，（zn+1）G），从（zc）上的（n+1）维分布，∞)n+1，密度为f（t- tn，zn+1，zn）gtn（z（n）| Y（n），τc>tn），以近似该积分asC（t）≈GGXg=1h（zgn+1）。（5.2）用于获取样本的算法为以下MCMC算法。算法5.11。在每次迭代中，g=1。n+G，给定当前值（z（n+1））G，根据（z（n+1））=（z（n+1））G+X，为X绘制建议（zn+1）~ Nn+1（0，∑），其中选择（n+1）×（n+1）-协方差矩阵∑，以达到某种期望的接受率。2、集合（z（n+1））（g+1）=（z（n+1））带探针。α（（z（n+1））g，（z（n+1）））z（n+1），带探针。1.- α（（z（n+1））g，（z（n+1）），其中接受概率α（z（n+1），（z（n+1）））由α（z（n+1），（z（n+1））=min（1，~f（t）给出- tn，zn+1，zn）gtn（（z（n））| y（n），τc>tn）~f（t- tn，zn+1，zn）gtn（z（n）| y（n），τc>tn））=min（1，~f（t- tn，zn+1，zn）bn（（z（n））| y（n））~f（t- tn，zn+1，zn）bn（z（n）| y（n）））。3、丢弃第一次硝化的抽提物，并保存样品（z（n+1））n+1，（z（n+1））n+G。接受概率涉及术语bn（（z（n））| y（n））bn（z（n）| y（n））。从方程（4.3）可以看出，该分数由bn（（z（n））| y（n））bn（z（n）| y（n））=Qni=1ψ（zi）显式给出-1.- zc，zi- zc，σ√ti公司- ti公司-1） pZ（zi | zi-1） pU（易- 子怡（zi | yi）-1.- zi公司-1） Qni=1ψ（zi-1.- zc，zi- zc，σ√ti公司- ti公司-1） pZ（zi | zi-1） pU（易- 子怡（zi | yi）-1.- zi公司-1） ，根据t=0且pU（·| u）=pU（·）是平均u的高斯密度的约定和方差σ. 注意pZ（zi | zi-1） 是具有平均zi的高斯密度-1+m（ti-ti公司-1） 和方差σ（ti-ti公司-1） ，即pU（ui | ui-1） 是平均值为κui的高斯密度-1+ u和方差σ引理4.1中给出了ψ的表达式。

算法5.1结合方程式（5.2）和（5.1），允许我们计算所有函数积分形式的表达式，并通过密度f（t，·）进行加权。前一节中CoCo估值中出现的第二个表达式是我们在解决方案第二部分中看到的带有监管触发和转换为股份的CoCo的表达式，如定理4.6所示。这是下面的二重积分∞zcZ公司∞zcf（t，x）^f（x，zc，~z，t- t） h（▄z）d▄zdx。请注意，与上述内容类似，此积分可以写成asZ∞zcZ（zc，∞)n+1h（~z）^f（zn+1，zc，~z，T- t） f（t- tn，zn+1，zn）gtn（z（n）| Y（n），τc>tn）dz（n+1）dz=z（zc，∞)n+2h（zn+2）^f（zn+1，zc，zn+2，T- t） ~f（t）- tn，zn+1，zn）gtn（z（n）| Y（n），τc>tn）dz（n+2）。（5.3）现在请注意，通过定义^f，它认为z∞zc^f（zn+1，zc，zn+2，T- t） dzn+2=Z∞zcP公司inf0≤s≤T-tZs>zc，ZT-t型∈ dzn+2Z=锌+1= Pinf0≤s≤T-tZs>zc | Z=zn+1= 1.- π（T- t、 锌+1- zc）。因此，^f（zn+1，zc，zn+2，T- t） f（t- tn，zn+1，zn）gtn（z（n）| Y（n），τc>tn）不是（zc，∞)n+2，因此不可能以与前一种情况相同的方式继续。然而，通过以上我们知道^f（zn+1，zc，zn+2，T- t） f（t- tn，zn+1，zn）gtn（z（n）| Y（n），τc>tn）1- π（T- t、 锌+1- zc）是（zc，∞)n+2。如果我们有一个样本（（z（n+2）），（zn+2）G）根据具有该密度的（n+2）维分布，我们可以通过ggxg=1h（zgn+2）（1）来近似方程（5.3）中的积分- π（T- t、 zgn+1- zc））。（5.4）与算法5.1类似，此示例是通过以下MCMC算法获得的。算法5.21。在每次迭代中，g=1。n+G，给定当前值（z（n+2））G，根据（z（n+2））=（z（n+2））G+X，为X绘制建议（zn+2）~ Nn+2（0，∑），其中选择（n+2）×（n+2）-协方差矩阵∑，以达到某种期望的接受率。2、集合（z（n+2））（g+1）=（z（n+2））带探针。

