使用5年样本投资校准偏好参数。3、在下一年实施投资组合（样本外）。4、滚动到下一个回测，重复步骤1-3。作为一个基准，我们使用上述类似的抽样外方式实施了Al Aradi和Jaimungal（2018）中讨论的简单GBM模型（没有选择国家数量，因为该基准模型中没有国家）。通过Rt，t+1表示t和t+1之间的资产回报向量，主要比较指标（对于后验检验i）是优于：OPi=Zπ*TZηT- 1、主动返回：tTTXt=1（π*t型- ηt）| Rt，t+1，主动风险：VuTtTTXt=1（（π*t型- ηt）| Rt，t+1- 主动回报），增益损失比：E[OP | OP>0]E[OP | OP<0]（所有回溯测试的平均值）。结果如图6和图7所示。图中清楚地显示了HMM方法下的最优策略相对于GBM方法产生了更好的性能。所有回溯测试的平均表现优于GBM模型的0.5%，回溯测试的表现优于GBM模型的70%（相比之下，GBM方法只有50%），大约是盈亏比的两倍（2.2比1.2）。此外，主动风险水平（平均2.2%，而非4.9%）以及下行风险水平（最坏情况下表现不佳的10%，而非18%）似乎有所改善。5.4. 稳健性检查在本节中，我们通过考虑其他指标来选择隐藏状态的数量，来测试最佳投资组合对模型误认的稳健性。特别是，我们重复与前一节相同的步骤，使用AIC、BIC和OEH进行样本外回测，以确定隐藏状态的数量。然后，使用新的模型选择标准（ModelSelectionCriteria），我们对所有历史回溯测试的性能指标进行平均。

图8显示了每个HMM选择指标在所有回溯测试中的估计表现密度，以及表现为正的回溯测试的比例、最坏情况下的表现不佳以及所有回溯测试的平均损益比。曲线图显示，无论模型选择标准如何，各个指标的portfolioperformance都得到了一致的改善。然而，有一些与OEHS标准相关的回溯测试（都涉及2005-2010年期间的估计）具有极高的表现。需要谨慎，因为可能会出现同样大的业绩不佳-20-10 0 10 20 30 40020406080100120图7：使用HMM方法和GBM模型的后验优于结果直方图-20 0 20 40 6005101520AIC BIC ICL OEHS GBM020406080AIC BIC ICL OEHS GBM00.511.522.533.5AIC BIC ICL OEHS GBM05101520图8：使用各种模型选择标准的回测性能统计数据；输出性能密度（左上）、输出性能概率（右上）、最坏情况下的性能不佳（左下）和平均损益比（右下）。对应于GBM/1状态HMM的红色条/线；蓝色条/线对应于使用各种模型选择度量实现的完整HMM。6、结论在本文中，我们解决了主动管理者面临的超越和跟踪问题，并在相当一般的情况下获得了最优投资组合。使用凸分析技术可以实现这种推广。我们将这些结果应用于具有驱动资产增长率的潜在因素的市场模型，目的是获得比具有常数参数的简单GBM模型更好的结果。

样本外回溯测试结果表明，在表现优于水平和概率方面有显著改善，且结果与模型规格相比具有稳健性。未来的研究方向有很多。考虑将基于秩的模型与HMM相结合的模型，以利用前一种方法的稳定性和估计质量，这将是一件有趣的事，尽管可能相当具有挑战性。另一个有趣的方向是使用交易利率而不是权重向量作为投资者的控制变量来解决问题。流动性风险可以通过惩罚交易利率来纳入。此外，将卖空限制因素纳入问题中也很有趣。附录A第3A节的证明。引理1LetcMt的证明=cMt。。。，cMnt公司. 接下来，cMit=log Xit-Ztbγisds=Ztγ为- bγ为ds+麻省理工学院。根据假设1（b），cMi∈ 它是一个有界项和一个可积项的和。在假设1（a）下，我们表明CMI∈ Lby考虑cMit公司=Zt公司γ为- bγ为ds公司+麻省理工学院+ 2MitZt公司γ为- bγ为ds公司. （A.1）Asγi，bγi∈ 五十、 他们的差异也是一个过程，我们有Zt公司γ为- bγ为ds公司#< ∞ .（A.1）的第二项和第三项对所有t（零测量集以下）有明确的期望，即Mi∈ 由柯西-施瓦兹不等式得到的土地。

