Y 和 aX+b 以概率1相等，即Y 和aX+b 在概率测度可测范围内都是相等的，期望即关于概率测度积分，所以也相等。也可以考虑随机变量Z=Y-aX-b,  即Z=0 的概率为1，所以Z的期望等于0

楼上前半部分为高观点（测度视角）下的解释，对于深入理解概率、期望非常有意义；
后半部分构造变量Z，证明Z=0的概率为1，实际上没有证完。还需要继续…

由以上可知  EZ=0
又由  EZ=E(Y-aX-b)=EY-E(aX+b)
因此  EY=E(aX+b)

实际上，从初等概率论视角来看：

（1）若变量离散
\[EY = \sum y_{i}p_{i} = \sum (ax_{i}+b)p_{i} = E(aX+b)\]

（2）若变量连续
\[EY = \int_{-\propto }^{\propto }yf(y) dy= \int_{-\propto }^{\propto }(ax+b)f(ax+b) d(ax+b)= E(aX+b)\]

P(Y=aX+b)=1是概率为1，概率为1就是必然。那么满足Y=aX+b方程
所以EY=E(aX+b)

P{Y-aX-b=0}=1, 故Y-aX-b可以当成只取0这点的离散型随机变量，于是E(Y-aX-b)=0*1=0, 再由数学期望的性质E(Y-aX-b)=EY-E(aX+b)可得