（21）在图5中，我们表明，与温度采样频率无关，平均集成功率谱密度很好地捕获了表征每个城市经验时间序列的相关频率。事实上，从panelsaandb可以看出，基于每周和每日频率记录的数据的整体功率谱完美地捕捉到了与季节周期相关的六个月周期。面板c显示，每8小时记录的数据中也会出现相同的频率，并且在根据此类数据校准集合时，功率谱也能准确捕获与昼夜周期相关的日频率（见插图）。在图6中，我们将上述分析扩展到矩的周期性。面板A显示了上述30个城市记录的温度的经验日变化与相应的总体平均值。乍一看，温哥华、波特兰、旧金山、西雅图、洛杉矶、圣地亚哥、拉斯维加斯、凤凰城、阿尔伯克基、丹佛、圣安东尼奥、达拉斯、休斯顿、堪萨西、明尼阿波利斯、圣路易斯、芝加哥、纳什维尔、印第安纳波利斯、亚特兰大、底特律、杰克逊维尔、夏洛特、迈阿密、匹兹堡、多伦多、费城、纽约、蒙特利尔、波士顿16/20a B1001011020-2100104106C dFigure 6。集合保持数据周期性的能力。

a） 所有30个城市在8小时间隔内记录的温度变化（蓝线表示经验值，橙色线表示总体平均值）。b） 比较城市间8小时温度变化的经验谱（虚线）和集合谱（蓝线）。c） 所有30个城市每隔8小时记录的温度偏差（蓝色线表示经验值，橙色线表示插入平均值）。d） 比较城市间8小时温度偏斜的经验谱（虚线）和集合谱（蓝线）。后者似乎与前者在很大程度上不相关。然而，面板B中显示的相应功率谱亮起了这些频率的功率。Cd与经验频率相关的每日频率。这导致了一种清晰可辨的振荡模式，它明显偏离了经验行为。然而，这些结果很有趣。事实上，正如在面板中所看到的，正（负）偏度值发生在夏季（冬季）月份，反映了较高（较低）的平均温度。虽然这是一个相当微不足道的例子，但它强调了集成方法如何能够揭示真正有助于研究中系统动力学的风格化趋势。C最佳投资组合选择让我们考虑每日财务回报的矩阵RIT（i=1，…，N，t=1，…，t），并计算相应的相关矩阵（即，Ci jdenotes stocksiandj之间的皮尔逊相关系数，在时间段内计算[1，t]）。

然后，最优投资组合问题相当于解决以下向量ππ=（π，…，πN）的优化问题∈ RN：最小πππN∑i、 j=1Ci jπiπj（22）17/20标的吨∑i=1πiui=u；N∑i=1πi=1，（23），其中等式（22）表示组合方差的最小化，而（23）中的等式表示对预期回报（uide表示股票i的预期样本外回报，而u表示组合的预期回报）和可用资本（通常设置为一个单位）的约束。预期收益ui是根据均值回归计算的（通常是这样的），即假设t+1天的收益率将减去t天的收益率。在上述位置上，优化问题的解决方案为（参见主要论文中的参考文献[37]）πi（u）=N∑j=1C-1i j（`（u）+ug（u）），（24），其中`（u）=c-buac-b、 g（u）=au-美国银行-b（25）a=N∑i、 j=1C-1i j，b=N∑i、 j=1C-1i juj，c=N∑i、 j=1C-1iuiuj。

（26）表3中投资组合的夏普比率在下表中，我们报告了主要文件表1中考虑的相同投资组合的夏普比率（定义为一段时间内投资组合回报与投资组合方差之间的比率）。PPPPq=2/30.032（-0.19，0.31）0.009（-0.22，0.23）-0.077（-0.25，0.15）-0.022（-0.22，0.28）q=1/4-0.013（-0.21，0.12）-0.022（-0.26，0.23）0.011（-0.19，0.20）-0.037（-0.27，0.15）q=2/30.042（-0.14，0.22）0.041（-0.01可以看出，16，0.22）0.081（-0.17，0.34）0.054（-0.17，0.25）q=1/40.035（-0.23，0.26）0.035（-0.17，0.24）0.073（-0.16，0.32）0.062（-0.13，0.34），在这种情况下，应用主要文件中概述的“清洗”程序也会产生有益的效果，从而提高平均夏普比率，并减少其周围的不确定性。E过度融资测试与风险价值估计的应用在本节中，我们扩展了本文中讨论的集成方法的财务应用，特别关注潜在的过度融资问题。也就是说，集合所依赖的拉格朗日乘子的数量与想要实施的约束的数量成线性增加。例如，主要论文中详述的多变量情况（等式（7））取决于8（N+T），对于少量变量和小样本大小测试，8（N+T）可以与用于校准系综的数据点数量（N×T）具有相同的数量级。反过来，这可能会引发对潜在过度融资问题的担忧。我们通过展示该方法的性能来解决上述问题，使用该方法计算样本外风险值（VaR）估计时，基于日益受限（因此参数化）的集合版本。VaR是金融风险最常用的衡量标准。

