根据a-b-c分类，他们忽略了b贡献的随机数和c贡献的固定数。如果Eνs在范围和会话中保持不变，则这种方法是正确的。对于这样的测试，平均b增量是一个更干净的候选者。对于每份合同，将表16中范围内的平均b增量合并到一个样本中。然后，评估样本矩、ECDF和EPDF。在表8中，每个最小值和最大值都出现过一次，相应的列替换为U-=分钟-M eanStdDevand U+=最大值-M eanStdDev。表8：从范围中提取的平均b增量的样本统计。股票大小平均最小U-最大U+标准偏差E-KZCN13 157 0.0053-0.026-1.2 0.22 8.2 0.027 5.6 35ZSN13 157 0.0049-0.31-6.1 0.37 7.1 0.051 2.1 29ZWN13 156 0.061-2-3.5 6 10 0.59 7.8 74ZBM13 75-0.0019-0.29-6.1 0.24 5.2 0.047-1.34 28ESM13 144 0.0015-0.091-6.5 0.089 6 2 0.014 1.68 31GCM13 71-0.078-1.9-3.7 1.7 3.6 0.50-1.1 7.4HGN13 91 0.022-1.7-4.1 2.3 5.8 0.39 2.0 16SIN13 92 0.097-2.4-2.2 9.5 8.2 1.2 6.149CLN13 67 0.0013-0.082-3.1 0.072 2.7 0.027-0.42 2.3GN13 70 0.00083-0.039-2.8 0.046 3.2 0.014 0.47 1.66AM13 61-2.2e-005-0.0011-6.1 0.00027 1.8 0.00017-3.8 216BM13 62 1.1e-005-0.00021-2 0.00017 1.6 0.00010-0.45-0.936CM13 63-1.6e-005-0.0016-7.0 0 0.00018 0.9 0.00023-5.8 396EM13 61 2.1e-006-0.00023-4.4 7.7e-005 1.4 5.4e-005-2.2 6 6.86JM13 60 1.6e-005-0.00021-1.6 0.00087 6.20.00014 4.0 24GEM13 63 9.5e-006-0.00014-2.5 0.00016 2.6 5.7e-005 0.28 0.91U=最大（| U-|, |U+|）是与表示瞬时偏差的平均值的最大偏差。对于标准正态分布[1，p.972]p（{U≥5} ）+P（{U≤ -5}) = 2(1 - 0.9999997133) = 0.0000005734. 我们需要2000000次会议才能观察到这样或更大的偏差。具有≈ 每年247个交易日这是8097年的交易日。

然而，对于ZCN13、ZSN13、ZWN13、ZBM13、ESM13、HGN13、SIN13、6AM13、6CM13和6JM13，在不到160个范围内观察到的偏差大于投资标准偏差。GCM13和6EM13具有超过Gaussianzero的7.4和6.8的额外峰度。剩余的CLN13、NGN13、6BM13和GEM13具有较低的超额峰度、偏度和U，可以应用皮尔逊χ检验。即使这项工作成功了，也不会主要改变情况：不仅是b增量，而且它们在数千个刻度范围内获得的平均值都不是高斯分布。统计价格和时间属性可能会随时间显著变化，如图1、16、19所示。同一合同在其有效期内流动性达到最大值时，它们会发生变化，见表15和16中的列大小。这可能就是原因。20 c增量c增量是按价格划分的不同链接绑定范围和会话，见表17。所有这些都是不可分解的，并且与比b增量更大的持续时间相关。图27描述了它们的EPDF。图27:2013年3月至7月在Globex上交易的期货的c增量EPDF，以δ表示。NGN13的c增量除以10个先验图。在治疗过程中，绝对平均c-增量明显大于绝对平均b-增量，表17和表16。对于绝对极端b增量来说，情况并非如此。它们大于绝对平均c增量，并且在许多情况下可比（ZWN13、GEM13）或大于绝对极端c增量（ZSN13、ZBM13、HGN13、SIN13、CLN13、NGN13、6BM13、6CM13），如图23和27所示。这意味着，在下一个交易日前持仓的风险可能大于在电子交易日之间持仓的风险。

