然后是P(Ohm（k） ）>0，因此，结论来自定理3.7。（b） 由于A的每一行正好有一个条目1，所有其他条目都为零，因此对于i=1，dOhm（q） i={ω∈ Ohm : Aω的i列至少有一个条目1}，因为τ（k，i）q，d（Aω）<∞ 当且仅当Aω的正数列不超过i列时。清晰地Ohm（q） = 我们有P(Ohm（q） ）=0。现在为1≤ j<…<冀≤ d和i=1，d定义Ohm（q） j，。。。，ji：={ω∈ Ohm : 确切地说是j列，ω的jiof至少有一个条目1}。因此，对于2≤ 我≤ d、 P(Ohm（q） j，。。。，ji）=我- 1d- 1.我身份证件- 1.d-我身份证件q-d- 我我- 2维- 1.我-1.我- 1d- 1.d+1-我我- 1dq-d=：i、 imsart bj版本。2014年10月16日文件：BrHid2020arxiv。德克萨斯州日期：2022年6月9日B.Das、V.Fasen和C.Kl–uppelbergNow定理3.6 yieldsP（q）i（AZ）的应用∈ t（x，∞))= P（τ（i）d（Z）>t）E（k）iui（{z∈ E（i）d：Az∈ （十），∞)})+ oP（τ（i）d（Z）>t）=X1≤j<···<ji≤duiz∈ Rd+：zj>xj，zji>xjiPOhm（q） j，。。。，冀配套元件-iα+o（t-iα）=iX1≤j<···<ji≤二酰=1κjlx-αjlt-iα+o（t-iα），这是（b）中的结果。（c） 使用定理3.7中的符号，我们得到*d=2。还要注意，对于i<j，P(Ohm（q） i，j）==q-2（d- 1） qdq公司-d、 因此，利用定理3.7（b），我们得到了AZ∈ MRV（2α，b（t），uq，E（q）q）和as t→ ∞,P（AZ∈ t（x，∞)) = E（q）[u（A-1（（x，∞)))]P（Z（2）>t）+o（P（Z（2）>t））=nX1≤i<j≤du（z∈ Rd+：zi>xi，zj>xj）POhm（q） i，joKt公司-2α+o（t-2α）=nX1≤i<j≤dκiκj（xixj）-αoq-2（d- 1） qdq公司-dt公司-2α+o（t-2α），显示（c）。命题4.2表明，对于集合C E（k）qfor k∈ {1，…，q- 1} ，P（AZ∈ tC）属于订单T-α. 但对于形式为t（x）的集合，∞) 属于E（q）q的，我们观察到了序列t的尾部概率-2α. 但是，如果我们将Ohm（k） 在（b）部分中，我们可以观察到t阶的尾部概率-iα对于所有i=2，d、 在下一个示例中，我们表明，对于形式为t（x，∞).

在这里，我们假设q=d，并考虑与第4.2条中相同的投资场景；i、 例如，每个代理人只投资一种投资可能性，代理人独立作出投资决策。如前所述，每行是一个单位向量，但其分布会发生变化。给定m∈ {1，…，d- 1} ，每行中的单个1在大小- m、 跨每行更改的子集。从数学的角度来看，我们获得了E（d）d上具有不同变量的多元正则变化，这取决于m的选择。这样的模型导致了P（AZ）的合生尾概率的显式表达式∈ t（x，∞)).提案4.3。让Z，Zdbe独立随机变量，例如p（Zi>t）~ κit-α>0时的α为t→ ∞ 对于i，常数κi>0∈ O={1，…，d}。让1≤ m级≤ d- 1，米∈ N和A∈ {0，1}d×dbe是一个随机邻接矩阵，其中对于allk∈ A={1，…，d}独立lyp（对于j 6=i，Aki=1，Akj=0）=d- m、 我∈ Ik，其中Ik定义为={1，…，d}{k，…，k+m- 1} 如果k+m- 1.≤ d、 {1，…，d}\\{k，…，d}∪ {1，…，k+m- 1.- d} }如果k+m- 1>d.imsart-bj版本。

