性覆盖0,, 具有正垂直截距(((1-))-1） ，并通过点(,1/)和,(1-)-1..

因此∏;和∏(;*)在以下位置具有唯一的交点：内部e上方有效值（0,1）。像和*没有内部原子，π;=()-1和∏(;*)=*()-1用于∈(0,1). 因此和*具有独特的内部交叉点, 在那里切割*从下面。作为两者和*具有相同的平均值, 因此*是一种保持平均值的传播.的情况 ≥立即生效：*对应于完全披露，而完全是片面的。■参考B。C、 阿尔布雷希特。政治说服。Mimeo，2017年9月。马克·阿姆斯特朗。有序消费者搜索。《欧洲经济协会杂志》，15（5）：989–10242017年6月。马克·阿姆斯特朗和周继东。为突出地位付费。《经济杂志》，121（556）：F368–F395，2011年。Pak Hung Au和Keichi Kawai。多个发件人披露竞争信息。《游戏与经济行为》，119:56–782020。帕特里克·比林斯利。概率和度量。Wiley，第3版，1995年。Simon Board和Jay Lu。搜索市场中的竞争性信息披露。《政治经济杂志》，126（5）：1965-2010，2018。Raphael Boleslavsky和Christopher Cotton。评分标准和教育质量。《美国经济杂志：微观经济学》，7（2）：248–792015年4月。Michael Choi、Anovia Yifan Dai和Kyungmin Kim。消费者搜索和价格竞争。《计量经济学》，86（4）：1257–12812018。Michael Choi、Kyungmin Kim和Marilyn Pease。搜索商品的最佳信息设计。AEA文件和诉讼，109:550–562019年5月。Daniele Condorelli和Balazs Szentes。滞留问题中的信息设计。《政治经济杂志》，128（2）：681–7092020年2月。地理位置roy De Clippel，Kr Eliaz和Kareen Rozen。争夺消费者的注意力。《政治经济学杂志》，122（6）：1203–12342014。彼得是一颗钻石。价格调整模型。《经济理论杂志》，3（2）：156–168，1971年。丁玉成、张天乐。

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