我们需要记住，电子会议之间的停顿比pit会议之间的停顿要短。将平均绝对c增量与表16中的| Size×mean |进行比较也是有意义的。后者是最后一个和第一个价格的绝对差异。这提供了一个想法，即价格是在交易期间还是在交易期间变化更大。例如，对于2013-04-02、2013-04-03、201304-04和2013-04-05的ZCN13会议，三种产品为35930×-0.00030615 = -11δ, 9δ,-53δ，和-4δ. 前面的四个c增量分别为1δ、3δ、4δ和1δ。在这些交易日中，价格在交易日内的变动幅度大于交易日之间的变动幅度。绝对值的平均值为19.25δ≈ 19δ和2.025δ≈ 2δ. 比值ρsbc=PsNs- PSP- 聚苯乙烯-1Ns-1=PSN- 如果在一个方向上进行两次移动，则Psc增量（51）为正，否则为负。未定义零c增量的比率。ρsbc越大，表示会话对暂停的贡献越大。在示例中，ρbc=-11，ρbc=3，ρbc=-13.25，ρbc=-表17包含整个c增量系列的样本统计数据。关于节假日的信息，ch增量，是谷物中最完整的信息。这包括耶稣受难日、阵亡将士纪念日和独立日。后者不适用于7月之前到期的合同。此外，由于技术原因，与阵亡将士纪念日相关的信息已被遗漏，以供将来参考。ch增量具有说明性意义，不能支持统计结论。这一时期和合同的一个更明确的结论是，周末的平均cw增量的绝对值大于正常工作日的平均cr增量。HGN13和6JM13除外。会话中两个范围之间的ci增量仅适用于ZCN13、ZSN13、ZWN13和ESM13。

从单独处理的cr、cw和ch增量来看，绝对平均ci增量最小。21价格与时间：b与a的增量悬浮在液体中的小爱因斯坦粒子的平均位移与时间的平方根成比例【46】。Bachellier通过两种不同的途径【12】、【33，第29-33页和33-36页】获得了价格x的数学预期，正是这种性质。爱因斯坦要求“……时间间隔τ……与观测到的时间间隔相比非常小，但是，……其大小使得一个粒子在两个连续间隔内执行的运动……是相互独立的……数学布朗运动的现代定义见[185，p.1]. 在不太严格的形式下，如果1）B=0，2）B是t的连续函数，则B是布朗运动≥ 0，3）每t，h≥ 0增量Bt+h-B独立于业务部门：0≤ u≤ t和具有均值为0且方差为h的高斯分布。定义了一个与一系列信息集{It}相关的维纳过程，但没有提及高斯分布：1）配对It，Wt是一个W=0和E[（Wt）的平方可积鞅- Ws）]=t- s、 s≤ t、 2）WT的曲率随时间t连续【169，p.148】。Neftci引用了L'evy定理，指出任何维纳过程都是布朗运动。考虑到价格，这些结果意味着b和a增量之间存在统计关系。每个b增量与a增量相关联。绘制前者与后者的对比图并没有显示曲线，如图28左上角所示。分别为0、1、2采样b增量。a增量创建sampleconditional分布。如果过程是布朗运动，那么不仅每个样本应该服从高斯分布，而且应该服从StdDev（b增量）∝√a-增量。图28右上角并未证实这种比例。