对于给定的重要级别α，它只是指1-某金融股票或投资组合回报分布的α分位数。估计VaR的最简单方法是通过历史估计，即1-已知α历史估计值在样本外通常不可靠，有大量文献致力于增强，将采用类似的推理路线，将VaR估计值计算为我们集合生成的分布的分位数，从感兴趣的经验时间序列开始，我们将根据一些标准的统计测试来评估它们的样本外性能。18/20在下文中，我们考虑两个长度分别为1000天和1500天的金融时间序列，分别对应于2008年5月7日至2013年3月13日的巴黎银行收益率和2008年5月7日至2014年7月26日的标准普尔指数收益率。对于每个时间序列，我们继续使用滚动窗口方法计算VaR估计。即，我们在τ=150天的时间窗口[t，t+τ]上计算样本内VaRestimate，并在第t+τ+1天评估其样本外性能。

我们基于我们的集合方法的以下三个版本进行这项工作：模型M1我们仅约束集合以保持经验时间序列的方差，并且数据mξiξi=0.25,0.5,0.75的累积值对应于4个约束和拉格朗日乘子。模型M2–这对应于一个基于多时间序列情况自适应的故意高度参数化模型。也就是说，让我们考虑150个利息回报来计算新的风险估计，并将其表示为asr，。。。，r、 然后，我们用以下循环结构形成一个25×126（大致相当于一个交易月和一个交易年半的长度）矩阵=rr···rεrr···rr。。。。。。。。。。。。。。。rr···rr.矩阵右上角条目中的数量ε表示第151天未知的样本外退货。我们假设它的可能值ε=±min | rt |，然后生成相应的系综约束它以保持s±iR±t，其对应于2（25+126）=302个约束和拉格朗日乘数。我们为上述两个ε值生成集合，并将所得的两个分布组合起来，以计算151天回报的VaR估计。模型M3–与模型M2相同，对每个hm±t中记录的正收益和负收益的数量有额外的限制。这一共给出了3个（25+126）=453个限制条件和拉格朗日乘数。ModelsM2andM3是高度约束（因此高度参数化）的模型，因为它们强制相应的ingAssemble保留时间序列的大量局部属性。α测试通过MMM90%6 495%8 599%8 699.99%8表4。

BNP股票在不同显著水平α下的样本外VaR估计通过的测试次数。我们从dayst=1,2，…，开始，在所有长度为τ=150天的时间窗口上校准上述模型，。。。，T-151并分别计算每个项目的样本外VaR估计值、BNP的估计值和S&PIndex的估计值。然后，我们将这两个时间序列的估计值汇集在一起，并通过金融文献中广泛采用的8个标准测试来评估其样本外表现。这些是交通灯、二项式、故障比例、直到第一次故障的时间、条件覆盖、条件覆盖独立性、故障间隔时间和故障间隔时间独立性测试（参见Nieppola，O.，Backtesting Value at Risk Models了解其定义）。表4和表5分别显示了BNP和标准普尔指数的结果（报告为通过测试的数量），α是约束的数量，无论显著性水平如何，即使将这些数字推到接近可用数据点的数量。值得注意的是，当使用M3模型时，所有测试都通过了95%或更高。RLLof线性依赖，约束的有效数量最多减少max（L，L），这仍然相当于一个过度参数化的模型。19/20α测试通过MMMm90%5 4 95%8 7 699%8 7 799.99%8表5。标准普尔指数在不同显著水平α下的样本外VaR估计通过的测试次数。20/20