α（（z（n+2））g，（z（n+2）））z（n+2），带探针。1.- α（（z（n+2））g，（z（n+2）），其中接受概率α（z（n+2），（z（n+2）））由min（1，^f（zn+1，zc，zn+2，T）给出- t） f（t- tn，zn+1，zn）bn（（z（n））| y（n））（1- π（T- t、 锌+1- zc）^f（zn+1，zc，zn+2，T- t） f（t- tn，zn+1，zn）bn（z（n）| y（n））（1- π（T- t、 锌+1- zc）））。3、丢弃第一次硝化的抽提物，并保存样品（z（n+2））n+1，（z（n+2））n+G。上一节中CoCo估值中出现的最后一种表达式是具有会计报告触发器的CoCo估值中的i步生存概率，如定理4.8和定理4.9所示。该表达式在公式Zrnp（ξ（zn））中给出的公式（4.20）和公式（4.25）中∈ Ξi）pZ（z（n）y（n））dz（n），对于等于（yc）的集合Ξi，∞)ior（yc，∞)我-1×（ycc，∞) 多元正态分布随机变量ξ（zn）。对于样品（（z（n）），（z（n））G）从pZ（z（n）| y（n）），这种类型的积分可以近似为ggxg=1P（ξ（zgn）∈ Ξi）。（5.5）使用MCMC算法再次获得必要的样本，如下所示。算法5.31。在每次迭代中，g=1，n+G，给定当前值（z（n））G，建议（zn）根据（z（n））=（z（n））G+X绘制，对于X~ Nn（0，∑），其中选择n×n-协方差矩阵∑，以达到某种期望的接受率。2、集合（z（n））（g+1）=（z（n））带探针。α（（z（n））g，（z（n）））z（n）带探针。1.- α（（z（n））g，（z（n）），其中接受概率α（z（n），（z（n）））由α（z（n），（z（n）））=min给出1，pZ（（z（n））| y（n））pZ（z（n）| y（n））= 最小值1，Qni=1pZ（zi | zi-1） pU（易- 子怡（zi | yi）-1.- zi公司-1） Qni=1pZ（zi | zi-1） pU（易- 子怡（zi | yi）-1.- zi公司-1).3、丢弃第一次硝化的抽头（因为马尔可夫链需要一个磨合期才能收敛到目标分布），并保存样本（z（n））n+1。

，（z（n））n+G.6应用该模型在本节中，我们使用该模型来阐明与基本估值模型本身及其对设计和“环境”变量（如波动性冲击）的敏感性相关的各种问题。我们将探索COCO与资本结构其他要素之间的相互作用，特别是当使用COCO而不是直接债务或股权等其他类型的融资时，我们将关注风险承担和投资激励。最后，我们通过比较德意志银行的利润恐慌及其对可可价格的影响，与我们通过估值模型得出的模型预测相比较，使用了MDA触发和couponpayment意外开支这一事实。参数值初始资产值Vn，直到t 2Conversion触发vcDefault触发Vb时的会计报告数默认时的回收率α0.5总本金直接债务PCoop直接债务0.04总本金CoCos PCoop CoCos c0.07到期CoCos t+5Drift资产过程m 0.01波动性资产过程σ0.1平均会计噪音u波动率会计噪音σ0.1无风险率0.03表1：基本情况参数6.1基本情况参数化表6列出了基本情况参数的值。在选择基本情况参数时，应考虑一些限制。例如，转换触发器应高于默认触发器。此外，CoCo应支付比直接债务更高的息票，以补偿更高的风险。此外，我们没有经验证据表明会计噪音的合理水平，因此我们将会计噪音的波动率设置为Du ffe和Lando（2001）选择的基本情况参数，其中选择的会计噪音方差与短期CDS利差中隐含的短期违约概率相匹配。在基本情况下，我们假设CoCo有一个监管触发因素，即。

监管机构有权了解银行的真实状态，转换可以在任何时候进行，不仅仅是在会计日期，而且市场必须仅使用会计信息评估此触发规则下的转换概率（有关此触发的数学信息，请参阅第4.3.2节）。我们还将探讨其他触发机制。此外，我们将稀释率ρ（参见第4.3.2节）定义为CoCoholder在转换后拥有的部分股份：ρ=PP+1（6.1），其中Pis为转换前CoCo的面值，以及 等于CoCoholder在转换时收到的股份数。旧股票的数量标准化为1。ρ=0的稀释率意味着CoCo在转换时提供本金减记（PWD），而ρ=1对应于原始股东在转换时完全消失的极端情况。为了计算PWD COCO的价格，我们利用定理4.4。所涉及的积分近似为方程（5.2），对于方程（5.2），使用算法5.1获得必要的样本。为了计算COCO转换为股票的价格，我们利用定理4.6，其中定价公式中的第一项使用算法5.1再次遵循，第二项近似为不等式（5.4），对于不等式，通过执行算法5.2获得必要的样本。

然后，通过重复按照此程序生成不同参数值的图形。资产波动率0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3CoCo价格22.533.544.555.566.57ρ=0（PWD）ρ=0.5ρ=1图1：不同CoCo设计参数的CoCo价格和资产波动率6.2资产波动率，会计噪音和CoCo设计参数灵活性会计噪音0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2CoCo价格3.43.63.844.24.44.64.855.2监管触发因素会计噪音和触发因素图2：会计噪音和触发因素设计在本小节中，我们研究资产波动和会计噪音的变化对CoCo价格的影响，作为不同设计参数的函数。6.2.1资产波动性冲击首先看看不同CoCo设计的基础资产价值过程波动性变化对价格的影响。在图1中，根据资产σ的波动性绘制了几个可可价格，见等式（4.1）。实线对应PWD CoCo。显然，当资产变得更加不稳定时，PWD CoCo的价格就会下降。这当然正如人们所预期的那样，因为σ越高，本金减记发生的可能性越大，导致可可价格下降。与ρ=0.5相对应的虚线已经表明，当转换条款对可可投资者更有利时，可可价格波动的负面影响较弱，因为她的损失较低，至少在转换后收到了一些股票，尽管还不足以补偿本金的损失。在极端情况下，股东在转换时被彻底消灭，对应虚线，这种负面影响甚至部分逆转。在这种情况下，随着（现在有利的）转换变得更加可能，价格会随着波动性而增加。

