“网络GARCH模型”。将出现中国统计局。内政部：10.5705/ss。202018.0234.补充材料额外的数据描述在本节中，我们提供了本文第4节中用于实证研究的数据的一些额外特征。如第1.1节和第2节所述，亨利中心现货价格在现货和期货市场中都发挥着重要作用。图A1显示了亨利中心期货在样本期的现货价格，以及（年化）滚动收益率和波动率估计、样本偏度和样本（非超额）峰度。正如Li（2019）所指出的，样本期的特点是波动率相对较低，波动率、偏度和峰度的变化是由2009年末和2014年初波动率升高的时期推动的。鉴于这种低水平的波动性，我们的模型中没有包含跳跃成分，这与Mason和Wilmot（2014）的发现相反，他们发现跳跃成分的存在显著改善了模型在更早、更具波动性的时期的表现。液化天然气期货价格在不同的到期日之间存在着强烈的相关性，如图A3所示，在不同的时间段，相关性大致保持不变。期货价格表现出的跳跃行为没有潜在现货价格那么明显，尤其是在我们样本的后一部分，这导致期货和体育回报之间的相关性降低。如图A4所示，在较低的频率下，这些跳跃的影响减少，现货和期货回报之间的相关性更高。鉴于整个液化天然气市场都能感受到储存和生产冲击的影响，我们预计现货价格的波动也会相互关联。如图5所示，情况确实如此–现货价格波动通常高度相关，尽管与现货价格回报的程度不太一样。

与之前一样，有明确证据表明，一组现货价格之间的相关性比与市场其他部分的相关性更为密切。虽然现货市场和期货市场通常是一起运动的，但它们仍然有些脱节，对期货市场的冲击不一定会反映在现货市场上，反之亦然。尽管存在这种不相交的行为，但期货市场的实际波动率与现货市场的接近收盘波动率之间仍然存在着很强的相关性。图16使用几种不同的已实现波动率度量和未来成熟度说明了这种相关性。与我们样本中的其他现货价格相比，Henry Hub明显显示出与期货波动性更高的相关性，这与液化天然气期货基于Henry Hub价格的事实相一致。无论如何，期货波动率确实是非亨利现货波动率的有用预测因子，如第4节所示。观察到的相关性似乎对已实现挥发度测量的选择不敏感，这表明我们的结果对所提供的外部信息的确切形式具有稳健性。较短期限期货，尤其是一个月期期货（NG1），始终与现货价格具有最高的相关性，因此我们在应用中使用了适用于一般固定期限NG1的Yang Zhang估计量。高度的相关性表明，单因素波动率模型，包括我们提出的模型，将能够捕捉大多数二阶动态。这与Kyj et al.（2009）的发现相一致，他们与我们一样，将单因素模型与已实现的波动率度量相结合，并发现股权投资组合构建有显著改善。B数据集复制信息表A2列出了用于获取我们分析数据的彭博社识别码。

对于spotprices，仅使用当天的最后一个交易价格（Bloomberg key PX last）。这些现货价格选自彭博社（Bloomberg）的LNG现货价格完整列表（可通过BGAS屏幕获得），因为在整个样本期（2006-2015年）内具有相对完整的交易历史（每年超过245个交易日）。在我们的分析中，只有某些点被忽略，以确保数据集一致。筛选后，NGCDAECOspot价格（加拿大阿尔伯塔省）被手动删除，因为它与NGCAAECO相同，但以加元而非美国报告。对于期货价格，分别使用彭博社键PX Open、PX High、PX Low和PX Close获得开盘价、高价、低价和收盘价。如正文所述，报告的开盘价和收盘价偶尔超出每日交易区间（高低区间）。这不是一个数据错误，而是一个事实，即开盘价和收盘价由一个拍卖过程设定，该过程不包括在高低计算中，而不是标准的市场机制中。尽管如此，Yang Zhang波动率估值器是在假设价格序列的连续时间模型的情况下推导出来的，并且不区分交易价格和非交易价格。因此，当开盘价或收盘价超出日内交易范围时，这一点没有很好的定义。这在我们的数据集中有一定的规律性，如表A1所示，尤其是在较长的到期日。为了解决这个问题，我们将开盘价和收盘价限制在日内交易范围内。

这可能会导致估计效率的轻微损失，但经验似乎影响最小，尤其是对于我们的应用（第4节），其中仅使用一个月期货。开盘>高收盘>高开<低收盘<低低>高总1个月（NG1）6 0 5 0 112个月（NG2）3 1 2 1 0 73个月（NG3）9 4 7 0 206个月（NG6）9 38 6 15 0 689个月（NG9）11 121 9 61 0 20212个月（NG12）8 181 7 125 0 321总计46 345 36 202 0 629表A1：期货数据明显不一致。这通常是因为基于交易的开盘价和收盘价不包括在用于确定高价和低价的日内交易范围内。为了计算Yang Zhang（2000）的已实现波动率，开盘和收盘被截断到高低区间。图A1:Henry Hub现货价格和前四个时刻的滚动估计。现货价格在2008年年中达到峰值，从2008年末到2009年初有所下降，此后一直保持相对稳定的水平。现货收益率表现出适度的异方差性、偏斜性和峰度，样本时刻的巨大变化主要由2009年秋季和2014年春季的高波动期驱动。图A2：样本期内40个中心每日现货价格回报之间的皮尔逊相关性。现货价格通常彼此之间以及与Henry Hub（此处未显示）高度相关。然而，夏延、东北Transco 6区、德克萨斯州东部输电、田纳西州天然气管道、东北和易洛魁输电系统现货价格之间的相关性比样本期内其他地点的相关性更高。图A3：亨利中心期货与现货价格同步变动，但通常表现出较少的大幅跳跃。

