5.作为分区和NT时间尺度的函数，这证实了之前暴露的基本约束。此外，我们发现方差比强烈依赖于τu。特别是，如果股息弱相关，则价格方差很难反映IT的价格估计方差∑IT。相反，在与NT的一项交易相关的大分割时间范围内，价格差异更好地反映了IT的价格估计。在小τn和大τu的情况下，价格方差解释了其价格估计的所有方差，∑IT，从附录B.1.6.4中报告的收益和做市商风险的计算中确实可以发现，如等式（14）所述，不同代理人的收益平均如下：MMP收支平衡，NT损失，IT获得NT损失。如果股息过程完全不可预测（但仍然是平稳的，平均值为零），则价格由MM设置为零；因此，IT将不再交易，NT的损失将降至零。当τu相对于τNT（图7主左面板的右下角）变大时，价格越来越有效，正如我们在上一节中所看到的。在这种情况下，IT的收益和NT的损失都降低了。这些发现在图7的左面板中报告，其中我们绘制了比率-E[δqNTtCNTt]/（μ）OhmNT）1/2，δqNTtCNTt=-qNTtpt-Pt≥tut.51015205105NT2。5.00240.00.10.20.30.40.5[qITtqNTt]/NT05 10 15 20 25510152025NT2。5.00240.00.10.20.30.40.50.6[qITtt]/（IT0NT0）1/2图6：（左）它与NT的等时交易之间的协方差比率，以及作为τu和τNT函数的NT的方差。IT交易与同等时间的NT交易是反相关的。（右）根据τu和τNT对当前IT交易和股息的协方差进行适当调整。

平均而言，IT交易与等时股息正相关。当新台币交易和分红过程的可预测性增加时，当前的IT交易与当前的分红（新台币交易）之间的相关性更为正（负）相关，从而使他能够获得更多（宽松更少）。5 10 15 20 25510152025NT2。5.00240.00.10.20.30.40.5[qNTtCNTt]/（IT0NT0）1/25 10 15 20 25510152025NT2。5.00240.00.30.60.91.21.51.8rMMt/（IT0NT0）图7：（左）根据τu和τNT，对NT的每笔交易的损失（或IT的每笔交易的收益）进行适当的重新调整。当τu接近于零（插图）时，新台币的每笔交易损失接近于零，而这些损失随着股息和新台币交易的可预测性增加而增加。（右）根据τu和τNT适当重新调整MM的每笔交易风险。从插图中我们可以看到，当NT的交易和股息接近不可预测时，风险更高，而随着可预测性的增加，风险更低。另一个有趣的数量是MM经历的每笔交易的风险，即rMMt=e[（δqtcmt）]，其中δqtcmt=qtpt-Pt≥tut. 我们发现：rMMt=E[qt]Ept-皮特, （36）我们使用盈亏平衡条件（等式（14））和威克定理来计算高斯过程的高阶相关性。图7的右面板给出了解析解。正如我们所看到的，当两个基本过程的时间尺度都很小时，MM所经历的风险很高，而当股息和NT的交易都可以预测时，风险就会降低。7结论本文的目的是为经济物理学文献中常用的线性价格影响模型提供经济标准的微观基础。为此，我们提出了一个基于多周期信息的模型，并对其均衡进行了分析。

该模型是通过推广构成市场微观结构理论基石的最终凯尔模型而建立的。首先，我们推翻了基本面价格揭示的假设，即股票向所有者支付股息，但只有内部人士收集和利用有关过去股息的信息。然后，我们将股息过程和噪声交易者交易计划建模为平稳随机过程。为了规范化模型，我们假设股息ACF是可积的，以确保交易股票的基本价格是有界的。该模型似乎表现出平稳平衡，我们对此进行了详细研究。推导了做市商定价规则的自洽方程，并进行了数值求解。我们发现了两个稳健的性质：价格ACF与内幕人士的基本价格估计保持相同的时间结构，内幕人士策略与准虚假条件保持一致，即超额需求的ACF除了滞后0项外，还保留了Noise trader的时间结构。由于这些发现，我们能够在传播子模型和凯尔模型之间建立精确的对应关系：传播子模型在这里作为适当平稳化凯尔模型的高频极限出现。在该制度中发现的价格影响函数显示了与基础信息变化时间尺度相关的准永久性成分，以及一个瞬态成分，其时间尺度由订单流的持续性决定。具有可积ACF的固定股息假设转化为具有均值回复价格过程。由于价格扩散率可以在高频极限下恢复，因此该模型能够提供真实市场中高频和低频情况的程式化图片。