我们也不能依赖单个样本的高斯特性。例如，表18将极端b增量16和17以及STDEV 0.36379与零a增量相关联。这是-44和47个标准差。最大尺寸为508004和20357的两个样本几乎都不是高斯分布。爱因斯坦没有提出平均粒子位移与时间平方根成比例与价格有关系。如果平均价格位移，即平均b增量，与时间的平方根a增量成正比，则图28左下角应显示y∝√x、 相反，这些点位于水平标高附近。使用维纳过程，可以预期均方b增量与a增量成比例。相反，图28左-右显示的是一条水平线。b增量和a增量避开了价格变化和已知布朗运动时间平方根之间的关系。如果在价格和时间增量（即b增量和a增量之和）中观察到这些属性，那么在“经济价格和时间原子的微观世界”中，可伸缩性和自相似性是有限的。根据公式50 | b-增量，r |≈|PNs，r-1i=1b增量，ri | Tcs，r- Tos，ra增量，r.（52），因此，对于具有一个| Ps，rNs，r的选定范围-Ps、r |和较小的a1和a2增量预计平均b增量和a增量之间存在线性相关性。这在价格和时间之间没有内在的依赖性。22关于差异的评论作者进行了一次差异实验，图29、30、表9。图28:ESM13 2013年4月5日。左上：539882个点（a-增量inseconds，b-增量inδ），由于离散性，许多点重叠；右上角：b增量（表18 StdDev）与相关a增量（表18 a增量）的样本标准偏差；左下：样本平均绝对B增量±STDEV vs。

相关a-增量±1 s，表19；右下：样本均方b-增量±STDEV（平方）vs.a-增量±1s，表20。使用i-Phone 4S的秒表测量时间，精度为0.1秒。Papala VMC Corp.提供的透明开放式塑料盖13.7×3.1×1.3 cm，用于黄鲈鱼诱饵，在家中供水处填充5 mm厚的一层。高锰酸钾（KMnO）晶体放在水平牙签的顶部，旋转容器一侧后迅速掉落，形成条纹。第二部手机用来拍照。用纪念尺测量品红正面的距离，误差为0.5 mm。正面侵蚀在距离测量中引入了更大的误差和主观性（图片可用）。为了不让家人和一只猫摇动桌子，大家都很小心。出于同样的原因，靠近手机盖的i-Phone的铃声和振动模式也被切换了。室温为22.5±0.5oC=295.65oK。结果如图30所示。图29：扩散实验。标记1和2（左上）表示测量F1和F2的两条线。22.1“炼金术”专注地盯着正在侵蚀的品红正面，作者认为这两个i-phone、尺子、水、渔具盖和高锰酸钾是否可以解释“男人的疯狂”。除了i-phone以外，这些朴素的工具类似于炼金术士的手段。牛顿知道冷却和力学定律，今天以他的名字命名，为了阐述他的关于疯狂的论文，他不得不损失（或在其他版本中得不到）20000英镑。一些人将其转换为现代的5000000美元。

也许炼金术是正确的术语【210】。22.2爱因斯坦的悬浮颗粒根据分子动力学理论的原理，根据为非电解质编写的范特霍夫方程（数学上等同于门捷列夫·克拉佩龙方程），爱因斯坦推断，在用高度稀释的悬浮颗粒替换溶解分子后，渗透压p保持不变。这个在当时并不寻常的结论，允许他对压力应用相同的方程式，其中摩尔浓度可替换9：扩散实验记录：t秒；F 1，F 2毫米。t F 1 F 2 t F 1 F 2 t F1 F 260.1 4 6.5 1620.7 68 48 4500.9 89 68.5120.9 10.5 9 1740.2 70 48.5 4680.9 91 70.5181 16.5 12 1800.9 70.5 49 4861 92.5 72240.8 21.5 14.5 1920.3 71 49.5 5041 94 72.5311.5 26.5 18 2040.7 73 50 5280.1 95 74361.1 30 19.5 2101.2 74 50.5 5462.3 96 75421.1 33.5 23.5 2220.9 75 51.5 5941.1 97 75.5480.8 37 25.5 2340.7 75.5 52.5 6122.2 97.5 76540.9 39.5 27.5 2401.1 76 53 6368.2 9876.5600.7 42.5 29.5 2642.6 77 54.5 6673.6 99 77.5721 47 33.5 2761.1 77.5 55 6901 99 78780.8 49 34.5 2879.9 78.5 55.5 7080.9 99.5 78849.7 52 37 3001.1 79 56.5 7200.9 99.5 78960.9 55 39.5 3301 80 57 7500.8 100 78.51020.8 56.5 40.5 3540.9 82 59.5 7817.4 100.5 791080.6 58.5 42 3599.4 82 59.5 8177.5 101.5 811141.4 60 43 3840.8 83.5 62 8520.6 102 821201.2 61 43.5 4020.8 85 63.5 8761.2 102 82.51320.6 64.5 46 4141.3 86.5 65 9376.6 102.5 851440.8 65 46.5 4260.7 88 65.5 10037.9 105 85.51501 66.5 47.5 4381.5 88.5 67 11053.8 105 87.5浓度表示为每体积粒子数ν：p=RTNν。这使阿伏加德罗数N成为分母。T是绝对温度。R是通用气体常数。