特别是，期货市场在2014年初没有出现大幅上涨，这是在同一时期现货价格出现峰度升高的重要驱动因素。图A4：亨利中心期货的日收益率高度相关，但仅与亨利中心现货收益率呈中度相关。在较低频率（每周、每月等）下，现货和未来回报之间的相关性较高。图A5：样本期内40个现货价格估计波动率之间的皮尔逊相关性。正如我们所看到的，现货波动率之间通常存在着很强的正相关关系，尽管它不如现货收益率之间的相关性那么显著。有一些证据表明，波动率的结构随着时间的推移而变化，正如2012-2015年期间各子集团的合并所示。图A6：样本期内亨利中心现货波动率、非亨利中心现货波动率和期货实现波动率之间的皮尔逊相关性。报告的与非亨利斑点的相关性是我们样本中40个非亨利斑点的平均相关性。Henry Hub波动率与短期到期（NG1）实现的波动率之间的相关性始终最高。关联度对于realizedvolatility度量的选择似乎是稳健的。数据类型识别器全称LNG现货价格斯那加利联盟管道交付的纳干RL中陆/安纳拉夫内（库斯特，俄克拉何马州）纳干CG密歇根综合天然气（底特律，密苏里州）纳干MC中陆天然气现货价格纳干PL中陆/芝加哥市Gate（伊利诺伊州芝加哥）纳干至得克萨斯州俄克拉荷马州东部（德克萨斯州蒙哥马利县）纳干和N.天然气干线（克雷县，堪萨斯州）纳干诺布N。

边境天然气现货价格（印第安纳州文图拉市）NGCAAECO AECO C Hub（加拿大阿尔伯塔省）NGCGNYNY TETCO M3（纽约州纽约市）NGGCANRS墨西哥湾海岸/ANR东南NGGCCGLE哥伦比亚输电TCO池（肯塔基州利奇市）NGGCCOLG哥伦比亚湾陆上路易斯安那州池NGGCT800田纳西州800 Leg（路易斯安那州东南部）NGGCTR30 Transco站30（德克萨斯州沃顿县）NGGCTRNZ Transco站65（路易斯安那州博雷德教区）NGGCTXEW TETCO西路易斯安那州GCTXEZ TETCO东路易斯安那州自治领南点（俄亥俄州黎巴嫩）NGNEIROQ Iroquois天然气输送系统（纽约州瓦丁顿）NGNEIZN2 Iroquois 2区（纽约州赖特）NGNETNZ6田纳西天然气管道6区Ngnetrnz东北Transco 6区（新泽西州林登）NGRMCHEY Cheyenne Hub（怀俄明州夏延）NGRMDENV科罗拉多州际天然气干线Ngrmelps Non Bondad San Juan盆地（德克萨斯州埃尔帕索/布兰科，新墨西哥州）NGRMEPD Bondad San Juan盆地（德克萨斯州埃尔帕索）NGRMKERN落基山脉/Kern河（怀俄明州奥帕尔）NGRMNWES西北管道（斯坦菲尔德，或）NGTXEP2二叠纪盆地（德克萨斯州西部）NGTXOASI Waha Hub（德克萨斯州瓦哈）NGTXPERY哥伦比亚干线（洛杉矶佩里维尔）NGUSHHUB Henry Hub（洛杉矶埃拉斯）NGWCEPEB El Paso南干线（德克萨斯州埃尔帕索）NGWCPGNE太平洋天然气和电力城（北加利福尼亚州）NGWCPGSP西北输电公司（马林，OR）NGWCPGTP太平洋天然气和电力公司Topock（亚利桑那州Topock）NGWCSCAL南加利福尼亚州边界NTGSTXKA Katy Texas地区Nwpipa东俄克拉荷马州Panhandle油田区（哈文，KS）LNG期货价格NG1通用第一天然气期货价格NG2通用第二天然气期货价格NG3通用第三天然气期货价格NG6通用第六天然气期货价格NG9通用第九天然气期货价格NG12通用第十二天然气期货价格未来表A2：彭博社对我们分析中使用的价格系列的识别。

液化天然气期货用于计算已实现的波动率指标，并作为市场代理，而液化天然气现货价格用于稀疏数据资产。C其他结果在本节中，我们提供了RBGARCH模型样本内和样本外性能的其他描述，扩展了第4节中给出的结果。C、 1样本内模型FitWe首先考虑样本内fit，由Watanabe（2010）提出的广泛适用的信息标准（WAIC）衡量。正如Gelmanet al.（2014）更详细地讨论的那样，WAIC是AIC的完全贝叶斯模拟（Akaike，1974），它试图估计样本外的预期对数后验密度。与Spiegelhalter et al.（2002、2014）的偏差信息标准（DIC）不同，WAIC是使用整个空间分布计算的，而不仅仅是后验平均值，更充分地考虑了后验不确定性。请注意，贝叶斯WAIC不应与Schwarz（1978）的所谓贝叶斯信息准则（BIC）或其实际贝叶斯类比WBIC（Watanabe，2013）混淆，两者都试图估计拟议模型的边际可能性（Neath和Cavanaugh，2012）。因为我们不假设GARCH或RBGARCH模型都是真的，所以我们更关注预测准确性，而不是模型恢复。图A7显示了我们40个现货价格和73个子样本期的GARCH和RBGARCH模型的样本WAIC比较。如上所述，对于5-15%的小部分子样本，根据现场情况，WAIC估计值因极端异常值的存在而受损（如图A8所示）。我们使用Vehtari et al.（2017）的0.4后验方差启发法识别这些损坏的子周期，并用紫色突出显示。这种启发式方法确定了RBGARCH模型的WAIC估计值不稳定的几个时期，但GARCH模型的WAIC估计值不稳定。

我们推测，这是由于RBGARCH模型的附加结构：由于RBGARCH模型预计波动性会一起移动，因此在RBGARCH模型下，期货市场没有相应跳跃的现货价格异常值的可能性甚至比两个市场同时跳跃的可能性更小。无论如何，对于我们特定的VaR预测目标，RBGARCH模型始终优于GARCH模型，无需进行异常值过滤，如以下两部分所示。在图A9中，我们显示了RBGARCH模型优于GARCH模型的子样本期的分数，按年份细分，标准误差为K。（由于WAICcalculations包括标准误差，因此可以获得WAIC值差异的标准误差。有关详细信息，请参阅Vehtari et al。