2014年10月16日文件：BrHid2020arxiv。tex日期：2020年6月9日规则变化向量的线性函数23还定义了m+1≤ 我≤ d、 q（m）i=id-（i+m-1） （一）- m） 我-m+1Qm-1l=1（i- l） （d）- m） d.那么以下断言成立：（a）对于1≤ k≤ d- m我们有AZ∈ MRV（α，b，uk，E（k）d），uk（·）=E（k）hu（{z∈ E（1）d：Az∈ · })i、 对于d- m<k≤ 我们有AZ∈ MRV（jα，bj，uk，E（k）d），uk（·）=E（k）jhuj（{z∈ E（j）d：Az∈ · })i、 其中j=k+m+1- d、 ujis定义见（4.6）和bj（t）~ （Kjt）1/jα，Kjas在（4.5）中。（b） 对于m+1≤ 我≤ d、 和x∈ E（d）dwe具有t→ ∞,P（d）i（AZ∈ t（x，∞)) =X1≤j<···<ji≤二酰=1κjlx-αjlnq（m）i- q（m）i-1吨-iα+o（t-iα）。（c） 对于k=d，第（a）部分适用于ud（（x，∞)) = K-1m+1q（m）m+1X1≤j<···<ji≤二酰=1κjlxjl, x个∈ E（d）d，Km+1as在（4.5）中，我们有→ ∞,P（AZ∈ t（x，∞)) =Km+1ud（（x，∞))t型-（m+1）α+o（t-（m+1）α）。证据对于m≤ i+1≤ d、 q（m）i=P（{ω∈ Ohm : 仅在j列，ω的ji出现在1}）中，使得P(Ohm（d） j，。。。，ji）=q（m）i- q（m）i-1和P(Ohm（d） j，。。。，jm+1）=q（m）m+1。然后可以用与命题4.2类似的方式证明该命题，此处省略。4.2. 依赖对象在本节中，我们将之前考虑的独立对象与Z分量的特定依赖结构进行对比。此外，我们还研究了数值示例中权重的影响。设X=AZ为五个代理的投资组合，每个代理都连接到三个对象的子集，其风险由Z给出。我们估计k=1，…，的尾部风险，5： P（至少k个投资组合的风险>t）=：P（X∈ tDk）。我们使用加权邻接矩阵，但现在它是确定性的，并且在两个示例中都由=W0 00 W0 0 WWW0 WWimsart bj版本。2014年10月16日文件：BrHid2020arxiv。德克萨斯州日期：2024年6月9日B.Das、V.Fasen和C.Kl–Uppelberg，重量W、W、W、W、W、W>0。

