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题目：假设一个健康保险公司正在评估其承保人群的医疗成本。已知该人群中，糖尿病患者占1%，每年平均医疗费用为$10,000；非糖尿病患者占99%，每年平均医疗费用为$2,500。如果该公司计划提供一个包含糖尿病筛查服务的保险产品，预计每增加一次筛查将额外增加每人年保费$50，并且可以识别出当前未被诊断的0.5%的人有糖尿病。问：

1. 在没有提供筛查的情况下，该承保人群平均每人的医疗费用是多少？

2. 如果提供筛查服务，则在假设所有新确诊的糖尿病患者都将得到治疗并且其平均医疗成本与已知糖尿病患者的相同的情况下，平均每人的总保费（包括医疗费用和筛查费用）会增加多少？

解答：

1. 在没有提供筛查的情况下，该承保人群平均每人的医疗费用可以通过以下方式计算：

   设总人数为N，则：
   
   糖尿病患者人数 = 0.01 * N
   非糖尿病患者人数 = 0.99 * N
   
   总的医疗费用为：(0.01 * N) * $10,000 + (0.99 * N) * $2,500
   
   平均每人的医疗费用为：
   
   ($10,000 * 0.01N + $2,500 * 0.99N) / N = $100 + $2,475 = $2,575

2. 如果提供筛查服务，新增糖尿病患者人数为：
   
   新增糖尿病患者人数 = 0.005 * N
   
   每人年总保费将包括医疗费用和筛查费用。由于新增的糖尿病患者将接受治疗，其成本与现有糖尿病患者的相同。
   
   平均每人的总保费（包括医疗费用和筛查费用）为：
   
   （$10,000 * (0.01N + 0.005N) + $2,500 * (0.99N - 0.005N) + $50 * N）/ N
   = ($10,000 * 0.015N + $2,500 * 0.985N + $50N)/ N
   
   我们已经知道没有筛查时平均每人的医疗费用为$2,575，现在需要计算新增的总费用：
   
   新增总费用 = （$10,000 * 0.005N + $50N）/ N
               = ($50N + $50N) / N
               = $100
   
   因此，平均每人的总保费增加了$100。这意味着在提供筛查服务的情况下，平均每人需要支付的额外费用为$100，其中包含新增糖尿病患者的医疗成本以及筛查本身的费用。
   
   这个计算展示了通过增加预防性医疗服务（如糖尿病筛查），虽然短期内会增加保险公司的成本，但长期来看可能有助于更早发现和治疗疾病，从而在总体上控制医疗成本。

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