如第7.2节所述，它意味着线性gk（P）=βk（P-P）。因此Ii（A）=（P-P*)Bβi（A），其中Bi（A）β=Pnk=1βkeiAk-11是参与者i的Bonacich中心性度量。一般度量Ii（A）可以被认为是Bonacich中心性的推广，其中权重由需求函数和平衡内生确定，而不是具有指数衰减βk。线性需求d（P）=A-bP是功率需求β=1的特例。因此，影响度量Ii（A）简化为β=1的博纳希奇中心度度量，即每个影响水平的权重相等。然而，影响度量并不总是必须具有真实的中心性。让我再举两个例子来说明这一点。首先，假设D（P）=de√2（a-bP）/b。这是一个特定构造的需求函数，意味着g（P）=g（P）=q2（a- 因此g（P）=b，这意味着对于所有k>2的情况，gk（P）=0。利用这些权重，流动性度量简化为Ii（A）=q2（A- 英国石油公司*) + beiA1，即，仅取决于参与者i直接影响的参与者数量。也就是说，在这种情况下，影响力度量是度中心度的线性函数。例如，考虑logit需求D（P）=de-αP1+e-αP。正如我将在第7.3节中所示，它可能导致复杂的表达式，但当n足够大时，则g（P*) ≈α和gk（P*) ≈ k>1时为0。因此Ii（A）≈α. 这意味着，对于有足够多参与者的物流需求，网络结构不会影响单个企业的定价。相关的中心性度量大约是一个常数。表1总结了这些观察结果。请注意，Bonacich中心性的标准定义要求β<1，因为否则总和不会收敛，因此度量也不会很好地定义。由于此处的影响网络是循环的，因此允许任何β>0。

值β≥ 当D（P）=Dβ时出现1√一- bP，这是需求函数的一个非常自然的分类。流量Ii中的需求D（P）（A）等效网络中心度测量功率Dβ√一- 英国石油公司ab公司- P*Bβi（A）Bβi（A）=Bonacich中心度（带β）线性A- 英国石油公司ab公司- P*Bi（A）Bi（A）=β=1de的Bonacich中心度√2（a-bP）/bq2（a- 英国石油公司*) + bDi（A）Di（A）=eiA1=中央集权度de-αP1+e-αP→α近似恒定1：需求函数示例，其中流动性Ii（a）的度量简化为标准网络中心性度量之一7计算平衡。本小节I展示了如何使用平衡特征计算平衡，并研究一些特征更简单的最常见需求函数。7.1线性需求假设需求函数为线性D（P）=a- 英国石油公司。那么g（P）=-D（P）D（P）=P-P=g（P），P=Ab，因此对于所有k>1，gk+1（P）=-gk（P）g（P）=P- P公式（9）简单顶部*- C=nXk=1Ak-11gk（P*) = （P- P*)B（A），（14），其中B（A）=Pnk=1Ak-11是所有级别的影响数之和，即玩家数（1A1=n）加上边数加上两个边数，依此类推。方程（14）是一个线性方程，其解为平衡ricep*=C+P B（A）1+B（A）。（15） 正如我们预期的那样，成本的增加和需求的增加（尤其是P=abin）将提高均衡价格，但传递是不完美的。通过上文讨论的边缘化效应，增加企业数量或企业之间联系的数量会提高均衡价格。同样，我们可以计算单个企业的加价，p*i=ci+nXk=1eiAk-11gk（P*) = ci+Bi（A）1+B（A）（P- C） ，（16）式中，Bi（A）=Pnk=1eiAk-11是公司i影响的总和，即：。