综合所有这些事实，我们可以得出结论，CM∈ 五十、 为了显示鞅性质，Firstlybγt=E[γt | Ft]==> E【bγt | Ft】=E【Eγt | Ft】=E【γt | Ft】==> E（γt-bγt）英尺= 0 .其次，考虑创新过程增量的条件期望：EhcMiu-cMit公司Fti=E祖特γ为- bγ为ds公司英尺+ EMiu- 麻省理工学院英尺| {z}=0，因为Miis鞅=ZutEγ为- bγ为英尺ds=ZutEEγ为- bγ为Fs公司英尺ds=0后两个步骤源自被积函数在l中的事实，这允许我们调用Fubini\'s定理，并使用σ-代数条件下的迭代期望定律（Durrett（2010）的定理5.1.6）。A、 2命题证明4我们需要证明对于c∈ （0，1）和π，eπ∈ A函数H满足度：H（cπ+（1- c） eπ）- cH（π）- (1 - c） H（eπ）>0。根据HH（cπ+（1）的定义- c） eπ）- cH（π）- (1 - c） H（eπ）=e“ZT(-（cπt+（1- c） eπt）| At（cπt+（1- c） eπt）+c（πt）|在πt+1处- c（eπt）| Ateπt+（cπt+（1- c） eπt）| Bt- c（πt）| Bt- (1 - c） （eπt）| Bt）dt#=e“ZT(-（cπt+（1- c） eπt）| At（cπt+（1- c） eπt）+c（πt）|在πt+1处- c（eπt）| Ateπt）dt#>0最后一个不等式如下：A为负定义，f（x）=-x | Ax在x中是凹的。为了证明H是正确的，请注意（3.10）中的被积函数是有限的，作为涉及Aand的二次项Ohm 假设是有界的，π和bα要么有界，要么在L中。因此H不取该值-∞ 并且不等于∞. 此外，由于H在π中是连续的，所以它也是上半连续的。A、 3命题5的证明我们遵循Ekeland和T’emam（1999）中的符号。

函数的方向导数定义为：H（π；eπ）=lim↓0H（π+eπ）- H（π）.分子由h（π+eπ）- H（π）=EZT公司-（πt+eπt）| At（πt+eπt）+（πt）|在πt+ （eπt）| Btdt公司= EZT公司-（πt）|在πt-  （πt）| Ateπt-（eπt）| Ateπt+（πt）| Atπt+ （eπt）| Btdt公司= EZT公司- （πt）| Ateπt+（eπt）| Bt-（eπt）| Ateπtdt公司除以 以极限为 ↓ 0我们有h（π；eπ）=eZT（eπt）|[-在πt+Bt]dt时,存在于所有π，eπ∈ A、 此外，请注意，上面的表达式实际上是一个线性连续泛函H*∈ A.*由Heπ，H给出*i=H*（eπ）=e中兴通讯π| t[-在πt+Bt]dt时hπ，h*i=所有π的H（π；eπ）∈ A、 因此，H在A中的任何地方都是G^ateaux可微的，G^ateaux可微由以下公式给出：eπ，H（π）= EZT（eπt）|[-在πt+Bt]dt时A、 4定理1的证明首先，我们证明，在假设1的任一条件下，都构成了的一个闭凸集。为了证明凸性，取两个投资组合π，π∈ a和a常数λ∈ [0, 1]. 然后过程πλ=λπ+（1- λ） π是F-适应的，因为它是两个F-适应过程的和。此外，πλ∈ Lifπ，π∈ Landπλ∈ L∞,Mifπ，π∈ L∞,M、 最后，（πλt）| 1=λπt+（1- λ） πt|1=1表示所有t≥ 0因为所有t的π和π元素之和为1≥ 因此，πλ∈ 因此，ACI是凸面的。接下来，我们演示A和A∞是A在L-范数下的闭子集。为此，采用函数序列{fk}k∈N∈ Acs。t、 kfk公司- fkL公司→ 0作为k→ ∞. 作为每个fk∈ 对于每个k，我们还有f | k1=1，我们可以写f | 1- 1.L=EZT公司（英尺- fkt）|dt公司≤ EZT公司英尺- fkt公司dt公司（通过Cauchy-Schwarz不等式）=nf- fk公司L-→k→∞0 .这意味着t-a.e.P-a.s.的f | 1=1。要完成子集闭合的证明，我们需要显示f∈ Lif{fk}k∈N∈ Aor f∈ L∞如果{fk}k∈N∈ A.∞. 在这里，我们治疗A和A两个病例∞分别地

