使用统计概念计算的一些不可抗拒的积分使用统计概念计算的一些不可抗拒的积分
更新于2018年12月12日。当g（x）不等于x时，错误已得到修复，并添加了新的部分“ Generalization”。在底部的“相关问题”部分中添加了指向大量有趣积分的链接。
以下是一些教科书中找不到的积分。解决这些问题是接受一些高级微积分训练的大学生的一项很好的练习。我们提供了解决方案，以及用于计算许多相似积分的通用框架。也许这些材料应该成为标准数学课程的一部分。在这里，p，q和r是正实数，q大于p。
伽玛符号代表伽玛功能。这些结果可能会在此处首次发布。这些被称为Frullani积分，尽管Frullani定理或我所知的任何最新概括都没有涵盖此处提到的那些（有关此主题的最新贡献，请参见此处 和此处。）确实，基于AI的自动集成平台例如WolframAlpha 虽然他们能够精确计算标准Frullani积分，却找不到精确值（仅是一个近似值）。我得出精确值的方法与经典方法不同，因为它依赖于期望的统计概念，可能导致有趣的研究领域。
如何计算这样的积分？
这些积分是以下主要结果的特殊情况，在下一节中将予以证明：
其中g（x）/ x趋于1，而x趋于无穷大，并且f是一个有限期望的有界函数。可能需要一些其他条件，例如f（x）/ g（x）的整数 在0和1之间是有限的。f的期望值（也称为平均值）定义为
例如，如果f（x）= | SIN（SQRT（x））|，则期望存在，并且等于 E（f）= 2 / Pi。（证明给我看！）
在本节开始时介绍的主要结果是相当直观的，但需要格外小心地进行严格证明，包括正确说明f和g所需的假设以使其有效。在某些情况下，可能需要使用非黎曼积分。在这里，我们仅提供直观的解释。
主要结果证明（略图）
这里p，q和n是整数，q大于p。我们对n趋于无穷大的情况感兴趣。我们使用Euler-Maclaurin求和公式近似积分。随着n趋于无穷大，下面的近似值变为等式。
一阶近似与Abelian定理有关。我们还使用了谐波序列的经典逼近来使对数项出现。请注意，对于较大的k值，g（k）渐近等于k。这是公式有效的要求之一。
我们还有：
使用第一个积分的变量y = x / q和第二个积分的y = x / p的变化，我们得到：
这证明了结论。
请注意，对于引言中的所有示例，我都使用g（x）= x。我还使用不同的函数（例如g（x）= x + 1 ）对其进行了测试，并且它也可以工作。结果不在此处发布。
概括
到目前为止，我们假设g（x）/ x趋于1，而x趋于无穷大。相反，如果我们更一般地假设g（x）/ x平均等于1？交替使用符号E（f）或 E（f（x））表示对函数f的期望，主要结果变为：
即使f或g不是黎曼可积的，只要期望是有限的并且不同于零，该公式也可以工作。在这种情况下，积分可以用等距点上的无穷和或平均值代替。
函数g不在主定理中但由其泛化覆盖的一个示例是
在这种情况下，E（x / g（x））= 1 / SQRT（2）。
讨论区
虽然可能是本文中最重要的部分，但我还是决定将其放在底部，希望访问者能读到这为止。我是故意这样做的，希望一些读者（我正在考虑针对该主题进行研究的大学生或学者）可能会在我的“定理”中发现一些明显的缺陷，并对本文介绍的内容进行更深入的思考，尤其是关于我的公式何时适用对还是错。我希望他们自己发现它。
最基本的例子当然是f（x）= 1和g（x）= x。为什么我的定理在这种情况下不起作用？在进一步阅读之前先考虑一下。答案：在这种情况下，如果x = 0 ，则f（x）/ g（x）是无穷大。  然后您可能会问，如果f（x）= | SIN（SQRT（x））|为什么起作用？和g（x）= x？在进一步阅读之前，请再考虑一下。答：虽然收敛非常非常慢，但在这种情况下f（x）/ g（x），例如介于0和1之间，是有限的。这就是这种情况的不同之处。  
我的定理不起作用的另一个示例是最经典的Frullani积分，涉及f（x）= exp（-x）。在这种历史情况下，积分是由大约0的值驱动的，而不是由x的大值驱动的（这就是我的定理的意思。）实际上，在这种情况下，E（f）= 0。那么我的定理在哪些情况下起作用？如果f是一个有界值的周期或几乎周期的函数，并且f（x）/ g（x）的积分在0和1之间为有限，那肯定可以。它也适用于f（x）= | SIN（SQRT（x））|？我相信是这样，但是在这一点上，这仍然是一个推测。找到最有效的功能类别是一个非常困难的问题。在 f（x）= | SIN（SQRT（x））|的情况下，WolframAlpha提供良好的近似值，直到n等于10
即使在失败的情况下，该定理也可以修改。您可能希望在1和n之间进行积分，而不是在0和n之间进行积分，以避免奇异性。但这将改变公式-唯一需要更新的是在上一节中对集成中的变量进行更改时。在这种情况下，我请您进行修改以发现更新后的（新）公式是什么。
最后说明
我希望找到一些包含常数的已知精确值的积分，例如Pi，e或SQRT（2），这些积分将与使用涉及log（q / p）的公式计算的值匹配，以找到这些常数之间的简单关系。这将证明某些常量是多余的。但是我找不到这种关系。今天，这仍然是一个尚未解决的巨大数学问题。这些常数是否由除exp（i Pi）= -1之外的其他公式关联？没人知道。  
1