这表明，使用公司特定的扩散系数可以改善模型。表1 2010年观察年度培训的每个模型的偏差信息标准得分。模型类型DIC ScoreHomoskedastic 41026.51异方差分析38650.72稳健异方差分析52741.08稳健异方差分析模型的DIC得分最高。这可能是因为当我们为退出概率加入额外的项时，这相当于添加额外的数据点。由于概率小于1，这可能会导致较低的似然值。这意味着我们无法直接将该模型与基于DIC的其他模型进行比较。然而，尽管DIC较高，但我们将在第8节中看到，该模型实际上在选择公司进行投资组合方面做得最好。与DIC相比，样本外投资组合绩效是比较不同模型的更好方法。6.2. 稳健异方差模型我们现在更详细地研究稳健异方差模型估计结果，因为这是投资组合构建方面表现最好的模型（见第8节）。我们使用参数的后验样本箱线图给出结果。我们只包括在其90%后验可信度区间中不包含零的特征，因此在贝叶斯意义上显示出显著性。图6所示为β后验样本的箱线图，其中包含扇区非扇区特征的单独图。我们发现，动画、保险和广告等通常不具有周期性且以持续收入来源著称的行业是积极的，且在统计上具有显著意义，因此与更高的公司漂移相关。

然而，社交媒体、生物技术、金融和医疗保健等以高度竞争或监管著称的行业都是负面的，统计意义重大，因此与较低的公司漂移相关。从显示非部门特征的方框图中，我们可以看到，公司高管之前的创业成功会产生更大的公司漂移（高管IPO和高管收购特征）。图7所示为γ后验样本的箱线图。我们并没有看到任何明显的传播趋势。然而，对于非扇区功能，我们看到之前的成功增加了分流器Saini，和Zaman:Winning-20-10 0 10 20 30 40 50 602010Health CareE CommerceMobileVertisingFinanceEducationBiotechnologyInternetSearchEngine社交媒体商业智能保险人SourceLogisticsAnimationGPUβ2010强健的异性恋模型行业特征-30-20-10 0 20 30职业IPO高管收购数家与CompanyBachelorsMastersedu类似的附属教育公司重叠stdCompetitors BCCompetitors acquisition2010稳健异方差模型非部门特征2010β图6重要部门（左）和非部门（右）特征的β后验样本值箱线图。在90%后验可信区间内，显著性被定义为不为零。扩散系数，与β相似。我们可以从这一分析中得出的主要结论是，先前的成功增加了漂移和扩散，从而增加了退出的可能性。这一结论与风险投资行业的常识一致，但我们的模型提供了一种量化这种直觉的方法。回想一下，对于时变β参数，我们有标准偏差δ，它表征了这些参数随时间的变化。

表2和表3显示了行业特征和非行业特征的顶部变异系数，定义为后验三角洲δ除以历年β样本后中位平均值的绝对值。变异系数最大的参数的β平均值非常小。因此，显示大量时间波动的系数可能不会对公司的漂移和退出概率产生强烈影响。最后，我们在表4中显示了定时参数的统计信息。我们发现，ν的后验分布平均值为3.21年，第五分位数和第九十分位数分别为2.99年和4.00年。我们发现τ的后验平均值为3.50年，第五分位数和第九十分位数分别为2.71年和4.03年。ν的估计值是有意义的，因为我们数据中的大多数退出都是收购，正如我们从数据分析中看到的，收购需要大约三到四年的时间。四年之后，我们看到公司的漂移和扩散都在衰退。根据我们的数据，τ的估计值，漂移和扩散衰减的速率也是有意义的，因为七年后，很少有公司退出。亨特、赛尼、，和Zaman:Winning 2010 Robust Heteroskedastic Model部门特征2010 Robust Heteroskedastic Model非部门特征-15-10-5 0 5 10 15应用个人健康手机生物技术医疗设备信息保险机器学习-20-15-10-5 0 5 10 15工作IPOJob收购执行收购Advisory IPOMax收购比例数附属公司竞争对手竞争对手acquisitionHad competitor infoγ图7重要部门（左）和非部门（右）特征的γ样本值箱线图。