(2017).) 在样本期内的所有年份，RBGARCH模型始终优于GARCH模型，通常表现为一个或多个标准误差。纳加利（p=5.56e-05）NAGAANRL（p=1.57e-06）NAGAMICG（p=1.50e-03）NAGANGMC（p=1.69e-01）NAGANGPL（p=4.96e-04）纳甘托（p=2.16e-03）NAGANOND（p=4.90e-02）纳加诺布（p=2.40e-03）NGCAAECO（p=3.07e-05）NGCGNYNY（p=6.89e-03）NGGCANRS（p=1.95e-03）NGGCCGLE（p=5.68e-04）NGGCCOLG（p=1.09e-02）NGGCT800（p=1.60e-02）NGGCTR30（p=4.44e-03）NGGCTRNZ（p=1.30e-02）NGGCTXEW（p=3.07e-05）NGGCTXEZ（p=5.24e-02）NGNECNGO（p=4.96e-03）NGNEIROQ（p=4.42e-08）NGNEIZN2（p=5.73e-02）NGNETNZ6（p=7.57e-04）NGNETRNZ（p=5.86e-02）NGRMCHEY（p=3.69e-05）NGRMDENV（p=3.04e-02）NGRMELPS（p=4.23e-03）NGRMEPBD（p=1.06e-02）NGRMKERN（p=2.56e-01）NGRMNWES（p=3.21e-05）NGTXEPP2（p=1.24e-02）NGTXOASI（p=1.00e-01）NGTXPERY（p=3.61e-05）NGUSHHUB（p=2.68e-02）NGWCEPEB（p=1.72e-03）NGWCPGNE（p=1.32e-03）NGWCPGSP（p=2.39e-02）NGWCPGTP（p=8.79e-06）NGWCSCAL（p=1.23e-06）NTGSTXKA（p=5.44e-05）SNNWPIPA（p=1.28e-04)-3000-2000-1000 0 1000 2000 WAIC差异的签名排名Pot IDBetter Performing Model GARCH RBGARCH WAIC在-样本模型拟合比较：GARCH与RBGARCH图A7：73个时期40个点的符号秩转换差异。正值表明RBGARCH模型在该样本期的表现优于GARCH模型。用于每个样本WAIC差异的配对单样本Wilcoxon检验的P值显示在左轴上。RBGARCH模型在所有点上的表现都优于GARCH模型，但对数据中的异常值更为敏感。C、 2在样本风险管理中，除了Kupiec（1995）的无条件检验外，我们还可以使用Christo Offersen（1998）的条件检验来评估VaR准确性。

虽然Kupiec检验是一种边际良好性检验，用于评估样本是否来自具有名义覆盖率的伯努利分布，但Christo Offersen检验考虑了样本之间的依赖性，并检验了t天的超标概率是否独立于t+1天的超标概率。图A10和A11显示了40个点中每个点的p值，分别为99.8%和99.5%。图A12给出了该信息的简化版本，从中我们可以清楚地看到RBGARCH模型的性能得到了改善，如比较每个模型的p值的向上倾斜的线所示。从这些数据中，我们可以看出，RBGARCH模型始终优于GARCH模型，尤其是对于在现货和期货中约有50%配置的投资组合，利用其多元结构的优势。虽然从这些图中可以清楚地看出，RBGARCHJan 032006Jul 022007Jan 022009Jul 012010Jan 042012Jul 012013Jan 02201555 25ANR Lavrne（Custer，OK）LNG现货价格图A8：Custer，OK LNG交易中心的价格历史。如图17所示，2014年2月的大幅价格上涨导致多个样本子期的WAIC不稳定。因为我们使用的是一个50天的滚动窗口，有250天的历史记录，所以这种形式的一个孤立值可以影响多达5个子时段。模型表现良好，研究RBGARCH模型的局限性很有意思。为此，图A13显示了GARCH和RBGARCH模型的预期和观察到的超标数量，对应于VaR计算中的不同置信水平。从这些数据可以看出，GARCH和RBGARCH都没有经过完美校准（红线表示），尽管这两个模型的失败程度不同。

GARCH模型的观测超标率通常高于预期，表明系统低估了VaR，而RBGARCH模型的观测超标率通常低于预期，表明估计过于保守。正如Ardia等人（2017年）所讨论的，这与我们对良好Bayesianforecast的预期一致。（请注意，与非贝叶斯方法相比，GARCH和RBGARCH方法提供的VaR估计更为保守，但RBGARCH模型尤其保守，因为它考虑了比GARCH模型更多参数的参数不确定性。）C、 3样本外风险管理图A14、A15、A16、A17重复了前一小节对样本外风险值预测的分析。如第4节所述，这些预测是通过过滤每个后验样本的波动率，然后通过边缘化后验样本来计算总体VaR估计来获得的。毫不奇怪，我们的样本外预测通常不如样本内估计准确。尽管如此，我们基本上看到了与之前相同的结果：RBGARCH模型的表现始终优于GARCH模型，尤其是在现货和期货数量都很大的投资组合上表现良好。当RBGARCHis错误校准时，它倾向于略微保守，但总体而言，它是相当准确的。标准GARCH模型的系统性低估是实践者所熟知的，基于模型的VaR估计通常乘以一个“伪造因子”来解释这一点。

1996年，巴塞尔银行监管委员会建议使用3的伪造系数（巴塞尔银行监管委员会，1996年，第B.4（j）段），胶结K=0标准错误SK=1标准错误K=2标准错误2006 2007 2008 200 92010201122012014201520062007200820092010201122014201520062007200820092010201122013201520062007200820092010201122201420150%25%50%75%100%yearbgarch Out-采样周期的性能-GARCH和RBGARCH模型的样本WAIC比较图A9：GARCH和RBGARCH模型的样本WAIC比较，汇总了样本中所有40个现货价格。报告的概率是250天样本期的分数，其中RBGARCH的WAIC至少超过GARCH模型的WAIC乘以K=0、1、2时差异的估计标准误差。对于样本期内的所有年份，RBGARCH模型的WAIC始终高于GARCH模型，通常存在几个标准误差。这种临时调整的广泛使用。虽然这种调整方式适用于保守的风险管理，但如果不加批判地加以应用，会大大增加市场参与者的财务负担，因为与较高的VaR水平相关的资本需求增加。