回顾热力学平衡，其中自由能为任意虚位移δx而消失，他得出结论，渗透压必须对悬浮颗粒施加力K：K=νpx、 然后，他回顾了菲斯特菲克定律对粒子（而非质量）的影响-Dνx、 式中，D是扩散系数，并将其与单位时间内以一定速度通过单位面积的粒子数相等。他引用Kirchho fff表示半径为P的球体在力k下以粘度k在液体中移动的速度为k6πkP。这就像一个人看到图29中的洋红锋移动时，将其与一定大小的力相关联。但爱因斯坦看到了力的来源，并推导出了臭名昭著的D=RTN6πkP。他从分子动力学考虑的下一步是a）第二个菲克扩散定律f（x，t）t=Df（x，t）x带b）D=τR+∞-∞φ()d, 哪里 是时间间隔τ内粒子的位移，ν=f（x，t）是每单位体积的粒子数，φ() 是粒子分布的概率密度. 对于x 6=0和t=0：f（x，t）=0，R+∞-∞f（x，t）dx=n。他知道这个初值问题的解f（x，t）=n√4πDe-x4Dt√tand治疗2DTF图30：实验与理论：前距离与时间的差异。使用方程53获得最佳回归曲线。随着时间的推移，方差呈线性增长。回想一下u=α- α=α表示α=0。对他来说，这个方差是X轴位移平方的平均值。因此，λx=√2吨=√tqRTN3πkP。作者提出这些细节是为了提醒人们：在热的分子动力学理论背后，存在着一个坚实的基础（爱因斯坦的基础更少，我们这个时代的基础更大）。

爱因斯坦说：“……如果对这一运动的预测被证明是错误的，那么将对热的分子动力学概念提出一个重要的论点”。爱因斯坦文章中物理内容的深度与数学复杂性的比率是大型强子对撞机的价格与图29所示设备价格的比率。所进行的实验偏离了爱因斯坦的假设。高锰酸钾是电解质，根据传统的斯凡特-阿伦尼乌斯理论分解。这将Van\'t Go ff方程中所谓的等张系数增加到2。薄薄的水层仍然不能消除3D扩散。晶体的条纹也不能阻止2扩散。少数晶体暂时未溶解，形成复杂的浓度曲线。浓度远未达到爱因斯坦应用理想溶液定律所需的“极大稀释”。塑料壁接触高锰酸钾浓度变化的溶液所产生的表面效应可引起对流增加“可观察”D。然而，如果我们可以从该数据中评估D，则分子尺寸估计值为TN6πkD。爱因斯坦对扩散方程的解是格林函数或脉冲响应函数【54，第93-95页】。这些文件的一半乘以两个f（x，t）=2ne-x4Dt√4πDt，D=1，n=1如图31所示。眼睛检测浓度F图31：浓度曲线。文件的右侧。这是浓度曲线和水平检测线的交点。此解决方案不适用于t→ ∞, 当浓度接近一个大于0的常数时：a）盖子的长度等于体积，b）高锰酸盐的量也是固定的。然而，当扩散锋远离右壁时，解决方案是合理的：指数迅速下降。

