因此，当实现的危险概率与优化中使用的概率不同时，应超时监控随机TDMPU模型，并进行更新。（16a）（16b）（16c）（15）C.1离散化随机TDP的DP结果我们使用第三节C中提出的方法离散（12）中的随机TDmodel，用于退休的同龄男性/女性（M/F）夫妇（MPU，K=L=1）。危险概率来自SSA生命表，时间t=0反映65岁。我们假设MPU是标准格式的。（参考第II-B节。）如有必要，第一次提款尝试将在时间t=1发生，最后一次提款尝试将在时间t=SMax=48（年）发生。我们使用精度Pα=1000，PR=5000威瑟尔=0.0%，WR={4%，5%，6%}。将结果与通过模拟发现的性能最佳的固定α策略进行比较（N=250万/WR）。以0.05为增量评估0.0和1.0之间的所有固定α值。使用WR=4%的最佳固定α策略为α=0.45，相应的P（破产）为0.0421（成功率=95.8）。最优策略开始时间t=0，α=0.356，产生的最小P（破产）为0.0287（成功率=97.1%），提高了31.8%。表III显示了WR={4%，5%，6%}的比较。表IIIP（破产）针对随机同龄（65）男/女夫妇TD：最优与固定α策略在该表中，我们比较了最佳随机TDmodel与最佳执行固定α策略，使用相同年龄的男/女夫妇WR={4%，5%，6%}的退出率。我们假设退休人员处于标准状态，时间t=0反映65岁。第一次退出尝试发生在t=1时（如果TD≥ 1） 最后一个是t=SMax=48（如果TD=48）。离散时间危险概率P（TD=t | TD≥  t） 来自SSA的生命表。t=0，1，…，48时的gov。使用精度Pα=1000和PR=5000（ER=0.0%）对模型进行离散。

通过模拟（N=250万/WR），在测试集{α：α=0.00到1.00乘以0.05}下，找到性能最好的固定α溶液。Demo WRP次优最优百分比递减inP（破产）P（破产）[最佳固定α]P（破产）[t=0时的α]M/f组4%0.0421[0.45]0.0287[0.356]31.8%5%0.1349[0.60]0.0978[0.481]27.5%6%0.2523[0.80]0.2009[0.672]20.4%图8显示了上述随机TDM模型的相应最优解网格，揭示了收益有利时α递减的常见模式，当收益率不利时，收益率会增加。如第III-C节所述，该模型存在严重的危险风险，需要密切监控，并随着时间的推移进行可能的再优化。图8为随机TD选择离散实现单元：M/F耦合w/ER=0.0%。该图显示了随机TDModel 673799单元最佳解决方案中的46个单元样本，其中Pα=1000，PR=5000，ER=0.0%，SMax=48。MPU instandard表单的第一个资产分配决策是在时间t=0，最后一个是在时间t=47（SMax-1）。尝试在时间t=1（如果TD≥ 1） 最后一个时间t=48（如果TD=48）。图6和图7显示了三条路径的阴影，表明在不同的投资组合绩效下，最优解决方案是如何随时间变化的。V的值反映了未来任何时间点的P（破产），α是相应的最优资产配置。D、 随着时间的推移进行调整我们对最优策略进行如下调整。假设图7或图8中绘制路径1的退休人员不满意递减的α，绘制路径3的退休人员不满意非递减的P（破产）。双方都希望在退出timet=5后切换到路径2。表IV提供了跟踪每条路径的RF（t）桶中点的实际返回r（t，α）。两者都开始于时间t=0，WR=4%，账户余额为美元。

