随着行使权数量的增加，增加额外的接触行权的影响似乎会减少。我们得出结论，用欧洲期权取代百慕大期权会导致显著不同的风险敞口。然而，在效率方面，人们可以将行使频率较高的百慕大期权（或始终可以行使的美国期权）替换为仅拥有少数行使权的百慕大期权。0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9图5.3：百慕大期权的预期风险敞口（EE），不同行使频率的百慕大期权和Black-Scholes模型中的欧洲期权，Nsim=50000.0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9图5.4：百慕大期权的潜在未来风险敞口（PFE），不同行使频率的百慕大期权和Black-Scholes模型中的欧洲期权Nsim=50000。TEuropean的VEE at T PFE 8.39 6.01 34.20BM nT=4 8,59 3.52 26.91BM nT=12 8.64 1.62 16.91BM nT=36 8.66 0.71 9.39BM nT=84 8.67 0.37 5.65BM nT=252 8.67 0.16 2.72表5.2：Black-Scholes模型中不同运动频率的欧盟ropean和百慕大操作的期权价格、预期敞口和潜在未来敞口。6结论与展望本文介绍了一个基于Glau等人（2019）的dynamicChebyshev方法的欧洲、百慕大和障碍期权定价和风险敞口计算的未定义框架。第5节和第6节中的数值实验表明，该方法非常适合于曝光计算，并且该方法的结构具有较高的效率。

动态切比雪夫方法具有几个质量优势该方法具有很高的灵活性，许多不同产品的价格和信贷敞口可以使用该算法计算，并且可以在不同的股价模型中使用该方法的结构允许我们通过选择不同的技术在预计算中计算条件动量来探索模型的其他知识。与最小二乘蒙特卡罗等标准方法相比，这提高了该方法的效率计算出的信贷风险可以在不同的层面上进行汇总，并能够在投资组合层面上高效计算CVA和其他风险指标该算法适用于三种不同股权模型中的barrier和Bermudan期权。然而，该方法在模型和产品方面更为通用。人们可以在利率、外汇或商品市场和价格期权（例如百慕大掉期期权、可赎回债券）中利用这种方法在本文中，payoff是标准的看涨期权或看跌期权类型。然而，该方法也可以轻松处理更复杂的支付。例如，可赎回债券，其中潜在风险因素是利率，而支付是（普通）债券的看涨期权价值函数近似的多项式结构使得能够在每一步有效计算期权的灵敏度δ和γ。与Sch¨oftner（2008）提出的CVA最小二乘蒙特卡罗方法相比，该方法具有定量和定性优势。首先，Glau等人（2019年）表明，与Longsta off和Schwartz（2001年）的最小二乘蒙特卡罗方法相比，动态切比雪夫方法的在线分解能够提高效率。当对同一标的资产进行分割定价时，情况尤其如此。

此外，Sch¨oftner（2008）的蒙特卡洛方法要求将度量从定价度量更改为现实世界度量。相反，风险敞口计算的动态切比雪夫方法将定价与风险敞口计算分开。因此，可以在不改变风险敞口计算模拟次数的情况下提高期权价格的准确性。Shen等人（2013年）提出了一种与新方法结构相似的方法。他们的方法基于COS方法，要求特征函数以闭合形式存在。这意味着，与动态切比雪夫方法相比，它只能应用于较小类别的资产模型。此外，对风险敞口文件的专门调查提供了对不同期权类型和资产模型的文件行为的深入了解，并具有实际意义。为了加快风险敞口计算的速度，实践中常见的简化方法包括为基础风险因素选择一个简单的模型，以及用简单的选项替换复杂的选项。我们的实验表明，第一次简化会强烈影响屏障选项的结果。此外，实验表明，用Europeanoptions替代百慕大期权会产生显著不同的风险敞口收益，并出现两个不同的问题。首先，欧洲期权的风险敞口高估了百慕大群岛在期权生命周期的大部分时间内的风险敞口，其次，我们不能断定这种简化是保守的。因此，我们建议直接计算百慕大期权的风险敞口。所提出的动态切比雪夫方法能够有效地实现这一点。Glau等人（2019）提出了动态切比雪夫方法，作为d维的一般算法。

