测试和定年基于Copula的依赖测度的结构变化*Florian Stark1和Sven OttoUniversity，科隆，波恩大学计量经济学和统计学研究所，金融和统计学研究所，2020年11月11日，常数基于Copula的依赖测度的摘要，如Spearman的秩相关和分位数依赖。渐近零分布在封闭形式中是未知的，临界值是通过一个I.I.D.估计的。引导过程。在一个模拟研究中，我们分析了两个估计的断点是否属于同一断点事件，并给出了相应的间隔计算方法。最后，我们将该测试应用于2002年至2013年年中的上一次金融危机期间的历史数据，通常是大型数据。JEL类别:C12，C14关键词：依赖度量测试、Spearman的rho、分位数依赖、PortfolioOptimization*感谢德意志大学（DFG grant“Strukturr-uche und ZeitvariationComputation Center）对并行计算的资助。9，50937德国科隆。E:fstark3@uni-koeln.de。T:+49 221 470-4130。Orcid:0000-0001-74196702.arxiv:2011.05036 v1[econ.em]2020年11月10日。结构突变在统计学或统计模型中的检测是一个广泛的研究课题，早期的工作可在Page(1954,1955）和Kiefer(1959)中找到，他们关注质量控制问题。Chow（1960）,Brown等人提出了线性回归Coe的结构突变检验。(1975)，Kréamer等人。(1988)、Andrews(1993)、andBai和Perron(1998)等等。变点分析的进一步突出例子是检测均值和方差的不稳定性（参见Horv\'ath et al.，1999和Aueet al.，2009)。关于最近发展的回顾，请参见Aue和Horv\'ath(2013)。当前的一个研究主题是分析股票收益率等投资变量相关性的变化。在2007年以来的上一次金融危机中，人们观察到，对各种风险的估计和预测不准确（参见Bissantz et al.，2011).投资组合规避的失败（参见Sancetta and Satchell，2007)。结构突变可以用来识别和量化金融市场之间的传染。（1981）表明，在严格递增变换下不变的两个随机变量的联合分布的任何性质都可以表示为它们对风险管理的依赖概念的函数。关于copula和基于copula的依赖度量的概述，请参见Nelsen(2006)和Schmid等人。（2010年）。在Liebscher(2014)中讨论了这些度量的估计。参数和半参数方法的存在一般的时间依赖。库茨克等人。（2019）也制定了一项措施的测试。德林等人。（2017）审议了肯德尔·塞特·阿尔的案件。（2014年）以及科贾迪诺维奇等人。（2016）针对Spearman\'sRHO的情况提出了一个检验方法。本文研究了一种非参数检验方法，利用模拟矩量法估计因子copula参数，而它们的非参数检验统计量仅依赖于基于copula的矩条件。因此，我们可以将它们的方法应用于因子copulamodels框架之外，并将它们的检验框架扩展到多元时间序列横截面相关性的一般变点检验问题。检验统计量是基于非参数性质的onis的，一旦我们确定了残差。在空假设下，依赖度量没有变化。我们主要关注Spearman的rho和分位数依赖关系。

然而，依赖测度向量原则上可以包含任何可以表示为Copula连续函数的测度。为了识别两个估计断点的相等性，我们提出了一个启发式过程。如果两个估计的断点都位于它们的控制区间的交点上，我们将它们视为相等的。此外，本文还扩展了Mayne et al.(2019)的模拟研究，分析了所使用的依赖向量测度的非对称偏态分布和非对称胖尾分布的检验的大小和功率性质。第2节给出了试验统计，断点论文。基于Copula的D EP EN DENCE测量的恒常性检验多元时间序列相关性变化点的检验。第2.1节介绍了一般的异方差时间序列模型，第2.2节介绍了假设检验，第2.3.2.1节讨论了断点估计和两个估计断点相等性的证明。模型中我们考虑了基于Copula的半参数多变量动态模型，该模型发表于（2017）和Many et al.（2019年）。letyyyt=(Y1,t,...,YN,t）是一个t=1,的多变量时间序列。T和Letft表示{YYYj,j≤T}生成的sigma-代数。对于eachcomponent i=1，..,N,我们假定tyi,t=μi,t(φφ)+σi,t(φφ)ηi,t,t=1,。.，T，其中μi,T(φφ)=e[Yi,tft-1]和σi,T(φφ)=e[(Yi,t-μi,T(φφ))ft-1]。假定误差项ηi、零均值和单位方差按连续分布函数fi(x)同分布。