eiA1=1（“影响”自身）加上eiA1=影响的玩家数量加上从i开始的路径数量。按构造B（A）=Pni=1Bi（A）。考虑图4中描述的网络示例，对应的k-方程式（8）计算了11项。假设D（P）=1- P，并且没有成本，也没有价格接受者（C=0）。然后B（A）=6+6+1=13，因此*=B（A）1+B（A）=。同样，个别价格p*i=Bi（A）1+B（A）。例如，p*L=，p*T=p*F=p*C=，p*D=，和p*R=。特别是，观察p*L=p*R、 但由于不同的原因，公司直接影响三家公司，而R直接影响两家公司，间接影响一家公司。在线性需求的情况下，这两类影响的权重相等。7.2电力需求更一般的电力需求D（P）=Dβ的计算类似√一- 英国石油公司。Theng（P）=β（P- P）P=aband因此gk（P）=βk（P- P），因此方程（9）给出了最终商品的平衡价格P的相同表达式*=C+P Bβ（A）1+Bβ（A）（17），但现在Bβ（A）=Pnk=1βkAk-11，即不同级别的影响由1、β、β……加权。那么β可以解释为更多间接影响的衰减或贴现因子。同样，对于个别企业，p*i=ci+Bβi（A）1+Bβ（A）（P- C） ，（18）式中，Bβi（A）=Pnk=1βkeiAk-11，即再次通过因子βk对影响进行加权。再次考虑图4中的示例，C=0，需求函数D（P）=√β(1 - P）。特别是，如果D（P）=（1- P），然后β=因此B（A）=6+6+1=，所以P*=. 如上所述，由于直接影响的权重高于间接影响，因此L公司的价格（收益）高于R公司，p*L=>p*R=。这也是图8a中最坏情况和最佳情况的差异相对较小的原因。

另一方面，ifD（P）=√1.- P，然后β=2，这意味着P*=和p*L=<p*D=，因为现在间接影响的权重更高。这解释了图8b中的较大差异。7.3物流需求D（P）=de-αP1+e-αp，α>0。那么g（P）=αh1+e-αPi。让我们首先考虑前面小节中讨论的示例，以说明如何将特征化结果用于更复杂的需求函数。假设C=0，网络如图4所示。由于网络的深度为d（A）=3，我们需要计算函数sg（P）=g（P）=αh1+e-αPi，g（P）=-g（P）g（P）=αh1+e-α派-αP，g（P）=-g（P）g（P）=αh1+e-α派-αPh1+2e-αPi。请注意，β>0（否则需求不会减少），但它可以大于或小于1。事实上，当β=1时，需求函数是线性的，因此Bβ（A）=B（A）。nP公司*n- 图9：逻辑需求D（P）=e的均衡价格界限-P1+e-Pand C=0，取决于公司数量。平衡条件（9）的形式为P*= 6g（P*) + 6g（P*) + g（P*), 这是一个很好的数值求解方法。例如，当α=1时，我们得到*= 6+13e-P*+ 9e-2P级*+ 2e类-3P*,这意味着P*≈ 6.0313和个别价格p*L≈ 1.0096，p*T=p*F=p*C≈ 1.0024，p*D≈1.0048和p*R≈ 1.0096.数值结果表明，在逻辑需求的情况下，均衡行为具有更特殊的性质。也就是说，所有价格仅略高于1。检查上述gk（P）函数可以揭示原因。即术语e-αP*收敛为零，为P*增加。因此，对于足够大的P*, 重量g（P*) 收敛到常数α，而权重gk（P*) 对于k>1，收敛到零。因此，如果均衡价格*足够大，几乎完全由玩家数量决定。这个观测被形式化为下面的引理1。引理1（与Logit需求的近似平衡）。

逻辑需求D（P）=de-α1+e-αP，最终产品P的价格*和个人价格p*i满足以下条件1。P*> C+nα和p*i> 所有i的ci+α，2。P*= C+nα+O海因和p*i=ci+α+O海因对于所有i，引理1意味着当n足够大时，P*≈ C+nα和每个p*我≈ ci+α。这是一个极限结果，但正如我们从上面的示例中看到的，n=6的近似值似乎已经相当精确了。图9说明了收敛是indeedfast的。这表明，虽然对于少数玩家，下限（同时决策）和上限（连续决策）之间存在差异，但差异迅速缩小，在5-10名玩家中可以忽略不计。特别是，该图说明了NHP*- C-nαi≈ 0适用于任何有10名或更多玩家的网络。式中，f（n）=O（g（n））表示lim supn→∞f（x）g（x）< ∞.8讨论本文刻画了网络上一类一般定价博弈的均衡行为。在正则性假设下，存在一个唯一的平衡点，即使在任意需求函数和复杂网络的情况下，该平衡点也很难计算。对于最常见的需求函数，如线性、幂和logit需求，我提供了更简单的表征结果。关键的扭曲是多重边缘化，这导致效率和联合利润最大化的加价过高。边缘化问题随着企业数量的增加而增加，但战略互动加剧了这一问题。公司设置过高的加价，不仅因为他们没有将对consumersurplus和其他公司利润的负面影响内部化，还因为他们从阻止其他公司设置高加价中获益。该结果定义了一个自然的流动性衡量指标，该指标根据企业的加价和利润对企业进行排名。如果企业影响更多或更多的企业，则企业的流动性更高。

