小蜱虫种群（即AMZN、TSLA和NFLX）的特征值通常大于大蜱虫种群（即ORCL、CSCO和MU），但在所有情况下，对于所有≥ 2，ITH特征值与第一个特征值的比率始终非常接近0。这有力地表明，多元OLS回归得到的参数估计是不稳定的。因此，对OLS回归得出的βmcoe系数的直接解释可能会产生一种误导性的画面，即m级出价和要价的净订单流动如何真正影响中间价的同期变化。特征值数字104103102101100101102特征值大小图2：图1.5中所示样本相关矩阵的特征值。岭回归适合MLOFI为了解决我们在第5.3节中发现的多重共线性问题，我们现在采用另一种方法来拟合MLOFI方程的参数（16）。具体而言，我们实施岭回归，旨在通过在多元回归方程中引入正则化项来消除多重共线性的影响。有关岭回归的完整讨论，请参见Hoerl和Kennard【1970年】。对于给定的股票，在给定的时间窗口长度内T，对于给定的M选择，lety：=(P、 ····，PK）T，X：=1百万欧元。MLOF IM。。。。。。。。。。。。1 MLOF IK。MLOF IMK,β：=（α，β，···，βM）T和ε：=（ε，···，εK）T，其中ε的元素是平均值为0的独立同分布（iid）高斯随机变量。使用此符号，我们可以重写MLOFI线性模型asy=Xβ+ε。

（17） 在岭回归中，而不是简单地寻找使Leatsquares成本函数| | y最小化的β值- Xβ| |，我们取而代之的是寻求使Ridgeregression成本函数c（β，λ）=| | y最小化的β值- Xβ| |+λ| |β| |，，（18）其中超参数λ≥ 0控制正则化的强度。直观地说，对于λ的任何选择，λ| |β| |作为代价函数中的惩罚项。回归参数的大小越大，惩罚越大。不稳定的OLS回归函数通常会导致非常大幅度的拟合回归参数。在Ridgeregression中，正则化有助于将成本函数的全局最大值从原本不稳定的回归函数中移开。5.4.1选择正则化参数λ我们使用5倍交叉验证来选择正则化参数λ的合适值。具体而言，我们考虑50个对数间隔的候选值λ的范围-5和10，我们选择产生最小交叉验证误差的值^λ。有关交叉验证的详细介绍，请参见Hastie等人【2009年】。为了说明这一过程，图3显示了平均交叉验证误差作为AMZNλ的函数。如图所示，平均交叉验证误差中存在明显的局部最小值，即λ≈ 表7显示了我们样本中每种股票的相应^λ值。105103101101103105100120140160180200220240交叉验证错误图3：平均交叉验证错误AMZN。我们考虑50个对数间隔的候选值λ在10之间的范围-5和10。AMZN TSLA NFLX ORCL CSCO MU^λ139.0 54.3 33.9 3.2 1.3 2.0表7：岭回归成本函数中^λ的交叉验证估计（18）。

我们考虑50个对数间隔的候选值λ在10之间的范围-5和10（见图3）。5.4.2多重线性回归的岭回归拟合表8显示了我们对每只股票进行的2772次回归中的平均拟合回归系数及其平均标准误差。表9显示了在95%水平上显著的相应t统计、p值和样本百分比。AMZN TSLA NFLX ORCL CSCO MUα-0.05 (0.43) 0.01 (0.23) 0.01 (0.07) 0.00 (0.01) 0.00 (< 0.01) 0.00 (< 0.01)β2.17 (0.50) 1.28 (0.26) 0.46 (0.10) 0.05 (0.01) 0.03 (0.01) 0.04 (0.01)β1.99 (0.49) 1.04 (0.26) 0.42 (0.10) 0.06 (0.01) 0.04 (0.01) 0.04 (0.01)β1.85 (0.49) 0.90 (0.25) 0.39 (0.10) 0.05 (0.01) 0.03 (0.01) 0.06 (0.01)β1.44 (0.48) 0.78 (0.25) 0.37 (0.10) 0.05 (0.01) 0.05 (0.01) 0.08 (0.01)β1.21 (0.48) 0.70 (0.25) 0.34 (0.10) 0.07 (0.01) 0.06 (0.01) 0.08 (0.01)β1.09 (0.47) 0.69 (0.25) 0.32 (0.10) 0.09 (0.01) 0.08 (0.01) 0.09 (0.01)β1.01 (0.47) 0.63 (0.25) 0.33 (0.10) 0.09 (0.01) 0.08 (0.01) 0.08 (0.01)β0.92 (0.46) 0.57 (0.24) 0.32 (0.10) 0.08 (0.01) 0.08 (0.01) 0.08 (0.01)β0.89 (0.46) 0.53 (0.25) 0.36 (0.10) 0.07 (0.01) 0.07 (0.01) 0.07 (0.01)β1.01 (0.48) 0.60 (0.25) 0.46 (0.10) 0.09 (0.01) 0.06 (0.01) 0.07（0.01）表8：MLOFI方程的岭回归参数估计（16）。括号中的数字表示已拟合参数的平均值，括号中的数字表示标准误差的平均值，每个值取自我们执行的2772次回归（见第4.2节）。