在90%后验可信区间内，显著性被定义为不为零。表2：按变异系数大小递减排序的部门特征的β、δ和变异系数的后验统计数据。行业特征平均β中位数δ变异系数Facebook-0.0125 1.558 124.51计算机-0.0517 3.911 75.71开源-0.0628 2.1379 34.05生物技术-0.1699 3.0617 18.02健康诊断0.1302 1.4768 11.34表3非行业特征的β、δ和变异系数后验统计数据，通过变异系数大小的降低来分级。非行业特征变量平均β中值δ中值系数高中-0.2795 1.951 6.979最大ipo比例0.2777 1.735 6.246竞争对手D 0.2988 0.042 4.599教育重叠标准偏差0.6290 2.580 4.102Phd-0.7373 2.850 3.865表4ν和τ的后验分布统计。后中位显示在括号中，第五个和第九十个分位数。参数中值（第5个分位数，第95个分位数）ν3.21（2.99，4.00）τ3.50（2.71，4.03）Hunter、Saini和Zaman：Winning 7。挑选赢家投资组合现在展示了挑选赢家投资组合框架，我们将使用该框架来评估我们模型的性能。我们对该框架进行了总体描述，并对投资组合构建算法进行了理论分析。我们还将我们的框架与著名的对数最优投资组合框架进行了比较。7.1. 目标函数考虑概率空间上定义的一组事件E={Ei}mi=1(Ohm, F、 P），带样本空间Ohm, σ代数F和概率测度P。每个事件E对应于项目i获胜。目的是选择一个子集 [m] ={1，…，m}的大小k，这样我们可以最大化至少一个项目inS获胜的概率，这是由P给出的硅∈软件工程研究所. 为了便于记法，我们表示U（S）=P硅∈软件工程研究所.

我们要解决的优化问题是thenmaxS[m] ，| S |=kU（S）。（7.1）一般来说，解决此优化问题可能很困难。事实上，我们有以下结果。定理7.1最大化U（S）是NP难的。尽管最大化U（S）的计算复杂，但目标函数具有一些优良的性质，我们可以利用这些性质有效地获得好的解，这是由以下众所周知的结果给出的。引理1函数U（S）是非负的、非递减的、子模的。单调非减次模函数有一个重要的性质，即可以限制贪婪解的次最优性。这样的解决方案是通过将元素顺序添加到集合S中来获得的，这样每次新的添加都会导致目标函数的最大边际增加。形式上，让SG=（f，f，…，fk）是优化问题的贪婪解。贪心解是一个有序集，在贪心优化的第i步加上fib项。设SiG=（f，f，…，fi）为第i项添加到SG后获得的溶液，SG=. 然后，添加到sgis的第i项由fi=arg maxf给定∈[m] /Si-1GU硅-1克[f-U硅-1克, 1.≤我≤k、 （7.2）对于子模函数，我们有以下众所周知的结果。定理7.2（Nemhauser et al.（1978））设U（S）为非递减子模函数。设Sg为U（S）的贪婪最大化子，Sw为U（S）的最大化子。ThenU（SG）U（SW）≥1.-e-1.（7.3）Hunter、Saini和Zaman：WinningThere，贪婪解决方案对子模块最大化问题有性能保证。此外，很多时候，它们可以很容易地计算出来。出于这些原因，我们将使用贪婪的方法来解决我们的问题。7.2. 独立事件我们首先考虑最简单的情况，即所有EI都是独立的。设pi=P（Ei），eci表示Ei的组成。

由于事件的独立性，我们可以重写目标函数asU（S）=1-P\\i∈SEci！=1.-易∈S（1）-pi）。（7.4）然后可以将优化问题写为axs[m] ，| S |=kU（S）=分钟[m] ，| S |=kYi∈S（1-pi）。（7.5）独立事件的目标函数形式导致了一个简单的解决方案，由以下定理给出。定理7.3对于一组独立事件E={E，E，…，Em}，让pi=P（Ei），在不损失一般性的情况下，假设P≥ p≥ ... ≥ 下午。让k元素子集SW [m] 最大化U（S）。然后，SW由pi最大的指数组成，即SW=[k]。从方程式（7.4）中U（S）的形式可以明显看出这一结果的证明。从定理7.3我们可以看出，如果事件是独立的，那么我们只需选择最可能的事件，以最大化至少发生一个事件的可能性。这个简单的解决方案在很大程度上依赖于事件的独立性。当事件独立时，另一个有用的属性涉及贪婪解。引理2对于一组独立事件E={E，E，…，Em}，设k元素贪婪最大化子of u（S）为SG。然后SW=SG。在这种情况下，贪婪解也是最优解。事实上，独立事件案件的解决几乎微不足道。这也表明，当事件的相关性较低时，贪婪的解决方案应该表现良好。亨特、赛尼和扎曼：赢得7.3分。挑选赢家和对数最优投资组合我们现在研究挑选赢家投资组合和另一个众所周知的对数最优投资组合之间的关系。为了做到这一点，我们考虑了一个模型，其中项目有一个顶重回报结构，类似于挑选赢家的问题。我们将让随机变量Xidenote返回与索引i相关的项，我们假设有m个可能的项。