在时间t=0美元的情况下，每次提款（4%）*（美元/年）。路径1退休人员可以通过将t>=6的实际提取金额增加到（4%）*（1.143）*（$）来转移到路径2。路径3退休人员可以通过将实际提取金额降低到（4%）*（0.889）*（$A）来改变t>=6。因此，如果以t=0时的A美元为基础，新利率分别为WR=（4%）*（1.143）=4.57%和WR=（4%）*（0.889）=3.56%。当t=6时，退休人员开始他们的新策略并退出（4.57%）*（每年美元）*∏1.我我1和（3.56%）*$A.*∏1.我我分别为1。基本上，他们停止了原来的计划，开始了新的计划，时间t=5，因为新的时间t=0，在图7的情况下，TD=25年。起始余额为（1.143）*（每年美元）*∏1.我我1.和（0.889）*（一美元）*∏1.我我分别为1（见表四）。通过切换到路径2，两者都使用WR=4%=RF（5），但现在它是基于它们的时间t=5平衡。在为紧急情况提供资源时，我们遵循相同的流程。表IV从图7或图8生成路径1和3的真实回报该图显示了四舍五入的回报，这些回报将跟踪图7和图8中路径1和3的RF（t）桶中点（使用不同的α）。这些路径假定WR=4%，ER=0.0。在每个时间点，我们应用实际回报，然后减去实际提款（WR）*（$A），其中$A是时间t=0账户余额。我们可以在任何时间点改变WRat，方法是从新的平衡开始，并咨询网格以获得最佳α。跟踪路径1的退休人员开始时间t=5，新余额（1.143）*（$A）*∏（1+1）)i=1。这是新时间t=0，时间t=6反映了使用修改的WR的新时间t=1。时间（t）路径1路径3Real Returnr（t，α）Real accountbalancer f（t）Real Returnr（t，α）Real accountbalancer f（t）1 6.56%。039 1.56%    .0412 6.53%  .038 1.72%  .0423 6.50%  .037 1.87%  .0434 6.48%  .036 2.03%  .0445 6.46%（1.143）*（美元/年）。035 2.18%（0.889）*（美元/年）。045IV。

总结和结论（9）和（12）中提出的离散时间模型产生了最优的退休人数减少策略。一旦做出了关于资产类别回报的分布假设，这些模型就会对最优策略进行估计。按照公式，它们在常见的分布假设下难以处理，必须进行离散化。因此，离散化解是对最优策略估计的数值近似。由于用户控制离散化的精度，因此近似可以驱动到任何所需的精度。这使得分配假设成为决定用户的解决方案与真正最优的接近程度的因素，不同的用户肯定会做出不同的分配假设。我们强调，这些递减策略的目标是最小化破产概率，而不是最大化最终财富。寻求遗赠财富最大化的退休人员可能会使用这种方法，通过增加WRS来获得更多的风险敞口，然后在退休投资组合之外积极投资未动用资金。然而，对于退休人员来说，采用基于财富最大化目标的模型可能更为谨慎，例如Fan、Murray和Pittman（2013）提出的模型。我们注意到，有证据表明，退休人员更倾向于预防损失，而不是财富最大化。ING退休研究所（RetirementResearch Institute）2012年的一项研究发现，80%的TD基金用户更喜欢保护自己免受损失的投资组合，66%的非TD基金用户表示同意。寻求采用此处提出的模型的顾问的使用场景如下所示。

顾问根据他们认为最适合未来退休期限的市场回报假设，使用固定或随机TD以及所需的精度水平，对DP（14）进行编码。结果是一个与图5形式相似的网格。然后，Advisor会为每位退休人员定制该网格，为退休人员表示进入舒适和不舒适的各个区域加上阴影。然后，在时间t=0时制定一个计划，该计划准确地表明，如果退休人员侵占了他们所指出的无法容忍的地区，将在何时以及采取何种类型的调整。因此，退休人员在知道存在误入歧途的情况下感到欣慰，他们仍然充分了解将采取什么行动，以及何时根据其投资组合随时间的表现来修改该策略。通过这项研究，我们证明，下滑路径在退休之初固定的减记策略是次优的，这在附录G中得到了正式规定。从股票到债券的转换减少了波动性，但也减少了预期回报，并且这种转换是在不考虑退休人员的退出率的情况下进行的。因此，当将风险定义为超过储蓄时，会增加退休风险。当使用安全提款率策略时，唯一的最佳下滑路径是随着时间的推移对市场回报作出反应的路径。我们已经提出了一种方法，可以将滑翔轨迹近似到任何期望的精度。最后，我们希望这项研究结束这样一种看法，即安全退出率是一个简单的拇指规则，学术理论没有证明这一点。