RBGARCH模型的优越性能表明，如果使用额外的信息来提高样本外预测性能，则可能不需要使用模糊因子。Kupiec（1995）TestChristoffersen（1998）Test20%Spot30%Spot40%Spot50%Spot60%Spot70%Spot80%SPOTNAGAALLINAGANRLNAGAMIGNANGANGMCNAGANGPLNAGANGTONANGNONDAGANORBNGCAAECONGCGNYNGGGCANRSGCGLENGGCCLGNGGCT800NGGCTR30NGGCTRNZNGGCTXENGGCTXENGGCTZNGNEIGNEIGNZ6NGNETRNZNGRMMCHEYNGRMENNGRMLPSNGRMEPBDNMKERNNGRMNWESNGTXEP2NGTXOASINGTXOPGENGWCPGNENGWCGPCPGSPNGWCSCALNTGSXNNWPAPNAGAALLINAGANRLNAGAANAGANG AMICGNAGANGMCNAGANGANGPLNAGANGTONANGNONDANAGANORBNGCAAECONGCGnynynggcanrsnggccglenggccolgnggct800nggctr30nggctrnznggctxewngctxezngnecngongneiroqngneizn2nggnetnz6ngnetrnzngrmcheyngrmdenvrmepbdngrmkernnngrmnwensngtxep2ngtxoasingtxperyngushhubbngwcpgnengwcpgspngwcpgtpngwccalntgstxkasnwpipa1e-131e-091e-051e-011e-131e-091e-051e-011e-131e-091e-051e-011e-131e-091e-051e-011e-131e-091e-051e-011e-131e-091e-051e-011e-131e-091e-051e-01现场IDP-价值模型Garch RBGARCHIn-样本VaR准确性【1/500频率：99.8%置信度】图A10:GARCH和RBGARCH模型在99.8%（1/500天）置信度水平下的样本VaR准确性度量。Kupiec（1995）和Christo Offersen（1998）的测试结果表明，RBGARCH模型在我们样本中的所有40个点上都始终优于GARCH模型，对于近似相等权重的投资组合，优势尤其明显。

为了准确评估该极端分位数的VaR预测，报告的p值是通过在整个10年样本期内进行串联样本预测获得的。Kupiec（1995）TestChristoffersen（1998）Test20%Spot30%Spot40%Spot50%Spot60%Spot70%Spot80%SPOTNAGAALLINAGANRLNAGAMIGNANGANGMCNAGANGPLNAGANGTONANGNONDAGANORBNGCAAECONGCGNYNGGGCANRSGCGLENGGCCLGNGGCT800NGGCTR30NGGCTRNZNGGCTXENGGCTXENGGCTZNGNEIGNEIGNZ6NGNETRNZNGRMMCHEYNGRMENNGRMLPSNGRMEPBDNMKERNNGRMNWESNGTXEP2NGTXOASINGTXOPGENGWCPGNENGWCGPCPGSPNGWCSCALNTGSXNNWPAPNAGAALLINAGANRLNAGAANAGANG AMICGNAGANGMCNAGANGANGPLNAGANGTONANGNONDANAGANORBNGCAAECONGCGnynynggcanrsnggccglenggccolgnggct800nggctr30nggctrnznggctxewngctxezngnecngongneiroqngneizn2nggnetnz6ngnetrnzngrmcheyngrmdenvrmepbdngrmkernnngrmnwensngtxep2ngtxoasingtxperyngushhubbngwcpgnengwcpgspngwcpgtpngwccalntgstxkasnwpipa1e-131e-091e-051e-011e-131e-091e-051e-011e-131e-091e-051e-011e-131e-091e-051e-011e-131e-091e-051e-011e-131e-091e-051e-011e-131e-091e-051e-01现场IDP-价值模型Garch RBGARCHIn-样本VaR准确度【1/200频率：99.5%置信度】图A11:GARCH和RBGARCH模型在99.5%（1/200天）置信度水平下的样本VaR准确度度量。与图A10相比，RBGARCH模型的样本内优势仍然存在，尽管不太明显，因为两种模型都能够很好地捕捉这部分分布。20%Spot30%Spot40%Spot50%Spot60%Spot70%Spot80%SpotKupiec（1995）TestChristoffersen（1998）Test1e-131e-091e-051e-011e-131e-091e-051e-01便士-价值模型Garch RBGARCHIn-样本VaR准确性【1/500频率：99.8%置信度】图A12:GARCH和RBGARCH模型在99.8%（1/500天）置信度水平下的样本VaR准确性度量。

与图A10一致，RBGARCH模型始终优于GARCH模型，这可以从连接两个模型相应p值的向上倾斜线中看出。60%Spot70%Spot80%Spot90%Spot100%Spot10%Spot20%Spot30%Spot40%Spot50%Spot30 100 300 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 00 00 00 00 00 00预期超过预计超过-样本VaR绩效图A13：对一系列样本投资组合的GARCH和RBGARCH模型的样本内VaR估计进行评估。GARCH模型通常低估了真实VaR（位于红线上方），而RBGARCH模型更为准确，但存在保守偏差（位于红线下方）。Kupiec（1995）TestChristoffersen（1998）Test20%Spot30%Spot40%Spot50%Spot60%Spot70%Spot80%SPOTNAGAALLINAGANRLNAGAMIGNANGANGMCNAGANGPLNAGANGTONANGNONDAGANORBNGCAAECONGCGNYNGGGCANRSGCGLENGGCCLGNGGCT800NGGCTR30NGGCTRNZNGGCTXENGGCTXENGGCTZNGNEIGNEIGNZ6NGNETRNZNGRMMCHEYNGRMENNGRMLPSNGRMEPBDNMKERNNGRMNWESNGTXEP2NGTXOASINGTXOPGENGWCPGNENGWCGPCPGSPNGWCSCALNTGSXNNWPAPNAGAALLINAGANRLNAGAANAGANG AMICGNAGANGMCNAGANGANGPLNAGANGTONANGNONDANAGANORBNGCAAECONGCGnynynggcanrsnggccglenggccolgnggct800nggctr30nggctrnznggctxewngctxezngnecngongneiroqngneizn2nggnetnz6ngnetrnzngrmcheyngrmdenvrmepbdngrmkernnngrmnwensngtxep2ngtxoasingtxperyngushhubbngwcpgnengwcpgspngwcpgtpngwccalntgstxkasnwpipa1e-101e-061e-021e-101e-061e-021e-101e-061e-021e-101e-061e-021e-101e-061e-021e-101e-061e-021e-101e-061e-02现场IDP-ValueModelGARCH RBGARCHOut-属于-样本VaR准确性【1/500频率：99.8%置信度】图A14:GARCH和RBGARCH模型在99.8%（1/500天）置信度水平下的样本外VaR准确性度量。

