股价随机运动方程的解释及数据实证

                        于德浩

                       2021.7.9

股价随机运动的宏观方程是，S=S0*e^(μ*T-1/2*σ^2*T+σ*T^0.5*Z)，其中Z是标准正态分布函数N（0,1）产生的随机数。其对应的微观方程是，dS/S=μ*dt+σ*dB。即，漂移速度为μ，标准差为σ的布朗运动。

从事后宏观统计来言，如果把连续n=20天的纵向事例看成是完备集，那么我们就默认末态，即第20个事例，的随机数Z20=0，即恰巧是期望值，不左偏也不右偏。这也正是当n个事例足够多时，大数定律的结果。

我们看一个具体案例。比如，某个月股价上涨+6%，初态股价S0=3.3元，末态S=3.5元。期间在第13天（第13个交易日）出现极大值3.6元。把每天的收盘涨幅看成一个纵向事例，可以统计出平均日涨幅，也就是期望值，μ= +0.3%/天；标准差σ=6%/月或者σ=6%/20^0.5=1.34%/天。

在第一天，股价大涨+3%，从3.3元上涨收盘至3.4元；第二天，股价窄幅震荡，收盘3.39元；第三天，股价的日涨幅约+1%，收盘3.43元。我们计算一下这几天的随机数。

显然，Z=(ln(S/S0)-μ*T+1/2*σ^2*T)/(σ*T^0.5)。我们把具体数值代入，   Z1=(ln(3.4/3.3)+1/2*1.34^2*10^(-4)*1-0.3*10^(-2)*1)/(0.0134*1^0.5)=(0.03+0.90*10^(-4)-0.3*10^(-2))/0.0134=2.01，随机数Z的量纲是T^0.5，即天^0.5。 第一天的大涨，使得事例观测值大幅右偏至+2σ处。

再计算一下Z2。 Z2=(ln(3.39/3.3)+1/2*1.34^2*10^(-4)*2-0.3*10^(-2)*2)/(0.0134*2^0.5)=(0.027+0-0.006)/0.019=1.11。第二天虽然不涨或小跌，但事例观测值仍然属于右偏+1.1σ处。对于Z3= (ln(3.43/3.3)+0-0.3*10^(-2)*3)/(0.0134*3^0.5)=(0.039-0.009)/0.023=1.30。第三天的继续上涨，使得事例观测值更右偏至+1.3σ处。

我们看一下极大值处的Z13。 Z13=(ln(3.6/3.3)+1/2*1.34^2*10^(-4)*13-0.3*10^(-2)*13)/(0.0134*13^0.5)=(0.087+0.0012-0.039)/0.048=1.025。也就是，最大值处的随机数Z13，也是明显右偏至+1σ处。

我们最后看一下末态的Z20随机数。Z20=(ln(3.5/3.3)+1/2*1.34^2*10^(-4)*20-0.3*10^(-2)*20)/(0.0134*20^0.5)=(0.059+0.0018-0.060)/0.060=0.013≈0。这就是末态回归到期望值处，n=20足够多，大数定律约束。

从宏观的股价随机运动方程看，在上涨趋势的前期，几乎没有均值回归约束。但到中后期及末态，就要回归至期望值。当然，在投资实践中，设身处地，当时还不知道这个短周期的期望值的具体大小，是μ=+0.3%还是+0.6%还是很小的+0.1%？当然，也不知道事例总数n=20或n=10或n=30。所以，在具体应用中，只能凭经验，先预设短周期上涨趋势一般的期望值μ=+0.3%/天及标准差σ=1.5%/天及事例总数n=20天（交易日）。

倘若出现第一根长阳线，日涨幅收盘+2%以上的事例，那么这就是一个开门红看涨信号。从微观方程看，+2%的事例观测值，更大可能属于期望值为+0.5%，标准差为1.5%的右偏+1σ处的一般事例；而不可能属于期望值为-0.5%，标准差为1.5%的右偏+2σ处的稀有事例。

同理，倘若出现-3%的首根长阴线，那么就很吓人，属于强烈看跌信号。暗示，日涨幅的期望值可能是-0.5%/天，可能累积一个月要-10%的下跌。按照正态分布的完备性，n=20天，那么大约有3个的-1σ之外的大幅左偏事例。就是说，当出现第一根-3%长阴线时，后面还有第二根-2%或第三根长阴线下跌呢。在短线操作上，在出现第一根长阴线后，应该立即止损或者买入认沽期权对冲。

抢反弹，是指虽然在下跌趋势中，但由于连续大跌几天，就应该出现一根+1.5%的长阳线，作为大幅右偏的互补事例。一般可以在出现2根长阴线后，或者短期累积跌幅-5%以上，或者连续4天阴跌后，抢反弹买入待涨。这属于超短线操作，应该是当天获利平仓，最长不超过2天。因为，你明明认为“这只是一次反弹而已”。

左侧抄底，是指在短线下跌趋势中，已经出尽3根-2%以上的长阴线，并且下跌时间足够长，超过15个交易日。由于我们前期认为，整体处于中长期上涨趋势中；当前的下跌短周期基本已经结束，而下一个短周期更大概率是上涨趋势。

更加稳健的操作是，等右侧反弹确立后，也就是当出现第一根+2%以上的长阳线，并且明显不属于上一个下跌周期的互补事例之后；这时，才能买入认购期权做多。当然，这会错过前期突然反弹的大幅获利，也可能被一个临时反弹的偶然事例误导。

我们看一下当前的实际案例情形。上证50ETF在2021.5.27日触及极大值3.7元后，开始进入短线下跌趋势，在6.21日有极小值3.412元，随后反弹4天至极大值3.556元，然后又掉头向下，至今7.9日的3.382元。今天创出新低3.349元。

显然，当前属于短线下跌趋势，因为创出新低，累积为负收益。尤其是2021.7.2日的一根-3.52%的长阴线非常吓人，很有可能是新的大跌短周期的开端。所以，我们应该短线止损或买入认沽期权对冲，规避可能的第二根及第三根长阴线出现。

而从月线图来看，属于一个中长期上涨趋势，所以，如果是中长线投资，还是可以逢低补仓做多。当前股价是3.382元，剩余19天的沽3300，价格是0.0171元，隐含波动率是15.86%；而购3500，价格是0.0150元，隐波是16.46%。看涨期权的隐波相对更贵些，就说明短线市场情绪还是看涨的；而且，由于前面已经有-10%的下跌回调，继续大跌的一般概率应该很小了。所以，买入中长期认购期权“抄底”也是可以的。

仁者见仁，智者见智。当前短线做空当然很行，依据就是可能会继续出现第二根及第三根长阴线，而且当前的隐波并不贵，有很大的预期利润。

股价短线走势，总是变幻莫测的。如果你要做多，那就买入90天的中长期认购，坚定持有，不能朝令夕改。如果你要短线做空，那就买入剩余30天的认沽期权，坚持等到至少第二根长阴线出现。