“if”部分遵循第（i）部分，因为在这种情况下ρ∨A=ρ∧Aby提案6.7。证明“仅当”部分假设 A（ρ∧A） 。因此，对于任何X∈我们有ρA(-十、-) = ρ∧A（X）=0。这个小鬼撒谎说-十、-∈所以A是引理3.3的剩余不变量。示例6.18。让A L∞成为验收集。1、假设A是闭合且敏感的，ρA（0）=0。然后A（ρ∧A） =L∞+. 在这种情况下ρ从6.15开始为f∧Ais敏感。2、假设A为σ（L∞, 五十） 闭合且相干，ρA（0）=0。然后A（ρ∧A） =s omeA的跨度（A）∈ F这是定理4.9的直接结果，因为接受集a（ρ∧A） 很容易被认为是σ（L∞, 五十） 封闭且连贯。操作意义设ρ为正风险度量。在资本充足率背景下，数量ρ（X）被解释为使X可接受的成本。因此，为了给ρ提供操作意义，我们需要指定使X可接受的动作是ρ（X）成本。在没有此类规定的情况下，ρ（X）不能以任何实际方式解释为资本要求。考虑验收集A L∞. 如前所述，现金附加风险度量ρ的定义具有明确的操作意义：对于任何X∈ L∞, 数量ρA（X）是必须筹集并添加到X中以达到可接受性的“最小”资本金额（直至A结束）。在这个意义上，所有X的恒等式ρA（X+ρA（X））=0∈ L∞（6.16）可被视为关键运营财产。以下属性（也在[6]第1.1节中强调）是（6.16）对积极风险度量的自然概括。定义6.19。正风险度量ρ：L∞→ [0, ∞) 如果所有X的ρ（X+ρ（X））=0，则称为现金兼容∈ L∞. （6.17）备注6.20。

现金兼容性有以下操作解释：如果ρ：L∞→ [0, ∞) isa现金兼容积极风险度量和X∈ L∞一个任意的资本头寸，那么我们可以通过将ρ（X）加到它上面来使X可以接受。因此，被理解为资本要求的风险度量与向头寸中添加现金以使其可接受的管理行为是一致的。备注6.21。让A L∞成为验收集。（i） 由于ρAis与现金兼容，因此ρ∨A始终满足6.17。因此，命题6.9意味着，每一个具有正性的现金加成的正风险度量都是自动与现金兼容的。（ii）风险度量ρ∧Adoes并不总是满足6.17。例如，样本6.5中定义的看跌期权溢价很容易被视为不具有该属性。我们回顾了El Karoui和Ravanelli在[9]中引入的现金次加性概念。有关在ρa形式的风险度量背景下对该公理的讨论，请参见【11】。定义6.22。A风险度量ρ：L∞→ 如果ρ（X+α），则R称为现金次加性≥ ρ（X）- α对于所有α>0。（6.18）备注6.23。让A L∞成为验收集。（i） 风险度量ρ∨Ais总是以现金作为补充，如[19]中的命题4.3所示。正如命题6.9中的一个序列，每一个正的盈余不变风险度量都是现金subad ditivewhere is cash additive sub to positive。（ii）风险度量ρ∧Ais始终是现金次级相加。确实，对于X∈ L∞α>0-（X+α）-≤-十、-+ α表示ρ∧A（X+α）=ρA(-（X+α）-) ≥ ρA(-十、-+ α) = ρ∧A（X）- α .

（6.19）根据第6.12条的规定，每一个现金损失为正的盈余不变风险度量都是现金的次加性。（iii）[6]中考虑的基于损失的风险度量是凸的现金次加性，如[6]中第2.1节所示。下面的定理表明，在现金兼容的操作相关假设下，每一个现金次加的正盈余不变风险度量都可以用ρ的形式表示∨A对于某些su rplus不变接受集A L∞.定理6.24。设ρ：L∞→ [0, ∞) 是现金兼容的正盈余不变风险度量。那么，以下语句是等效的：（a）ρ=ρ∨A对于一些剩余的变量接受集A L∞;（b） ρ是现金的次加性。（a）中的验收集始终可以选择为a（ρ）。证据我们只需要证明（b）意味着（a），正如Remark6.23中的相反含义。为此，选择X∈ L∞. 我们声称ρ=ρ∨A（ρ）。因为ρ是现金兼容的，所以ρ（X+ρ（X））=0，所以X+ρ（X）∈ A（ρ）和ρ∨A（ρ）（X）≤ ρ（X）。如果ρ（X）=0，则立即得到ρ∨A（ρ）（X）=ρ（X），因此假设ρ（X）>0。取任意0<α<ρ（X）。按现金次加性，我们有ρ（X+α）≥ ρ（X）- α>0，因此X+α/∈ A（ρ）。因此，ρ∨A（ρ）（X）≥ α表示所有这些α，意味着ρ∨A（ρ）（X）≥ ρ（X）。我们得出结论，（b）适用于A：=A（ρ）。上述定理的直接结果是，在[6]中研究的所有凸的、基于损失的风险度量可以用ρ的形式表示∨Aas，只要它们与现金兼容。这再次突出了ρ形式的风险度量的相关性∨a关于剩余不变接受集a L∞.推论6.25。设ρ：L∞→ [0, ∞) 是基于凸损失的风险度量。

如果ρ与现金兼容，则ρ=ρ∨A（ρ）。参考文献[1]Acerbi，C.《风险的光谱度量：主观风险规避的一致表示》，《银行与金融杂志》，26（7），1505–1518（2002）[2]Alipr antis，Ch.D.，Border，K.C.：有限维分析。