事实上，安全提款率背后的理论框架非常丰富，并展示了对跨多个学科使用的优化原则的自然延伸。参考Anton，Howard，1988，《解析几何微积分第三版》（John Wiley&Sons，纽约州纽约市）。威廉·本根（Bengen，William P.），1994年，《利用历史数据确定提款率》，金融规划杂志7（4），171-180。威廉·本根（Bengen，William P.），2006年，《为退休客户烘焙提款计划“分层蛋糕”，《金融规划杂志》19（8），44-51。David M.Blanchett，2007，《分配组合的动态分配策略：确定最优分配下滑路径》，金融规划杂志20（12），68-81。Box，George E.P.、Gwilym M.Jenkins和Gregory C.Reinsel，1994，《时间序列分析预测和控制第三版》（新泽西州恩格尔伍德悬崖普伦蒂斯霍尔）。Bradley、Stephen P.、Arnoldo C.Hax和Thomas L.Magnanti，1977年，应用数学编程（Addison-Wesley Publishing Company，Reading，MA）。Brigham，Eugene F.，Michael C.Ehrhardt，2008，《财务管理理论与实践现状》（South Western CENGAGE Learning，Mason，OH）。Charlson、Josh、Michael Herbst、Kailin Liu、Laura P.Lutton和John Rekenthaler，2009年，《目标日期系列研究论文：行业调查》（Morningstar，Inc.，伊利诺伊州芝加哥）。Cohen，J.、Grant Gardner和袁安凡，2010，《日期辩论：目标日期基金下滑路径应该“到”还是“通过”退休？（Russell Research，Russell Investments，华盛顿州西雅图）。Cooley、Philip L.、Carl M.Hubbard和Daniel T.Walz，1998，《退休储蓄：选择可持续的提取率》，美国个人投资者协会杂志10（3），16–21。Cooley、Philip L、Carl M.Hubbard和Daniel T。

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结果是（WR）*（A）*（1+I），这正是模型的标准形式表示假定的时间t=1取款金额。附录H中提供了完整的C++实现。2014年10月15日(c)最小化退休破产概率Christopher J.ROOK*互联网附录*作者是史蒂文斯理工学院系统工程系的顾问统计程序员和研究人员。本文档随附主要研究论文，包括标题、派生、源代码和杂项。目录附录A.t时实际账户余额的推导。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1.附录B.破产标准（t）给定破产C（t-1）。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2.附录C.固定TD的入职培训。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3.C、 1时间t=TD时的诱导。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3.C、 2时间t=TD-1时的诱导。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3.C、 3时间t=TD-2时的诱导。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4.C、 4时间t=TD-3时的诱导。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7.C、 5时间t=TD-k时的诱导。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。9附录D.随机TD的归纳。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。11D、 1时间t=SMax时的诱导。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

11D、 2时间t=SMax-1时的诱导。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。11D、 3时间t=SMax-2时的诱导。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12D、 4时间t=SMax-3时的诱导。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。15D、 5时间t=SMax-k时的诱导。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。17附录E.破产因素桶概率的推导。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。20附录F.历史股票和债券分配的推导。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。22附录G.杂项。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。27G、 1股票下滑路径辩论。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。27G、 2在反向导入过程中拆分关节PDF。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。29附录H.完整的C++实现。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。33附录A.tLEMMA A1时实际账户余额的推导：给定RUNC(≤ t） ，以下等式成立：（t，α）=RF（t-1）*[1+1/RF（t）]证明：根据定义，RF（t）=RF（t-1）/[（t，α）–RF（t-1）]→  [（t，α）–RF（t-1）]*RF（t）=RF（t-1）→  [（t，α）–RF（t-1）]=RF（t-1）/RF（t）→  （t，α）=RF（t-1）/RF（t）+RF（t-1）→  （t，α）=RF（t-1）*[1+1/RF（t）]命题A1：给定的Runc(≤ t） ，t时的实际账户余额为（$A）*RF（0）/RF（t）。证明：通过归纳，我们证明了命题对基本情况时间t={0，1}成立。