对于每种股票，我们使用5倍交叉验证来选择λ的值（见第5.4.1节）。我们通过van Wieringen【2015】第1.4.2节中给出的公式获得岭回归的标准误差。AMZN TSLA NFLXRidge t-stat p值计数%t-stat p值计数%t-stat p值计数%α-0.17 0.23 29%0.07 0.31 32%0.16 0.29 9%β4.87 0.02 93%5.35 0.02 94%5.65 0.02 79%β4.73 0.03 92%4.90 0.03 91%5.81 0.03 78%β4.47 0.04 89%4.41 0.05 86%5.87 0.04 77%β3.92 0.07 82%4.07 81%5.86 0.04 75%β3.52 0.10 74%3.79 0.09 77%5.56 0.05 72%β3.29 0.11 70%3.76 0.09 77%5.31 0.06 68%β3.140.13 67%3.55 0.10 73%5.24 0.06 67%2.98 0.15 64%3.30 0.12 69%5.20 0.06 67%2.89 0.16 63%3.13 0.13 68%5.37 0.05 71%2.81 0.15 64%3.07 0.13 68%5.76 0.03 78%ORCL CSCO MURidge t-stat p-value count%t-stat p-value count%0.26 0.20 51%0.27 0.16 63%0.17 0.16 60%β5.81 0.04 89%4.93 0.08 80%5.86 0.07 83%β6.75 0.03 90%6.57 0.06 84%6.42 0.06 85%β5.86 0.06 84%5.69 0.12 72%8.91 0.03 92%β6.10 0.07 83%8.23 0.05 86%10.59 0.02 94%β8.07 0.03 93%9.42 0.03 92%10.88 0.02 95%β9.54 0.01 97%11.39 0.01 97%11.52 0.01 97%β9.61 0.01 97%12.29 0.01 98%10.80 0.01 96%β8.94 0.02 95%11.20 0.02 96%10.45 0.02 96%β8.47 0.02 94%9.53 0.02 94%9.23 0.02 93%β9.32 0.01 97%8.51 0.03 92%9.11 0.02 94%表9：统计显著性检验（即，平均t统计量、平均p值和95%水平上显著的样本百分比）岭回归参数对MLOFI回归方程（16）的拟合，在我们执行的2772次回归中进行（见第4.2节）。对于截距系数α，我们使用岭回归得到的结果与使用OLS回归得到的结果相似（见表5）。