根据Sklar定理，存在一个唯一的copula函数ct，使得多元误差项ηηt=(η1，t，..，ηn，t)的联合分布函数由Fη，t(x，.，xN)=ct(F(x)，.，FN(xN))给出。Indextext表明，由copula定义的横截面依赖度量可能不会随着时间的推移而减少。注意，ηηη在时域中是不相关的，它的协整关系研究了YYYT中的相关性。参数向量φφφ驱动条件均值和方差的动力学，在相当温和的条件下，我们的模型也是如此。设ηi,t=σ-1i,t(φφφ)(Yi,t-μi,t(φφφ))为残差数据，设ηηηt=(η1,t,...,ηn,t）为残差向量。测试有问题的方式等人提出的测试。（2019）使用CUSUM过程将顺序估计的依赖关系向量与全样本估计的模拟量进行比较。而他们的方法是为了检验常数因子copula参数的零假设而设计的，因为copula参数表示对应于thei-th和j-thmijtijtimet的二元边缘copula。VectorMijta中的依赖度量是预先指定的，在Schmid et al中可以找到合适的度量。（2010年）。与Oh和Patton(2013)的工作一样，我们重点讨论了Spearman的秩相关ρijt和分位数依赖测度λijq，t，这些测度可以用copula定义为ρijt:=12zzcijt(u,v)du dv-3,(1)λijq，t:=q-1 Cijt(q,q)，q∈(0,0.5],(1-q)-1(1-2q+Cijt(q,q))，q∈(0.5,1）。(2)ct测度向量，h:mij=mij=··=mijtπi,j∈{1,1)...,N},I6=J。在另一种情况下，在未知的timet∈{,存在单个断点。.，t-}，这样:mij=..=mijt6=mijt+1=..=mijt，对于某些i,j∈{1,。..,N},I6=J.对于任意一点{,...,T}andi,j∈{,....

N}，给出了序贯经验分布函数和序贯经验二元copula为fi,t(y):=ttxk=1{ηik≤y},cijt(u,v):=ttxk=1{fi,t(ηik)≤u,fj,t(ηjk)≤v}。(1)(2)ρijt:=ttxk=1 fi,t(ηik)fj,t(ηjk)-3,λijq，t:=q-1 cijt(q,q),q∈(0,0.5],(1-q)-1(1-2q+cijt(q,q)),q∈(0.5,1）,并讨论了基于Copula的经验测度的一致性，同时给出了依赖测度向量的序列样本模拟Mijt(2019)中，我们考虑了mt=N(n-1)n-1 xi=1nxj=i+1 mijt,t=1,给出的两两平均序列依赖测度向量。CUSUM型检验统计量是基于相关测度向量的递归估计与全样本估计之间的最大误差。形式上，它定义为ASMT:=maxεt≤t≤t tt t(mt-mt)(mt-mt)。（2019）注意到修剪参数ε的选取必须严格大于零，在实际应用中，我们使用ε=0.1。检验拒绝了假设为mt>q1-α，其中q1-α是mt的限制分布的(1-α)-分位数，α是信号水平。方式等。（2019）imposedregularity假设基础copulaC,确保估计的秩相关和分位数依赖收敛到各自的种群对应项（参见假设1和2 in Manday et al.，2019)。在这些规律性假设和无效假设下，引理7在方式等。(2019)暗示ATMTD-→SUPS∈[ε,1](A(s)-sA(1))(A(s)-sA(1))，(3)T→∞ASASMTProcedure类似于方法等。（2019）被认为：i）对于p=1，。..,B,从{ηt}tt=1替换得到{η(p)t}tt=1.ii)p，...,btεt，。..,t m(p)t{η(p)k}tk=1 mt{ηt}tt=1iii)forp=1,。..,B,letA(p)(t/t):=tt√t(m(p)t-mt),并计算bootstrap ana(3)K(p)max{εt≤t≤t}A(p)t/t-tta(p)A(p)t/t-tta(p)iv）确定bootstrap临界值q1-α,使b-1 pbp=1{K(p)>q1-α}=α。（2019年）2.3.当我们检测到结构断裂时，断裂点位置的估计被嵌入到测试统计量的计算中，它由k:=b st c给出，其中s=argmaxεt≤t≤t tt t(mt-mt)(mt-mt)(mt-mt)。（4）针对依赖测度设置，提出了一种启发式方法。这使得我们可以对SASBA6BTO类的相同断点进行分析。下标tsaandb表示依赖测度的双向量Mijt，a、Mijt，B的选择。注意，方程（4）中估计的断点位置是一致区间(0，1]中的标量。