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因此，这两个向量的排名总是相同的，Theorem A1保证当分布尽可能灵活时，熵是最大的，当质量尽可能集中在某些单位上时，熵是最小的——达到Dirac\'sDelta函数的真正最大值。B、 案例3步骤2的步骤2-5：kin的幂律和kouto非参数copula的原始数据。情况与图5非常相似。乘积copula和上Frechet彼此非常接近。与图5中的注释相同。函数随着k的增加而减少。存在局部最大值：k=0.5H=1.99（乘积），k=2 H=0.93（下弗雷切），k=1.3H=1.86（上弗雷切）。我们注意到，有更多的小函数，导致上Frechet的局部极小值，尽管那里的熵值远高于尾部的值。在下Frechet中，我们注意到局部极小值有不同的位置：k=1 H=0.59和或k=0.5H=0.31。k=0.9 H=0.62oGumbel阿基米德连接函数中也存在局部最大值。图10显示了这种情况。与图6中的建议相同Frank阿基米德copula。图11显示了这种情况。Kin的相同建议来自经验数据和koutpower lawhold（图7）。0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.20.40.60.811.21.41.61.822.2kH产品FrechetUpper FrechetFigure 9：图中显示了熵（y轴）作为θ（x轴）函数的三种情况。边缘是：案例研究forkout中kinand的幂律。这种情况与图5中的情况非常相似，但在上Frechet copula中有许多局部函数。1 2 3 4 5 6 71.41.61.82HGumbel k=31 2 3 4 5 6 71.081.11.121.141.16H k=51 2 3 4 5 6 70.5680.570.5720.5740.576θH k=9图10：熵函数H对参数θ的依赖关系图。

与图6中的注释相同。-1.-0.8-0.6-0.4-0.2 01.751.81.851.9HFrank（θ<0）k=1-1.-0.8-0.6-0.4-0.2 01.351.41.451.5H k=2-1.-0.8-0.6-0.4-0.2 01.041.061.081.11.12Hθk=30 10 20 30 401.822.22.42.6HFrank（θ>0）k=10 10 20 30 401.41.61.82H k=20 10 20 30 401.11.21.31.41.5θH k=3图11：熵函数H对幂律指数k的依赖关系图。与图7的注释相同克莱顿-阿基米德copula。图12显示了这种情况。Kin的相同建议来自经验数据和koutpower lawhold（图8）。步骤3：kin的指数定律，kout的原始数据o非参数copulas。情况与图5非常相似。乘积copula和上Frechet非常接近。图5和图9的注释相同。函数随着k的增加而减少。图13显示了结果。存在局部最大值：k=0.11 H=2（乘积），k=1.06 H=0.98（下弗雷切），k=0.46 H=1.85（上弗雷切）。我们注意到，有更多的小函数，导致上Frechet的局部极小值，尽管那里的熵值比尾部的值高得多。与图9相比，在k=1.06，H=1.31时，上Frechet的局部最小值要深得多，可以认为是真实的局部最小值。在下Frechetcase中，我们注意到局部极小值有不同的位置：fork=0.41 H=0.63，或k=0.16 H=0.33。k=0.31 H=0.66oGumbel阿基米德连接函数中也存在局部最大值。图14显示了这种情况。与图6和图10相同的建议适用Frank阿基米德copula。图15显示了这种情况。图7和图11的建议相同克莱顿-阿基米德copula。图16显示了这种情况。

与图7和图12相同的建议成立。第4步和第5步：kin的幂律或指数律，以及koutOn的幂律。鉴于定理A1已经获得的数值结果，并且由于附录中的备注A2，kin的幂律或指数律的情况，而Koutremains由幂律描述，我们得出结论，熵随着幂律或指数的参数趋于一致而减小。随着幂律/指数参数的增加，θ范围的左边界或右边界将出现局部极大值。-1.-0.8-0.6-0.4-0.2 00.511.52HClayton（θ<0）k=1.0-1.-0.8-0.6-0.4-0.2 011.21.41.61.8H k=2.0-1.-0.8-0.6-0.4-0.2 00.911.11.2θH k=3.00 10 20 30 401.822.22.42.6HClayton（θ>0）k=1.00 10 20 30 401.41.61.82H k=2.00 10 20 30 401.11.21.31.41.5θH k=3.0图12：熵函数H对幂律指数k的依赖关系图。与图8的注释相同。0 1 2 3 4 5 60.20.40.60.811.21.41.61.822.2kH产品下FrechetUpper Frechet图13：图中显示了熵（y轴）作为θ（x轴）函数的三种情况。边缘是：科特案例研究中基南德的幂律。这种情况与图9中的情况非常相似，但上部Frechet copula中的局部波动更深。1 2 3 4 5 6 71.161.181.21.22HGumbel k=31 2 3 4 5 6 70.5850.590.5950.60.605H k=51 2 3 4 5 6 70.55660.55670.55680.55690.557θH k=9图14：熵函数H对参数θ的依赖关系图。

与图10中的注释相同。-1.-0.8-0.6-0.4-0.2 01.351.41.451.5HFrank（θ<0）k=1.0-1.-0.8-0.6-0.4-0.2 00.9911.011.021.03H k=2.0-1.-0.8-0.6-0.4-0.2 00.7650.770.7750.780.785θH k=3.00 10 20 30 401.41.61.82HFrank（θ>0）k=1.00 10 20 30 4011.11.151.2H k=2.00 10 20 30 400.760.780.80.820.84θH k=3.0图15：熵函数H对参数θ的依赖关系图。图7和图11的注释相同。-1.-0.8-0.6-0.4-0.2 011.21.41.61.8HClayton（θ<0）k=1.0-1.-0.8-0.6-0.4-0.2 00.90.9511.051.1H k=2.0-1.-0.8-0.6-0.4-0.2 00.720.740.760.780.8θH k=3.00 10 20 30 401.51.61.71.81.9HClayton（θ>0）k=1.00 10 20 30 4011.051.11.151.2H k=2.00 10 20 30 400.780.80.840.86θH k=3.0图16：熵函数H对参数θ的依赖关系图。图7和图12的注释相同。