在所有情况下，我们再次发现α≈ 0，这表明我们样本中所有股票的买方和卖方行为近似对称。对于βmcoe系数，我们通过岭回归（见表8和表9）得到的结果与通过OLS回归（见表5和表6）得到的结果非常不同。最值得注意的是，使用岭回归得到的β值比使用OLS回归得到的β值具有更强的统计显著性和更小的方差。总之，这些结果表明岭回归在克服多重共线性引起的问题方面做得很好。在第5.2节中，我们避免对通过OLS回归获得的βmcoe系数值进行定量分析，因为许多已确定参数的统计显著性较弱，可能导致我们得出误导性结论。相比之下，岭回归得到的几乎所有βm的拟合值在统计学上都非常显著（见表9）。因此，我们现在将注意力转向解释这些价值观。对于小蜱类股票（即AMZN、TSLA和NFLX），βmcoe系数的设定值大致随m的增加而减少。这表明，对于小蜱类股票，最接近买卖价差的订单流动活动对中间价的同期变化影响最大，但深入LOB的订单流动活动仍然发挥作用。对于大型蜱虫种群（即ORCL、CSCO和MU），βmcoe系数的拟合值都很小，但不为零，并且在统计上非常显著。随着m的增加，拟合值也没有明显下降（如果有任何变化，则似乎略有增加）。

这表明，对于大型股票，所有第一个M=10价格水平的订单流量活动都会影响中间价的同期变化。为了更详细地分析这一结果，我们现在将注意力转向评估已拟合的MLOFI方程（16）在多大程度上反映了FIRSTM价格水平下的净订单流量与中期价格同期变化之间的关系，对于一系列不同的M.5.5评估拟合优度的选择为了评估回归的拟合优度，我们首先关注Cont等人【2014年】，考虑到测定R的调整系数。然而，我们注意到，由于我们在第5.3节中报告的多重共线性问题，分析调整后的系数可能会产生误导。因此，我们还研究了另一种拟合优度度量：抽样外MSE。5.5.1调整后的RFM对于给定的M选择，调整后的Rstatistic描述了输出变量的方差百分比（即给定时间窗口中的中间价变化），该百分比由同一时间窗口内MLOFI向量的前M个分量解释，使用MLOFI方程（16）中的系数。图4显示了我们样本中每种股票的平均调整后RFM∈ {1, 2, . . . , 10}.1 2 3 4 5 6 7 8 10 0.40.50.60.70.80.91.0调整后的R2AMZN OLSAMZN RidgeCSCO Olscco RidgeMU OLSMU Ridgeflx OLSNFLX RidgeORCL OLSORCL RidgeTSLA OLSTSLA Ridge图4：各种M选择的平均调整后统计数据，用于MLOFI方程（16）的（实线）OLS和（虚线）岭回归函数。M=1的情况对应于仅使用一级出价和要价的净订单流量（即OFI方程（7））。该案例是Cont等人【2014】的主要关注点。当M=1时，相应的回归是单变量的，因此OLS回归的输出与岭回归的输出相同。

稀有股票的价值最大的是大型股票。总的来说，我们的结果与Cont等人[2014]的结果相似，他们报告的值在0.35到0.8之间。对于我们样本中的所有股票，当使用OLS回归或岭回归时，平均调整后的R随M增加。因此，当使用Ras时，优度测量，包括LOB更深的额外水平，提高了Lofi方程的优度（16）。当M较小时，增长率最大，当M较大时，增长率相对较小。这表明，为了解释中间价的变动，在LOB更深层次的净订单流量中确实存在有用的信息，但其影响随着与买卖价差的距离增加而减小。对于AMZN和TSLA（我们样本中最小的蜱类种群），对于OLS回归，M=10的平均调整后的R值约为0.65，对于Ridgeregression，平均调整后的R值约为0.6；对于NFLX，对于OLSregression，M=10的平均调整右值约为0.9，对于岭回归，平均调整右值约为0.85；对于ORCL、CSCO和MU（这是我们样本中最大的蜱类股），M=10的平均调整右值都非常接近1。这表明，对于大型股票，M=10的MLOFI方程可以解释中间价变化的大部分（样本内）方差。对于所有M>1的值，调整后的Rfrom OLS回归大于相应的调整后Rfrom岭回归。从数学上讲，该结果是在岭回归成本函数（18）中包含惩罚项的直接结果。在Ridgeregression中，惩罚项可以减少已确定参数的方差，但这样做的代价是引入偏差。