此外，为了便于计算集合dk的极限测度，我们假设WW-1+WW-1> 1和WW-1+WW-1> 1.此外，我们假设Z=（Z，Z，Z）>具有由p（Z）给出的概率分布≤ z、 z≤ z、 z≤ z） =（1+θ（κκ）ρ（zzz）-ρα）Yi=1（1- κiz-αi），（4.7）表示zi≥ κ1/αi，其中κi>0，i=1，2，3，α>0，ρ≥ 1, 0 ≤ θ ≤ 1、对于θ=0，Z的分量是独立的帕累托（参见示例4.4），对于ρ=1，θ=1，它们是相依的（参见示例4.5）。Rodr'guez Lallena和'Ubeda Flores（2004年）已经讨论了这种对copulas的依赖性。此设置意味着在下面的两个示例中，Z的基本分布具有依赖于eitherindependent的边缘或至少具有可处理的形式；邻接矩阵A相对简单，以便提供可解释的说明。示例4.4。假设Z，Z，Zare是独立的随机变量，使得p（Zi>Z）=κiz-α、 当i=1、2、3时，z>κ1/αi，常数κi>0。我们计算所有相关的量。首先，给出t的顺序统计量的尾部→ ∞,P（Z（1）>t）=（κ+κ+κ）t-α+o（t-α） ，P（Z（2）>t）=（κκ+κκ+κ）t-2α+o（t-2α），P（Z（3）>t）=（κκ）t-3α.（4.8）我们有Z∈ MRV（iα，bi，ui，E（i）），通过b（t）=（κ+κ+κ）1/αt1/α，b（t）=（κ+κ+κ）1/2αt1/2α，（4.9）b（t）=（κκ）1/3αt1/3α和极限度量u[i=1v∈ R+：vi>zi= (κ+ κ+ κ)-1Xi=1κiz-αi，u[1≤i6=j≤3.v∈ R+：vi>zi，vj>zj= (κκ+ κκ+ κκ)-1X1≤i6=j≤3κiκj（zizj）-α、 u（（z，∞) ×（z，∞) ×（z，∞)) = （zzz）-α.（4.10）注意Dk E（k）对于k=1，5、我们可以通过以下表格进行核对：*= 1，我*= 1，我*= 1，我*= 2，i*= 因此，利用定理3.7以及（4.8）和（4.10），我们得到→ ∞,P（AZ∈ tD）~ P（Z（1）>t）u（A-1（D））~ [κ（max（Wα，Wα））+κ（max（Wα，Wα，Wα））+κ（max（Wα，Wα））]t-α.类似地，我们可以显示为t→ ∞,P（AZ∈ tD）~ P（Z（1）>t）u（A-1（D））~ [κ（min（Wα，Wα））+κ（min（Wα，Wα，Wα））+κ（min（Wα，Wα））]t-α.imsart bj版本。

2014年10月16日文件：BrHid2020arxiv。tex日期：2020年6月9日规则变化向量的线性函数250.00.20.40.60.820 40 60 80 100tα=1P（tD1）P（tD2）P（tD3）P（tD4）0e+002e的概率prob（event）-044e-046e-0420 40 60 80 100tα=1P（tD5）的概率概率概率（事件）例如4.5P（tD5）例如4.60.0000.0250.0500.0750.1000.12520 40 60 80 100tα=2P（tD1）P（tD2）P（tD3）P（tD4）0.0e+002.5e的概率概率概率概率（事件）-085.0e-087.5e-0820 40 60 80 100tα=2P（tD5）的概率概率概率（事件），例如4.5P（tD5），例如4.6图3。在示例4.4和4.5中，尾部事件的概率tD、tD、tD、tD渐近相等，并绘制在左面板上，顶部为α=1，底部为α=2。在这两个示例中，尾部事件的概率Td逐渐不同，并绘制在右侧面板中（顶部为α=1，底部为α=2）。绘制20的值≤ t型≤ 100.P（AZ∈ tD）~ P（Z（1）>t）u（A-1（D））~ κmin（Wα，Wα，Wα）t-α、 P（AZ∈ tD）~ P（Z（2）>t）u（A-1（D））~ [κκWαmin（Wα，Wα）+κκmin（Wα，Wα）Wα+κmin（Wα，Wα）min（Wα，Wα）]t-2α，P（AZ∈ tD）~ P（Z（3）>t）u（A-1（D））~ κκWαWαWαt-3α.P（AZ）的形式∈ tD）和P（AZ∈ 如果我们不假设W，W，W，W，W，W，W，W>0，则会变得更复杂。此外，如果所有权重都等于一，则上述公式成立。举例来说，我们确定κ=1，κ=2，κ=3。此外，设W=W=W=1、W=2、W=2和W=W=3。图3中绘制了20的情况下，上述五种概率的α=1，2≤ t型≤ 我们还比较了本例和例4.5中事件发生的概率；请参见图3右侧的两个面板。imsart bj版本。2014年10月16日文件：BrHid2020arxiv。德克萨斯州日期：202026年6月9日B.Das、V.Fasen和C.Kl–uppelbergExample 4.5。

