定理(二)：设S是自然数集N非空子集，假如0S，且当nS时，必有n+1S，则S=N。定理(三)：设S是自然数集N非空子集，假如0S，且当0,1,2,nS时，必有n+1S，则S=N。数学归纳法，有两种形式：(1)第一数学归纳法要证一个结论对全部自然数都真，只须做两件事：1)当n=0时，结论成立。2)若当n=k结论成立，则当n=k+1结论也成立。
(2)第二数学归纳法要证一个结论对全部自然数都真，只须做两件事：①当n=0时，结论成立。②若当nk结论成立，则当n=k+1结论也成立定理(四)：设P(n)是一个与自然数n相关结论。若对于自然数0，结论成立；而且当对自然数k结论成立时，对于自然数k+1结论也成立，则该结论对全部自然数都成立。
定理(五)：设P(n)是一个与自然数n相关结论。若对于自然数0，结论成立；而且当对自然数0,1,2,k结论成立时，对于自然数k+1结论也成立，则该结论对全部自然数都成立。