相比之下，标准多元OLS回归得出的相应参数估计值是无偏的，但在多重共线性存在的情况下，它们可以表现出非常大的方差，就像我们的数据一样（见第5.3节）。这可能导致OLS回归函数在样本外表现不佳。正如我们在下一节中所揭示的，情况确实如此。5.5.2样本外均方根误差虽然分析调整后的Rhelps以深入了解不同M值的已拟合MLOFI方程（16）的样本内特性，但这种优度度量也克服了当前应用中的两个重要缺点。首先，也是最重要的一点，调整后的Ris是一种样本内测量，因为它使用相同的数据点来执行回归，并估计分布关系的方差特性。考虑到我们在第5.3节中描述的多重共线性问题，样本度量中的suchan可能会低估样本外的真实方差。这就产生了一个问题，即在MLOFI方程（16）的背景下，调整后的Ris是否真的是一个有意义的度量。其次，调整后的Rmeasure是一个什么样的概念，因为它试图量化解释的方差分数（这是一个无量纲的量），而不是输出误差，输出误差具有“价格”维度。这使得很难解释调整后的Ris中的给定变化是否具有经济意义。为了解决这两个问题，我们还研究了另一种衡量指数的方法：样本外均方根误差（RMSE）。我们使用类似于5倍交叉验证的方法来计算样本外MSE。对于每只股票，我们首先将数据集分成5个单独的折叠。

对于给定的褶皱，我们使用其他4个褶皱中的所有数据，通过OLS或岭回归拟合MLOFI方程（16）的参数。然后，我们计算相同4倍的拟合MLOFI方程（16）的RMSE。我们称之为样本内RMSE。然后，我们使用相同的ttedparameters来估计其他倍数的RMSE（这在回归系数中未使用）。我们称之为样本外RMSE。我们分别对5个文件夹中的每一个重复此过程，并记录这5个重复的样本外RMSE平均值。图5显示了AMZN（我们样本中最小的蜱虫）和MU（我们样本中最大的蜱虫）的样本内和样本外平均RMSE。forTSLA的结果与AMZN的结果在质量上相似；所有其他股票的结果在质量上与MU的结果相似。1 2 3 4 5 6 7 8 9 10M7.07.58.08.59.09.510.0样本中的均方根误差（ticks）AMZN OLS 1 3 5 6 7 8 10M0.0250.0500.0750.1000.1250.1500.1750.2000.2250.250样本中的均方根误差（ticks）MU OLS 1 2 3 5 6 7 8 9 10M7.07.58.08.59.09.510.0样本外的均方根误差（ticks）AMZN脊1 2 3 4 5 6 7 8 910M0.0250.0500.0750.1000.1250.1500.1750.2000.2250.250根均方误差（ticks）样本中的MU Ridge样本外的MU Ridge图5：通过使用（顶行）OLS回归和（底行）Ridge回归拟合MLOFI方程（16），获得（左面板）AMZN和（右面板）MU的样本内平均值（虚线）和（实线）样本外RMSE。TSLA的结果与AMZN的结果定性相似；所有其他股票的结果与MU的结果在质量上相似。对于所有股票，当同时使用OLS回归和岭回归时，取样器内的MSE随着M的增加而减少。

对于NFLX、ORCL、CSCO和MU，当使用OLSregression时，样本外RMSE也会随着M的增加而减少。然而，对于AMZN和TSLA，通过OLS回归获得的样本外RMSE首先下降，但当M值大于约5时，则随后上升。这是过度装修的经典标志。对于我们样本中的所有股票，当使用岭回归时，样本外RMSE随着M的增加而减小。这表明岭回归成本函数（18）中的正则化参数成功地抵消了我们在AMZN和TSLA的OLS函数中观察到的过度拟合的影响。1 2 3 4 5 6 7 8 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10根均方误差（ticks）AMZN OLSAMZN RidgeCSCO OLSCSCO RidgeMU OLSMU RidgeNFLX OLSNFLX RidgeORCL OLSORCL RidgeTSLA OLSTSLA Ridge图6：通过使用（实线）OLS回归和（虚线）岭回归拟合MLOFI方程（16）获得的样本外平均RMSE。图6显示了我们样本中所有股票的样本外平均RMSE，使用OLS回归和岭回归。正如我们在第5.5.1节中所述，当M=1时，OLSregression和岭回归产生相同的输出。在这种情况下，与我们在检查调整后的R时的结果一致，大型蜱虫种群的拟合优度最大（即抽样外的MSE最小），而小型蜱虫种群的拟合优度较弱。对于我们样本中的所有股票，当使用OLS回归或Ridgeregression时，RMSE随着M的增加而降低。因此，与我们的结果一致，当检查调整后的R时，我们再次得出结论，在LOB中加入更深的额外水平可以提高MLOFI方程的拟合优度（16）。当M较小时，改善率再次最大，当M较大时，改善率相对较小。