特别地，我们将考虑返回值a和b有两个可能的值，使得0<a<b的情况，并且我们将使ω的xi（ω）=b∈ Ei和Xi（ω）=a，否则。这可以近似地模拟一家初创公司的回报，如果它退出，回报是巨大的，否则可以忽略不计。由于很难预测一家公司退出时的准确回报率，因此可以假设在没有其他信息的情况下，它们都具有相同的平均值b。通过这种方式，区别公司的唯一因素是它们退出的可能性。构建投资组合的方法有很多种。传统的马科维茨方法将平均投资组合收益最大化，但其方差有一个上界（马科维茨1952）。这些投资组合是参数化的，因为必须选择方差的上限。另一种方法是对数最优投资组合（log optimalportfolio），其中构建的投资组合最大化了portfolioreturn（封面1991）的预期自然对数。在我们的分析中，我们假设每个项目的投资决策都是二元的，即项目要么在投资组合中，要么不在投资组合中。我们不允许对这些项目进行持续投资。在这种情况下，投资组合是[m]的子集，如挑选赢家问题。我们确定投资组合的asPi回报∈SXi/| S |。相应的预期日志返回isV（S）=E“lnXi∈SXi/| S |！#。（7.6）我们将投资组合约束为包含k个元素，如挑选赢家问题。然后，对数最优投资组合由以下优化问题确定：maxS[m] ，| S |=kV（S）。（7.7）与马科维茨投资组合不同，对数最优投资组合公式中没有任意参数。这使我们能够直接比较对数最优投资组合和挑选赢家投资组合。我们再次开始考虑事件{Ei}mi=1独立的简单情况。

我们得到以下结果：定理7.4对于一组独立事件E={E，E，…，Em}，让pi=P（Ei），在不损失一般性的情况下，假设P≥ p≥ ... ≥ 下午。让k元素子集SL [m] 最大化V（S）。然后，SL由pi最大的指数组成，即SL=[k]。将上述结果与定理7.3进行比较，我们发现，当事件相互独立时，确定对数最优投资组合的问题简化为寻找pickingHunter、Saini和Zaman的贪婪解决方案的问题：Winning Winners问题。等效性仅依赖于0<a<b和独立性的假设。特别是，我们对边际概率P（Ei）的值不作任何假设。虽然独立性假设导致对数最优和pickingwinners投资组合之间完全等价，但实际上这一假设将被违反。然而，我们对特定项目获胜概率很小的示例感兴趣。在这种情况下，我们可以量化两种投资组合类型之间的偏差程度。定理7.5让SL表示对数最优投资组合，即对于（7.7）它是最优的，让Sw表示对于挑选赢家问题是最优的投资组合。设gl表示基数为l的[m]的所有子集的集合。假设存在λ∈ [0，1]和p∈0，k这样对于所有人来说∈ [k] ，对于所有T∈ GLT以下保持（1-λ） pl（1-p） k级-l≤P\\我∈TEi\\\\j∈S\\TFcj≤（1+λ）pl（1-p） k级-l、 （7.8）然后是U（SW）-U（SL）U（SW）≤2ζ（3）λkp（1-p） ln公司1+b-又称作(1 -λ)(1 -(1 -p） k）。式中，ζ（s）是在s处计算的黎曼-泽塔函数，即ζ（s）=sPn=1ns。我们将从解释定理7.5的假设开始。我们首先考虑（7.8）。这种假设有效地限制了事件之间的依赖关系。

为了获得一些直觉，考虑所有事件具有相同概率的情况，并让pi=p表示所有i∈[m] 。很明显，λ是事件之间依赖关系的度量。特别是，当事件是独立的时，我们可以选择λ=0，并且随着事件变得更加相关，我们希望我们必须选择一个更大的λ来保持方程（7.8）。此外，定理7.5并不要求所有事件的概率都相同，它只要求存在一些p∈0，k和一些λ∈[0，1]，其中（7.8）适用。如果该项的pi值非常不同，那么定理7.5可能会产生一个非常弱的界。如果所有感兴趣的事件都有相等的获胜概率，那么我们再次让p=π表示所有i∈ [m] ，然后是假设p∈0，k这意味着对于任何大小为k的投资组合，预期的中奖项目数为一个或更少。对于我们感兴趣的应用程序，获胜的概率有些小，因此这似乎是一个合理的假设。定理7.5的主要观点是，对于我们感兴趣的特定应用程序，对数最优组合也必须是挑选赢家问题的一个很好的解决方案。在整个讨论过程中，假设定理中的条件成立。例如，假设λ=0.5，k=10，p=0.01。这假设单个项目获胜的概率很低，并允许存在某种相关性。对于可能的亨特、赛尼和扎曼：收益的赢取值，让我们假设b=10美元，a=1美元（这些是非常成功的退出的近似值，例如Facebook）。然后应用定理7.5，我们得到了目标函数（至少一个赢家的概率）中赢家和对数最优投资组合的百分比差小于27%。