然后假设命题在时间t=t-1时成立，我们表明它也必须在时间t时成立。实际账户余额（t=0）：$A=（$A）*（1）=（$A）*RF（0）/RF（0）实际账户余额（t=1）：（$A）*（（1，α））–（$A）*（WR）=（$A）*（（1，α）-WR）=（$A）*（RF（0）*[1+1/RF（1）]–WR=（$A）*（RF（0）*[1+1/RF（1）]–RF（0））=（$A A）*（RF（0）*[1+1/RF（1）–1]=（$A）*RF（0）/RF（1）实际账户余额（t=t-1）：（$A）*RF（0）/RF（t-1）实际账户余额（t=t）：[（$A）*RF（0）/RF（t-1）]*（（t，α））–（$A）*WR）引理A1。假设（A.1）（A.2a）（A.2b）（A.2c）（A.2d）（A.2e）（A.3a）（A.3b）（A.3c）（A.4a）（A.4b）（A.4c）（A.4d）（A.4e）（A.4f）（A.5）（A.6）=（$A）*[射频（0）*[射频（t-1）*[射频（t-1）*[射频（t）]/射频（t-1）-WR=（$A）*[射频（0）*[射频（1+1/射频（t）]–射频（0）]=（$/RF（t）–1）]=（$A）*RF（0）/RF（t）我们在第II-C节中指出，破产系数的倒数等于剩余的实际提款数。这一陈述是命题A1的直接结果。也就是说，1/RF（t）=在时间t剩余的实际取款的#，而RF（t）=1/（#在时间t剩余的实际取款）。附录B.给定破产标准C（t-1）命题B1：给定破产标准C(≤ t-1），破产（t）发生If（t，α）≤ RF（t-1）。证明：实际账户余额（t=t-1）：（$A）*RF（0）/RF（t-1）实际账户余额（t=t-1）：[（$A）*RF（0）/RF（t-1）]*∏1.我我1实际账户余额（t=t）：[（美元）*RF（0）/RF（t-1）]*∏1.我我1*（1+R（t，α））*（1–ER）实际提款金额（t=t）：（$A）*（WR）*∏1.我我1破产所需条件（t）：≤（1+R（t，α））*（1-ER）*[（$A）*RF（0）/RF（t-1）]*∏1.我我1. ≤  （$A）*（WR）*∏1.我我1.<-> （1+r（t，α））*（1-ER）*[1/RF（t-1）] ≤  1.<-> （t，α） ≤  RF（t-1）该值为提取前值。引理A1。（A.7a）（A.7b）（A.7c）（A.7d）提案A1。账户余额（t=t）提款金额（t=t）（A.8a）（A.8b）（A.8c）（A.8d）（A.8e）（A.8f）（A.8g）附录C.固定TDC的归纳法。1时间t=t的入职假设退休人员在时间t=t到达并进行最后一次退出。

受限样本空间S={RuinC(≤ TD）}包括单个事件，如右图所示。退休人员无需计算RF（TD），因为没有更多的提款，但自RUNC以来，RF（TD）>0（如果计算）(≤ TD）已发生。当t=TD，P（破产（>TD））=0，且值函数的充分条件（B.C.）为V（TD，RF（TD））=0，RF（TD）>0。C、 2在t=TD时入职–1假设退休人员在t=TD-1时到达，进行第二次最后一次退出，并有一次剩余退出。破产因子RF（TD1）（>0）是根据刚刚观察到的投资组合收益率（TD-1，α）计算得出的。退休人员现在面临限制样本空间S={ruint（TD），RuinC(≤ ，并寻求使P（破产（TD））最小化的α。这一直接决策是使用第II-F节中提出的框架做出的。也就是说，TheRetrie比较了各种资产配置的尾部概率，并选择了P（破产（TD））最小的一个。该优化可表示为：V（TD-1，RF（TD-1））=最小值  P（破产（TD）→ V（TD-1，RF（TD-1））=最小值  1-P（RUNC（TD））→ V（TD-1，RF（TD-1））=最小值  1-P（（TD，α）>RF（TD-1））→ V（TD-1，RF（TD-1））=最小值  1–（1–F（TD，α）（RF（TD-1）），已知破产因子RF（TD-1）。这里，F（TD，α）（·）表示已知/估计的CDF（TD，α）。注意，由于V（TD，RF（TD））=0，我们可以将V（TD-1，RF（TD-1））等效为：（C.1b）（C.1c）（C.1a）（C.1d）V（TD-1，RF（TD-1））=Min1–（1–F（TD，α）（RF（TD-1）））*（1–E（TD，α）+[V（TD，RF（TD））]，最佳=α（TD-1，RF（TD-1））。C、 3 t=TD时入职–2假设退休人员在t=TD-2时到达，最后一次退出，并有两次剩余。破产系数rf（TD-2）（>0）是根据刚刚观察到的投资组合收益率（TD-2，α）计算的。

