股票指数基金ETF可看成是超长期无限期的认购期权

                            于德浩

                          2020.11.25

如果我们要买一个超长期股票认购期权，剩余期限T=100年，价格应该是多少呢？我们应用简单平值期权定价公式x=0.5A。按照市场中性定价，年收益率μ=0%，年波动率σ=20%；那么一百年的股价波动率就是100^0.5*20%=200%；平值期权价格就是x=0.5*200%=1，这正好是标的正股的当前股价。

这么看，与其花同样的钱买这个超长期股票期权，就不如直接买入正股了。显然，正股的性价比更高；剩余100年的平值认购期权售价是x=1，而无限期的（剩余200年的）股票也是1。而且，股票的年均收益率μ=+8%，要比市场中性定价的μ=0%更好。

股票指数的年均收益率是+8%，相当于大约每10年翻倍。若持股100年不动，就从初始的1万元本金，变成累积1024万元。

人们都说，这100年太久了。可是，你总能等上20或30年吧。比方说，一个人现在从30岁起，存入10万元买入沪深300指数基金；那么等他60岁时，就能有累积80万元。只要这期间简单的持股不动即可；不要为期间的股价涨涨跌跌心神不宁，轻举妄动。这就是大智若愚。 而在现实中，很少有人能做到这么高的最后总收益；人们还一直在忙忙碌碌、胡乱操心找寻各种投资机会。

先看一下认购期权的市场数据。当前2020.11.24日，正股上证50ETF收盘3.493元。剩余1天的平值认购期权50ETF购11月3500，价格是0.0128元。剩余28天的平值认购是0.0759元/份，剩余119天的平值认购期权是0.1630元，剩余210天的是0.2203元。根据BS期权定价公式反推的隐含波动率依次是年化21.76%，18.83%，17.98%，17.27%；都在年20%以下，当前价属于比较便宜。

再看一下认沽期权的实际市场数据。剩余1天的平值期权沽11月3500，价格是0.0178元/份，隐波是19.51%。剩余28天的平值认沽期权沽12月3500价格是0.0758元，隐波是0.1983；剩余119天的平值认沽是0.1668元，隐波是23.37%；剩余210天的沽6月3500价格是0.2289元，隐波是25.20%。

在BS期权定价公式中，设定输入参数当前股价S=3.493元，认购行权价格K=3.5元，剩余期限T=28/365.0天；调节参数无风险年化收益率r=0.05，调节参数年化隐含波动率σ=0.1883；就可以得到输出结果，平值认购期权价格C=0.0759元。

这里的调节参数r=5%是一般的债券年收益率，而不是BS理论上的实际无风险的银行存款年收益率2%；是为了在实际应用中，隐含波动率与历史波动率不会相差太大。当然，还有一个原因，就是股价日涨幅分布不是严格的正态分布假设，要“尖峰胖尾”些。比方说，在μ=0%的概率密度应该是50%，要比正态分布的根号下2π分之一=0.4要更大。

我们可以用更简单的平值期权定价公式x=0.5A。我们先根据剩余28天的平值认购期权价格，待定求出月波动率A=（0.0759/3.493）/0.5=4.35%。从而求出日涨幅分布的标准差是4.35%/20^0.5=0.97% ，那么剩余1天的平值期权价格就大约是3.5*0.5*1%=0.0175元。剩余119天的理论估算价格是0.0759*(119/28)^0.5=0.1565元，剩余210天的估算价格是0.0759*(210/28)^0.5=0.2079元；这与实际市场数据相比较，有大约5%的误差。