这个例子说明，在这些与投资初创公司相关的条件下，挑选赢家问题的最优投资组合在性能上与逻辑最优投资组合相似。7.4. 布朗运动模型的投资组合构造我们现在讨论布朗运动模型的投资组合构造。将EIA定义为公司在未来某个时候退出的事件。我们希望建立一个由k家公司组成的投资组合，以最大限度地提高至少一家公司退出的可能性。为此，我们必须能够评估退出概率。在我们的模型中，这很容易做到。回想一下，对于一组公司S，我们定义U（S）=P硅∈软件工程研究所.我们现在展示如何计算退出概率。如果我们假设公司的业绩是独立的，那么我们只需要计算每个公司i的ispi=P（Ei）∈ S来构建投资组合。回想一下，这是公司布朗运动达到7级的概率 在有限的时间内。我们假设公司i给出了ui（t）和σi（t）。然后，从（4.2）中，退出概率ispi=limt→∞F（t；0，ui（t），σi（t），7). （7.9）此外，请记住，我们对βy的未来值不确定。这会导致漂移的不确定性，从而导致公司不再独立。要了解为什么会出现这种情况，假设我们得到了参数向量βy-1、当我们根据y年以前的数据进行培训时，情况就是这样-1并尝试为y年成立的公司建立投资组合。因此，我们需要知道βy=[βy1，βy2，…βyM]。回想一下，βyi与平均βy呈正态分布-1，i和标准偏差δi。这会导致y年成立的所有公司的随机漂移系数。我们不知道公司漂移的确切值，但我们知道，它们都会受到βy实际实现的相同影响。

这就是不确定性如何在公司之间产生正相关性。为了计算U（S），我们简单地对βy中的不确定度进行平均。使用方程式（7.4）和（7.9），我们得到U（S）=Eβy“P[i∈软件工程研究所βy！#=1.-Eβy“Yi∈S（1-pi）#=1-Eβy“Yi∈S（1- 限制→∞F（t；ti，ui（t），σi（t），7))#. （7.10）Hunter、Saini和Zaman：Winning由于βyis联合正常，并且很容易计算F（·），因此可以使用蒙特卡罗积分轻松实现这一期望。对于我们的模型，因为我们选择的初创公司数量相当多，所以我们使用贪婪的方法创建我们的投资组合。这在计算上是可行的，因为在实践中，投资组合不会很大（典型的风险投资公司管理的公司不超过几百家），并且很容易对一组投资组合的美国进行评估。我们在第8.8节中考虑了使用我们的模型构建的投资组合的绩效。模型验证与挑选赢家组合虽然我们在许多不同年份测试了我们的模型，但我们报告了2011年和2012年的测试结果。我们之所以使用这些年，是因为这给了公司足够的时间来实现退出（我们收集了数据，以便在2016年末进行此分析）。对于每个测试年，测试集等于基线年（最早融资年）等于该年的公司，以及模型估计中使用的所有其他公司构成培训集。用于计算测试公司退出概率的功能仅使用在公司最早的一轮融资时可用的数据构建。我们使用方程式（7.2）中的贪婪投资组合构建方法。我们在两个假设下构建投资组合，一个假设是公司是独立的，另一个假设是公司是独立的。这两种假设的不同之处在于我们如何平均漂移参数的不确定性。

对于相依假设，我们联合对所有公司进行平均，如等式（7.10）所示。对于独立假设，我们分别对每个公司的不确定性方程（7.9）进行平均，然后使用由此产生的退出概率构建投资组合。使用蒙特卡罗积分进行平均。具体而言，对于每个β样本，我们从测试年β向量的每个元素的正态分布中随机抽取，平均值由β或β（取决于测试年）给出，标准偏差由δ中的相应元素给出。然后，我们对这些随机变量的相关函数求平均值。我们为第5节详述的模型构建了最多30家公司的投资组合，这对于一家典型的风险投资公司来说是合理的规模。我们还使用对应于公司在测试年之前实现的最大一轮的功能和标签，将我们的模型与有序LogisticRetression模型进行对比。为了可视化我们投资组合的绩效，我们绘制了投资组合规模与投资组合中退出图8中所选模型的公司数量的对比图。我们将其称为portfolioperformance曲线。它类似于机器学习中用于评估二进制分类器性能的接收器工作特性（ROC）曲线。我们考虑不同类型的投资组合。如前所述，有序逻辑回归是我们的基准模型。关联对应于我们的布朗运动模型的依赖性假设。完美对应于每个公司都退出的投资组合。随机对应于投资组合，其中退出数量是投资组合规模乘以测试集中退出的分数。