然而，对于高可用性水平，违约概率的增加和相关破产成本再次推低了价格。6.2.2会计噪声冲击我们接下来考虑会计噪声σ之间的关系还有椰子的价格。在图2中，考虑了具有监管触发的COCO和基于会计触发的COCO。账面价值CoCo按照方程式（4.23）中给出的公式进行定价；该值使用方程（5.5）中的近似值进行计算，对于方程（5.5），使用5.3获得必要的样本。图2显示了考虑CoCo定价触发设计的重要性。会计波动性的增加几乎不会对具有监管触发因素的CoCo的价值产生影响（图2中的实线）；但虚线显示，可可豆的价值取决于会计报告，可可豆价格受到会计噪音的严重影响（显然是负面的）。这与Duffee和Lando（2001）的结果一致：他们发现，当报告变得更加嘈杂时，违约概率会增加。在我们的CoCo设置中，这意味着当σ价格上涨，导致椰子价格下跌。图2显示，与带有监管（PONV）触发器（实线）的CoCo相比，带有触发器的CoCo的价格取决于会计报告（虚线）对会计噪音更敏感。6.2.3会计报告错误中的会计新闻和相关性接下来考虑会计噪音错误术语中相关性系数κ的影响。图3显示了PWD CoCo对坏消息会计报告的价格反应。设置如下。在第一份报告（Y=log 100）之后，发布第二份报告：Y=log 85。转换触发器设置为日志80，具有PONV触发器类型。

这些图显示了对坏消息到来的清晰而即时的价格反应。发布会计报告后的天数-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7CoCo价格3.944.14.24.34.44.54.64.75=0.015=0.35=0.99图3：自相关参数κ不同值对“坏会计消息”的价格响应。有趣的是，如果对自相关参数κ的不同值重复练习，就会出现一个清晰的模式：虽然模式在整个范围内相似，从几乎没有相关性的会计噪声（κ=0.01）到几乎完全持续的会计噪声创新（κ=0.99），但相关性参数的值越高，价格响应越弱。由于众所周知，每次发布新报告时，会计报告都会受到会计噪音的污染，因此κ的值越高，意味着过去的噪音到达越多，而同时会计噪音项ui的方差随着κ的增加而增加，因为在固定状态下，成比例为1/（1-κ). 这反过来降低了会计新闻的信息价值，并解释了为什么一份糟糕（即比前一份更糟糕）的报告会导致对高κ的负面价格反应更小：信号信息较少，因此会引发更小的价格反应。6.2.4自上次会计报告以来的时间推移在图4中，我们报告了一个不同的实验：我们展示了自上次会计报告以来的时间推移如何影响不同的CoCo设计。该图显示了三个不同结构的DCO的价值，每一个在转换后都有不同程度的股东稀释，这是自上次会计报告以来随时间推移的函数。

黑线代表PWD CoCo，其中CoCo在转换时被冲销，且不会对旧股东进行后续稀释；其他两行是股权转换公司，一行是老股东部分稀释（ρ=0.5），虚线点线，另一行是老股东在转换后完全消失（ρ=1），虚线。曲线图显示，对PWD CoCo的影响微乎其微，而两个股权转换器的价值自上次会计报告以来下降了个月0 2 4 6 8 10 12 CoCo价格45678910=0（PWD CoCo）=0.5; = 1图4：自上次会计报告以来的时间。自上次会计报告以来的时间增加。更长的时间间隔不会改变资产价格动态，但会导致评估时资产价值所在的更高不确定性。这类似于在尾部移动更多权重，因此破产的可能性更大。由于转换之后破产，更高的破产概率不会影响PWD，因为转换之前破产，他们已经失去了一切。

但是，CoCo持有人在转换时获得的股份越多，她在随后的破产中损失的就越多，因此稀释参数ρ的值越高，价格下降幅度越大。6.3设计参数和CoCo估值接下来考虑CoCo设计的主要特征对定价的影响：触发水平和转换时收到的股份数量。6.3.1转换触发因素在图5中，可可价格与不同稀释度的转换触发因素相对应。实线对应于PWD CoCo，其他线对应于CoCo，根据图例中的规定，在转换时对原始股东有不同程度的稀释。正如人们所预料的那样，转换触发点越高，PWD CoCo（实线）的价格越低：请注意，触发点定义为资产价值的百分比，损失来自顶部（即负债方的股本高于债务），因此触发点越高意味着转换的可能性越高，正如学术文献的其余部分所做的那样。在银行和监管文献中，更为传统的做法是将触发值定义为（风险加权）资产的百分比，但损失来自底部，权益低于债务；在这种定义中，较高的触发比率会导致较低的转换概率。转换触发75 80 85 90 95 100CoCo价格46810121416182022ρ=1ρ=0.5ρ=0.1ρ=0（PWD）图5：转换触发较高的转换触发增加了本金减记及其相关本金损失的概率。然而，其他行显示，如果转换条款对CoCo投资者更有利，触发水平的影响会发生变化：如果稀释率对CoCo持有人足够有利，价格将随着转换触发而增加。