因为RMSE的单位是“价格”，所以我们可以看到，即使M的值接近10，Mcan的进一步增加仍然会使RMSE减少相当大一部分。在一些实际场景中，例如优化高频交易算法，这种幅度的改进可能具有经济意义。我们回到第6节的讨论。对于我们样本中的所有股票，在所有M>1的值下，岭回归得到的样本外RMSE小于OLS回归得到的相应样本外RMSE。这表明，当使用这种拟合优度度量时，我们的Ridgeregression函数优于MLOFI方程（16）中相应的OLS回归函数。为了有助于量化这种影响的强度，表10显示了通过M=10的MLOFI方程（16）的OLS和岭回归函数获得的RMSE的平均减少量，相对于从拟合的OFI方程（7）获得的RMSE（即，相对于仅包括一级出价和要价的订单流量不平衡获得的结果）。在所有情况下，使用MLOFI获得的样本外RMSE小于使用OFI获得的样本外RMSE。当使用OLS回归时，大型蜱类股的改善率约为60-70%，小型蜱类股的改善率约为5-35%。

当使用岭回归时，大型蜱类股的改善率约为65–75%，小型蜱类股的改善率约为15–30%。AMZN TSLA NFLX ORCL CSCO MUOFI 9.72 5.35 2.03 0.25 0.19 0.22 MLOFI，OLS 8.53 4.97 1.49 0.09 0.06 0.09 MLOFI，Ridge 8.05 4.53 1.41 0.08 0.05 0.08 OLSMLOFI比OFI12提高7%27%64%68%59%17%15%31%68%74%64%表10：OFI方程（7）和MLOFI方程（7）规定的样本外RMSE（单位：刻度）（16）M=10，以及与OFI实现的样本外RMSE相比，这些指标的相应改进。6讨论6.1与Cont等人的比较。在他们对标准普尔500指数成份股的研究中，Cont等人【2014】得出结论，只有接近最佳报价的订单流量才会对中间价的同期变化产生重大影响。在我们对纳斯达克交易的6只流动性股票的研究中，我们发现了强有力的证据表明，将MLOFI纳入LOB的价格水平可以显著降低已确定关系的样本外RMSE（见图6和表10）。对于大型tick股票而言，降幅尤其大，这是Contet al.（2014）的主要关注点。这就提出了一个有趣的问题，为什么我们的结果与Cont等人报告的结果不同。。我们提出了两个可能的答案。首先，Cont等人【2014年】使用OLS回归来拟合其MLOFI关系。如第5.3节所述，MLOFI向量中的特征变量对应于同一LOB内相邻价格水平的订单流量不平衡，因此可以合理预期它们可能表现出多重共线性。事实上，这在我们的数据中得到了经验验证（见图1和图2）。这种多重共线性可能导致莫非方程（16）的OLS回归函数不稳定，从而影响βmcoe系数的拟合值。其次，Cont等人。