在某些特殊情况下，流动性度量简化为中心性的标准度量。我举了一些例子，其中它采取了博纳希奇中心性、度中心性的形式，或者独立于网络结构。虽然结果在网络结构和需求函数方面相当普遍，但在其他维度上存在着显著的简化假设。首先，估算恒定边际成本，这简化了特征描述，但对分析而言并不重要。其次，我以一种极端的方式对竞争进行了建模——企业是非集市者还是价格接受者。从某种意义上说，这涵盖了一些中间案例，在这些案例中，企业可能在一定范围内是垄断企业，但当价格过高时，它们就会成为价格接受者。但研究其他形式的不完全竞争、重复互动、讨价还价以及比公布价格更复杂的合同结构，无疑是一件有趣的事情。本文从供应单一最终产品的供应链网络的价格设置角度对分析进行了描述。还有其他应用程序符合相同的数学模型。一个明显的例子是，多个垄断者销售完美互补产品。更一般地说，该模型适用于多个参与者选择行动的情况，因此他们的报酬与他们自己的行动呈线性关系，边际收益是总行动的递减函数，这些行动是（高阶）战略替代品。例如，私人提供公共物品和竞赛满足这一一般描述。最后，结果具有重大的政策影响，我目前尚未讨论。在下文中，我将描述两个简单的示例，以突出两个重要的政策含义。首先，在分析并购时，监管机构必须考虑影响网络的影响。

其次，在贸易政策中，任何关税的小幅增加通常都会伤害所有参与者，但更多的流动性企业受到的伤害最大。此外，在考虑贸易政策的非边际变化时，有必要考虑对整个网络的影响。8.1示例：合并为了强调合并政策如何受到影响网络变化的影响，请考虑以下五家垄断企业的示例。公司1生产的原材料是两个中间产品生产商（公司2和3）的投入。然后，最终产品生产商第4家使用第1、2和3家公司的投入生产最终产品，并通过零售商第5家公司将其出售给最终消费者。材料流如图10a所示。然而，重要的是要明确企业如何相互影响。假设表2和表4受到表1的影响。公司3独立于公司1和影响公司4进行选择。最后，公司5独立于其他公司进行选择。图10b对此进行了说明。为了使示例更具体，假设没有成本，需求函数为D（P）=（1- P），这允许我们使用第7.2节中的明确公式。假设现在企业1和2想要合并，从而形成一个新的供应链，如图10e所示。竞争主管部门是否应批准合并？决策者可能会考虑以下几个重要方面。首先，它如何影响竞争？通过假设，我们正在分析具有固定需求函数和垄断输入提供者的单一产品的生产，因此竞争仍然受到影响。第二，它是否会导致成本降低或协同效应？同样，我们假设没有成本，因此这仍然没有影响。第三，减少了一个企业，这减少了边缘化问题。

结合这些论点，传统观点认为，合并在社会上是可取的。4 5（a）合并前实质性流动4 5（b）合并前影响1+24 5（c）场景a实质性流动1+24 5（d）场景a影响1+24 5（e）场景b实质性流动1+24 5（f）场景b影响图10：示例：企业1和2的合并场景。使用第7.2节的结果计算最终商品的合并前价格*≈ 0.5897. 表2给出了相应的利润、消费者剩余（CS）和社会福利（SW=CS+Piπi）。让我们将其与最简单的合并后场景（我们称之为场景A，见图10d）进行比较，其中新合并的1+2企业仅对4企业产生影响。那么最终产品的新价格是PA≈ 0.5294.由于边缘化的减少，这显然对社会福利和总福利都有好处。事实上，表2显示，合并后1情景产生了较高的消费者盈余、总利润、社会福利和所有非合并企业。但合并公司1和2的合并利润从0.0073降至0.0072。原因是，尽管总利润有所增加，但两家公司的影响之和随着合并而增加。流动性的这种下降足以使他们不希望进行这种合并。

