在定理11的条件下，当一个供应商的供应量u=u+δ>u=u=···=um时，总预期福利增加约δ(-u（K*最大值- K*+ 1)- δ/2）>o供应商的预期福利增加δ( - u（K*最大值+1）- δ) > 0;o 消费者的预期福利增加δ（uK*+ δ/2) > 0;o 零售商的预期福利基本不变；其中K*是零售商形成的均衡网络中活跃供应商的数量，K*maxis是均衡状态下活跃供应商的最大数量。定理12的证明：由定理11可知*≈ δ - uK*最大u+δ- 1., w*j=0，j>1。现在，我们可以将这些价格与u=u+δ，uj=u，j>1一起替换为供应商、零售商和消费者的预期福利表达式，来自定义7中的方程式（6）。（在下文中，在第一个供应商增加平均供应量后，符号X将表示X。）供应商福利变化asE[SupplierW elfare]=E[SupplierW elfare]+uw*= E[供应商W elfare]+δ( - u（K*最大值+1）- δ） ，其中δ 是主项比例加上供应商总数m，使得得到的表达式中的第二个和为正。因此，供应商的福利（实际上，只是第一个供应商的福利）增加了。消费者剩余变动asE[消费者的elf are]=EhZT( - x） dx公司-Xk公司∈S+（g*)Sk公司( - T（S））iVictor Amelkin和Rakesh Vohra：《产量不确定性和供应链网络的形成》提交给运筹学；手稿编号：。

#25=Eh（Xj∈S+（g*)Sj）（Xk∈S+（g*)Sk）i=EhS+2SXj∈S+{1}Sj+（Xj∈S+{1}Sj）i=h（u+δ）+σ+2（u+δ）（K*- 1） u+（K*- 1） u+（K*- 1） σi=h（u+2（K*- 1） u+（K*- 1） u）+K*σ+（2uδ+δ+2（K*- 1） uδ）i=[K*u+K*σ] +（2K*uδ+δ）=E[消费者福利]+δ（K*u + δ/2).在得到的表达式中，K*是零售商形成的特定均衡网络中活跃供应商的数量，通常可以小于K*最大值。在计算零售商和总福利的变化之前，我们需要确定在第一个供应商增加其平均供应量后，均衡状态下的供应商度如何变化。与之前一样，供应商j在均衡状态下的程度isd（j，g*) =jvj（g*) - ujw*jck=j( -X个`∈S+（g*)u`）uj- σ- ujw*j/ck。忽略w表达式中的小ε*, 并将该价格代入上述表达式，以代替供应商的学位，我们得到（1）=j( - K*u)u - σc+Δu（K*最大值- K*+ 1） ck公司≈j( - K*u)u - σck+jδu（K*最大值- K*+ 1） ck=d（1）+jΔu（K）*最大值- K*+ 1） ck。对d（j）做同样的处理，j>1，我们得到d（j）=j( - K*u)u - σ- uw*jc公司-Δuck≈ d（j）-lδucm。现在，我们可以使用上面导出的供应商度表达式来计算零售商福利的变化。E[零售elfare]=Xj∈S+（g*)vj（克）- ujw*j- cd（j）= （v（g）- （u+δ）w*- cd（1））+Xj∈S+（g*) {1}vj（克）- δu - uw*j- cd（j）= ( - K*u - δ)(u + δ) - σ- cd（1）- δ( - uK*最大值- u - δ) - cjδuc（K*最大值- K*+ 1） k+Xj∈S+（g*) {1}vj（克）- uw*j- cd（j）+Xj公司∈S+（g*) {1}-δu+镉δu/铈Victor Amelkin和Rakesh Vohra：《产量不确定性和供应链网络的形成》26篇，提交给运筹学；手稿编号：。

#=Xj∈S+（g*)（vj（g*) - uw*j- cd（j））+( - K*u - δ)δ - δ( - u（K*最大值+1）- δ)- cjδuc（K*最大值- K*+ 1） k+（k*- 1） （镉δu/铈- Δu）=E[零售业小家电]+( - K*u - δ)δ - δ( - u（K*最大值+1）- δ)- cjδuc（K*最大值- K*+ 1） k+（k*- 1） （镉δu/铈- δu)≈ E【RetailerW elfare】，其中最后一个近似值是通过在所获得的表达式中假设FLOOR/ceil运算符的整除性获得的。收集了每个福利组成部分的变化后，我们可以确定，随着第一个供应商的平均供应量增加δasE，总的预期福利变化【W elf are】≈ E[W elfare]+δ( - u（K*最大值- K+1）- δ/2).在得到的表达式中的第二个因子内， 是支配项（因为链很大），所以总体而言，总福利的变化是积极的。请注意，定理12中的社会福利表达式与定理7中相同供应商的类似表达式不同，它取决于零售商达到的均衡，更具体地说，取决于活跃在该均衡中的供应商数量。8、结论在这项工作中，我们考虑了供应链的战略形成，其中战略供应商制定价格，预测零售商的反应，战略零售商与供应商联系，实现预期收益最大化，并受供应不确定性和设定价格的驱动。我们的主要发现是：（i）形成的供应链均衡是无效的。r、 t.集中规划的供应链，以及（ii）改善供应不确定性的不同方式对提高福利有不同影响平均供应普遍良好，而减少供应差异则会降低消费者剩余。致谢该项工作部分得到洛克菲勒基金会2017年前301拨款的支持。Victor Amelkin和Rakesh Vohra：《产量不确定性和供应链网络的形成》提交给运筹学；手稿编号：。