【2014年】仅使用调整后的统计数据来评估其回归的优度。正如我们在第5.5.2节中所讨论的，此度量在当前应用中有一个重要的缺点：它可能会低估多重共线性存在时的真实样本外方差。虽然我们的R值表明，在价格水平上的净订单流深入LOB仍会影响中间价的同期变化（与Cont等人的发现相反），但仅基于此度量的任何结论都容易受到多重共线性可能导致的扭曲的影响。如果Cont等人研究的数据中多重共线性特别强，则可能会产生与Mertens等人相比的误导性R.6.2值。在最近的一份工作文件中，Mertens等人【2019】通过将价格影响建模为动态和潜在变量，扩展了Cont等人【2014】的OFI框架。在他们研究的5只股票（CSCO、INTC、MSFT、CMCSA和AAPL）中，Mertens等人报告称，他们的方法导致样本外RMSE降低了约20–80%。在我们自己的结果中，我们实现了大约15–75%的相应减少。虽然我们对这个问题采取了非常不同的方法，但我们所取得的进步与Mertens等人所取得的进步非常相似。。这两组结果都有助于说明，除了OFI之外，如何使用其他输入变量，有助于改善采样器外的MSE，以应对中期价格的同期变化。6.3了解LOB中的价格构成，中间价的变化通常是出价或要价变化的直接结果。

考虑到这种情况，为什么将价格水平的订单流更深地纳入LOB会产生更好的中间价同期变化的优度？我们提供了两种可能的解释。首先，从统计角度来看，观察LOB的卖出（分别买入）端的大量订单可能表明存在巨大的卖出（分别买入）压力。例如，如果交易员收到的私人信息表明价格在中期内可能上涨，那么他/她可能会决定购买该资产，意图持有该资产并享受随后的价格上涨。交易员购买资产的一种方法是提交一份买入市场指令。然而，通过这样做，交易者揭示了他/她购买的意愿，从而冒着所谓的信息泄露成本的风险，这种成本是由于其他交易者将这种市场订单的到达理解为揭示私人信息的信号而产生的。因此，交易者可能会选择提交限购令，而相关的信息泄露成本可能要低得多。如果几个不同的贸易商以这种方式进行交易，并且如果他们的私人信息确实正确预测了中间价的后续变化，那么他们相应的限额订单总流量将与中间价的变化相关联，即使他们选择在LOB深处的价格水平上提交这些限额订单。其次，从机械的角度来看，超过最佳报价的价格水平的订单流量也可能影响在给定时间间隔内发生的中间价格变化的大小。在多个相邻价格水平接近最佳报价的多个限价订单的LOB中，如果市场订单到达并将询价队列消耗为零，那么询价价格只能增加一个勾号。

然而，如果在次优价格下也有大量的取消，那么中间价格就更有可能发生更大的变化。正如这个例子所示，在所有其他条件相同的情况下，以最佳报价计算的订单净流出越强，中间价发生更大变化的可能性就越大。6.4小股票和大股票在我们的样本中，有一半的股票是小股票，其买卖价差通常为几个股票（见表1）。我们观察到，我们对小蜱类和大蜱类股票的结果存在很大差异，包括小蜱类股票的βmcoe系数（见表8）和MLOFI方程（16）的aweaker拟合优度（见图4）和RMSE（见图6和表10）之间的统计显著性较低。这就提出了一个问题，为什么具有不同相对刻度大小的股票应该表现如此不同。我们提供了两种可能的解释。首先，在LOB中，有三种情况可能导致中间价发生变化：（i）在买卖价差内到达的限价单；（ii）销售（分别购买）市场订单，消费整个一级竞价队列（分别询问队列）；或（iii）取消一级竞价或询价队列中的最后一个limitorder。然而，对于大型股票，关于信息泄漏成本概念的全面讨论，请参见Bouchaud等人【2018年】。买卖价差几乎总是在其最小可能值1勾。在这种情况下，新的限额指令不可能到达买卖价差内（我们在表2中直接观察到了这种现象）。