Kupiec（1995）和Christo Offersen（1998）的测试结果表明，RBGARCH模型在我们样本中的所有40个点上都始终优于GARCH模型，对于近似相等权重的投资组合，优势尤其明显。有点令人惊讶的是，RBGARCH模型在样本外的表现似乎和在样本中的表现一样好，而GARCH模型的准确度明显较低。Kupiec（1995）TestChristoffersen（1998）Test20%Spot30%Spot40%Spot50%Spot60%Spot70%Spot80%SPOTNAGAALLINAGANRLNAGAMIGNANGANGMCNAGANGPLNAGANGTONANGNONDAGANORBNGCAAECONGCGNYNGGGCANRSGCGLENGGCCLGNGGCT800NGGCTR30NGGCTRNZNGGCTXENGGCTXENGGCTZNGNEIGNEIGNZ6NGNETRNZNGRMMCHEYNGRMENNGRMLPSNGRMEPBDNMKERNNGRMNWESNGTXEP2NGTXOASINGTXOPGENGWCPGNENGWCGPCPGSPNGWCSCALNTGSXNNWPAPNAGAALLINAGANRLNAGAANAGANG AMICGNAGANGMCNAGANGANGPLNAGANGTONANGNONDANAGANORBNGCAAECONGCGnynynggcanrsnggccglenggccolgnggct800nggctr30nggctrnznggctxewngctxezngnecngongneiroqngneizn2nggnetnz6ngnetrnzngrmcheyngrmdenvrmepbdngrmkernnngrmnwensngtxep2ngtxoasingtxperyngushhubbngwcpgnengwcpgspngwcpgtpngwccalntgstxkasnwpipa1e-131e-091e-051e-011e-131e-091e-051e-011e-131e-091e-051e-011e-131e-091e-051e-011e-131e-091e-051e-011e-131e-091e-051e-011e-131e-091e-051e-01现场IDP-价值模型Garch RBGARCHIn-样本VaR准确度【1/200频率：99.5%置信度】图A15:GARCH和RBGARCH模型在99.5%（1/200天）置信度水平下的样本外VaR准确度度量。Kupiec（1995）和Christo Offersen（1998）的测试结果表明，RBGARCH模型在我们样本中的所有40个点上都始终优于GARCH模型，对于近似相等权重的投资组合，优势尤其明显。

与样本案例（图A11）不同，这里的RBGARCH模型明显优于GARCH模型。20%Spot30%Spot40%Spot50%Spot60%Spot70%Spot80%SpotKupiec（1995）TestChristoffersen（1998）Test1e-101e-061e-021e-101e-061e-02便士-ValueModelGARCH RBGARCHOut-属于-样本VaR准确度【1/500频率：99.8%置信度】图A16:GARCH和RBGARCH模型在99.8%（1/500天）置信度水平下的样本外VaR准确度度量。与图A14一致，RBGARCH模型始终优于GARCH模型，从连接两个模型相应p值的向上倾斜线可以看出。60%Spot70%Spot80%Spot90%Spot100%Spot10%Spot20%Spot30%Spot40%Spot50%Spot10%100%10%100%100%10%30%100%110%110%100预期超出预计超出-属于-样本VaR绩效图A17：评估一系列样本投资组合的GARCH和RBGARCH模型的样本外VaR估计。GARCH模型通常低估了真实VaR（位于红线上方），而RBGARCH模型更准确，但有保守偏差（位于红线下方）。D计算细节在本节中，我们提供了用于估计模型（1）的计算方法的其他细节。为了进行估算，我们使用了汉密尔顿蒙特卡罗（HamiltonianMonte Carlo，2017；Ho Offman and Gelman，2014；Neal，2011）的无U形转弯取样器变体作为实施实例（Carpenter et al.，2017）。哈密顿蒙特卡罗特别适合我们的模型，因为它可以利用梯度信息更有效地探索高维和高度相关的后验分布。第D.1节给出了相关的Stan代码。第D.2节描述了事后诊断，以评估哈密顿蒙特卡罗在我们分析中的效率。

我们确认Stan可以有效地从Talts等人（2018）的基于模拟的校准（SBC）方法的后验中取样，如第D.3节所述。最后，我们在第D.4节中检验了我们模型的有限样本估计性能。D、 1 Stan代码概率编程语言Stan（Carpenter et al.，2017）使用哈密顿蒙特卡罗（Hamiltonian Monte Carlo）的无U-TurnSampler变体，为高性能马尔可夫链蒙特卡罗（“MCMC”）提供了建模语言（Ho Offman and Gelman，2014）。除非另有说明，本文中报告的所有后验推理均使用Stan。Stan手册（Stan开发团队，2017）详尽介绍了Stan的使用。以下Stan代码用于拟合模型（1）。第4节中用于比较的单变量模型的Stan代码可以通过删除该代码的某些部分来获得。Stan不提供内置的多元斜正态密度，因此我们将其作为用户定义的函数来实现。出于计算原因，我们分别对边际方差和相关矩阵进行建模，因此我们使用了多变量kew正态密度的四参数公式。我们的规格基本上是Azzalini和Capitanio（1999）的规格，除了我们使用相关矩阵的Cholesky因子，我们表示Ohm, 而不是完全相关矩阵（它们表示Ohmz） 更有效地评估多变量极大密度。

此外，我们用σ表示边际方差，而不是ω。函数{real multi\\u skew\\u normal\\u lpdf（vector y，vector mu，vector sigma，vector alpha，matrix omega）{real retval=0；int K=行（y）；retval+=multi\\u normal\\u cholesky\\u lpdf（y | mu，diag\\u pre\\u multiply（sigma，omega））；for（i in 1:K）{retval+=normal\\u lcdf（dot\\u乘积（alpha，（y-mu）。/sigma）| 0，1）；}return retval；}}}我们将市场（Henry Hub期货）和资产（非Henry现货）收益组合成2向量的长度数组。数据{int<lower=1>T；vector[T]return\\u market；vector[T]return\\u asset；vector<lower=0>[T]realized\\u vol\\u market；}转换数据{向量[2]返回[T]；for（T in 1:T）{返回[T][1]=返回市场[T]；返回[T][2]=返回资产[T]；}}如上所述，我们使用相关矩阵的Cholesky因子来提高计算效率。这允许更有效地评估多元正态密度（通过避免昂贵的行列式计算），并允许Stan使用正（半）不确定性自动强制转换（Pinheiro和Bates，1996）。参数{vector[2]mu；vector[2]alpha；cholesky\\u factor\\u corr[2]L；我们通过将参数约束到产生平稳过程的参数空间的部分来实现平稳性。请注意，我们不使用方差目标。real<lower=0>omega\\u市场；real<lower=0，upper=1>gamma\\u市场；real<lower=0，upper=（1-gamma\\u市场）>tau 1\\u市场>tau\\u 2\\u市场；我们将初始波动率视为待推断的未知参数。