#27 Referencesang E、Iancu DA、Swinney R（2016）《多层供应网络中的中断风险和最佳采购》。管理科学63（8）：2397–2419。Anupindi R，Akella R（1993）《供应不确定性下的多样化》。管理科学39（8）：944–963。Babich V、Burnetas AN、Ritchken PH（2007）《供应商违约风险下供应链中的竞争和多元化效应》。制造与服务运营管理（MSOM）9（2）：123–146。Bimpikis K、Candogan O、Ehsani S（2017年）《供应中断和atSSRN可用的最佳网络结构：https://ssrn.com/abstract=3058973.BimpikisK，Fearing D，Tahbaz Salehi A（2018）《供应链网络中的多源和错误协调》。运筹学66（4）：1023–1039。Bohn RE，Terwiesch C（1999）《产量驱动过程的经济学》。《运营管理杂志》18（1）：41–59。Cachon GP，Lariviere MA（1999年），《汽车容量线性、比例和均匀分配的均衡分析》。IIE交易31（9）：835–849。Cachon GP，Lariviere MA（2001）《确保供应的合同：如何在供应链中共享需求预测》。管理科学47（5）：629–646。Cachon GP，Terwiesch C（2008）《供需匹配》（McGraw-Hill）。Chopra S，Meindl P（2006）《供应链绩效：实现战略目标和范围》。供应链管理：战略、规划和运营22–42。Cormican K，Cunningham M（2007）《供应商绩效评估：大型跨国组织的经验教训》。《制造技术管理杂志》18（4）：352–366。Demirel S、Kapucinski R、Yu M（2018）《供应商面对生产中断的战略行为》。《管理科学》64（2）：533–551，ISSN 0025-1909。Deo S，Corbett CJ（2009）《产量不确定性下的古诺竞争：美国电影市场案例》。

制造与服务运营管理（MSOM）11（4）：563–576。Fang Y，Shou B（2015）《供应链古诺竞争下的供应不确定性管理》。欧洲运筹学杂志243（1）：156–176。Gerchak Y，Parlar M（1990）在EOQ模型中产生随机性、成本权衡和多样性。海军研究后勤部（NRL）37（3）：341–354。Kranton RE，Minehart DF（2000）《网络与垂直整合》。兰德经济杂志570–601。Kranton RE，Minehart DF（2001）《买卖双方网络理论》。《美国经济评论》91（3）：485–508。Victor Amelkin和Rakesh Vohra：《产量不确定性和供应链网络的形成》28篇文章提交给运筹学；手稿编号#Mankiw NG，Whinston MD（1986）《自由进入和社会效率》。兰德经济杂志48–58。Rong Y，Snyder LV，Shen ZJM（2017）《配给博弈下的牛鞭效应和反向牛鞭效应》。海军研究后勤部（NRL）64（3）：203–216。She ffy（2005）《弹性企业：克服脆弱性以获得竞争优势》。麻省理工学院出版社1（0262693496）。She ffy，Rice Jr JB（2005）《弹性企业的供应链观点》。麻省理工学院斯隆管理评论47（1）：41。Tang SY，Kouvelis P（2011）《产量不确定性和买方竞争中的供应商多元化战略》。制造与服务运营管理（MSOM）13（4）：439–451。Yano CA，Lee HL（1995）《随机产量的批量计算：综述》。

运筹学43（2）：311–334。附录A：引理1的证明：E[ui（g，w）]=EXj公司∈N（一） -Xk公司∈S+（g）Sk- wj公司Sjd（j）- c=Xj公司∈N（一）( - wj）E[Sj]d（j）-EhSjPk公司∈S+（g）撬块（j）- c！=（作为Sjare i.i.d.，j∈ S+（g），Var[Sj]=E[Sj]- E【Sj】=Xj∈N（一）u( - wj）d（j）-主键∈S+（g）E[Sj]E[Sk]+Var[Sj]d（j）- c=Xj公司∈N（一）u( - wj）d（j）-uK+σd（j）- c=Xj公司∈N（一）u( - uK）- σ- uwj）d（j）- c=Xj公司∈N（一）v（K）- uwjd（j）- c,其中K=K（g）=S+（g）|是g中的活跃供应商数量。定理3的证明：根据定理2，我们知道K个最便宜的供应商在非平衡状态下是活跃的。对于该供应商集中的活跃供应商j，与之链接的边际效益（由数量足够大的空置零售商）应为非负V（K）- uwjd（j）- c≥ 0;（任何零售商）与it建立额外链接的边际效益应为负V（K）- uwjd（j）+1- c<0。Victor Amelkin和Rakesh Vohra：《产量不确定性和供应链网络的形成》提交给运筹学；第29号手稿结合得到的两个不等式，我们得到d（j）=jv（K）- uwjck。附录B：成型供应链的关键指标0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.501020340506070890（a）K*与u0 1 2 3 4 5 6510152025303540（b）d（j）与u0 2 4 6 8 1012345678（c）d（j）与σ0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5020406801020（d）KOPTV相比。u0.5 1 1.5 2.5 3 3.5 4 4.520406080100120140160（e）e W elfare*与u0 5 10 15 2040506070809010110120130140（f）E W elfare相比*与σ1 2 3 4 5 6809010120130140150160170（g）E W elfareoptvs相比。u0.5 1 1.5 2.5 3 3.5 4 4.50.10.20.30.40.50.60.70.80.91（h）P oS与u0 5 10 15 20 25 300.30.40.50.60.70.80.91（i）P oS与σ10 20 30 40 50 600.30.50.60.70.80.91（j）P oS与。

图3：依赖于供应商度d（j）、活跃供应商数量K、预期社会福利E【W elfare】和稳定价格（PoS）E【W elfare】的关系*] / E[W elfareopt]处于平衡状态(*) 对于centralplanner（opt），供应均值u、方差σ和供应商数量m。