这可以防止（i）发生。根据我们对MLOFI的定义，到达展区内的新买入（分别卖出）限额订单将创建与到达一级出价（分别卖出）的相同大小的新买入（分别卖出）限额订单相同的MLOFI向量。第一个此类限价订单的到货将导致中间价的变化，而第二个此类限价订单则不会。因此，在可能发生（i）的情况下，相同的输入向量可以映射到不同的输出。这种影响可能会降低统计关系对小股票的预测能力。其次，根据我们对MLOFI的定义，在买卖价差内到达一个刻度的新买入（分别卖出）限额订单将创建与在买卖价差内到达多个刻度的新买入（分别卖出）限额订单相同的MLOFI向量。然而，这些事件将导致中间价发生显著不同的变化。这提供了另一种方法，当买卖价差大于1个刻度宽时，相同的输入向量可以映射到不同的输出。这种影响可能会降低小股票统计关系的预测能力。6.5评估表9中的重要结果清楚地表明，在我们所有的岭回归函数中，绝大多数已确定的βmcoe系数在统计上是显著的。然而，这并不一定意味着它们的增量影响（超出OFI单独实现的影响）具有经济意义。我们现在将注意力转向是否是这样。在研究拟合的MLOFI方程（16）时，拟合优度的最大改善出现在小蜱虫类股票和前几个价格水平上（见图6）。

例如，对于AMZN（我们样本中最小的蜱虫种群），在M=1和M=3之间的样本外RMSE的增量改进超过了完整蜱虫。在另一个极端情况下，对于大型蜱虫种群和M值较大的蜱虫种群，其拟合优度的改善最小。对于MU（这是我们样本中最大的蜱虫种群），M=9和M=10之间的样本外RMSE的增量改善约为0.002蜱虫。显然，这种影响的程度非常小。然而，在考虑所有系数β、β、…、的总体影响时，β加在一起，采样器外MSE的改善要大得多，范围从AMZN的约1.7蜱到MU的约0.1蜱（见表10）。这些改进是否具有经济意义？最终，这个问题的答案取决于上下文。对于一个花费700美元购买AMZN单一股票的交易员来说，几美分的价格差异几乎不明显。然而，对于一个操作高频交易算法的交易员来说，每天买卖大量股票数千次，情况就完全不同了。许多这样的从业者投入了巨额资金，希望通过一点点滴答声来改进他们的预测算法。最终，这样的改进可以使交易策略在有利与不有利之间产生差异。因此，我们认为，我们在表10中报告的改进在这种情况下确实具有经济意义。7结论在本文中，我们对MLOFI方程（16）进行了实证研究，该方程提出了LOB第一个M人口价格水平的净订单流量与中期价格的同期变化之间的简单线性关系。

利用2016年1月至12月期间纳斯达克交易的6只股票的最新高质量高频数据，我们进行了OLS回归和岭回归，以拟合MLOFI方程（16）。我们使用调整后的Rand和RMSE来评估我们的关系的优度，并对我们的结果进行定量比较。通过分析MLOFI向量中的样本相关性和样本外MSE，我们认为使用OLS回归拟合MLOFI方程（16）会产生大量结果，岭回归更适合这项任务。当使用样本RMSE中的任一Ror时，我们发现大型蜱虫种群的拟合优度远远高于小型蜱虫种群。对于我们样本中的所有股票，我们发现，随着M的增加，整体收益率增加。我们发现，小M的增长率最大，并且随着M的增加而降低。我们认为，在某些情况下，如优化高频交易算法，我们观察到的数量级的改进在经济上是有意义的。未来研究的一个明显途径是如何提高MLOFI方程的拟合优度的问题（16）。正如我们所讨论的，一种可能的前进方向可能是重新定义MLOFI向量，以解决我们在第6节中描述的一些弱点。另一种可能的方法可能是使用MLOFI向量，将价格影响建模为一个动态和潜在变量，使用Mertens等人【2019】最近引入的框架。第三种可能是在回归中加入其他输入变量。未来研究的另一个可能途径是深入了解小股票和大股票之间的差异。