我们“测量”的不是f，而是与f成比例的颜色强度。需要比例系数s。近似函数x=F（t）是通过将密度等于fd并取x得到的≥ 0f（x，t）=fd=se-x4Dt√4πDt，x 五十、 x个=√t×sD-4 lnfds- 2 ln（4πDt）=√Dt×pA- 2 ln（t），其中A依赖于D，但有一定的自由度，因此我们可以忽略它，并从乘数中找到D。为了补偿下落晶体和启动秒表的异步性，以及标尺的移动，添加了两个参数t=t表- tand x=x表格- XX表格=x+pD（t表格- t） ×pA- 2英寸（t表- t） 。（53）方程式53是四个参数D、A、t、x的近似函数。完成了协同优化，其中t、x是两条曲线的共同点，但D、A独立变化。使用Microsoft Excel的解算器，根据六个参数，将表9中x与方程53之间的偏差平方和的总和（对于两条曲线）最小化。带约束优化的解算器应用Lasdon算法【118】。集合{D=0.577mms，A=20.5}，{D=0.266mms，A=21.6}，公共t=45.7s，x=-两个正面的直径为7.36mm。曲线与x<0.8L的实验点非常接近，如图29所示。然而，最小系数为0.266mms≈ 2.7×10-7msis 163倍于文献1.632×10-9ms【131】。开放式细胞中的表面张力和对流可能是快速铺展颜色的原因。P=8.31Jmol×K295.65K6.02×10mol 6×3.14×10-3kgm×s×2.7×10-7ms=8×10-1300万≈ 10-10米。好吧，对撞机是物有所值的。22.3解决方案爱因斯坦知道，布莱克不知道。相反，菲舍尔·布莱克不确定他建立的方程是否是微分方程，以及如何求解它【19】，【20，第5页】：“我花了很多很多天试图找到方程的解。我有博士学位。

在appliedmathematics中，但从未在微分方程上花费太多时间，所以我不知道用于解决此类问题的标准方法。我有安娜。B、 在物理学方面，但我不认为该方程是“热方程”的一个版本，它有众所周知的解（与爱因斯坦所知的解类似）。1973年之前，一切都已完成（或开始）。使用a）连续时间内随机游走后的股价和任意有限时间间隔内的对数正态分布【18，p.640，假设b）】，b）随机演算【18，p.642，等式4】，c）无套利假设，d）无风险对冲头寸回报的确定性（Robert Merton指出），以及其他对美国假设不太重要的假设，Black和Mayron Scholes得出偏微分方程，PDE，问题【18，p.643，Eq.7，8】：w=rw- rxw公司-vxw，w（x，t*) = x个- c、 x个≥ c或=0，x<c。省略了变量的复杂替换【18，p.643，Eq.9】将其从诺贝尔符号转换为普通符号后转换为y=yoryt型=yu、 y（u，0）=0，u<0或ceu（v）/（r）-五）-1., u≥ 0，系数D=1。在此基础上，使用傅立叶/格林/爱因斯坦方法/解和返回原始变量的后代换，推导出了著名的幸运数为13的期权价值公式【18，p.644，Eq.13】。更早的时候，Bachelier解决了一个非常非常类似的PDE问题【12】。引入概率辐射（“rayonnement de la probabilit'e”）的逻辑：“在时间元素期间t、 每个价格x都辐射出一个概率量，该概率量与它们对相邻价格的概率差成正比“[33，第40页]，他得出了一个傅立叶方程cPt型-Px=0，涉及概率P和常数c。他认为价格增量正态分布，方差和时间成正比。