对应的调车员Saini，和Zaman：赢得0 5 10 15 20 25 30投资组合规模0 5 10 15 20 25 30退出2012年Sequeoia CapitalFounders FundGreylock Capitalhosla Ventures KPCBhomoskedatsic Correlated Heteroskedastic Correlated Robust Heteroskedastic Correlated Ordered Logistic0 5 10 15 20 25 30投资组合规模0 5 15 15 20 25 30退出2011年Sequeoia CapitalFounders FundGreylock Capitalhosla Ventures KPCBA16homoskedatsicCorrelatedHeteroskedastic CorrelatedRobust Heteroskedastic CorrelatedOrdered LogisticPerfectRandomPerfectRandomFigure 8 2011年（左）和2012年（右）使用种子或系列基金公司构建的不同模型投资组合的绩效曲线。此外，还显示了风险投资公司Greylock Partners（Greylock）、创始人基金（Founders Fund）、Kleiner Perkins Cau field&Byers（KPCB）、红杉资本（Sequoia）和科斯拉创业公司（Khosla）的业绩。同时给出了随机投资组合和完美投资组合的绩效曲线，以供参考。随机挑选投资组合。我们还展示了这些年顶级风险投资公司的绩效点。这些点的坐标是风险资本投资的测试公司数量和2017年之前退出的公司数量。我们发现，稳健异方差模型在这两年的表现最好。2011年，该公司以10家公司的投资组合退出SSIX，退出率为60%。这高于图8所示的顶级风险投资公司。相反，同向和异向模型的表现并不一致。此外，有序逻辑模型在2011年的表现很糟糕，但与2012年的同质模型一样好。我们在表5和表6中列出了稳健异方差模型投资组合的公司。可以看出，Allexit是收购，比IPO更常见。

一些收购非常重要。例如，格力于2012年以2.1亿美元收购了2011年投资组合中的移动游戏公司Funzio（Cutler 2012）。我们在附录E.9中显示了所有车型和年份的投资组合。结论我们提出了一个利用在线数据评估初创公司质量的贝叶斯建模框架。我们首先分析了从数据集构建的特征，以从经验上了解影响公司成功的因素。然后，我们引入了一个布朗运动模型来描述创业公司融资轮的演化，以计算相关的退出概率。在此基础上，我们使用不同的似然或先验分布规范开发了布朗运动模型的四种变体。我们根据数千家公司的数据估算了这四个模型。因为我们关注的是aHunter、Saini和Zaman:WinningTable 5，这是我们2011年投资组合中使用贪婪优化和robustheteroskedastic相关模型构建的顶级公司。显示的是公司名称、达到的最高融资轮数、预测退出概率和贪婪目标值（至少一次退出的概率），当公司四舍五入到最接近的百分之一时。退出的公司以粗体突出显示。2011年公司最高融资轮退出概率目标值Funzio收购0.54 0.54 Longboard Media收购0.43 0.74 AirTouch Communications A 0.49 0.86 Sequent B 0.47 0.92Bitzer Mobile收购0.47 0.95SHIFT收购0.44 0.96 Livestar收购0.38 0.97Jybe收购0.4 0.98Whitetruf fle Seed 0.4 0.99Adteractive A 0.27 0.99表6 2012年公司排名采用贪婪优化和鲁棒异方差相关模型构建投资组合。

显示的是公司名称、达到的最高融资轮数、预测退出概率和贪婪目标值（至少一次退出的概率），当公司四舍五入到最接近的百分之一时。退出的公司以粗体突出显示。2012年公司最高融资轮退出概率目标值SQ收购0.76 0.76 MetaResolver收购0.73 0.93Trv C 0.67 0.97Glossi Inc Seed 0.75 0.99Boomerang Seed 0.71 0.99Alicanto A 0.3 1.0SnappyTV收购0.25 1.0AVOS Systems A 0.17 1.0Adept Cloud收购0.17 1.0Runa收购0.21 1.0贝叶斯建模框架，我们能够使用我们的参数估计来确定哪些特征与具有统计意义的成功公司相关。此外，我们使用层次贝叶斯模型（hierarchicalBayesian modeling）来估计行业特定模型，使我们能够深入了解不同行业的公司的成功因素是如何不同的。除了我们评估初创企业质量的框架外，我们还提出了挑选赢家框架，用于构建回报巨大或回报非常低的项目组合。我们将这个问题模拟为一个最大化至少一个项目获得高额回报或获胜的概率的问题。这种概率的子模块性允许我们使用agreedy方法有效地构建投资组合。我们将我们的投资组合构建方法应用于初创公司，这些公司具有这种顶级回报结构。为了计算获胜的相关概率，我们使用了估计的布朗运动模型。我们用我们的方法构建投资组合，其表现优于顶级风险投资公司。