如果函数序列{fk}k∈N∈ 雅典娜f∈ 三角形不等式的应用：kfkL≤ kf公司- fkkL |{z}→ 0+kfkkL |{z}<∞, kIf函数序列{fk}k∈N∈ A.∞那么我们需要证明f∈ L∞,M、 我们将通过矛盾来实现。定义集合A={ω∈ Ohm : kft（ω）k∞> M} 并假设此集合具有正度量。接下来，我们用A和Ac | | f将期望写在L-范数中- fk | | L=EZT | | ft（ω）- fkt（ω）| | dt=Zω∈OhmZT | | ft（ω）- fkt（ω）| dt dP（ω）≥Zω∈AZT | | ft（ω）- fkt（ω）| dt dP（ω）。由于k中的LHS趋向于零，而RHS是非负的，我们有zω∈AZT | | ft（ω）- fkt（ω）| dt dP（ω）-→k→∞0 .将以下不等式用于p-范数和∞-Rnkft标准- fktk公司∞≤ kft公司- fktkp公司≤ n1/pkft- fktk公司∞,因此，对于p=2kft- fktk公司∞≤ kft公司- fktk公司∞≤ kft公司- fktk。现在，根据Minkowsi不等式kftk∞≤ kft公司- fktk公司∞+ kfktk公司∞我们有那个KFTK∞- kfktk公司∞≤ kft公司- fktk。对[0，T]和A积分得到zω∈AZT公司kft（ω）k∞- kfkt（ω）k∞dt dP（ω）≤Zω∈AZTkft（ω）- fkt（ω）kdt dP（ω）和as fkt∈ L∞,Mwe有kfkt（ω）k∞≤ M代表所有t，我们可以写出ω∈AZT（kft（ω）k∞- M）dt dP（ω）≤Zω∈AZTkft（ω）- fkt（ω）kdt dP（ω）。然而，由于RHS趋于零，且被积函数在A上严格为正，我们得出了一个矛盾。因此，P（A）=0，这意味着f∈ L∞,M、 显示候选最优投资组合π*由（3.12）给出的事实上是最优的，它可以证明它是aca的一个元素，并且H的G^ateaux导数在π处消失*, 即

它满足了π- π*, H（π*)对于所有π，i=0∈ Ac.表示π*∈ Ac，第一π*t=A-1吨1.- 1 | A-1tBt | A-1t1+Bt=1.- 1 | A-1tBt | A-1吨A.-1t1+A-1tBt=1.- 1 | A-1tBt | A-1吨A.-1t1+A-1吨ζbαt+ζtOhmtηt=1.- 1 | A-1tBt | A-1吨A.-1t1+ζtA-1吨Ohmtηt+ζA-1tbαt=1.- 1 | A-1tBt | A-1吨A.-1t1+ζtA-1吨Ohmtηt+ζdiag（∑t）+ζA-1tbγt称为At=ζ∑t+ζtOhmt+ζtQt。其次，请注意-1和∑以及涉及-1和Ohm有界（见Al Aradi和Jaimungal（2018）中命题2的证明）。因此，上述总和的前三项是有界的。剩余期限，ζA-1tbγt是预测增长率bγi的线性组合。根据命题3的证明，这些（以及π*) 当增长率γ有界且属于时γ时，则为有界∈ 五十、 最后，由于很容易验证（π*t） | 1=1，因此π*∈ 为了显示最优性条件，我们注意到：hπ- π*, H（π*)i=EZT（πt- π*t）|[-在π处*t+Bt]dt= EZT（πt- π*t）|-AtA-1吨1.- 1 | A-1tBt | A-1t1+Bt+ 英国电信dt公司= EZT（πt- π*t）|-1.- 1 | A-1tBt | A-1t1- 英国电信+英国电信dt公司= -EZT1- 1 | A-1tBt | A-1t（πt- π*t） π的|{z}=0∈ Acdt公司作为hπ- π*, H（π*)对于所有π，i=0∈ Ac，它遵循π*在supπ中获得sup∈AcH（π），由Ekeland和T'emam（1999）第2章中的命题2.1得出。附录B第4B节的证明。引理2的证明自λ满足Novikov条件，它遵循以下表达式-ZTλ| u-dWu公司-ZTλ| u-λu-杜邦,是一个有效的Radon-Nikodym导数，从P到我们表示EP的某个概率测度。