假设ρ=θ=1时Z，Z，Zare依赖于联合分布（4.7）。否则，假设设置如例4.4所示，我们再次计算所有相关量。首先，给出t的顺序统计量的尾部→ ∞,P（Z（1）>t）=（κ+κ+κ）t-α+o（t-α） ，P（Z（2）>t）=（κκ+κκ+κ）t-2α+o（t-2α），P（Z（3）>t）=κκ（κ+κ+κ）t-4α+o（t-4α).请注意，与（4.8）的唯一区别在于术语P（Z（3）>t）。因此，对于i=1，2，我们有z∈ MRV（iα，bi，ui，E（i）），在（4.9）和（4.10）中具有偏差的规范选择。另一方面，我们有Z∈ MRV（4α，b，u，E（3）），其中b（t）=（κκκ（κ+κ+κ））1/（4α）t1/（4α）和u（（z，∞) ×（z，∞) ×（z，∞)) = (κ+ κ+ κ)-1Xi=1κiz-αi（zzz）-α.如例4.4所示，我们有*= 1，我*= 1，我*= 1，我*= 2，i*= 利用定理3.7，以及（4.8）和（4.10），我们对P（AZ）有相同的极限∈ tDk）对于k=1，4、k=5的唯一区别，其中t→ ∞,P（AZ∈ tD）~ P（Z（3）>t）u（A-1（D））~ [κκWαWαWα（κWα+κWα+κWα）]t-4α.我们再次确定κ=1、κ=2、κ=3，并让W=W=W=1、W=2、W=2和W=W=3，如示例4.4所示。事件tD、tD、tD、tD渐近概率与示例4.4中的概率相同（与图3左侧两个面板中的图相匹配，情况α=1，2）。在右侧面板图3中，我们绘制了α=1，2时的TD值；很明显，在这两个例子中，这些值有所不同。结论这项工作的动机是需要在规则变化随机向量的线性变换下发现各种极端事件的概率。通过对Breiman理论的扩展，我们已经证明，如果我们有关于正等式特定子类上潜在随机向量的规则变化特性的信息，那么可以计算许多此类事件的概率。

此类锥的大多数子集C具有线性边界，因此形成了一个多面体，其线性变换下的前像在Rd+中也是一个多面体。计算极限度量E（k）i[ui（A-1（C））]在这种情况下，意味着找到多面体的适当边界，这可能变得非常复杂。对于中等维数的矩阵A，即使Z和A的分布形式更加复杂，也可以获得数值解。我们设想将这些结果广泛应用于风险管理领域。计算条件风险值以及各种条件风险度量有着明确的含义。我们还认为，尾部概率衰减率的另一种表征可以通过行组件的连通性来提供（在二部网络模型中，代理）；目前正在调查这项工作。参考Basrak，B.、Davis，R.A.和Mikosch，T.（2002）。GARCH过程的规则变化。斯托赫。过程。以及他们的应用程序。99 95–115.imsart bj版本。2014年10月16日文件：BrHid2020arxiv。德克萨斯州日期：2020年6月9日规则变化向量的线性函数27Bingham，N.H.，Goldie，C.M.和Teugels，J.L.（1989）。定期变化。数学及其应用百科全书27。剑桥大学出版社，剑桥。Breiman，L.（1965年）。关于一些类似于弧正弦定律的极限定理。理论概率。应用程序。10323–331.Buraczewski，D.、Damek，E.和Mikosch，T.（2016）。具有幂律尾的随机模型。斯普林格运筹学和金融工程系列。斯普林格。Chakraborty，S.和Hazra，R.S.（2018）。布尔卷积和正则变分。阿莱阿拉特。是J、 概率。数学Stat.15 961–991。Cline，D.B.H.和Samorodnitsky，G.（1991年）。独立随机变量乘积的次指数性。斯托赫。过程。以及他们的应用程序。49 75-98.Das，B.、Mitra，A.和Resnick，S.I。

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