在稀释率ρ等于1的极端情况下（图5中的虚线），可可价格会随着转换触发而上升。对于不太极端的稀释参数，这种积极影响较弱，相应的线介于两个极端之间（无稀释与完全稀释）。6.3.2关于稀释和杠杆在图6中，CoCo的价格与, 本金转换时收到的股份数量，用于公司资本结构中不同价值的直接债务。案件 = 0对应于本金减记CoCo，而 = ∞ 对应的情况是，所有原始股东在转换时都被消灭，CoCo投资者是唯一剩下的股东。图6清楚地表明，可可豆价格随着. 这当然是意料之中的，asa更高 表示转换时支付更高。此外，该图显示，当直接债务发行量较低时，转换为股票的CoCo的价格较高。因此，当公司杠杆率较低时，CoCo更有价值。这一点也很容易解释，因为COCO投资者在转换时获得了公司股权价值的一小部分，如果负债较少，则股权价值较高。不同杠杆的线在垂直轴上汇聚到同一点，如 → 0; 对于PWDCO而言，杠杆对价格没有影响，因为CoCo和股权都低于债务。

这一结果确实取决于资产价值过程的方差是外生选择的假设；如果是内生性选择，更高的杠杆率将导致更多的风险承担和更高的方差，这将对CoCo的价值产生影响，即使它有PWD结构（这一点是madein Chan和van Wijnbergen（2016；2017年11月修订））。0 100 200 300 500 600 700 800 900 1000可可价格44.555.566.577.588.5债务：40，可可：5债务：45，可可：5债务：50，可可：5图6：不同杠杆比率的可可价格与稀释。6.4资本结构、CoCos和风险承担激励6.4.1发行CoCos以取代直接债务接下来考虑发行CoCos对银行资本结构的影响，并由此推断对股东激励的影响。首先考虑一下直接债务被COCO替代的情况。在图7中，我们显示了股权价值（纵轴）的变化，这是用5个单位的COCO替代5个单位的直接债务的结果，与不同的触发价格不同。不同的线对应于稀释参数ρ的不同程度，再次从0到1（从根本没有稀释到有限稀释）。实线和虚线表明，只有在转换条款对股东足够有利且触发条件足够高的情况下，股东才能从以COCO替代债务中受益。对于较低的触发比率，转换的可能性变得非常小，操作归结为债务交换。事实证明，这对股票价值有负面影响，因为CoCos只是一种更昂贵的债务形式，所以用CoCos替代debt实际上会破坏股票价值。

随着触发比率上升（图7右移），以优惠条件消除CoCo债务的可能性越来越大，并开始占据主导地位，因此触发比率高的积极迹象。当然，这种二次效应不会对高稀释性CoCo产生，对于低转换概率的CoCo，债务对CoCo掉期的影响是负面的，就像对非稀释性CoCo的影响一样。但随着转换触发因素的上升和转换概率的增加，高稀释性转换的负面影响越来越近，因此价格影响变得更加负面。因此，虚线和虚线（高度稀释案例）表明，股东没有动机将债务交换为高度稀释的COCO，并且随着触发水平的提高，转换的可能性越来越小（学术惯例）。6.4.2发行CoCos以取代股本考虑下一个方向的资本结构变化，即由CoCos取代股本而非债务。具体而言，我们假设发行了CoCo，收益用于回购股权。价格计算和图表制作按照第6.3节中相同的程序进行。转换触发因素75 80 85 90 95 100权益价值变化-20-15-10-505ρ=0（PWD）ρ=0.1ρ=0.5ρ=1图7：5个单位的债务替换为5个单位的CoCo（按市场价值计算）时的权益价值变化。市场价值。股权价值的影响如图8所示，同样针对不同的触发水平（在横轴上，不同的线表示转换后不同程度的稀释）。该模式与图7中分析的CoCo掉期债务非常相似。

股权持有人有强烈的动机发行ρ=0的普华永道CoCos，而不是发行新股权（或者甚至像本政策实验中那样发行普华永道CoCosto回购债务），因为他们实际上从转换中获益。然而，对于较低的触发比率，转换的可能性变得太小，使COCO事实上变成了昂贵的债务，因此，对于较低的触发比率，对股权价值的影响变为负值。对于任何级别的触发比率，股票持有人都不会希望发行稀释性COCO（ρ=1是有限稀释的极端情况）：在转换之前，这些COCO是一种昂贵的债务形式，而在转换之后，或者更确切地说，在转换时，股票持有人实际上会在转换发生时脱手，以这种方式构建的工具对股东毫无吸引力。这些结果很好地解释了为什么约60%的椰子是PWD椰子，参见Avdiev et al.（2017），而不是学术文献所青睐的稀释椰子（Calomiris and Herring（2013）是学术文献中广泛认同的观点的一个早期且有说服力的例子，认为椰子应该具有高度稀释性）。6.5债务悬而未决：在COCO和投资激励方面，当公司的损失吸收能力变得太低，无法保护债务持有人免受资产价值波动时，就会出现债务悬而未决（参见Merton（1974），Myers（1977）），可能已经出现拖欠的情况。债务悬而未决的一个后果是，股权持有人的投资激励减少，因为新项目的部分收益必须与债权人分享。即使没有实际欠款，但债务仍在面值以下交易，资产价值增加的一部分将转化为债务市场价值的增加，而（部分）代价是股权市场价值的提高。