退休人员现在面临限制样本空间S={破产（TD-1），破产（TD），破产C(≤ 如图所示，并寻求做出最优资产配置决策，以最小化P（破产（>TD-2））=P（破产（TD-1）∪破产（TD）），即未来任何时间点的破产概率。使用（6b）和（6c），我们将P（破产（>TD-2））表示为：P（破产（TD-1）∪破产（TD））=1-P（破产C（TD-1）∩ RuinC（TD））=1-P（RuinC（TD-1））*P（RuinC（TD）| RuinC（TD-1））。值函数表示为：V（TD-2，RF（TD-2））=Min1-P（RUNC（TD-1））*P（RUNC（TD）| RUNC（TD-1））→  V（TD-2，RF（TD-2））=最小值  1-P（（TD-1，α）>RF（TD-2））*P（（TD，)> RF（TD-1）|（TD-1，α）>RF（TD-2））→ V（TD-2，RF（TD-2））=最小值  1-P（（TD-1，α）>RF（TD-2））*,∩,,为了便于标注，添加了最右边的术语。回想一下，V（TD，RF（TD））=0RF（TD）>0，因此它是零的期望值。此外，如第II-G.1节所示，（TD，α）+=（（TD，α）（TD，α）>RF（TD-1）。我们的惯例是 请参考在未来时间点处于最佳状态的α，并让α表示在当前时间点处于最佳状态的α。最优 始终需要将电流V（·）降至最低。（C.3a）（C.3b）（C.4a）（C.4b）（C.4c）对于所有RF（t）>0，该概率的最佳值仅在时间t=TD-1时推导得出。时间t=TD时noruin的概率。预期的问题。t=TD，给定RuinC（TD）。（C.2）（C.4c）中比率的分子反映了在t=TD-1和TD时避免破产的概率。根据定义，这是联合PDF f（（TD-1，α），（TD，)) 概率陈述中定义的区域。该区域存在于（TD-1，α）–（TD，)平面和关节PDF定义位于平面上的三维对象。

我们通过对给定区域上的联合PDF进行积分来计算所需体积。由于（TD，)依赖于（TD-1，α），我们必须处理（TD，)首先，其中（TD，)范围从RF（TD-1）到∞.  在此感应步骤中，（TD-1，α）的范围从恒定RF（TD-2）到∞.  （TD-1，α）–（TD，)平面如图A1的横剖面线所示。假设转弯处呈钟形，则一个三维山丘对象（见右图）描绘SF（（TD-1，α），（TD，)).  所需概率是该物体在所示区域上的体积，我们必须在时间t=TD-2时对所有α进行评估。改变α会改变山丘的形状和位置，从而改变概率。（C.4c）中比率的分母是RF（TD-2）右侧相同固体的体积。我们在（C.4c）中寻求使全表达式最小化的α，其中这些概率是两个分量，见下文（C.4d）。图A1。

f（（TD-1，α），（TD，)) 对于（C.4c）中分子和分母的导数→ V（TD-2，RF（TD-2））=最小值    1-（1–F（TD-1，α）（RF（TD-2）））*,,,,,,,通过调节和假设各时间点之间的回报率是独立的，我们在比率的分子中拆分了jointPDF（见附录G.2）：→ V（TD-2，RF（TD-2））=最小值 1-（1–F（TD-1，α）（RF（TD-2）））*,,,,,,→ V（TD-2，RF（TD-2））=分钟 1-（1–F（TD-1，α）（RF（TD-2）））*,,,,,现在，由于RF（TD-1）是（TD-1，α）的函数，即RF（TD-1）=,（C.4f）中的值函数可以写成，对需要接受期望的直观解释是，V（TD-1，X）已经被发现适用于所有正破坏因子X，将X视为常数。在当前的诱导步骤中，发现X是随机的，我们通过α控制已知的PDFunder。在α上的优化中，然后在X.（C.4d）（C.4e）（C.4f）（C.5）的各种PDF中评估EX[V（TD-1，X）]。根据定义，该积分是R.V.（TD-1，α）+上[1–V（·）]的期望值。这个术语是前面发现的[1–V（TD-1，RF（TD-1））]。

DP的每个阶段都必须遵循一项优化政策。由于RF（TD-1）是（TD-1，α）的函数，这些积分必须保持嵌套，并且排序不能互换。V（TD-2，RF（TD-2））=最小值1-（1–F（TD-1，α）（RF（TD-2）））*（1–E（TD-1，α）+五、T1.,)达到最佳状态=α（TD-2，RF（TD-2））和条件RV（TD-1，α）+=（（TD-1，α）（TD-1，α）>RF（TD-2））上的期望，其中{（TD-1，α）>RF（TD-2）}≡ {RF（TD-1）>0}。C、 4在t=TD时入职–3假设退休人员在t=TD-3时到达，进行第四次最后退出，并剩下3次。破产系数rf（TD-3）（>0）是根据刚刚观察到的投资组合收益率（TD-3，α）计算的。退休人员面临限制样本空间S={破产（TD-2），破产（TD-1），破产（TD），破产C(≤ TD）}（如右图所示），并寻求做出最优资产配置决策，以最小化P（破产（TD-2）∪破产（TD-1）∪破产（TD）），即未来任何时间点的破产概率。