在他们请求合并许可的情况下，这可能不是考虑的正确方案。方案P*ππ*iπ*+ π*π*π*π*CS SW（1）需求函数D（P）=（1- P）合并前0.58970.0167 0.0073 0.0036 0.0029 0.0029 0.0023 0.0190方案A 0.5294 0.0260 0.0072 0.0072 0.0058 0.0046 0.0306方案B 0.5461 0.0232 0.0075 0.0060 0.0048 0.0048 0.0039 0.0270（2）需求函数D（P）=（1- P）合并前0.8447 0.0705 0.0341 0.0170 0.0097 0.0097 0.0056 0.0761方案B 0.8363 0.0749 0.0337 0.0192 0.0110 0 0.0110 0 0.0063 0.0812（3）需求函数D（P）=（1- P）合并前0.9231 0.1348 0.0699 0.0350 0.0150 0.0150 0.0064 0.1412塞纳里奥B 0.9288 0.1281 0.0713 0.0306 0.0131 0.0131 0.0056 0.1337（4）需求函数D（P）=（1- P）合并前0.5283 0.0123 0.0053 0.0026 0.0022 0.0022 0.0018 0.0142方案A 0.4681 0.0199 0.0054 0.0054 0.0045 0.0038 0.0237表2：合并方案示例：面板1：方案B是与合并前情况相比的帕累托改进。方案A在社会上是可取的，但公司1和2会选择不合并。小组2：情景B在社会上仍然是可取的，但不会自动发生。专题3：情景B在社会上不受欢迎，但会出现。小组4：即使方案B也是帕累托改进。或者，假设在合并后，新的1+2公司变得更具影响力，因此它也可以影响3公司的决策，如图10f所示。在这种情况下，最终产品的均衡价格为PB≈ 0.5461，仍然低于合并前的价格，因此本次合并在社会上是可取的。

此外，合并企业的联合利润现在为0.0075，这大于合并前利润的总和。如表2所示，事实上，与合并前的消费者盈余、所有企业的利润（包括非合并）和社会福利相比，这种情况是一种严格的帕累托改进。原因是，额外的影响（一个直接影响和一个间接影响）允许新的1+2公司获得更大的盈余份额，这使得合并对他们来说是可取的。请注意，这些结论取决于网络结构的细节以及需求函数。在方案B中，与合并前的情况相比，直接影响少了一个，数量相同，间接影响多了一个。它在社会上是否可取取决于不同影响水平上的权重。特殊需求函数D（P）=（1- P）是重量以β=的速率下降的电力需求。也就是说，间接影响的边际化程度低于直接影响，因此，合并在社会上仍然是可取的。同样，表1和表2的接合流动性取决于权重。表2中的面板2说明了当需求函数为D（P）=（1）时- P），即β=，这使得间接权重更重要，那么结论就会改变。合并在社会上仍然是可取的，但现在新的1+2公司没有足够的影响力使合并成为可取的。表2中的面板3显示，如果D（P）=（1-P），因此β=>1，因此间接影响的权重大于直接影响，因此这种合并不再是社会所期望的。然而，在这种情况下，新公司的影响力如此之大，以至于他们更愿意合并。