在没有COCO的结构模型中，股东在公司最需要增加资产价值的时候，即当公司濒临破产时，没有投资的激励。几乎所有的投资价值都将被债务持有人获得，因为当破产概率降低时，债务价值就会增加。以何种方式，CoCoconversion触发75 80 85 90 95 100权益价值的变化-16-14-12-10-8-6-4-2024ρ=0（PWD）ρ=0.1ρ=0.5ρ=1图8：当5个权益单位被5个CoCo单位（市场价值）替换时，权益价值的变化与债务悬而未决的情况相互作用是一个有趣的问题；COCO引入了额外的损失吸收能力，这对债务持有人有利，但COCO也可能对股本价值产生影响。债务持有人也可能以另一种方式获利，根据COCO的设计，股东可能会有更大的动机进行投资，以避免转换。通过观察资产增加一个单位、通过一个单位的股权（按市值发行）融资时会发生什么情况，可以在我们的模型背景下研究债务悬置和激励问题。如果股权的总市值上升超过一个单位，股东在投资时就会获利，从而激励他们这样做。然而，当股本增加不到一个单位时，投资对股东没有好处来抵消费用，所有或部分好处显然都被债务持有人获得。因此，我们考虑新会计报告刚刚发布的情况，资产价值见等式（4.2），Ytn=100；然后，我们可以检查当资产价值增加一个单位时会发生什么。

图9根据转换触发点绘制了一个单位的投资比例。实心黑线是我们的基准案例，除了股权外，只有直接债务。模拟结果显示了债务悬置的影响：如果没有COCO（实线），股东在投资时不会获利，他们实际上会承受一点损失。虚线显示，当转换条款对股东有利时（即CoCo持有人在转换后放松），股东参与额外投资的动机就更少了，实际上恶化了债务悬而未决的问题。黑色虚线对应于公司资本结构中存在PWD CoCo，表明PWD CoCo确实会使股东的投资激励更加消极，尤其是在转换触发点附近。因此，增长最强劲的是最有利于股东的CoCos，即本金减记的CoCos。CoCos的情况也有所不同，其非稀释性条款略低，但仍对股东有利。因此，PWD或稀释不足的COCO无法解决债务悬而未决的问题。然而，高度稀释的COCO确实加强了股东的投资动机，因为他们希望避免转换。具体参见图9中的虚线，其对应于高稀释COCO；显然，这样的COCO提高了股东的投资动机，因为他们希望避免转换。尤其是在转换触发点附近，股东们有转换触发点75 80 85 90 95 100投资利润-1012345无CoCosρ=0（PWD）ρ=0.1ρ=1ρ=0.5图9：债务悬置、CoCos和投资激励在这种情况下，实质性激励投资于最后一次尝试，以避免不利的转换。

综上所述，当转换条款对CoCo投资者而言足够有利，而不是有利于老股东时，CoCo能够为股东创造更多的投资激励。然而，与直接债务相比，PWD COCO和一般稀释性较低的COCO实际上会导致较低的投资激励，并加剧债务悬置问题。6.6息票支付、MDA触发器和德意志银行2016年2月的CoCo摘要在文献中，通常假设息票在转换之前支付。然而，息票支付受到所谓的最大可分配金额触发的影响，根据该触发，当公司资本价值低于高于转换触发的某个触发时，监管机构停止支付息票（和股息）。当资本价值回升并再次超过触发值时，可以再次开始支付息票。这意味着，在CoCo的估值中，我们可以应用定理4.6和算法5.2，但息票项定义如等式（4.13）所示。为了证明将这一触发因素纳入CoCos估值的相关性，我们将看看德意志银行的CoCos在2016年初所承受的巨大价格下跌。1月28日，德意志银行报告2015年最后一个季度净亏损21亿欧元。相关报告还报告了其风险加权资产的价值为3970亿欧元，低于之前会计报告中的4080亿欧元。此外，普通股一级（CET1）比率（定义为普通股和风险加权资产（RWA）的分数）从11.5%降至11.1%，主要反映了本季度的净亏损。

该信息摘自《2015年第四季度财务数据补充》，德意志银行（2016），该报告导致德意志银行可可豆价格大幅下跌。当时，德意志银行发行了四种不同的CoCo（两种为美元，一种为欧元，一种为英镑，均为PWD CoCo）。为了避免处理额外的汇率风险因素，我们只考虑欧元CoCo。当CET1比率达到5.125%并支付6%的息票时，就会触发CoCo的减记。如上所述，CET1比率甚至没有接近低触发水平。尽管如此，椰子价格在报告发布后一周内下跌了19.5%。当时的市场出版物普遍认为，这是出于对达到MDA触发点以及随后取消息票支付的担忧。本文开发的模型与分析该案例特别相关，因为我们可以在估值中包括宣布不良会计报告，以及在MDAtrigger被击中时提前取消优惠券。MDA触发器的精确值尚未公开，因此无法使用MDA触发器的实际值。然而，通过将MDA触发器设置为接近报告值，研究模型可以解释价格下降的程度仍然很有趣。除非另有说明，否则我们使用与表6中相同的参数。在不良会计报告出现之前，我们假设有一份价值为Yt=4080亿欧元的会计报告。然后，新的会计报告出现了，因此我们现在有两份价值分别为Yt=4080亿欧元和Yt=3970亿欧元的会计报告。选择的触发因素应与会计报告时的CET1比率一致。也就是说，我们选择VC1，使其对应于5.125%的CET1比率。