在实践中，这并不特别重要，因为我们使用一个很长的（250天）窗口来拟合我们的模型。real<lower=0>sigma\\u market1；real<lower=0>omega\\u资产；real<lower=0，upper=1>beta\\u资产；real<lower=0，upper=（1-beta\\u asset）>gamma\\u asset；real<lower=0，upper=（1-beta\\u asset-gamma\\u asset）>tau\\u 1\\u asset；real<lower=0，upper=（1-beta\\u asset-gamma\\u asset-tau\\u 1\\u asset）>tau\\u 2\\u asset；实<下限=0>sigma\\u asset1；real xi；实际phi；实<下=0>delta\\u 1\\u rv；实<下=0>delta\\u 2\\u rv；实<下限=0>rv\\u sd；}由于GARCH模型中的瞬时波动率是确定性的，取决于回报、模型参数和初始条件，因此我们在transformedparameters块中计算它们。注意使用局部变量sigma market和sigma asset来降低记忆压力。转换参数{vector<lower=0>[2]sigma[T]；vector[T]rv\\u market\\u mean；{vector[T]sigma\\u market；vector[T]sigma\\u asset；sigma\\u market[1]=sigma\\u market1；sigma\\u asset1；for（T in 2:T）{sigma\\u market[T]=sqrt（欧米茄\\u market+gamma\\u market*square（sigma\\u market[T-1]）+tau 1\\u market*fabs（return\\u market[T-1]）+tau\\u 2\\u市场*square（return\\u市场[T-1]）；sigma\\u资产[T]=sqrt（omega\\u资产+gamma\\u资产*平方（sigma\\u资产[t-1]）+beta\\u资产*平方（sigma\\u市场[t-1]）+tau\\u 1\\u资产*晶圆厂（return\\u资产[t-1]）+tau\\u 2\\u资产*平方（return\\u资产[t-1]）；）对于（1:t中的t）{sigma[t][1]=sigma\\u市场[t]；sigma[t][2]=sigma\\u资产[t]；}rv\\u market\\u mean=xi+phi*sigma\\u market+delta\\u 1\\u rv*fabs（return\\u market）+delta\\u 2\\u rv*square（return\\u market）；}使用表1中的先验值。

注意，Stan使用正态分布的平均标准偏差参数化，而不是更常见的平均方差或精度参数化。模型{//Priorsmu~ normal（0，1）；alpha~ normal（0，1）；L~ lkj\\u corr\\u cholesky（1）；beta\\u asset~ normal（0，1）；//市场（Henry Hub）GARCH动力学//σt=ω+γσt-1+τ| rt-1 |+τrt-1兆欧市场~正常（0.002，0.025）；gamma\\u市场~正常（0.8，0.6）；tau\\u 1\\u市场~正常（0，0.1）；tau\\u 2\\u市场~正常（0.1，0.7）；//资产（非Henry Hub Spot）GARCH Dynamics//σt=ω+γσt-1+τ| rt-1 |+τrt-1兆欧资产~正常（0.002，0.025）；gamma\\u资产~正常（0.8，0.6）；tau\\u 1\\u资产~正常（0，0.1）；tau\\u 2\\u资产~正常（0.1，0.7）；//已实现波动率动力学//t=ξ+φσt+δ| rt |+δrt+N（0，ν）xi ~正态（0.02，0.6）；φ~正常（15，60）；delta\\u 1\\u rv ~正常（1.15，8）；delta\\u 2\\u rv ~正常（1.15，14）；rv\\u sd ~正常（0.05，0.25）；弱数据依赖先验依赖于GARCH波动率的初始条件。//使用弱优先级初始化初始卷Igma\\u market1 ~ normal（sd（return\\u asset），5*sd（return\\u asset））；sigma\\u asset1 ~正常（sd（return\\u asset），5*sd（return\\u asset））；//可能性已实现\\u vol\\u market ~正常（rv\\u market\\u mean，rv\\u sd）；对于（1:t中的t）{返回[t]~多重斜交\\u法线（mu，sigma[t]，alpha，L）；}}∑t=diag（σt）LTLdiag（σt）是收益模型的协方差矩阵。生成量{cov\\u矩阵[2]Sigma[T]；for（T in 1:T）{Sigma[T]=tcrossprod（diag\\u pre\\u multiply（Sigma[T]，L））；}}D、 2 MCMC诊断我们建议使用马尔可夫链蒙特卡罗的哈密顿变量来估计模型（1）。虽然哈密顿蒙特卡罗方法（HMC）与所有常用的MCMC方法一样，可以保证渐近恢复真实的后验值，但在根据其输出进行推理之前，应始终在给定的模拟中仔细评估其性能。

Gelman和Shirley（2011）简要回顾了标准MCMC诊断。我们用各种最新开发的HMC特定诊断来补充这些信息，如缺失信息的预期贝叶斯分数（E-BFMI）（Betancourt，2016）和差异转换（Betancourt，2017，第6.2节）。虽然之前没有研究过将哈密顿蒙特卡罗用于已实现的GARCH模型，但我们的结果表明，对于此类模型，它是一种有效且稳健的抽样方案。对于HMC的每次运行，我们运行四个单独的2000次迭代链。虽然2000次迭代似乎不够充分，尤其是与其他采样器通常使用的数万次相比，HMC通常比其他方法更有效地混合，从而减少了所需的总迭代次数。正如我们将在下面看到的，这对于我们的问题来说是足够的。为了提高结果的稳健性，我们使用了比Stan的defaultsettings（分别为0.8和10）略高的目标适应率（adapt delta=0.99）和最大树深度（max treedepth=12）。在我们的绝大多数研究中，没有遇到分歧转换，没有达到最大树深，平均E-BMFI跨链高于0.9（低于0.2的值通常被认为是样本病理学的指示）。综上所述，这些结果表明采样器能够有效地探索后验分布。在确认采样器能够有效探索后验分布后，我们现在可以评估采样器输出是否为后续分析提供足够的精度。我们计算了模型每个参数的有效样本量和分割诊断（Gelman et al.，2013，第11.4-11.5节）以及估计的波动率σt。我们的结果如表A3所示。