后一个属性，asit今天被认可，在数学处理aBrownian运动时给予他优先权。作者在学士学位论文中没有发现“布朗”一词以及“投机”的定义。萨缪尔森提出的几何或经济布朗运动是由M.F.M.奥斯本独立提出的【174】。作者想提及安德烈·劳伦特（Andre Laurent）[120]、[119]、[175]和R.雷默里（R.Remery）[182]的独立作品（作者找不到名字，也找不到雷默里的论文，并引用了[120]），他有一个有趣的想法。Laurent写道：“……在Remery\'s中，偏离模型σY=σt被解释为经济不平衡的度量。”。Black和Scholes应用的随机演算基于Kiyosi It^o的结果[86，p.523-524]：“让F（x）是x的函数，使得F（x）可能是连续的……作者证明了等式：RtF（g（τ，w））dτg（τ，w）=F（g（t，w））-F（g（0，w））-RtF（g（τ，w））dτ。在最后一项中，我们可以看到一个特征性质，通过它我们可以区分“随机整数”和“有序整数”。“这里，g（t，w）是”。。。任何布朗运动。。。无移动间断的（实）随机微分过程，使得E（g（s，w）-g（t，w））=0和E（g（s，w）- g（t，w））=| s- t |“[86，第519页]。他们需要扩大选项值w（x+x、 t+t）- w（x，t），以跟踪对冲投资组合价值的变化，即一股多头和两股空头。只要它的条件存在，就可以应用它。布朗运动在范围之内。一般来说，It^o integralRHdX是在相当广泛的条件下定义的，其中被积函数H是可预见的，并且积分器X必须是半鞅[186，p.2]。

Bachelier、Black-Scholes、Merton（具有连续股息收益率）流程以及许多新的变化都在范围内。这些步骤很常见a）找到一个符合It^o要求的过程，b）将其随机演算应用于工具价值的变化，一个衍生工具，从基础过程中借入风险，c）使用无套利假设构建对冲投资组合，d）假设后者无风险，收益率无风险，e）得出PDE问题，如果时间和价格条件（初始、最终、边界）取决于要定价的金融工具，f）解决它，h）根据市场价值进行测试。22.4 Kreps，Harrison，Pliskacury目前，有一个众所周知的替代方案来替代a）-h）计划【77】，【78】。作者没有讨论这一点，而是分享了自己的观点：这些结果是经济科学的基础，这两篇文章的作者大卫·克雷普斯、迈克尔·哈里森和斯坦利·普利斯卡值得纪念阿尔弗雷德·诺贝尔的斯维尔日斯·里克斯班克经济科学奖颁奖委员会的充分关注。22.5通过衍生品定价测试a-b-c过程太粗糙了。在所有情况下，我们都是从价格过程开始的。这给出了衍生工具的价格。它们可以与市场溢价进行比较。目标是创造后者。在可接受的公差范围内，可以批准不同的基础工艺。当波动率和利率的时间确定性曲线取代Black-Scholes模型下随机微分方程中的常数参数时，后者更好地体现了隐含波动率与。

期权到期时间-波动率期限结构。然而，由于对数正态价格，它仍然大大低估了风险。换言之，与高斯假设相比，保护性止损指令有更多的机会被“触及”或“遗漏”，从而产生令人震惊的滑动。这意味着，在将过程复杂地转换为期权价格并将后者与市场价值相匹配之后，基础交易者不应判断价格模型的优劣，而应直接从过程中获得与影响交易结果的房地产相匹配的结果。必须深入研究a-b-c过程。本文描述的最大交易策略框架和最优交易要素是研究它的一种新方法。23对依赖关系的评论。贸易商希望找到过去和未来价格或事件之间的依赖关系，以确定它们。价格看起来是随机的。我们将在下一节讨论什么是“随机”。Fama【50】应用序列相关模型、运行测试、runsby长度测试和Alexander技术【3】，过滤器的变化范围为0.5%至50%，以得出以下结论：样本相关系数很小，运行次数及其长度与预期值和Alexander策略没有显著差异，在核算成本和无法按过滤价格交易后，将利润转化为损失。这表明不存在重大依赖关系。在接下来的48年里，他的研究受到了越来越多的猜测的支持。一个有趣的问题是，增长是否独立于研究。确定随机变量之间的相关性不仅是经济学的一项基本任务。在技术分析中，寻找价格之间的依赖关系是隐含的。运行被定义为相同符号的价格变化序列。当一次跑步被打断时，商人不在乎。