从某种意义上说，具有不同刻度大小的股票应该表现不同，这似乎是不可避免的。然而，许多LOB的经验和理论研究表明，通过进行适当的重新缩放，特定LOB的许多看似特殊的属性实际上可能是普遍的（参见，例如Bouchaud等人【2002年，2018年】、Patzelt和Bouchaud【2018年】、Potters和Bouchaud【2003年】）。了解在MLOFI方程（16）的输入（即MLOFI向量）或输出（即中间价格的变化）中实施重定标度是否可以揭示大不相同LOB的普遍行为，这将是一件有趣的事情。附录A：我们在第4.2.2节中讨论的日内季节性，Cont等人【2014】和Mertens等人【2019】都报告了他们研究的OFI关系中的日内季节性。为了帮助评估日内季节性因素可能对我们的结果产生影响的程度，我们还研究了βM参数值在整个交易日的变化情况。为了进行该分析，我们使用了与主要计算相同的样本构建方法（见第4.2节），但我们分别计算了每个I=11个不同窗口的βM参数的平均值。例如，当在第一个时间窗口（运行时间为10:00–10:30）内确定AMZN的β参数时，我们仅使用每天10:00–10:30的数据，计算252个β参数拟合值的平均值。我们对OLS回归和岭回归进行了分析。图7显示了在每个I=11个不同窗口中，使用岭回归拟合的β、β和β参数的平均值。其他βM参数的行为在性质上与β和β相似。

使用OLS回归拟合βM参数的结果在质量上也很相似。时间窗101100mmZn 1AMZN 5AMZN 10CSCO 1CSCO 5CSCO 10MU 1MU 5MU 10NFLX 1NFLX 5NFLX 10ORCL 5ORCL 10TSLA 1TSLA 5TSLA 10图7：MLOFI方程（16）中平均值（实线）β、（虚线）β和（虚线）β系数的岭回归估计，当仅使用给定30分钟时间窗口中的数据取相应设定值的平均值时。第一个时间窗口从10:00到10:30运行，第二个时间窗口从10:30到11:00运行，依此类推。当通过OLS回归拟合参数时，结果在质量上是相似的。对于CSCO和MU，这是我们样本中两个最大的蜱虫种群，我们观察到β参数的平均值在日内显著下降。这表明，对于一级买卖价格的给定净订单流量，在交易日晚些时候出现的时间窗口内，中间价的同期变化通常较小。这一结果与Cont et al.（2014）和Mertens et al.（2019）一致，他们也主要关注大型蜱虫类股票。然而，对于我们样本中的所有其他股票，我们发现这种影响的大小（充其量）非常小，很难与随机波动引起的自然变化分开。对于我们样本中的所有股票，我们观察到任何其他βM参数（即β，β，…，β）的平均值在日内没有系统性下降。

因此，考虑到这种影响只发生在我们2只股票的β参数上，并且考虑到日内季节性不是我们工作的核心焦点，我们选择在本文的主体部分展示我们所有的经验计算，同时使用所有I=11时间窗。致谢我们感谢一位匿名评论者提供了许多有益的意见和建议。我们感谢EPSRC和詹姆斯·S·麦克唐纳基金会对这项研究的支持。参考A。阿方西、A.福鲁斯和A.希德。具有一般形状函数的极限订货书的最优执行策略。《定量金融》，10（2）：143–157，2010年。M、 Avellaneda、J.Reed和S.Stoikov。在存在隐性流动性的情况下，根据一级报价预测价格。算法金融，1（1）：35–432011。J、 P.Bouchaud。价格影响。量化金融百科全书，2010年。J、 P.Bouchaud、M.M’ezard和M.Potters。股票订单簿的统计特性：实证结果和模型。《定量金融》，2（4）：251–256，2002年。J、 P.Bouchaud、Y.Gefen、M.Potters和M.Wyart。金融市场的波动和反应：“随机”价格变化的微妙性质。定量金融，4（2）：176–1902004。J、 P.Bouchaud、J.D.Farmer和F.Lillo。市场如何缓慢消化供求变化。在T.Hens和K.R.Schenk-Hopp\'e的《金融市场手册：动力学和进化》中，编辑，第57-160页。北-荷兰，阿姆斯特丹，荷兰，2009年。J、 P.Bouchaud、J.Bonart、J.Donier和M.D.Gould。交易、报价和价格：显微镜下的金融市场。剑桥大学出版社，英国剑桥，2018年。R、 Cont和A.De Larrard。马尔可夫限价订单市场中的价格动态。《金融数学杂志》（SIAMJournal on Financial Mathematics），4（1）：1–252013年。R、 Cont、S.Stoikov和R.Talreja。订单动态的随机模型。运营研究，58（3）：549–56320010。R、 续，A。

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