TheHunter、Saini和Zaman:Winningresults表明，我们的建模和投资组合构建方法是有效的，并为评估初创公司的质量提供了量化方法。这项工作还有几个后续步骤。一个是关于公司退出的处理方式。在我们的模型中，收购和ipo是等价的，但实际上ipo要难得多，可以带来更高的回报。我们的模型可以进行修改，以区分IPO和收购，也可以纳入IPO或收购的货币价值。对于IPO，该估值数据是公开的，但收购数据通常是私有的，可能很难获得。另一个方向涉及模型中使用的特性。虽然我们包含了许多相关功能，但可能还有其他有用的功能具有预测能力。例如，公司成立年份不同宏观经济指标的价值可能会影响其退出概率。除了所使用的功能类型之外，还可以探索将它们合并到模型中的方式。我们在特征与漂移和扩散之间使用了简单的线性映射。然而，使用非线性映射的更复杂模型可能会提高性能。附录A：证明A。定理7.1的证明我们通过将U（S）最大化问题化为最大覆盖问题，证明了U（S）最大化是NP难的。在这个问题中，一个给定了一个由n个元素组成的集合U和一个由U的n个子集组成的集合E={Ei}Ni=1，这样se∈EE=U。目标是从E中选择M集，使它们的并集具有最大基数。这是一个NP难优化问题。为了证明这是最大化U（S）的一个实例，我们假设样本空间Ohm 是可数的且与R元素是有限的。我们还假设每个元素ω∈Ohm 概率相等，即P（ω）=R-设F为的σ-代数Ohm.

对于任何集合S∈F、 我们可以写U（S）=R-1 | Sω∈Sω|。然后我们有马克斯E、 | S |=MU（S）=最大E、 | S |=MR-1.[ω∈Sω= 最大值E、 | S |=M[ω∈Sω.因此，最大化U（S）等价于最大覆盖问题。A、 2。引理1的证明函数U（S）是非负且非递减的，因为它是一组事件的概率。我们必须证明它也是子模。满足函数的子模函数S【v】-f（S）≥fT【v】-f（T）（A.1）对于所有元素v和集合S和T对，S T我们证明了函数U（S）是子模的，如下所示。我们假设概率空间的σ-代数为F。考虑集S，T，v∈F使S T我们可以在定义vS=vTS、vT=vTTTSc和v=vTTc的地方编写EV=VSSVTSV。那么我们有了T【v】-U（T）=P（v）Hunter、Saini和Zaman：WinningandUS【v】-U（S）=PvT[伏≥P（v）≥UT【v】-U（T），从而表明U（S）满足子模块化条件。A、 3。定理7.4的证明我们将首先定义一些符号。对于0≤ l≤ k、 设Gl（S）表示基数为l的S的所有子集的集合。此外，对于0≤q≤k、 我们还将事件Wq（S）和Yq（S）定义为以下Wq（S）=[T∈Gq（S）\\我∈TEi\\\\j∈S\\TEcjYq（S）=k[t=qWt（S）。特别是，Wq（S）是事件，其中事件EI的q正好为i∈发生。当然，Yq（S）是指EIQ或更多事件∈发生。使用这种表示法，当S是基数k时，我们得到以下v（S）=kXq=0P（Wq（S））lnqb+（k-q） ak公司=k-1Xq=0（P（Yq（S））-P（Yq+1（S）））lnqb+（k-q） ak公司+ P（Yk）lnkbk公司= ln（a）+kXq=1P（Yq（S））ln1+b-a（q-1） b+（k-q+1）a. （A.2）以上第二行源自Yq（S）和Wq（S）的定义，第三行源自对数的基本属性。我们现在将通过证明S=[k]使（A.2）中给出的和中的每一项最大化来结束，因此它是最大化V（S）。