重要的是，这些中断是“明显的”，接下来的运行将继续提高市场价值。当确定了头肩模式【166，第74-76页】时，atrader知道它并不总是伴随着相应的价格变动。这里有两个事件：1）模式和2）下一步价格走势的方向和大小。证明或反驳两者之间的依赖关系是另一种形式的对过去和未来价格之间依赖关系的归纳。模式和信号是价格和其他信息的函数。许多创造性交易系统可以在[91]、[241]、[30]、[11]、[240]、[238]中找到。是否有可能建立模式之间的依赖性和价格之间的独立性，或者反之亦然？在我们的结论一致的情况下，这种依赖性措施受到欢迎。23.1通过线性相关系数R（ξ，η）测量两个随机变量ξ，η之间的R’enyi示例线性相关性。对于高斯变量，R（ξ，η）=0确保其独立性。一般来说，这不是事实。设ξ均匀分布于[-1, 1]. η=ξ完全由ξ决定，但R（ξ，η）=0。阿尔弗雷德·恩伊的例子是相同的ξ，η=5ξ- 3ξ[183，第443页]。这样的通用度量很有趣，它涵盖了线性和非线性依赖关系。23.2科尔莫戈罗夫（Kolmogorov）的建议科尔莫戈罗夫（Kolmogorov）[103，第256页]：在事件a发生m次，事件B发生l次，而且与事件a一起发生k次的情况下，引入大量重复试验。在事件a发生的情况下，参考事件B的条件频率是很自然的。。。如果事件A和B之间没有关系，那么很自然地假设，事件B应该在A的条件下出现，与所有试验相比，出现的频率既不明显增加，也不减少，这大约意味着什么≈lnorkn=kmmn≈lnmn公司。

LeEvent A是A增量为0秒或1秒或1秒的排他勾号，eventB是绝对b增量为0秒或1秒或jδ的勾号，频率为νAi=min，νBj=ljn，νAiBj=kijn。继科尔莫戈罗夫之后，差异νAiBj- 表21计算了ESM13的νAiνbj。这是经验联合分布频率和两个经验边缘分布频率的乘积的差异。对于独立事件，相关概率应为零。然而，频率只是对概率的估计。理论上，人们可以对平均频率重复这种考虑，并不断得到新的估计。科尔莫戈罗夫评论【103，第262页】：。。。这并不能使我们在最后阶段摆脱一种必要性，即在原始和粗略的意义上转向概率。差异νAB- νAνBcan累加较大误差，这将导致小νAB的较大相对误差。表21中的值在1%到85%之间变化。我们永远不会得到精确的零。治疗分别在3月4日和5月22日进行，增量最少，数量最多，并且是所有疗程的组合样本。在这种情况下，误差1-20%是否意味着独立性？数量νAB- νAνBis是Hoeffing[79]和Blum KieferRosenblat[21]，[32]独立性测试的核心，但他们的统计数据用于连续分布。市场要求对离散变量之间的依赖性进行测试。对于经验离散分布和离散后的连续分布，Kolmogorov量易于计算。它与R’enyi’spostulates的关系如何[183，p。