最后，面板4显示如果D（P）=（1-P），则间接影响的权重如此之低，以至于与合并前的情况相比，即使没有任何额外影响的合并（情景）也是帕累托改进。这个例子表明，即使在简单的情况下，影响网络的变化也可能会产生重大的政策影响。请注意，该示例非常简单，因此可以直接计算平衡。定理1提供了需求函数和网络可能更复杂时所有可能场景的特征。8.2示例：Tari fff前面的讨论已经说明了在考虑政策决策时考虑影响网络变化的重要性。同样的信息也适用于贸易政策。关税或配额的变化，以及任何贸易限制，都会影响供应链和供应链内企业之间的互动。因此，它们自然会影响到影响网络。本文中的结果提供了一种工具来比较不同情景下的结果。在最简单的情况下，当tari ffs的变化是边际的，因此影响网络保持不变时，定理1提供了具体的预测。特别是，让我们假设每项投入的边际成本为ci=ci+ti，其中ci是实物成本，ti是对货物i的影响。那么，塔里效应的变化可以被视为c=（c，c，…，cn）的变化。当变化为边际时，只有总边际成本C=Pni=0影响均衡价格、利润、消费者剩余和总福利。此外，均衡价格随着C的增加而增加，所有收益都在减少。这很容易从方程（9）中看出。微分方程*-nXk=1Ak-11gk（P*) = C=>数据处理*dC=1-Pnk=1Ak-11gk（P*)> 0。（19）各gk（P*) ≤ 因此，只有焦油量的总变化才会影响最终产品的平衡价格。

显然，消费者剩余只取决于最终产品的价格。虽然个别价格p*i受个体效应的影响，个体平衡系数πi（p*) = Ii（A）D（P*) 只有通过塔里效应对最终产品价格的影响，才受到塔里效应的影响。关税总额的任何增加都会导致最终产品价格的上涨，从而导致与流动性指标Ii（A）成比例的利润下降。因此，流动性越强的企业受塔里费的影响越大，无论实施哪种塔里费或补贴。最后，定义为消费者剩余之和，所有利润和关税收入都会受到W=Z的轻微影响∞P*D（P）dP{z}=消费者剩余+D（P*)（P*-^C- T）{z}=ππ*i+D（P*)T、 （20）由于塔里费收入减少了利润，塔里费的直接影响被抵消。唯一的影响是最终产品价格的变化，其增加了收入。相对于最终产品的均衡价格，总福利有所不同*= -D（P*)+ D（P*)（P*-^C）+D（P*) = D（P*)（P*-^C）<0<==> P*>^C.（21）这是一个标准教科书结论，意味着对一元垄断的社会最优税收实际上是一种使价格与边际成本相等的补贴。请注意，这个简单的模型应用程序缺少一些重要方面。使用关税和其他贸易政策的主要目的是影响贸易流量。这改变了供应链网络和影响网络。如上所述，这可能对消费者剩余和利润产生巨大影响，因此应在任何此类政策评估中予以考虑。参考文献Abreu，D.和M.Manea（2012）：“网络中的讨价还价和效率”，《经济理论杂志》，147，43-70。Acemoglu，D.和M.K.Jensen（2013）：“总体比较静态”，游戏与经济行为，81，27–49。Ahn，J.，A.K。

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对于这些玩家，我希望动作的定义与上面相同，但其参数不包括pi。使用这种表示法，观察计划并将其价格设定为pi的公司i预计最终产品的价格为pi（pi | pi）=c+pi+Xj∈Oipj+Xj∈Iipij（pi，pi）+Xj∈Uipij（pi）。（22）证明的主要思想如下。而不是选择价格pito maximizepro fit（pi- ci）D（Pi（Pi | Pi）），我们可以考虑玩家i选择最终好的价格。为此，假设在相关范围内，Pi（Pi | Pi）在Pi中是平滑且严格递增的，因此它具有可微分且严格递增的逆函数fi（P | Pi），使得Pi（fi（P | Pi）| Pi）=P。然后最大化问题是maxp[fi（P | pi）- ci]D（P），导致一阶条件fi（P | pi）D（P）+[fi（P | pi）-ci]D（P）=0或等效yfi（P | pi）- ci=g（P）fi（P | pi）。（23）注意，在函数fi（P | pi）和函数P中表示平衡行为之间存在一对一的映射*i（pi）。证据观察平衡必须是内部的，即每个企业的每个ci<pi<P。如果企业一并非如此，则其均衡收益为非正。这可能有两个原因之一。首先，最终产品的均衡价格很高，以至于d（P）=0。在这种情况下，所有均衡利润都是非正的，必须至少有一家公司，通过降低价格（并预测受影响公司的反应），可以使最终的好价格足够低，从而确保严格的正利润。这将是一个可预测的偏差。其次，如果P<P和pi≤ ci，则我可以稍微提高其价格并增加其利润。我将首先推导出内部均衡的必要条件，并将它们组合成一个必要条件，从而得出方程式（9）。