在有限样本空间下，P（破产（>TD-3））现在定义为：P（破产（TD-2）∪破产（TD-1）∪破产（TD））=1-P（破产C（TD-2）∩ RUNC（TD-1）∩ RuinC（TD））=1-P（RuinC（TD-2））*P（RuinC（TD-1）∩ 因此，值函数为：V（TD-3，RF（TD-3））=Min 1-P（RUNC（TD-2））*P（RUNC（TD-1）∩ 时间t=TD-3时的RuinC（TD）| RuinC（TD-2））诱导与时间t=TD-2时的诱导几乎相同，接下来将该过程推广到时间t=TD-k，然后在第II-G.1节中报告任何时间t。注意，对于所有RF（t）>0的情况，该概率的最佳值是在时间t=TD-2时得出的。（C.6）（C.7a）（C.7b）（C.8a）RF（TD-1）→ V（TD-3，RF（TD-3））=最小值  1-P（（TD-2，α）>RF（TD-3））*P（（TD-1，)> RF（TD-2）∩ （TD，)> RF（TD-1）|（TD-2，α）>RF（TD-3））→ V（TD-3，RF（TD-3））=最小值  1-P（（TD-2，α）>RF（TD-3））*,∩,∩,,→ V（TD-3，RF（TD-3））=最小值  1-（1–F（TD-2，α）（RF（TD-3）））*,,,,,,,,,,→ V（TD-3，RF（TD-3））=最小值  1-（1–F（TD-2，α）（RF（TD-3）））*,,,,,,,,,→ V（TD-3，RF（TD-3））=最小值  1-（1–F（TD-2，α）（RF（TD-3）））*,,,,,我们要求在未来的每个阶段都遵循最佳政策反映这些最佳值。

否则，该V（·）不能取最小值。应用条件概率的定义。在无破产条件下，下3个真实收益的多元密度积分。通过调节和独立性，我们分裂了联合PDF（见附录G.2）。请注意，退休人员在此时通过选择α对下一个破产因子有一定的控制权。（C.8b）（C.8c）（C.8d）（C.8e）（C.8f），因为RF（TD-2）是（TD-2，α）的函数，即RF（TD-2）=,根据定义，上述表达式是条件RV（TD-2，α）+上[1-V（TD-2，RF（TD-2））]的期望值，值函数可以写为：V（TD-3，RF（TD-3））=Min1-（1–F（TD-2，α）（RF（TD-3）））*（1–E（TD-2，α）+五、T2.,)达到最佳状态=α（TD-3，RF（TD-3）），期望值高于条件RV（TD-2，α）+=（（TD-2，α）（TD-2，α）>RF（TD-3）），其中{（TD-2，α）>RF（TD-3）}≡ {RF（TD-2）>0}。C、 5在时间t=TD时入职–kAssume退休人员在时间t=TD-k（对于k=0,1，…，TD-1）到达，并在k剩余的情况下进行最后一次（k+1）退出。破产因子RF（TD-k）（>0）是根据刚刚观察到的投资组合收益率，（TD-k，α）计算得出的。退休人员面临着严格的样本空间S={破产（TD-k+1），破产（TD-k+2），…，破产（TD），破产C(≤ TD）}（如右图所示），并寻求最优资产配置以最小化P（破产（>TD-k））=P（破产（TD-k+1）∪破产（TD-k+2）∪… ∪ 破产（TD）），是指未来任何时间点的破产概率。

在受限样本空间下，我们将P（破产（>TD-k））表示为：P（破产（TD-k+1）∪破产（TD-k+2）∪… ∪ 破产（TD））=1-P（破产C（TD-k+1）∩ RUNC（TD-k+2）∩ … ∩ RuinC（TD））=1-P（RuinC（TD-k+1））*P（RuinC（TD-k+2）∩ … ∩ RuinC（TD）| RuinC（TD-k+1））（C.8g）（C.9）RF（TD-2）（C.10a）（C.10b）对于所有RF（t）>0，在t=TD-k+1时得出该概率的最佳值。值函数由以下公式给出：V（TD-k，RF（TD-k））=Min 1-P（RUNC（TD-k+1））*P（RUNC（TD-k+2）∩ … ∩ RuinC（TD）| RuinC（TD-k+1））Let，,=,,,,  和,:,射频t型1..在t=TD-k时，向量（TD-k+2，TD）将在t=TDk+1后的所有时间点保持随机回报，假设使用了最佳资产配置。

