在我们的框架中，估计包括确定最优投资组合xt，以及最优参数λt、`t（u）和`t（∑）。这可以使用贝叶斯优化框架来完成。就性质而言，参数`（u）和`（∑）是离散的，通常以月份表示，例如`（u）∈ {3、6、12、24}和`（∑）∈ {3, 6, 12}. 在贝叶斯优化中，离散、整数或分类参数不容易管理，因为高斯过程（或随机森林）作为黑盒函数的替代，不适用。由于目前还没有标准方法，我们使用一种简单的方法，即在贝叶斯优化步骤中使用连续变量，同时在计算方程（7）给出的目标函数时，将超参数`（u）和`（∑）调整为最接近的整数。目标函数的选择是实现贝叶斯优化的主要步骤。在经典的机器学习问题中，目标函数可以是超参数的交叉验证分数，以减少过度匹配的风险。定量战略的目标不太明确，容易过度匹配。一个简单而明显的功能是策略的夏普比率。每个再平衡日期，我们都会运行aBayesian优化，以寻找超参数，从而在给定的时间段内最大化历史夏普率。虽然出现了一些新方法，但更稳健的目标函数是滚动的最小值（Garrido Merch’an和Hern’andez Lobato，2017）。高斯过程和贝叶斯优化的金融应用Sharpe比率，以减少过度拟合偏差。

例如，我们可以计算具有固定超参数和周期[τ]的回溯测试的滚动六个月夏普比率SRτ（λ，`（u），`（∑））- 0.5; τ]并使用贝叶斯优化求解：{λt，`t（u），`t（∑）}=arg max最小τ∈[t-2，t[SRτ（λ，`（u），`（∑））然而，为了从Bayesianoptimization对参数空间的探索中获益，我们使用了另一种方法。由于波动性已经通过投资组合优化约束和正则化进行控制，我们倾向于选择目标函数在两年历史期间的策略回报：{λt，`t（u），`t（∑）}=arg max^ut（λ，`（u），`（∑）），其中^ut（λ，`（u），`（∑））是该期间的回溯测试性能- 2.t] 。我们跟踪贝叶斯优化过程中测试的所有样本，根据其目标函数对其进行排序，并选择最佳的三组超参数来计算三个不同的最优权重，并对其进行平均以形成最终投资组合。这种方法可以减少过度拟合偏差。3.2.3一个示例我们的数据集包括2006年至2017年期间标普500指数、欧洲斯托克指数和10年期主权债券等全球股票指数的13个期货合约的每日价格。将上一段中描述的贝叶斯优化策略与基本锥年趋势跟踪策略进行比较，其中参数随时间保持不变：λt设置为10%，而\'t（u）和\'t（∑）等于12个月。表3：回溯测试结果（2006-2016年）策略夏普比率收益率波动率MDDNaive 1.56 5.9%3.7%-5.7%Bayesian 1.71 7.4%4.3%-4.7%策略的累积绩效如图12所示，而表3显示了两种策略的结果。我们注意到，贝叶斯优化能够将年化夏普比率从1.56提高到1.71，并减少提取。

然而，我们不认为这个结果很重要，因为它只是一个回溯测试。更有趣的是贝叶斯优化估计的超参数的动态性。在第41页，我们报告了λt（图14）、`t（u）（图15）和`t（∑）（图16）的动态，而统计数据在表4中报告。我们观察到λt移动相对较快。2008年全球金融危机伊始，这一数字有所下降，意味着更具反应性的分配。2008年危机结束时，我们观察到了相反的影响。λtis增加，分配的反应性降低。然而，这必须与\'t（u）和\'t（∑）的动态进行比较。大多数时候，最佳窗口t（u）很高，平均等于18个月。然而，在GFC期间和之后，`t（u）显著降低。这可以与短期和长期CTA的表现并行。平均而言，长期CTA的表现优于短期CTA，但在某些时期，短期CTA的表现非常好，表现令人难以置信，而长期CTA的表现则非常消极。关于\'t（∑），结果表明，短期窗口更好，而市场实践是考虑长期窗口（通常是高斯过程和贝叶斯优化的金融应用图12：趋势跟踪策略的累积绩效2006 2007 2008 2010 2012 2013 2014 2015 2016 201710012014016010180200220Bayesianniveone year经验协方差矩阵）。事实上，正则化参数λ和协方差窗口t（∑）之间存在权衡。

我们的模型选择了短期协方差，因为它可以通过岭参数控制营业额。表4：最优超参数统计（2006-2016）θtminθtmaxθt'θtσ（θt）ρ（θt，VIXt）λt0.01 2 0.13 0.056 48%` t（u）3.00 24 17.45 8.10-49%`t（∑）3.00 12 4.13 1.72 38%这些参数的动力学可以根据市场波动性进行分析。例如，如果我们计算与VIX指数的相关性，我们可以观察到正则化超参数λ和协方差窗口\'t（∑）与VIX呈正相关，而\'t（u）和VIX之间的相关性为负（见表4）。这表明该策略注重短期势头，在波动性较大的情况下风险较小，如2008年图13所示。表示营业额惩罚的超参数λt在2008年全球金融危机期间具有保守效应。备注9。由于局部极小值（考虑分类变量时，目标函数可能表现不好，甚至不规则），最优参数的估计会出现不稳定期。2013-2014年的情况就是如此（图13）。在这种情况下，我们在混合三个最佳投资组合时，会从多元化中受益，而不是只选择一个解决方案。高斯过程和贝叶斯优化的金融应用图13:t（u）和VIXt2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2015 2016 2017102030405060VIXt510152025\'t（u）4结论在本文中，我们探讨了高斯过程和贝叶斯优化在金融中的应用。考虑了两个应用：收益率曲线建模和趋势跟踪策略的在线校准。我们的结果表明，GPs是拟合收益率曲线的有力工具。

因此，GPs可以作为流行参数方法（如Nelson-Siegel模型）的半参数替代方法。然而，我们的结果也表明，GPS在预测利率方面与传统的计量经济学方法相当，但它们并没有做得更好。趋势跟踪策略的情况更有趣，因为当我们事先选择超参数的值时，这是一个典型的财务问题。直到现在，还没有其他替代方法来测试多个超参数组合，并选择最佳组合来避免样本内偏差，这是任何回溯测试协议所固有的。我们展示了如何实现贝叶斯优化来估计趋势向量和协方差矩阵的窗口长度。结果证实了CTA和动态风险平价基金行业的做法和观察结果。一般来说，最好考虑预期回报的长窗口和风险的短窗口。然而，在绩效、营业额和平衡成本之间存在权衡。这就是为什么有必要在portfoliooptimization中引入惩罚函数。我们的结果还表明，在某些时期，减少趋势窗口可能会增加价值。在这种情况下，贝叶斯优化为构建在线趋势跟踪策略提供了一种规范的方法。高斯过程和贝叶斯优化的金融应用参考文献[1]Alvarez，M.A.、Rosasco，L.和Lawrence，N.D.（2012），《向量值函数的核：综述、基础和趋势》《机器学习》，4（3），第195-266页。[2] Annaert，J.、Claes，A.G.、De Ceuster，M.J.和Zhang，H.（2013），《使用Nelson-Siegel模型估计即期汇率曲线：岭回归法》，《国际经济与金融评论》，27，第482-496页。[3] 伯杰，J.O。

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