现在，因为假设b>a，我们有1+b-a（q-1） b+（k-q+1）a> 0.对于所有q∈ [k] 。由于该值的正性，最大化（A.2）中给出的和中的每一项将减少最大化P（Yq（S））的问题。最后，我们证明了对于所有q，S=[k]使P（Yq（S））最大化∈ [k] 。如果[k]是P（Yq（S））的最大化子，那么我们就完成了。我们定义了SL=[k]，出于矛盾的目的，我们假设存在基数k的S+，使得S+6=SL，且P（Yq（S+））>P（Yq（SL））。因此，我们知道存在ar∈S+和a t∈SLR/∈SL，t/∈S+，和pt≥pr，否则我们将得到S+=SL。然后从Yq（S）的定义来看，我们得到了thatP（Yq（S+））=prPYq（S+）| Er+ (1 -pr）PYq（S+）| Ecr= PYq（S+）| Ecr+ 公共关系PYq（S+）| Er-PYq（S+）| Ecr= P（Yq（S+\\{r}））+prPYq公司-1（S+\\{r}）-PYq（S+\\{r}）.Hunter、Saini和Zaman：根据类似的逻辑，我们有That P（Yq（S+∪{t} \\{r}）=P（Yq（S+\\{r}））+ptPYq公司-1（S+\\{r}）-PYq（S+\\{r}）.最后，Yq-1（S+\\{r}） Yq（S+\\{r}），因此P（Yq（S+））≤P（Yq（S+∪{t} \\{r}））。通过对不在SL中的S+的所有元素重复此论点，我们可以得出结论P（Yq（S+））≤P（Yq（SL））。然而，这是一个矛盾，因此SLI是P（Yq（S））的最大化子。A、 4。定理7.5的证明我们将以一种与第a.3节中的证明非常相似的方式开始。特别是，我们首先定义l的Wq和YQ∈[k] 如下wq（S）=[T∈Gq（S）\\我∈TEi\\\\j∈S\\TEcjYq（S）=k[t=qWt（S）。现在，让sk表示一个参数为k和p的二项式随机变量。然后，根据定理陈述中给出的假设，我们得到对数最优投资组合SL，p（Yj（SL））=kXi=jXT∈Gi（SL）P\\E∈TE\\\\F∈SL\\TFc≤kXi=jXT∈Gi（SL）（1+λ）pi（1-p） k级-i=（1+λ）kXi=jki公司pi（1-p） k级-i=（1+λ）P（Sk≥j） 。对于所有j∈[k] 。

根据同样的逻辑，我们也得到了挑选赢家投资组合SW，P（Yj（SW））≥(1 -λ） P（Sk≥j） 。然后，利用方程（A.2）、上述不等式以及P（Y（S））=U（S）的事实，我们得到V（SL）-V（SW）≤（U（SL）-U（SW））ln1+b-又称作+ 2λkXj=2P（Sk≥j） ln公司1+b-aka+（j-1） （b）-（a）.现在，使用切比雪夫不等式，一个二项式随机变量的方差，以及上面的不等式，我们得到了thatV（SL）-V（SW）≤（U（SL）-U（SW））ln1+b-又称作+ 2λkXj=2P（| Sn-kp公司|≥j-kp）ln1+b-aka+（j-1） （b）-（a）≤（U（SL）-U（SW））ln1+b-又称作+ 2λkXj=2kp（1-p） （j）-kp）ln1+b-aka+（j-1） （b）-（a）.Hunter、Saini和Zaman：WinningNow，回想一下ln（1+x）≤x代表x>-1、因此（SL）-V（SW）≤（U（SL）-U（SW））ln1+b-又称作+ 2λkXj=2kp（1-p） （j）-kp）j-1.≤（U（SL）-U（SW））ln1+b-又称作+ 2λkp（1-p） kXj=2（j-1） 对于第二个不等式，我们使用假设p∈0，k. 给出了SV（SL）的进一步分析-V（SW）≤c项次1+b-又称作+ 2λkp（1-p） kXj=2（j-1)≤（U（SL）-U（SW））ln1+b-又称作+ 2λkp（1-p）∞Xj=1j≤（U（SL）-U（SW））ln1+b-又称作+ 2λkp（1-p） ζ（3）。（A.3）现在，由于SLI是对数最优的，我们得到了V（SL）-V（SW）≥使用此关系，我们可以重新排列方程式（A.3）以获得（U（SW）-U（SL））ln1+b-又称作≤2λkp（1-p） ζ（3）U（SW）-U（SL）≤2λkp（1-p） ζ（3）ln1+b-又称作. （A.4）我们使用定理7.5的假设和二项分布的基本性质，得出下一个下界U（SW）=P（Yj（SW））=（1-λ） P（Sk≥1)≥(1 -λ)(1 -(1 -p） k）。

