第三节 正定二次型
  对二次型f (x1, x2, …, xn)经过满秩变换后可化为规范形
  为讨论其性质, 在应用中对二次型进行以下分类.
定义 设f (x1, x2, …, xn)=xAx为实二次型, 若对于任意非零实向量x=(x1, x2, …, xn), 都有
f=xAx>0,
称f为正定二次型, 对称矩阵A称为
正定矩阵.
f=xAx<0,
称f为负定二次型, 对称矩阵A称为
负定矩阵.
f=xAx0,
称f为半正定二次型, A为半正定矩阵.
f=xAx0,
称f为半负定二次型, A为半负定矩阵.
  若存在非零向量x1, x2, 使得f=x1Ax1>0, f=x2Ax2<0, 称f为不定二次型.
例1 设A为mn实矩阵, 证实
(1) AA(或AA)是实对称矩阵.
(2) 二次型f = x(AA)x为半正定二次型.
(3) 当R(A)=n时, f = x(AA)x为正定二次型.
证实
(1) 显然.
(2) x0,
有
Ax=0或Ax 0,
于是
f=x(AA)x=(Ax)Ax0,
所以f半正定.
(3) 当R(A ...