我们确定了pivot contervals ka:=[k-a,k+a]:=[2sa-ca1-α,sa-caα]和kb:=[2sb-cb1-α,sb-cbα],其中ca(·)和cb(·)是sa(·)和sb的bootstrap分布的估计分位数，可以使用百分位数bootstrap过程来确定。假设我们在使用依赖测度Mijt，A、Mijt，B时检测到了两个点位置SA、SB。对MIJT,a将样品拆分为{ηηηt}b sat ct=1和{ηηηt}Tt=b sat c+1,对MIJT,b拆分为{ηηηt}b sbt ct=1和{ηηηt}Tt=b sbt c+1。II）对p=1,...,b,从{ηηηt}b sat ct=1和{ηηηt}Tt=b sat c+1替换样品，得到{ηηη(p)t,a}t=1,从{ηηηt}b sbt ct=1和{ηηηt}b sbt ct=1和{ηηηt}b sbt ct=1和{ηηηt}b sbt}tt=b sbt c+1为了得到{ηηη(p)t,b}tt=1.iii)对于p=1,...,b,使用（4）从{ηηη(p)t,a}tt=1和{ηηη(p)t,b}tt=1中估计s(p)a和s(p)b.iv）从{s(p)a}bp=1和{s(p)b}bp=1.sa sb sa,sb∈kb中计算样本分位数caα、cbα和ca1-α、cb1-α注意，这个过程只有在我们考虑对mijt,a的相同测试周期时才是合理的Mijt，btested期。

此外，请注意，估计断点和真实断点之间的估计误差与估计断点位置S和自举断点估计S(p)之间的误差大致相同，即:1-α≈p(Cα≤S(p)≤C1-α)=p(K-C1-α≤S-S(p)≤S-Cα)≈p(S-C1-α≤S-S≤S-Cα)=p(2S-C1-α≤S≤2S-Cα)。在这一节中，我们分析了所提出的测试的大小和功率性质，以及蒙特卡罗模拟中di-erent依赖测度设置的控制区间过程的有效性。我们考虑以下依赖测度设置:mij1,t=ρijt,λij0.05,t,λij0.1,t,λij0.9,t,λij0.95,t,mij2,t=λij0.05,t,λij0.9,t,λij0.95,t,mij3,t=λij0.9,t,λij0.95,t,mij4,t=λij0.05,t,λij0.1,t,mij5,t=ρijt。{ηηηt}tt=1，在三种copula模型下进行了模拟，包括偏尾分布和胖尾分布。对于所有的模拟，我们考虑了α=5%的有效水平和301次蒙特卡罗重复。由于我们主要感兴趣的是比较依赖设置，所以我们考虑固定时间和横截面维数=1000和n=10。在一个因子copula下，对设置mijn的双极性组合的分析可以在Manneret al中找到。首先，我们考虑了紧随Oh和Patton(2013，2017)之后的一个简单的单因子copula模型，该copula由因子结构ηit=θtz+qit,i=1,隐含。.，N，t=1，...,T,（5）whereZéSkew T(Ⅴ-1,λ),指的是Hansen(1994)和Qiti.I.D.的偏态T-分布。我们取x'A-1=0.25，并考虑λ∈{-.,,.}。对于随时间变化的参数向量θt，我们考虑单个断点att=t/2,其中θt=θ=1fort=1.对于t=t/2+1,θt=θ∈1,1.1,1.2,1.3,1.4,1.5}。尺寸和功率结果见表1。对于MIJ获得最高功率，其次是设置MIJ。与其他依赖设置相比，只考虑上分位数或下分位数的情况显示出较差的幂属性。考虑上下分位数依赖比单独考虑更好的幂性质。此外，我们模拟了Clayton copula和Gumbel copula的残差数据。注意到Clayton和Gumbel copulas产生双尾依赖关系。在Claytonupper分位数依赖下。对于Clayton copula，我们考虑破缺前参数θ=2.5和破缺后参数θ={........................................................................................................................................................请注意，参数θ和θ的选择使得Clayton copula的隐含的上分位数依赖性和Gumbel copula的隐含的下分位数依赖性是相同的。大小和幂的结果在表2和表3中给出。