诊断结果表明，我们能够有效地探索后验结果，并且我们的结果对于下游分析非常精确。D、 3基于模拟的校准Talts et al.（2018）提出了一个验证贝叶斯推理的通用方案，该方案基于后验平均数据的思想。他们注意到，如果参数确实是从先验中提取出来的，那么精确的后验分布的平均值就是先验。因此，抽样方案产生的数据平均后验值与先验值之间的任何偏差都表明抽样方案存在偏差。将该技术应用于模型（1）得出的结果如图A18所示，其显示出与均匀性没有系统偏差，这表明我们的推断是无偏的，并且我们的抽样方案非常适合该模型。D、 4额外的模拟研究在本节中，我们提供了额外的证据，证明模型（1）能够有效地捕捉潜在的GARCH动态，即使数据量相对较小。由于我们关心各种可能参数值的性能，因此我们在这些模拟研究中使用了比本文主体部分更广泛的优先级。特别是，我们在本节中的每项研究中，对所有GARCH参数使用弱信息的N（0，1）-先验。按照Stan的默认设置，前1000次迭代被用作适应期并被丢弃，而第二次1000次迭代被存储。

未进行稀释。τi=1,2τM，1τM，2ξω1ωMφτi=1,1L2,2u1u2νδ2γ1γML2,1α1α2β1δ1[0,10]（10,20）（20,30）（30,40）（40,50）（50,60）（60,70）（70,80）（80,90）（90100][0,10]（10,20）（20,30）（30,40）（40,50）（50,60）（60,70）（70,80）（80,90）（90100][0,10]（10,20）（20,30）（30,40）（40,50）（60,70）（50,60）（70,80]（80,90）（90100][0,10]（10,20）（20,30）（30,40）（40,50）（50,60）（60,70）（70,80）（80,90）（90100）030609003060900306090030609003060900306090组合RankFrequencySimulation-基于校准（T=200）图A18：基于模拟的校准分析，使用T=200的toModel（1）应用哈密顿蒙特卡罗。蓝色条表示每个垃圾箱中SBC样本的数量，而绿色条表示每个垃圾箱中样本数量的99%边际置信区间。虽然直方图中存在显著的变异性，与复杂模型相当，但我们没有观察到任何系统偏差。对于任何贝叶斯模型，首先要问的自然问题是后可信区间是否确实得到了准确计算。如果参数是从先验分布中提取的，则应完全校准后验可信区间，并且在其他条件相同的情况下，应随着样本量的增加而减少长度。图A19和A20证实，我们的后可信区间得到了正确计算和良好校准。Hansen等人（2012）证明，单变量实现的GARCH框架满足标准条件（1/√T）拟极大似然估计的渐近收敛性。

图A20表明，模型（1）同样表现良好，可以获得Bernstein von Mises类型的收敛速度。仔细检查图A20可以发现，与均值模型相关的参数（即u和α参数）的后验可信区间比GARCH参数和已实现波动过程（ω、γ、τ、β等）的后验可信区间更宽。虽然这在一开始似乎违反直觉，但似乎是所考虑的相对高水平波动的结果，对平均值进行精确推断。尽管存在这种困难，但我们的模拟表明，模型1能够有效地恢复潜在的动态，即使样本相对较小。参数有效样本量（dne EFF）潜在比例折减系数（bR）L=chol(Ohm)2704.386 0.999L=胆固醇(Ohm)2705.967 0.999ωM1491.062 1.001γM2345.653 1.000τ1，M2223.725 1.000τ2，M2705.410 1.001σM2051.442 1.000ωi1994.433 1.000βi2604.040 1.000γi2625.324 1.000τ1，i2331.136 1.000τ2，i2372.701 1.000σi2084.207 1.000ξ1715.700 1.001φ1662.953 1.001δ23919 5.295 1.000δ2297.632 1.000ν4000.000 1.000表A3：模型1哈密顿蒙特卡罗估计的马尔可夫链蒙特卡罗诊断。这些诊断来自四个链的代表性运行，每个链有2000次迭代。σ和σi的报告值是整个融资期间的平均值。φδ1δ2νγ1τi=1,1τi=1,2ξτM，1τM，2ω1β1L2,1L2,2ωMγMu1u2α1α225%50%75%25%50%75%25%50%75%0%25%50%75%100%0%25%50%75%100%0%25%50%75%100%0%25%50%75%100%0%50%75%100%标称覆盖率经验覆盖率观测值（T）255075100150200500后验区间覆盖率图A19：在弱信息先验信息下与模型（1）相关的后验可信区间的经验覆盖概率分配

因为我们从之前的参数中提取了参数，所以这些间隔是正确校准的。φδ1δ2νγ1τi=1,1τi=1,2ξτM，1τM，2ω1β1L2,1L2,2ωMγMu1u2α1α2100003004005001003004005001003004005001003004005000.00.51.01.50.0000.0250.0500.0750.1000.1250.0250.0500.0750.1000.1250.10.20.000.010.020.030.040.00.51.01.50.0000.0250.1250.040.080.120.160.0250.0500.000.0200.000.020.040.0.060.10.20.30.000.050.100.150.200.000.020.040.060.0250.0500.0750.1000.000.030.060.090.120.10.20.30.00.10.20.30.40.000.020。040.060.080.050.100.150.200.10.2观测次数（T）平均后验间隔宽度后验间隔覆盖率10%20%30%40%50%60%70%80%90%后验间隔宽度图A20：弱信息先验分布下与模型（1）相关的对称后验间隔的平均宽度。我们遵守标准n-随着采样周期（T）的增加，所有参数的1/2型收敛。令人惊讶的是，我们注意到与平均模型（u，α）相关的参数通常比GARCH动力学的参数更不确定。E其他背景在本节中，我们为可能有兴趣了解更多波动率模型或液化天然气市场结构的读者提供了一些其他背景。E、 1波动率模型第一个潜在波动率过程模型是Engle（1982）的自回归条件异方差（ARCH）模型，该模型模拟了q之前（标准化）收益的瞬时波动率σtasa加权和。Bollerslev（1986）提出了广义ARCH（GARCH）模型，该模型将以前的波动率水平和（标准化）回报率相结合，使用自回归滑动平均（ARMA）模型来计算瞬时波动率。