然后，我证明它有一个唯一的解决方案，并通过验证每个最终选择的价格能够最大化其利润，最终验证它确实是一个均衡。让我们从影响任何其他参与者的任何参与者I开始，即eiA1=0或等效Ii=. 然后我们可以重写方程（22）asP=c+fi（P | pi）+Xj∈Oipj+Xj∈Uipij（pi）。（24）将该表达式与P进行区分表明fi（P | pi）=1（即，playeri可以通过将自身价格提高ε来将最终商品的价格提高ε）。因此，方程式（23）表示fi（P | pi）=ci+g（P）。请注意，这个表达式独立于pi，所以我可以将其作为fi的参数，并简单地写为fi（P）=ci+g（P）。现在让我们以任何球员为例，假设所有球员的最佳行为∈ IIs描述了不依赖于剩余参数pj的相应函数fj（P）。然后我们可以重写方程（22）asP=c+fi（P | pi）+Xj∈Oipj+Xj∈Iifj（P）+Xj∈Uipij（pi）。（25）对该表达式进行微分，并将其插入方程式（23）中，得出i（P | pi）=1-Xj公司∈Iifj（P）=> fi（P | pi）=g（P）1.-Xj公司∈Iifj（P）. （26）这个表达式再次独立于参数pi，因此我们可以去掉它。此外，这些参数给出了fi（P）函数的精确解析表达式。Wealready看到fi（P）=g（P）=Pnk=1eiAk-eiAk时为11gk（P）-11=0表示所有k>1（即不影响任何人的球员）。假设每个玩家j∈ Iihasfj（P）- cj=nXk=1ejAk-11gk（P）。（27）那么对于球员i，我们必须有FI（P）- ci=g（P）1.-Xj公司∈Iifj（P）= g（P）{z}=eiA1g（P）+nXk=1Xj∈IiejAk公司-1 |{z}=eiAk[-gk（P）g（P）]|{z}gk+1（P），（28），在变量从k变为k后-1并结合这些项，得到与方程式（27）相同的表达式。因此，在路径上，当最终产品的均衡价格为P*, 个别价格确实由定理中的表达式给出。

最终产品的价格必须是所有输入价格的总和，因此P*必须满足YP*= c+Xi∈Nfi（P*) = c+Xi∈Ncj{z}=C+nXk=1Xi∈奈亚克-1 |{z}=1Ak-1gk（P*),这就得到了方程（9）。下面我证明了两个技术引理（引理2和3）提供了单调性性质，这意味着平衡点的存在性和唯一性。我们可以将方程（9）改写为f（P）=P-C-Pnk=1Ak-11gk（P）=0。在P=0时，我们有f（0）=-C-Pnk=1Ak-11gk（0）<0且跛行→Pf（P）>0。通过引理3，函数f（P）严格递增，因此（P）=0有一个唯一的解，即最终产品P的均衡价格*∈（0，P）。接下来，在上面的论证中，我们假设fi（P）函数的反函数是严格递增的。该构造意味着fi（P）必须满足一个必要条件，引理3表明它意味着fi（P）确实是严格递增的，因此反函数Pi（Pi | Pi）确实是一个定义良好的严格递增函数。最后，为了验证我们找到的解决方案确实是一个平衡，我们需要验证我们得出的解决方案确实是每个企业的全局最大化。注意，通过引理3，最优性条件方程（23）对每个企业都有唯一的解决方案。因此，我们为每家公司确定了唯一的局部最优。由于我们已经证实，角落解决方案将为每家公司提供非正利润，而内部解决方案则提供严格的正利润，因此这必须是一个全球最大化者。引理2（gk（P）的单调性）。gk（P）是（d（A）+1- k） -时间单调。证据g（P）=g（P）=-根据假设3，D（P）D（P）是D（A）-次单调的。因此g（P）是（d（A）- 1） -时间和g（P）=-g（P）g（P）is（d（A）- 1） -时间单调。如果gk（P）是（d（A）+1，则rest以同样的方式由归纳法得出- k） -次单调，thengk+1（P）=-gk（P）g（P）is（d（A）- k） -时间单调。引理3（f（P），fi（P）的单调性）。