从EP到P的测量变化由Radon Nikodym导数Pdep=exp给出ZTλ| u-dWu公司-ZTλ| u-λu-杜邦.现在确定流程≥0为给定随机指数的条件期望，即Υt=edPdeP公司英尺= 经验值Ztλ| u-dfWu公司-Ztλ| u-λu-杜邦.当改变度量时，通过应用条件期望的属性，可以得到期望的结果：pjt=E{Θt=j}英尺=EeP公司{Θt=j}Υt英尺EeP[Υt | Ft]=EeP{Θt=j}Υt英尺Pmi=1EeP{Θt=i}Υt英尺=PjtPmi=1，其中Pj=（Pjt）t≥0定义为Pjt=EeP{Θt=j}Υt英尺.B、 定理2的证明过程＝{t}t≥0满足SDEdΥt=Υt-λ| t-dfWt。此外，Girsanov定理表明，由fwt=Ztλsds+Wt定义的过程fw是一个标准的EP-Wiener过程。设λt=ξ|∑-1γ并注意到它满足Novikov条件，因为它是有界的。将λ代入（2.3）中的资产价格动态意味着d log Xt=γt-dt+ξ-λt-dt+dfWt= （γt-- ξλt-) dt+ξdfWt=ξdfWt。注意λ是有界的，fwtis F-adapted asξ是常数。表示指标1jt：=1{t=j}。满足SDEd1jt=mXi=1it-Gjidt+Dmjt，其中mj是一个平方可积F-适应的eP鞅（见Rogers和Williams（1994））。应用半鞅的乘积规则，过程jtΥtt型≥0满足SDEdjtΥt= 1jt-dΥt+Υt-d1jt+d[1j，Υ]t{z}=0=mXi=1it-Υt-Gjidt+Υt-dMjt+1jt-Υt-λ| t-DFWT第1行中的协变量项消失，因为Υ是连续的，1JT是纯跳跃过程。

根据上述Pjt的定义，我们得到：Pjt=EePhjtΥtFti=EePjΥ+ZtmXi=1iu-Υu-Gjidu+Ztju-Υu-λ| u-dfWu+ZtΥu-dMju英尺= EeP公司jΥ+ZtmXi=1iu-Υu-Gjidu+Ztju-Υu-γ| u-Σ-1ξdfWu英尺其中，最后一项消失，因为Υ是平方可积的，M是aeP鞅。使用1jtγt=1jtγ（j）t，我们可以写入PjtasPjt=EePjΥ+ZtmXi=1iu-Υu-Gjidu+Ztju-Υu-λ（j）u|dfWu公司英尺式中λ（j）t=ξ|∑-1γ（j）tis F-适应。接下来，由于被积函数是平方可积的，所以期望和积分可以互换，我们得到了pjt=EePjΥ英尺+ EeP公司ZtmXi=1iu-Υu-吉都英尺+ EeP公司Ztju公司-Υu-λ（j）|dfWu公司英尺= EeP公司jΥF+ZtmXi=1EeP国际单位-Υu-傅Gjidu+ZtEePju公司-Υu-傅λ（j）|dfWu=Pj+ZtmXi=1PiuGjidu+ZtPjuλ（j）|dfWu。或者，在不同的形式中，我们有dpjt=mXi=1Pit-Gjidt+Pjt-λ（j）|dfWt，初始条件Pj=Pj。注意到λ（j）|dfWt公司=γ（j）|Σ-1ξdfWt=γ（j）|Σ-1d log XT完成证明。附录C离散化滤波器的推导（5.1）我们首先用向量表示法重写滤波器（4.4）的SDE系统，如下所示：dptm×1=Gm×mPtm×1dt+Btm×n∑-1n×nd对数Xtn×1，（C.1），其中BTM×n=Pt公司γ(1)|1×n。。。Pmt公司γ（m）|=Ptγ（1）···Ptγ（1）n。。。。。。。。。Pmtγ（m）··Pmtγ（m）n现在，系数P如下：pt=eG（t-u）普伊特。。。PmuYmt公司,当Yju=1时，对于j=1，m、 u型≤ t表示离散化间隔的开始，且{（Yjt）t∈[u，u+u] }j=1，。。。，母马待定。