集合,将表示k-2维中的空间，在该空间上（TD-k+2，TD）满足runc的条件（>TD-k+1）。→ V（TD-k，RF（TD-k））=最小值  1-P（（TD-k+1，α）>RF（TD-k））*P（,∈,| （TD-k+1，α）>RF（TD-k））→ V（TD-k，RF（TD-k））=最小值  1-P（（TD-k+1，α）>RF（TD-k））*,∩,∈,,→ V（TD-k，RF（TD-k））=最小值  1-（1–F（TD-k+1，α）（RF（TD-k）））*,,,,,,,,（C.10c）（C.10e）应用条件概率的定义。（C.10f）在无破产条件下积分的下一个k实回报的多元密度。（C.10g）（C.10d）→ V（TD-k，RF（TD-k））=最小值1-（1–F（TD-k+1，α）（RF（TD-k）））*,,,,,,,→ V（TD-k，RF（TD-k））=最小值  1-（1–F（TD-k+1，α）（RF（TD-k）））*,,,,,→ V（TD-k，RF（TD-k））=最小值1-（1–F（TD-k+1，α）（RF（TD-k）））*（1–E（TD-k+1，α）+五、Tk1.,)达到最佳状态=α（TD-k，RF（TD-k）），期望值大于条件RV（TD-k+1，α）+=（（TD-k+1，α）（TD-k+1，α）>RF（TD-k）），其中{（TD-k+1，α）>RF（TD-k）}≡ {RF（TD-k+1）>0}。附录D.随机TDD的归纳。1时间t=smax的入职假设退休人员在时间t=smax到达并进行最后一次退出。无需计算RF（SMax）（>0），因为不再有取款和破产(≤ SMax）已发生。时间t=SMax，P（破产（>SMax））=0和a B.C。

对于值函数为VR（SMax，RF（SMax））=0，RF（SMax）>0。D、 2在t=SMax时入职–1假设退休人员在t=SMax-1时到达，退出，最多1次再培训。RF（SMax-1）（>0）是根据刚刚观察到的投资组合收益率（SMax-1，α）计算得出的。根据定义，括号内的终端（C.10h）是P（runc（>TD-k+1））。（C.10i）通过调节和独立性（见附录G.2）。（C.10h）（C.10j）RF（TD-k+1）退休人员寻求α最小化P（破产（>SMax-1））=P（破产（SMax）），我们表示为：VR（SMax-1，RF（SMax-1））=最小 P（破产（SMax））→ VR（SMax-1，RF（SMax-1））=最小值 1–P（Runc（SMax））→ VR（SMax-1，RF（SMax-1））=最小值1–[P（TD=SMax-1 | TD≥ SMax-1）*（1）+P（TD>SMax-1 | TD≥ SMax-1）*P（（SMax，α）>RF（SMax-1））]→ VR（SMax-1，RF（SMax-1））=最小值 P（TD>SMax-1 | TD≥ SMax-1）*[1-P（（SMax，α）>RF（SMax-1））]→ VR（SMax-1，RF（SMax-1））=最小值 P（TD>SMax-1 | TD≥ SMax-1）*[1–（1–F（SMax，α）（RF（SMax-1））]）]，已知破产因子RF（SMax-1）。我们也可以将VR（SMax-1，RF（SMax-1））表示为：VR（SMax-1，RF（SMax-1））=最小  P（TD>SMax-1 | TD≥ SMax-1）*[1–（1–F（SMax，α）（RF（SMax-1）））*（1–E（SMax，α）+[VR（SMax，RF（SMax））]）]最佳=αR（SMax-1，RF（SMax-1））。D、 3在t=SMax时入职–2假设退休人员在t=SMax-2时到达，退出，最多2次再培训。RF（SMax-2）（>0）是根据刚刚观察到的投资组合收益率（SMax-2，α）计算得出的。P（Runc（SMax））给定d>SMax-1。预期的问题。时间t=SMax后无破产，给定Runc（SMax）。