我们知道，当RWA为3970亿欧元时，CET1比率为11.1%，因此债务总额（模型中仅COCO和直接债务）为3970亿欧元×0.889=3529.3亿欧元。因此，CET1比率为5.125%将对应于RWA值352.93欧元/（1-0.05125）=3720亿欧元，这就是转换触发vc的值。MDA触发器VCCCA的值可以用同样的方式选择，CET1比率为10%的MDA触发器对应的RWA值为352.93欧元/（1-0.1）亿欧元=3920亿欧元。CoCo isc的息票=0.06。由于相关CoCo具有永久到期日，我们选择首次催缴日期2018年10月10日作为到期日。因为我们假设第二份会计报告于2016年1月28日送达，所以t=0对应于2015年7月28日。因此，T=3+2/12+13/365。在图10中，针对MDA触发器的不同选择，说明了发布不良会计报告后的价格变化。会计报告发布后的几周-3-2-1 0 1 2 3 CoCo价格0.460.480.50.520.540.560.580.6无MDA触发器10%11%12%图10：MDAtrigger不同值的不良会计报告发布后的CoCo价格。实线对应于模型中未包含MDA触发器的情况，在这种情况下，当查看会计报告发布前和发布后的价格时，可可价格仅下降14.3%。然而，如果我们将MDA触发器添加到模型中，就会出现强烈的负性价格变化。虚线对应的情况是，我们将MDA触发器设置为11%，即刚好低于报告的CET1值。这使得价格下降了18.7%。如果我们将TDA的触发值设为10%，那么价格将下降17.3%，虚线显示了这一点。然而，我们必须在报告的CET1比率11.1%以上触发MDA，以造成19.5%的价格下跌，参见虚线。

也就是说，模型中19.5%的价格下跌对应于MDA触发器已经被违反的情况，而事实并非如此。然而，很明显，价格变化的很大一部分是由MDA触发器驱动的，而不是由转换触发器驱动的。以上说明了明确将会计报告纳入分析并在CoCo估值中考虑MDAtrigger的附加值，尤其是当MDA触发点即将到来时，但转换触发点仍很遥远。7结论SCOCO是在发行银行价值过低时减记或转换为权益的债务工具。CoCos已经席卷了欧洲资本市场。过去五年已发行5600多亿欧元，未来可能会更多。显然，银行将COCO视为在面临资本短缺时发行新股票的一种有吸引力的替代方案。学术文献迅速发展，试图对新的债务工具进行分析和定价，但与此同时，这种学术文献与实际发行的COCO类型之间出现了显著的分歧。毫无例外，学术文献认为转换触发器基于市场价值，而不是会计比率。因此，除Glasserman和Nouri（2012）外，CoCos的资产定价文献仅分析了基于市场的转换触发因素。然而，至少在欧盟和瑞士，基于市场的触发器取消了该工具作为欧盟监管下资本的资格，因此，迄今为止，所有发行的CoCo都以其转换触发器会计比率为基础，没有一个例外。此外，当达到所谓的非生存点时，他们必须公开监管干预的可能性。

此外，文献没有关注暂停支付息票的触发因素，尽管这些触发因素很可能导致可可价格最近的大部分波动。在本文中，我们通过明确引入息票暂停触发因素，以及（可以说更重要的）明确引入模型中会计流程的关键特征，弥合了学术文献和实际实践之间的差距，这使我们能够以有意义的方式分析基于会计比率的转换触发因素和PONV干预。为了做到这一点，我们将驱动资产价值的基本随机过程建模为标准几何布朗运动，就像大多数文献一样。我们分歧的地方在于我们的假设，即过程是无法直接观察到的。相反，市场上的信息是基于定期但离散时间发布的嘈杂的会计报告。通过这种方式，我们可以考虑会计价值和市场价值之间的差异。我们的模型基于这样一个前提，即市场无法观察到真实的资产价值过程，它只能访问嘈杂的会计报告，而且这些报告只能在离散的时刻发布。这样一来，可可豆的价格只能基于会计报告中的信息，而不能基于潜在的真实资产过程，因为这是无法直接观察到的。该模型不会得出可可价格的封闭式解，但使用马尔可夫链蒙特卡罗方法计算价格。该模型非常成功地再现了CoCos对德意志银行于2016年2月发布的广泛报告的Adverse-pro-fit警告的价格反应。这一实践表明，在估值模型中加入所谓的MDA触发器非常重要，该触发器控制息票支付的暂停。