利用差异并使用（C.1）我们发现普迪。。。PmudYmt公司= e-G（t-u） Bt∑-1d日志Xt。在表达式中替换Bt，并按组件划分Pjuwe havedYt。。。dYmt公司= e-G（t-u）PtPuγ(1)|Σ-1d日志文本。。。PmtPmuγ（m）|Σ-1d日志Xt使用e进行左极限近似-G（t-u）≈ 我们有Yjt=PjtPju，Yjt的SDE解耦到给定的DYJT=Yjtγ（j）|Σ-1d log XT对于j=1。。。，最小从u到u+u我们得到（5.1）中的离散化方案。附录D HMM市场模型的EM算法（4.1）从HMM市场模型（4.1）开始，我们有log Xt=γ（Θt）dt+ξdWt==> 对数X（t+t）- 日志Xt~ NZt公司+ttγ（Θs）ds，t∑假设马尔可夫切换只发生在离散时间点T={t、 2t、 。。。，T=Nt} ，上述正态分布平均值的积分可以简化为：对数X（t+t）- 日志Xt~ Ntγ（Θt），t∑对于t=0，t、 。。。，T- t。此处设置的参数为：oj的平均向量γ（j）的集合∈ M、 o共享协方差矩阵∑；o概率转移矩阵（Zij）i，j∈M、 o初态{pj}j的概率分布∈M、 现在，我们总结了应用于该参数估计问题的EM算法-更多详细信息可在Bishop（2006）中找到。E-step涉及确定参数集上潜在变量的后验分布。更具体地说，这要求我们计算马尔科夫链在时间步n处于状态k的条件概率，表示为a（nk），以及在时间n从状态j过渡的后验概率- 1到时间n处的状态k，表示为b（Θn-1，j，Θnk）。这些数量是通过图9中描述的前向-后向算法估计的。然后应用M步更新参数估计。

将一阶条件应用于每个γ（j）和∑，我们得到了更新规则γ（j）=PNn=1a（Θnj）xnPNn=1a（Θnj），对于j∈ M∑=NNXn=1mXk=1a（Θnk）xn公司- γ（k）xn公司- γ（k）|,Zjk=PNn=1b（Θn-1，j，Θnk）PNn=1Pmk=1b（Θn-1，j，Θnk）表示j，k∈ 对于k，Mpk=a（Θ1k）Pmk=1a（Θ1k）∈ 这是通常高斯情形到共享协方差情形的简单扩展。1、计算每个状态k下的高斯发射密度φkn=φ（xn |γ（k），∑）∈ M和每个时间步n∈ T、 2。计算alpha函数（正向算法）：（a）初始化：αk=pkφkfork∈ M（b）设置n=2。（c） 在每个时间步更新：eαkn=φknPmj=1Z | kjαjn-1（d）计算归一化常数：Cn=Pmk=1eαkn（e）归一化α值：αkn=eαknCn（f）Set n→ n+1，如果n≤ N转至步骤（c）。3、计算β函数（反向算法）：（a）初始化：k的βkN=1∈ M（b）集合n=n- 1.（c）在每个时间步更新：βkn=Cn+1Pmj=1Zkjβjn+1φkn+1（d）Set n→ n+1，如果n≥ 0转至步骤（c）。4、计算所有n的a和b∈ T和j，k∈ M： a（Θnk）=αknβknPmj=1αjnβjnb（Θn-1，j，Θnk）=αjn-1ZjkφknβknPmi，l=1αin-1Zilφlnβln图9：EM算法E步的前向-后向算法。ReferencesAl Aradi，A.和S.Jaimungal（2018年）。跑赢大市和跟踪：主动和被动投资组合管理的动态资产配置。应用数学金融，即将出版。Ang，A.、D.Papanikolaou和M.M.Westerfield（2014年）。非流动资产的投资组合选择。《管理科学》60（11），2737–2761。Bank，P.、H.M.Soner和M.Voss（2017年）。具有临时价格影响的对冲。《数学与金融经济学》11（2），215–239。B–auerle，N.和U.Rieder（2007年）。具有跳跃和不可观测强度过程的投资组合优化。数学金融17（2），205–224。Baum，L.E.、T.Petrie、G.Soules和N.Weiss（1970年）。在马尔可夫链概率函数的统计分析中出现的一种最大化技术。

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