在本文中，我们重点讨论了仅依赖于一个主要风险因素的产品的风险敞口计算。作为下一步，我们将目前的风险敞口计算方法扩展到具有一个以上主要风险因素的期权。命题4.2的证明。我们定义uj：=E[Tj（Y）1[-1,1]（Y）]作为广义矩，且u′j=E[T′j（Y）1[-作为切比雪夫多项式导数的期望。前三个切比雪夫多项式由T（x）=1、T（x）=x和T（x）=2x给出- 导数T′（x）=0，T′（x）=1=T（x），T′（x）=4x=4T（x）。这将产生u=E[1[-1,1]（Y）]=P(-1.≤ Y≤ 1） =F（1）- F级(-1).在考虑第一个时刻之前，我们需要正态分布密度f的以下性质，f′（x）=√2πσe-（十）-mu）2σ(-2（x- u）2σ）=f（x）(-2（x- u)2σ) = (-σ） xf（x）+uσf（x），因此xf（x）=uf（x）- σf′（x）。利用这一特性，我们得到了第一时刻u=E[Y 1[-1,1]（Y）]u=Z-1yf（y）dy=uZ-1f（y）dy- σZ-1f′（y）dy=u-σ（f（1）- f级(-1)).假设我们知道uj，u′j，j=0，n、 切比雪夫多项式及其导数由tn+1（x）=2xTn（x）递归给出- 田纳西州-1（x）T′n+1（x）=2（n+1）Tn（x）+n+1n- 1T′n-1（x）。从后者很容易得出u′n+1=E[T′n+1（Y）1[-1,1]（Y）]=2（n+1）E[Tn（Y）1[-1,1]（Y）]+n+1n- 1E[T′n-1（Y）1[-1,1]（Y）]=2（n+1）un+（n+1）（n- 1） u′n-1对于n≥ 2.

对于广义矩，我们得到un+1=E[Tn+1（Y）1[-1,1]（Y）]=2E[Y Tn（Y）1[-1,1]（Y）]- E[吨-1（Y）1[-1,1]（Y）]。第二项仅为un-第一学期，我们获得[-1,1]（Y）]=Z-1yTn（y）f（y）dy=uZ-1Tn（y）f（y）dy- σZ-1Tn（y）f′（y）dy=uun- σTn（1）f（1）- 田纳西州(-1） f级(-1) - u′n-1..我们总共得到un+1=2E[Y Tn（Y）1[-1,1]（Y）]- E[吨-1（Y）1[-1,1]（Y）]=2uun- σTn（1）f（1）- 田纳西州(-1） f级(-1) - u′n-1.- un-1、仍然需要找到u′n的表达式。我们将通过归纳证明u′n+1=2（n+1）nXj=0′uj（n+j）mod 2=0，n≥ 0（A.1），其中p′表示第一项乘以1/2。对于n=0，我们得到u′=2Xj=0′uj（0+j）mod 2=0=2u=10 mod 2=0=u。如（A.1）所示。假设（A.1）对于j=0，…，保持不变，n、 然后我们得到u′n+1=2（n+1）un+（n+1）（n- 1） u′n-1=2（n+1）un+（n+1）（n- 1） 2（n- 1） n个-2Xj=0′uj（n-2+j）m od 2=0=2（n+1）un（n+n）mod 2=0+un-1（n+n-1） mod 2=0+n-2Xj=0′uj（n+j）mod 2=0= 2（n+1）nXj=0′uj（n+j）mod 2=0。我们使用（n+j）mod 2=（2+j- 2） mod 2。对于广义矩，wethus得到un+1=2un- 2σf（1）- f级(-1） 田纳西州(-1) - 2（n-1） n个-2Xj=0′uj（n+j）mod 2=0- un-这是我们的要求。参考Black，F.和M.Scholes（1973）。期权和其他负债的定价。政治经济学杂志81637-654。Fang，F.和C.W.Oosterlee（2009）。通过傅里叶余弦级数展开对早期行使和离散障碍期权进行定价。数字数学114（1），27。Gass，M.、K.Glau、M.Mahlstedt和M.Mair（2018年）。参数选项的切比雪夫插值。《金融与随机》22（3），701–731。Glau，K.、M.Mahlstedt和C.P¨otz（2019年）。美式期权定价的一种新方法：动态切比雪夫方法。暹罗科学计算杂志41（1），B153–B180。Longstaff，F.A.和E.S.Schwartz（2001年）。通过模拟评估美式期权：一种简单的最小二乘法。财务研究回顾14（1），113–147。默顿，R。

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