使用该模型作为分析工具，可以得出一组关于估值、CoCo设计和环境变量（如资产波动率和会计噪音）之间关系的丰富结果。此外，我们已经表明，COCO根据其设计，对股东承担额外风险的动机或在债务悬而未决的情况下的投资动机具有显著影响，并以有趣的方式与发行COCO的银行的资本结构相互作用。各种结果，如普华永道COCO对股东的吸引力，可以帮助解释在实践中做出的设计选择，其中大约60%的所有COCO都是这种类型的。明确纳入会计流程，提供关于潜在不可观察公司基本面的嘈杂报告，这些报告是在定期但离散的时间内发布的，这使我们能够分析基于accountingratios的CoCo设计，以及基于达到所谓的非生存点的触发因素。监管机构应关注风险承担激励、杠杆和CoCo设计之间的关系。我们表明，COCO再次取决于其设计特征，可能会显著改变股权价值对风险的敏感性，从而可能为给定资本要求的风险套利打开大门，仅考虑会计资产特征，如基于BIS的资本制度下的情况。参考B。Albul，D.Jaffee和Tchistyi A.或有可转换债券和资本结构决策。工作文件，加利福尼亚大学，2012年。SSRN提供：https://ssrn.com/abstract=2772612.S.Avdiev、B.Bogdanova、P.Bolton、Wei Jiang和A.Kartasheva。Coco发行和银行脆弱性。工作文件，BIS，2017年。SSRN提供：https://ssrn.com/abstract=3066030.Barclays.巴克莱可可IPO，2017年3月3日。D、 Brigo、J.Garcia和N.Pede。

Coco债券估值与股权和信用风险校准的FirstPassage结构模型。《国际理论与应用金融杂志》，18（03）：15500152015。C、 W.Calomiris和R.J.Herring。如何设计或有可转换债务要求，帮助解决我们的“太大而不能倒”问题*。《应用公司金融杂志》，25（2）：39–622013年。ISSN1745-6622。2013年第575号资本要求条例/欧盟，2013年。统一资源定位地址http://eur-lex.europa.eu/legal-content/en/TXT/?uri=celex%3A32013R0575.S.Chan和S.van Wijnbergen。Coco设计、风险转移激励和资本监管。工作文件，CEPR，2016年；2017年11月修订。统一资源定位地址https://www.ceps.eu/system/files/ECMI%20WP%20No%202_0.pdf.S.Chan和S.van Wijnbergen。监管宽容、cocos和银行风险转移。工作文件，阿姆斯特丹大学，2018年。正在准备中。N、 Chen、P.Glasserman、B.Nouri和M.Pelger。Cocos、自救和尾部风险。工作文件0004，金融研究办公室，2013年。SSRN提供：https://ssrn.com/abstract=2296462.J.Corcuera、J.De Spiegeleer、A.Ferreiro Castilla、A.Kyprianou、D.Madan和W.Schoutens。符合smile模型的或有敞篷车的定价。《信贷风险杂志》，9（3）：121–140，2013年。D、 杜菲和D.兰多。会计信息不完整的信用利差期限结构。《计量经济学》，69（3）：633–6642001。M、 J.弗兰纳里。不劳无获：通过“反向可转换债券”影响市场纪律。《巴塞尔协议之外的资本充足率：银行、证券和保险》编辑Hal S.Scott，第171–196页。牛津大学出版社，2005年。P、 格拉斯曼和B.努里。具有资本比率触发器的或有资本。《管理科学》，58（10）：1816–183320012年。P、 格拉斯曼和B.努里。市场引发的资本结构变化：均衡价格动态。《计量经济学》，84（6）：2113–21532016。A、 G.霍尔丹。资本纪律。

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《金融分析师杂志》，第70（2）期，2014年。附录本附录提供了正文中遗漏的所有数学细节和证明。引理4.2f（t，·，z）的证明由p（Zt）定义∈ dx |τb>t）=f（t，x，z）dx。根据贝叶斯规则，我们可以写∈ dx |τb>t）=P（Zt∈ dx，τb>t）P（τb>t）。该表达式的分母由p（τb>t）=1给出- π（t，z- zb）=Φz- zb+mtσ√t型- e-2m（z-zb）/σΦzb公司- z+mtσ√t型.为了计算分子，我们将依赖Harrison（1985）的以下结果，该结果可在第1.8节命题1中找到。用漂移u、方差σ和x=0的Xta布朗运动表示。此外，定义Mt：=最大{Xs:0≤ s≤ t} 。然后是Xt和Mtsatis fiesp（Xt）的联合分布∈ dx，Mt≤ y） =σ√特克斯普uxσ-ut2σφxσ√t型- φx个- 2yσ√t型dx，（A.1），其中φ表示标准正态密度函数。现在，表示Xt=-Zt+z，这是一个带漂移的布朗运动-m、 方差σ和X=0。此外，表示Mt=max{Xs:0≤ s≤ t} 。方程式（A.1）表示p（Zt∈ dx，τb>t）=PZt公司∈ dx，inf0≤s≤tZs>zb= P（Xt∈ d（z- x） ，公吨≤ z- zb）=σ√特克斯普-m（z- x） σ-mt2σφz- xσ√t型- φ-z- x+2zbσ√t型dx。（A.2）因此我们得出结论，f（t，x，z）=σ√特克斯普-m（z-x） σ-mt2σφz-xσ√t型- φ-z-x+2zbσ√t型Φz-zb+mtσ√t型- e-2m（z-zb）/σΦzb公司-z+mtσ√t型.定理4.4的证明回想一下，可可价格写为asC（t）=P e-r（T-t） pc（t，t）+cPZTte-r（u-t） pc（t，u）du- RPZTte公司-r（u-t） pc（t，du）。

