凯利公式的推导过程

                       于德浩

                       2021.2.2

有资本金1，有p概率成功，收益是+W；有q=(1-p)概率失败，是负收益-L；求解最优投入比例x，使得累积n次后，总资产收益最大。

写出期望收益率函数，f(x)=(1+W*x)^p*(1-L*x)^q，

求目标函数的极值，令f’(x)=0，

    即 p*(1+W*x)^(p-1)*W*(1-L*x)^q+(1+W*x)^p*q*(1-L*x)^(q-1)*(-L)=0；

       pW(1+Wx)^(p-1) *(1-L*x)^q =(1+W*x)^p*qL(1-L*x)^(q-1)；

       pW(1+Wx)^(-1) =qL(1-L*x)^(-1)；

       p*W*(1-L*x)=q*L*(1+W*x)；

       p*W-q*L=p*W*L*x+q*L*W*x；  利用p+q=1;

    从而解得，x=(p*W-q*L)/(W*L)。

   定义赔率b=W/L， 则x=(p-q/b)/L。

当L=1时，即“一次投资的最大亏损是被清零”，就是凯利公式，x=p-q/b。

举例，投资项目70%概率翻倍，30%概率清零。这里，W=1,L=1,b=1;p=0.7,q=0.3;所以最优策略投入比例是x=0.7-0.3/1=0.4。若有资本金100万元，应该投入40万元是最优。期望收益率是f(x)=(1+1*0.4)^0.7*(1-1*0.4)^0.3=1.086。

我们可以看出，当考虑综合风险等因素，虽然这个项目表面上是+100%的成功利润率，但平均收益率仅是+8.6%，不算高。所以说，一般投资实体项目，都要求“预算三年回本”。虽然表面是+30%的年收益率，但与金融股票市场的年均+8%收益率实际效果差不多。

期望收益率的目标函数f(x)是怎么得来的呢？我们先简单的特殊验证一下，还是对的。比如，令p=1，q=0，W=1；显然，当x=1时，有最大值，是必然的2倍原资产的收益。

我自己思考，没能写出这个目标函数，我当初给想复杂了。每局收益为正或为负，是随机的；又有很多种可能的组合末态；还得再求累积收益的前n项和，及概率期望值；这太难了，没想出来。

在网上百度搜索了一下“凯利公式推导”，知乎有这方面的解答，我看懂了。

我们只看末态资产及递推关系。显然，a(n+1)=a(n)*(1+W*x)或者a(n+1)=a(n)*(1-L*x)，我们合并写成，a(n)*(1+W*x)^1*(1-L*x)^0，或者a(n)*(1+W*x)^0*(1-L*x)^1。这样，我们就能写出，an=a0*(1+W*x)^S*(1-L*x)^F。 其中，S是胜利的局数，F是失败的局数，S+F=n次。

我们定义平均每次收益率为r，则a0*(1+r)^n=an。我们再定义期望收益率函数，

    即f(x)=(1+r)=(an/a0)^(1/n)；

从而，f(x)= (1+W*x)^(S/n)*(1-L*x)^(F/n)=(1+W*x)^p*(1-L*x)^q；

   其中，胜率p=S/n，败率q=F/n，q=1-p。

对于横向事例的投资最优策略，我认为还是很简单的。横向一共有10个项目，每个都是相同的胜率及赔率。显然，每一个项目都是平权的盈利机会，所以都得参与。既然每一个项目都不比其他更好或更差，那么就是平均分配。即，100万元投资10个项目，每个项目都投入10万元。这样，总资本的期望值就是，

10个*（（10*2）万元/个*0.7+0万元/个*0.3）=140万元。

这要少于纵向事例的总收益。

10次*（（40*2）万元/次*0.7+0万元/次*0.3）=560万元。

这里就能看出，横向事例与纵向事例的不对称性。