图1和图2显示了可重1：在系数copula modelT=1000下的大小和功率，N=10θ=1θ=1.1θ=1.2θ=1.3θ=1.4θ=1.5λ=-0.5mij1,T0.04650.1628 0.3887 0.6013 0.8007 0.9269 mij2,T0.04980.1462 0.3189 0.5249 0.6944 0.8704 mij3,T0.0365 0.0897 0.2259 0.4784 0.7043 0.8571 mij4,T0.04980.1329 0.2724 0.4286 0.5781 0.7176 mij5,T0.0532 0.2558 0.6645 0.9435 0.9934 1.0000λ=0 mij1,T0.0532 0.1993 0.4485 0.7010 0.9003 0.9767 MIJ2,T0.0532 0.1927 0.3787 0.6213 0.8538 0.9358 MIJ3,T0.0432 0.1229 0.2625 0.4385 0.6478 0.8206 MIJ4,T0.0565 0.1495 0.2857 0.4485 0.6146 0.8641 MIJ5,T0.0598 0.2791 0.7176 0.9668 0.9967 1.0000λ=0.5 MIJ1,T0.0565 0.1661 0.3322 0.5781 0.8538 0.9635 MIJ 2,T0.0764 0.1495 0.2890 0.4917 0.7342 0.9203 MIJ 3,T0.0731 0.1395 0.2658 0.3854 0.5781 0.7611 0.7611 0.7611 0.7611 0.7611 41 mij 4,t0.0332 0.1096 0.2558 0.4651 0.6611 0.8538 mij 5,t0.0498 0.2658 0.7043 0.9502 1.0000 1.0000注：本文报告了在模型（5）下模拟的双相断裂尺寸和双相措施组合的废品率。由于θ=1，所以fiefrst列指的是无中断的情况。只是稍微改变，因此，测试分别在MIJ和MIJ情况下产生较差的功率特性。对于因子copula模型，在λ∈{-.,.}中也得到了类似的结果。因此，与Miji中一样，下分位数和上分位数依赖测度的组合产生了更好的幂性质。与因子copula的情况一样，依赖向量稳定2：Clayton copulaT下的大小和功率=1000,N=10θ=2.5θ=3.0θ=4.5θ=4.5θ=5.0mij1,t0.0532 0.1960 0.4518 0.7342 0.9336 0.9701 mij2,t0.0565 0.1761 0.3488 0.6179 0.8372 0.8970 mij3,t0.0631 0.1827 0.4219 0.7010 0.8738 0.9402 mij4,t0.0565 0.1694 0.2924 0.3821 0.5382 0.6047 mij5,t0.0332 0.3854 0.9468 1.0000 1.0000 1.0000注在Claytoncopula模型下，给出了双断口尺寸和双测量组合的截留率。由于θ=2.5，所以firefrst列指的是无破损的情况。表3：Gumbel copulaT下的尺寸和功率=1000,N=10θ=2.0θ=2.2θ=2.4θ=2.6θ=2.8θ=3.0mij1,t0.0399 0.1628 0.4352 0.8671 0.9668 1.0000 mij2,t0.0365 0.1329 0.3654 0.7874 0.9003 0.2492 0.4618 0.5648 0.6678 mij4,t0.0565 0.3522 0.6445 0.9402 0.9734 mij5,t0.0532 0.5282 0.9435 1.0000 1.0000 1.0000注：在Gumbelcopula模型下，提出了DI-Erent断口尺寸和DI-Erent测量组合的拒绝率。由于θ=2，firerst列指的是没有中断的情况。mij mijfact分位数依赖关系来自尾部的少量数据点，分别是tα和(1-α)分位数。因此，对于分位数依赖关系，需要更大的样本大小才能获得与Spearman的rho相同的幂性质，在Spearman的rho中，秩相关性COE_cient是从整个样本中计算出来的，并且是一个全局相关性度量。图1：模拟积分（u,图2：模拟点(u，v)，使用T=1000和已填满θ的Clayton copula。尽管在依赖项Mijs中有更多的依赖度量是合理的，但结果表明，由分位数依赖项和秩相关项的选择组成的依赖项向量继承了分位数依赖项的较差性能特征，与设置Mij、Mijand Mijis相比，性能更好主要是因为使用了秩相关项。估计（见第4节中的经验应用）。在一个已宣布的结构性中断的时间段中，例如在可以归因于市场上的异常事件的时间段中，如果各依赖设置导致相同的中断事件，人们可以更确定检测到的中断是否可信。另一种可能是将数据划分为适当的子组，并通过使用工业部门来分别检验这些数据的结构突变。