（A.5）将该下限与方程（A.4）相结合，我们得到了最终结果。U（SW）-U（SL）U（SW）≤2λkp（1-p） ζ（3）ln1+b-又称作(1 -λ)(1 -(1 -p） k）。附录B：行业名称我们从Crunchbase数据库中使用的行业名称包括：3d打印、广告、分析、动画、应用程序、艺术智能、汽车、自动汽车、大数据、生物信息学、生物技术、比特币、商业智能、云计算、计算机、计算机视觉、约会、开发者API、电子商务、电子学习、edtech、教育、Facebook、，幻想运动、时尚、智能、金融、金融服务、能力、gpu、硬件、医疗保健、健康诊断、医院、保险、互联网、物联网、iOS、生活方式、物流、机器学习、医疗、医疗设备、消息传递、移动、纳米技术、网络安全、开源、个人健康、宠物、光共享、可再生能源、骑乘共享、机器人、，搜索引擎、社交媒体、社交网络、软件、太阳能、体育、交通、视频游戏、虚拟现实和虚拟化。Hunter、Saini和Zaman：WinningAppendix C：顶级学校名称用于顶级学校功能的学校有：伯克利、布朗、加州理工学院、卡内基梅隆、哥伦比亚、康奈尔、达特茅斯、杜克、哈佛、约翰霍普金斯、麻省理工学院、西北、普林斯顿、斯坦福、芝加哥大学、宾夕法尼亚大学、沃顿和耶鲁。附录D：MCMC取样器的详细信息我们使用Gibbs方案中的阻塞Metropolis从模型参数的后验分布中采样。在附录D.1中，我们描述了用于参数采样的Metropolis步骤的细节。

在本附录的以下章节中，我们描述了如何对第5节中描述的四个模型中的每个模型的参数进行采样。请注意，在以下部分中，我们使用Θ来描述模型参数集和符号Θ-α来描述不包括参数α的一组模型参数。D、 1。Metropolis StepLetαide的详细信息请注意参数块α的第i个样本。在Metropolis Hastings随机游走的每一步中，样本（i+1）的建议值都是从具有平均α和方差的正态分布中提取的. 在参数块α是向量的情况下，我们使用平均α和对角协方差矩阵相等的多元正态建议分布一、 Graves（2011）发现，调整MCMC算法的步长有助于在采样期间保持较高的接受概率。因此，我们调整步长 根据PyMC3框架默认实施（Salvatier et al.2016）提出的时间表，基于先前样品的验收率，如下所示：1。将步长初始化为1.2。每100个样品，执行以下操作：o如果验收率小于。05，乘法 通过5o如果验收率低于。2，乘法 通过9o如果验收率大于。5，乘法 如果验收率大于，则乘以1.1。75，乘法 如果验收率大于，则增加2。95，乘法 10之前o否则不要更改D、 2。同构模型参数第5.1节中描述的同构模型中的模型参数集为Θ={βyf，对于我们的数据中的所有y，σ，δ，ν，τ}。对于该模型，我们将超参数设置为uβ=0，σβ=100，aσ=3，bσ=1，λ=1，aν=0，bν=50，aτ=-10，且bτ=10。一般来说，我们选择的超优先级是fl-at和noninformation。对于ν和τ的先验值，我们将数据分析中的信息纳入第3节。

具体而言，我们的数据显示，50年后没有公司会退出，因此我们将ν的上限设定为50。此外，根据我们的数据分析，我们可以合理地预期公司绩效的半衰期不到10年，因此我们将log（τ）限制在-10和10之间。我们注意到，对于该模型，由于数据似然P（T，X |Θ）和参数先验之间缺乏共轭性，因此任何模型参数的后验值都不能以闭合形式书写。因此，我们对每个Hunter、Saini和Zaman进行采样：Winning参数块α∈ Θ根据附录D.1中的规则使用随机行走Metropolis步骤，抽样分布p（α| T，X，Θ）-α) ∝P（T，X |Θ）-α)YYy=1P（βy |βy-1)P（β）P（σ）P（δ）P（ν）P（τ），（D.1），其中可能性和先验值如第5.1节所述。这里，使用IBBS采样器的Metropolis中的参数块分别为y、σ、δ、ν和τ的βyf。D、 3。异方差和稳健异方差模型参数第5.2节和第5.3节中分别描述的异方差和稳健异方差模型中的模型参数集为Θ={βyf，对于我们的数据中的所有y，γ，δ，ν，τ}。对于该模型，我们将超参数设置为uβ=0，σβ=100，uγ=0，σγ=100，λ=1，aν=0，bν=50，aτ=-10，且bτ=10。与homoskedasticmodel一样，我们选择的超优先级为fl-at和noninformation。我们注意到，对于这些模型，由于数据似然P（T，X |Θ）和参数先验之间缺乏共轭性，因此任何模型参数的后验值都不能以闭合形式写入。因此，我们对每个参数块α进行采样∈ Θ根据规则第D.1节使用随机行走Metropolis步骤，采样分布p（α| T，X，Θ）-α) ∝P（T，X |Θ-α)YYy=1P（βy |βy-1)P（β）P（γ）P（δ）P（ν）P（τ），（D.2），其中对第5.2节和第5.3节中描述的每种模型类型使用适当的似然和先验。

这里，Gibbs采样器内Metropolis中的参数块分别为y、γ、δ、ν和τ的βyf。附录E：模型投资组合在此，我们展示了2011年和2012年各模型选择的独立和相关投资组合中排名前十的公司。