（A.3）最后一项中的积分可以写成Ztte-r（u-t） pc（t，du）=ZTte-r（u-t）upc（t，u）du=ZTte-r（u-t） Z∞zc公司u（1- π（u- t、 x个- zc））f（t，x，ω）dxdu=Z∞zcf（t，x，ω）ZTte-r（u-t）u（1- π（u- t、 x个- zc））dudx=Z∞zcf（t，x，ω）I（x）dx，其中I（x）=ZTte-r（u-t）u（1- π（u- t、 x个- zc）du。此外，方程（A.3）第二项中的积分可以写成Ztte-r（u-t） pc（t，u）du=ZTte-r（u-t） Z∞zc（1- π（u- t、 x个- zc））f（t，x，ω）dxdu=Z∞zcf（t，x，ω）ZTte-r（u-t） （1）- π（u- t、 x个- zc））dudx=Z∞zcf（t，x，ω）~I（x）dx，其中▄I（x）=ZTte-r（u-t） （1）- π（u- t、 x个- zc）du=-重新-r（u-t） （1）- π（u- t、 x个- zc））Tu=t+rI（x）=-重新-r（T-t） （1）- π（T- t、 x个- zc））+r+rI（x）。综合以上内容，我们可以将可可价格C（t）写成一个单独的积分，用密度f（t，x）加权，如下C（t）=Z∞zc公司体育-r（T-t） （1）- π（T- t、 x个- zc））+cP▄I（x）- RP I（x）f（t，xa）dx=Z∞zc公司r- crP e-r（T-t） （1）- π（T- t、 x个- zc））+crP+心肺复苏术- 卢比I（x）f（t，x）dx。现在仍然需要找到I（x）的分析表达式。

首先考虑u（1- π（u- t、 x个- zc））=uΦx个- zc+m（u- t） σ√u- t型- e-2m（x-zc）/σΦ-（十）- zc）+m（u- t） σ√u- t型= φx个- zc+m（u- t） σ√u- t型m2σ√u- t型-x个- zc2σ（u-t） 3月2日- e-2m（x-zc）/σφ-（十）- zc）+m（u- t） σ√u- t型m2σ√u- t+x- zc2σ（u-t） 3月2日=zc公司- xσ（u-t） 3/2φx个- zc+m（u- t） σ√u- t型,这意味着i（x）=ZTte-r（u-t） zc公司- xσ（u-t） 3月2日√2πexp-（十）- zc+m（u- t） ）2σ（u- t）du=zc- x个√2πσexp-m（x- zc）σZT公司-te公司-ruu3/2exp-（十）- zc）2σu-mu2σdu=zc- x个√2πσexp-m（x- zc）σZT公司-tu3/2exp-（十）- zc）2σu-m2σ+rudu=2zc- x个√2πσexp-m（x- zc）σZ∞（T-t）-1/2经验-影音- Bv公司dv，（A.4），其中最后一行后面是v=u的替换-1/2通过设置A=（x- zc）2σ，B=m2σ+r。现在，注意（Av+B/v）=(√影音-√B/v）+2√AB，以及（Av+B/v）=(√影音+√B/v）-2.√AB，剩余的积分可以通过替换u来计算=√影音-√B/V和u=√影音+√B/v，如下Z∞（T-t）-1/2经验-影音- Bv公司dv=√亚利桑那州∞（T-t）-1/2经验-(√影音-√B/v）- 2.√AB公司(√A+√Bv）dv+√亚利桑那州∞（T-t）-1/2经验-(√影音+√B/v）+2√AB公司(√A.-√Bv）dv=√Ae-2.√ABZ公司∞√A/（T）-t）-√B（T-t） e类-udu+√Ae√ABZ公司∞√A/（T）-t）+√B（T-t） e类-udu=√π√A.e-2.√ABerfc公司pA/（T）- t）-pB（T- t）+ e√ABerfc公司pA/（T）- t） +铅（t- t）, （A.5）其中erfc（x）是互补误差函数，由erfc（x）定义：=√πZ∞xe公司-Udua和satis fieserfc（x/√2) = 1 - Φ（x）。将方程式（A.4）和（A.5）相结合，并将表达式替换回A和B，最终得出I（x）的表达式：I（x）=2zc- x个√2πσexp-m（x- zc）σZ∞（T-t）-1/2经验-影音- Bv公司dv=exp-m（x- zc）σ-e-2.√ABerfc公司pA/（T）- t）-pB（T- t）- e√ABerfc公司pA/（T）- t） +铅（t- t）= 经验值-m（x- zc）+（x- zc）√m+2rσ！Φx- zc公司-√m+2rσ（T- t） σ√T- t！- 1!+ 经验值-m（x- zc）- （十）- zc）√m+2rσ！Φx- zc公司+√m+2rσ（T- t） σ√T- t！- 1.（A.6）定理4.6的证明CoCos的市场价格由c（t）=E给出体育课-r（T-t） {τc>t}| Ht+ EZTtcPe-r（u-t） {τc>u}du | Ht！+EPP+1EP C（τC）e-r（τc-t） {τc≤T}| Ht.

（A.7）前两项加在一起，在integralZ中捕获∞zch（x）f（t，x）dx，从PWD情况下的R=0可以清楚地看出，参见定理4.4。回想等式（A.7）中的第三项写为asEPP+1EP C（τC）e-r（τc-t） {τc≤T}| Ht=PP+1ezztte-r（u-t） P（τc∈ du |τc>t，Y（n））-PcP公司P+1Z∞te公司-r（u-t） P（τc≤ T∧ u、 τb>u |τc>t，Y（n））du-PP+1ezbZ∞te公司-r（u-t） P（τc≤ T、 τb∈ du |τc>t，Y（n））。