（此表达式=1。）（D.1b）（D.1c）（D.1a）（D.1d）（D.1e）（D.1f）RF（SMax）=RF（SMax-1）/（（SMax，α）-RF（SMax-1）），该项=P（TD=SMax | TD≥ SMax-1）Runc（SMax）≡ （时间t之前死亡=SMAX退出尝试）∪ （活到t=SMax并成功退出）退休人员寻求α最小化P（破产（>SMax-2））=P（破产（SMax-1）∪破产（SMax）），对于agivenα，可以表示为：P（破产（>SMax-2））=P（破产（SMax-1）∪破产（SMax））=1-P（破产c（SMax-1）∩Runc（SMax））=1–P（TD=SMax-2 | TD≥ SMax-2）*（1）+P（TD>SMax-2 | TD≥ SMax-2）*P（（SMax-1，α）>RF（SMax-2）∩ Runc（SMax））=P（TD>SMax-2 | TD≥ SMax-2）*[1-P（（SMax-1，α）>RF（SMax-2））*P（Runc（SMax）|（SMax-1，α）>RF（SMax-2））]P（Runc（SMax）|（SMax-1，α）>RF（SMax-2））=,*P（（SMax-1，α）>RF（SMax-2）∩ Runc（SMax））P（（SMax-1，α）>RF（SMax-2）∩ Runc（SMax））=P[（（SMax-1，α）>RF（SMax-2）∩ （TD=SMax-1 | TD>SMax-2））∪（（SMax-1，α）>RF（SMax-2）∩ （TD=SMax | TD>SMax-2）∩ （SMax，)> RF（SMax-1））]TDand（（SMax-1，α），（SMax，)) 是独立的，因为随机市场回报与退休人员最终退出的随机时间无关。此外，需要TD=SMax-1和TD=SMax的事件的联合是相互排斥的，因为两者都不可能发生（D.2a）（D.2c）（D.2d）。在SMax-1退出并避免在SMax破产的事件可以通过两种方式发生：在SMax-1退出并在SMax之前经历死亡，或者在SMax-1退出，然后再次在SMax退出。请注意，在给定TD>SMax-2的情况下，所有这些都会展开≡TD公司≥ SMax-1，见（D.2c）。（D.2b）（D.2e）（D.2f）这两个事件是独立的，因为（SMax-1，α）和Td是独立的R.V.s。这两个事件相互排斥。这两个事件不是独立的，因为SMax-1是（SMax-1，α）的函数。同时最后，事件（SMax-1，α）>RF（SMax-2）和（SMax，)> RF（SMax-1）不是独立的，因为RF（SMax-1）=RF（SMax-2）/[（SMax-1，α）-RF（SMax-2）]。

因此，我们将（D.2f）表示为：P（（SMax-1，α）>RF（SMax-2）∩ Runc（SMax））=P（（SMax-1，α）>RF（SMax-2））*P（TD=SMax-1 | TD≥ SMax-1）+P（（SMax-1，α）>RF（SMax-2）∩ （SMax，)> RF（SMax-1））*P（TD=SMax | TD≥ SMax-1）=P（TD=SMax-1 | TD≥ SMax-1）*,,+ P（TD=SMax | TD≥ SMax-1）*,,,,,=,*,P（TD=SMax-1 | TD≥ SMax-1）+P（TD=SMax | TD≥ SMax-1）*,,将（D.2i）中的术语替换回（D.2e）表明，它只不过是对条件RV（SMax-1，α）+的期望值[1–VR（SMax-1，RF（SMax-1））]。如果使用α= 在t=SMax-1时，我们可以将给定α在t=SMax-2时的原始概率（D.2a）表示为：P（破产（>SMax-2））=P（TD>SMax-2 | TD≥ SMax-2）*[1-P（SMax-1，α）>RF（SMax-2））*（1-E（SMax-1，α）+五、S1.,)]如果最优α= 如果退休人员到达t=SMax-1并成功退出，则该术语精确地为Maxα[P（runc（SMax））]，根据定义为1–VR（SMax-1，RF（SMax-1）），参见（D.1c）。

下面将显示α=必须在t=SMax-1时使用，以最小化t=SMax-2时的VR（SMax-2，RF（SMax-2））。（D.2g）（D.2h）（D.2i）（D.2j）RF（SMax-1）对于P（破产（>SMax-2）），要在t=SMax-2的所有α上最小化，[·]中的函数必须在每个RF（SMax-1）处取其最小值，这恰好发生在VR（SMax-1，RF（SMax-1））。联合PDF被拆分（见附录G.2）。最后，我们将t=SMax-2处的值函数表示为：VR（SMax-2，RF（SMax-2））=Min P（TD>SMax-2 | TD≥ SMax-2）*{1-（1-F（SMax-1，α）（RF（SMax-2）））*（1-E（SMax-1，α）+[VR（SMax-1，RF（SMax-1））]）}，在=αR（SMax-2，RF（SMax-2））。D、 4时间t=SMax时的入职–3假设退休人员在时间t=SMax-3时到达，退出（最多保留3个），并根据刚刚观察到的投资组合回报率（SMax-3，α）更新RF（SMax-3）（>0）。