以下单调性属性保持1。f（P）=P- C-Pnk=1Ak-11gk（P）严格递增，2。fi（P）=ci-Pnk=1eiAk-11gk（P）严格地为每i增加∈ {1，…，n}，请注意，任何玩家都不能有n级影响，即eiAn1=0.3。fi（P）g（P）=Pnk=1eiAk-11gk（P）对于每个i（弱）递减∈ {1，…，n}。证据每个1Ak-11和eiAk-11是一个非负整数，每个gk（P）在-引理2，这意味着fi（P）g（P）的弱单调性。此外，当k=1时，则g（P）=g（P），其严格按照假设3和iak递减-11=1>0，这意味着fi（P）严格增加。作为P- C严格增加，那么f（P）也严格增加。A、 3引理证明。利用g（P）=αh1+e的事实-αPi>α且gk（P）>0对于所有k>0，等式（9）给出P*= C+Pnk=1Ak-11gk（P*) > C+ng（P*) > C+nα。类似于个别价格，p*i=ci+Pnk=1eiAk-11gk（P*) > ci+g（P*) > ci+α。使用P的下限*, 我们可以绑定e-αP*< e-αC-αnα=e-αCe-n、 因此-αP*= O（e-n） 。我用这个结果来证明引理4，它表明g（P*) =α+O（e-n） 和gk（P*) = O（e-n） 对于所有k>1。因此，方程式（9）给出了sp*= C+nXk=1Ak-11gk（P*) = C+nα+O（e-n） B（A），（29），其中B（A）=Pnk=1Ak-现在，请注意，每次将边添加到A时，B（A）都会增加，因此其上界是网络连接最紧密的时候（完全顺序决策），下界是连接最少的网络（同时决策），因此n≤ B（A）≤ 2n个- 因此B（A）=O（2n）。将此观察结果插入到前面的表达式中，得到P*= C+nα+O海因. 最后，对于个人价格的均衡表达式，isp*i=ci+nXk=1eiAk-11gk（P*) = ci+α+O（e-n） Bi（A），（30），其中Bi（A）=Pnk=1eiAk-11，其参数与上述参数相同，Bk（A）=O（2n），因此pi=ci+α+O海因.引理4。

逻辑需求D（P）=de-α1+e-αP，函数gk（P）及其导数在P=P时具有以下极限性质*1、g（P*) =α+O（e-n） =O（1），gk（P*) = O（e-n） 对于所有k∈ {2，…，n}，2。dlgk（P*)dPl=O（e-n） 对于所有k，l∈ {1，…，n}。证据首先考虑g（P）。我们得到g（P*) = g（P*) =α+αe-αP*=α+O（e-n） =O（1）。导数SDLG（P*)dPl=(-α） k级-1e级-αP*= O（e-n） 。其余的证据是归纳法。假设索赔适用于g，gk。现在，gk+1（P*) = -gk（P*)g（P*) = O（e-n） asg（P*) = O（1）和gk（P*) = O（e-n） 通过归纳假设。每个衍生LGK+1（P*)dPl=-lXj=0lj！g（l-j+1）k（P*)g（j）（P*) （31）每个g（l-j+1）k（P*) = O（e-n） 通过归纳假设（如l-j+1≥ 1). 当j=0时，则ng（j）（P*) = g（P*) = O（1）。因此，总和的第一个元素是g（l-j+1）k（P*)g（j）（P*) =O（e-n） 。对于所有其他元素j>0，则术语g（j）（P*) = O（e-n） 因此g（l-j+1）k（P*)g（j）（P*) = O（e-2n），由O（e）渐近控制-n） 。这证明了DLGK+1（P*)dPl=O（e-n） 。