443]?23.3 R'enyi依赖公理R'enyi关于ξ和η之间依赖关系的适当度量δ（ξ，η）的性质列表是：A）δ（ξ，η）是为任意一对随机变量ξ和η定义的，它们都不是概率为1的常数；B） δ（ξ，η）=δ（η，ξ）；C） 0个≤ δ(ξ, η) ≤ 1.D） δ（ξ，η）=0当且仅当ξ和η独立时；E） δ（ξ，η）=1，如果ξ和η之间存在严格的依赖关系，即ξ=g（η）或η=f（ξ），其中g（x）和f（x）是Borel可测函数（见[110，p.38]）；F） 如果Borel可测函数F（x）和g（x）以一对一的方式将实轴映射到自身，δ（F（ξ），g（η））=δ（ξ，η）；G） 如果ξ和η的联合分布为正态，则δ（ξ，η）=R（ξ，η）|。我们看到νAB- νAνBsatis fies A、B和D。R'enyi确定Gebelein的最大相关性（ξ，η）=supf，g（R（f（ξ），g（η）），其中，运行所有Borel可测函数的f（x）和g（x）取上确界，满足七个假设。他引入了可得函数的概念，使得S（ξ，η）=R（f（ξ），g（η））成立，并证明了两个定理来帮助找到它们。R'enyi注意到条件期望和算子理论之间的相似性，将任务简化为寻找完全连续变换的特征值和函数AF=M（M（f（ξ）|η）|ξ），其中M是数学期望，垂直线表示条件期望。具体而言，fis是属于A的最大特征值S=S（ξ，η）和g（η）=M（f（ξ）|η）S的特征函数。他建立了变换A完全连续且获得最大相关性的条件。他解决问题的方法类似于这样一种方式，即两个概念之间的“映射”，乍一看是脱节的数学或数学与物理分支，如果在另一个分支中已知或容易，则可以快速在一个分支中给出解决方案【62】。

卡拉·穆尔扎的作品中讨论了类似的原则。R’enye证实Linfoot的信息相关系数l（ξ，η）=√1.- e-2I（ξ，η），其中I（ξ，η）是ξ和η之间的互信息，也具有七个性质。这一标准源于克劳德·香农（Claude Shannon）[200]和金钦（Khinchine）[97]建立的基金会，金钦（Khinchine）用自己的话（97，第3页）进行的阐述“更完整，数学上更正确”。为了阐明信息相关性和相互信息的最新发展，作者引用了包含更多参考文献的文献[138]。23.4应用于a和b增量的三个测试【73】中比较了基于空间划分和内核方法的非参数测试。对于维数为d和d且具有i.i.d对（X，Y）的实值随机向量X和Y的样本，（Xn，Yn），x和Y独立的零假设，H：νAB=νAνB，在对分布进行最小假设的情况下进行测试。就a和b增量而言，两个分区是An={An，1，…，An，mAn}，Bn={Bn，1，…，Bn，mBn}。这里，n是一个样本中a增量对和b增量对的数目，m是a增量和b增量的事件数，d=d=1。事件是a的大小，b的增量是秒和δ。只有在sampleform事件中找到的实际大小。例如，100秒后可以是102秒，值101不表示。缺席101不会增加人的数量。b事件的处理方式类似。感兴趣的Ln、In和χn统计量是Ln（νAB，νAνB）=XA∈AnXB公司∈Bn |νAB- νAνB |，In（νAB，νAνB）=2XA∈AnXB公司∈BnνABlogνABνAνB，χn（νAB，νAνB）=XA∈AnXB公司∈Bn（νAB- νAνB）νAνB.Arthur Gretton和L'aszl'o Gy'或'证明几乎肯定Ln（νAB，νAνB）>√2 ln 2qmAnmBnn=Ln，如果limn→∞mAnmBnn=0，limn→∞mAnln（n）=limn→∞mBnln（n）=∞, 拒绝独立的假设。

他们还建议，如果In（νAB，νAνB）>mAnmBn（2 ln（n+mAnmBn）+1）n=在里面最后，它们驱动ξχn=nχn（νAB，νAνB）-mAnmBn公司√200万桶→ 高斯（α=0，u=1）表示分布上的收敛。