正如Bollerslev（1986）所证明的那样，使用以前的波动率水平显著减少了所需的历史量，从而提供了一个更准确、更节省的模型。因此，GARCH型模型在应用工作中已普遍取代DARCH模型。GARCH模型对金融计量经济学产生了巨大影响，提出了许多变量，包括Engle和Bollerslev（1986）的综合GARCH（I-GARCH）；Nelson（1991）的指数GARCH（E-GARCH）；GJR GARCHof-Glosten等人（1993年），允许不对称的正面和负面影响；Ding等人（1993）的TheAsymetric power GARCH将Box-Cox变换（Box and Cox，1964）引入模型规范，并统一了之前的几个建议。Hentschel（1995）的家族GARCH模型给出了一个非常普遍的规范，包括各种GARCH变体。最近的变体试图将潜在挥发性分解为长期和短期成分，分别产生Engle和Lee（1999）以及Engle和Sokalska（2012）的加性和乘性成分GARCH模型。Bollerslev词汇表（2010）提供了一个有用且全面的变体列表。GARCH模型的多变量扩展同样多，我们请读者参阅Bauwens et al.（2006）的调查，以获得更详细的综述。最简单的多变量ARCH模型可能是Bollerslev（1990）的模型，他假设各种资产之间存在一个恒定的条件相关（CCC）矩阵。Engle（2002a）对CCC模型进行了扩展，以允许缓慢变化的条件相关性，从而产生了流行的动态条件相关性（DCC）规范。

我们提出的模型使用CCC方法，尽管我们的滚动调整策略减少了误判的可能性，该策略需要近似的DCC规格。一种流行的GARCH模型替代品是Kim等人（1998）提出的“随机波动率”模型。这些模型允许波动率按照一个（通常是独立的）随机过程演变，这就是它们的名字。这与GARCHtype模型形成对比，在GARCHtype模型中，第二天的波动率是确定性的，取决于当前的回报率和波动率历史。我们在此不详细审查这些模型，而是参考Asai et al.（2006）的论文和Vankov et al.（2019）的讨论。SV型和GARCH型模型的一个常见缺点是它们对波动水平快速变化的反应缓慢（Andersen et al.，2003，2005；Engle，2002b）。这种缓慢是SV和GARCH模型“平滑”性质的结果，这两种模型平衡了单日收益率和长期历史提供的信息。通过使用多个波动性度量，可以更重地衡量当前时间段，并开发更具响应性的模型，如Visser（2011）andAndersen et al.（2011）对GARCH模型和Takahashi et al.（2009）对SV模型所示。在市场惯例的推动下，最常见的额外波动性度量是基于OHLC（开放、高、低、收盘）数据的，如帕金森（1980）提出的高低区间，加曼和克拉斯（1980）提出的开盘-收盘差异，或罗杰斯和萨切尔（1991）提出的高、低和收盘数据。Yang和Zhang（2000）的估计量在仅基于onOHLC数据的估计量中是最优的（最小方差无偏）。

如果有更高频率的数据可用，则会提出更精确的估计器，尽管其效率对所考虑的市场结构非常敏感（Barndorff-Nielsen等人，2011；Barndorff-Nielsen和Shephard，2002，2003；Zhang等人，2005）。虽然已实现的波动率度量可以通过用改进的估计值替换标准化平方收益来改进GARCH估计，但这种天真的方法并没有捕捉到不同波动率度量值之间的结构关系。已经提出了几类联合建模价格和实现波动性度量的“完整”模型，包括Engle和Gallo（2006）的乘法误差模型（MEM）框架和Shephard和Sheppard（2010）的高频波动性（重）框架。在本文中，我们考虑了Hansen和Huang（2016）以及Hansen et al.（2012、2014）的已实现GARCH框架，这是迄今为止提出的最灵活的规范之一。除了标准波动率估计外，已实现的GARCH框架已被证明对风险管理有用，Watanabe（2012）证明了其在条件分位数估计中的有用性，Contino和Gerlach（2017）以及Wang等人（2018）证明了其在估计VaR和预期缺口方面的有用性（Acerbi和Tasche，2002；Artzner等人，1999；Jorion，2006）。E、 2天然气市场过去20年来，美国液化天然气市场的结构和规模都有了显著的发展。页岩气开采技术的发展在很大程度上推动了这一发展，尤其是水力压裂（“压裂”），这降低了生产成本，增加了对液化天然气和液化天然气衍生物的需求（Caporin和Fontini，2017）。

与此同时，人们对各种能源的环境影响的认识不断提高，促使人们对液化天然气进行更多的投资：虽然液化天然气是一种化石燃料，不可再生，但人们普遍认为它是一种比煤炭更清洁的能源，是完全可再生能源部门的一个可能桥梁。同期，投资者对LN和其他商品的兴趣增加，刺激了流动期货和衍生品市场的增长（Tang和Xiong，2012）。继Narayan和Liu（2015）之后，Li（2019）将2008年9月确定为现代液化天然气市场的“成熟期”。现代液化天然气市场的特点是在大量枢纽进行活跃但相对稳定的现货交易，以及信息丰富且流动性强的未来市场。由于历史原因，亨利中心在液化天然气市场中发挥着特别突出的作用，尤其是作为许多液化天然气衍生品市场的参考价格，它远非唯一的经济利益中心。从业人员认可美国大陆和加拿大的100多家TradingUBS，其中芝加哥市、AlgonquinCitygate（服务于波士顿地区）、Opal（怀俄明州林肯县）、南加州和NOVA（加拿大阿尔伯塔省）中心受到市场参与者的特别密切监控。（严格来说，其中一些是通常报告的区域平均指数，而不是实体枢纽，但我们将继续将其称为枢纽。）Mohammadi（2011）详细调查了从井口（开采）到终端消费者的定价结构，Hou和Nguyen（2018）以及Hailemariam和Smyth（2019）试图量化供需冲击对观察价格的影响。不公平的是，由于储存和运输成本，液化天然气现货和期货价格并没有完全同步。