该模型还考虑了价格过程的扩散常数与基本价格均值恢复的时间尺度之间的关系。我们将这一发现的实证检验作为当前调查的有趣后续。这里展示的最小模型可以通过几种不同的方式进行扩展。首先，可以逐步整合现实主义的进一步要素（风险规避、利差），以了解我们的主要定性发现在多大程度上受到这些影响。类似地，影响的非线性、凹性[20]应该与我们对市场的程式化、线性愿景相协调。被动代理可以被提升为跟踪给定目标投资组合的理性代理，引入与现实市场中的实际行动一致的元素，这本身可能会产生长期的相关订单流。真实市场中的股息披露很少，因此本文提出的模型的另一个扩展是明确考虑这一事实，类似于参考文献[21]中的做法，其中明确考虑了市场关闭。最后，为了让我们的模型能够解释过度波动性之谜，我们需要放松对存在于我们宇宙中的代理所使用的合理性或信息的假设。这可以通过不同的方式实现：例如，如参考文献[22]中所述，我们可以放松对完美结构知识的假设：例如，我们可以假设代理人不知道定义股息过程的所有参数，他们试图从实际观察中推断这些参数。另一个有趣的途径是，按照参考文献[23]的思路，假设代理人根据错误的价格运动方程来决定他们的需求。我们期待着在不久的将来探索其中一些有趣的话题。8致谢我们感谢J-P.Bouchaud和C-A。

Lehalle进行了富有成效的讨论。这项研究是在经济物理学和复杂系统研究主席的主持下进行的，由Risque基金会、巴黎理工学院、巴黎理工学院和资本基金管理委员会赞助。参考文献[1]B.G.马尔基尔。有效市场假说及其批评者。《经济展望杂志》，17（1）：59–82，2003年3月。[2] 奥哈拉先生。市场微观结构理论。布莱克威尔出版有限公司，1998年。[3] R.希勒。股价是否波动过大，以至于无法通过股息的后续变化来调整？《美国经济评论》，71:421-36011981。[4] J-P.布乔德。经济学需要一场科学革命。《自然》，455:118112008。[5] J-P.布乔德、Y.格芬、M.波特和M.怀亚特。金融市场的波动和反应：“随机”价格变化的微妙性质。定量金融，4（2）：176-1902004。[6] D.E.塔兰托、G.博尔梅蒂、J.-P.布乔德、F.利洛和B.托斯。订单流量对价格影响的线性模型。i、 依赖历史的影响模型。定量金融，18（6）：903-9152018。[7] M.Benzaquen、I.Mastromatteo、Z.Eisler和J.-P.Bouchaud。剖析股票市场的交叉影响：一项实证分析。《统计力学杂志：理论与实验》，2017（2）：023406，2017。[8] A.Joulin、A.Lefevre、D.Grunberg和J.-P.Bouchaud。股价暴涨：新闻和成交量起次要作用。威尔莫特杂志，2008年。[9] A.凯尔。持续的拍卖和内幕交易。《计量经济学》，53（6）：1315-351985。[10] D.伯恩哈特、P.塞勒和B.陶布。投机动力。经济理论，44（1）：1-522010。[11] L.Hewing、K.P.Wabersich、M.Menner和M.N.Zeilinger。基于学习的模型预测控制：走向控制中的安全学习。《控制、机器人和自主系统年鉴》，3（1）：269–2962020。[12] D.伯恩哈特和J.苗。

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在这样做时，传播子是元素的向量。2.选择“种子”繁殖者。3.将该种子插入式（23）的r.h.s.中。在r.h.s.中插入该程序获得的结果，迭代次数等于Tit，检查收敛性。该程序的唯一问题如下：从第一个等式可以看出。（22），为了计算Rtone，必须计算G/t，t给出的块矩阵。由于我们的数值过程的截断约束，该矩阵具有无法计算的条目。然而，由于红利的均值回复假设，我们知道传播子应该在较大时间内衰减到零，因此G/t中的大滞后项可以简单地设置为零。收敛在这一节中，我们给出了公式（12）的迭代数值解结果的收敛性的进一步细节。图8显示了价格ACF∑τ和超额需求ACF的相对累积绝对误差结果Ohmτ. 第一个公式按式（25）计算，第二个公式按式（27）计算。我们选择Tit=100，幂律ACF用于股息和NT交易。我们绘制Tcut的结果=t×i，对于不同的i。左侧的曲线图是用幂律ACF获得的，其衰减速度比用于获得右侧曲线图的曲线图快。我们可以看到，正如预期的那样，幂律的衰减越慢，收敛越慢。我们调查了较高乳头度的误差行为，但没有发现数量差异。B马尔可夫情形下平衡条件的特解B。1非相关噪声的情况在非相关NT交易的情况下，IT对未来NT交易的预测为零，因此需求核RNT在等式中明确给出。（22）是零。

由于我们处理的是马尔可夫过程，因此IT在时间t时对未来股息的预测仅依赖于最后已知的股息，即ut-1因此Ru=RuI，其中Ru是标量。式（23）给出的无量纲传播子的自洽平衡条件为：~Gt-t=1-αue>tΓ（I）-RL），（37）其中Γ=(~Ξu)-1+（~RuL）>RuL-1（~RuL）>。（38）等式（37）的解分三步构造。i） 首先，我们分析向量e>tΓ，并证明它与具有修改角元素的三对角矩阵的逆有关，其中0 100 200 300 400 500 6000.00000.00250.00750.01000.01250.01500.0175err0 200 400 600 1200 14000.000.010.020.030.04err0 100 200 300 400 500 6000.0000.0050.0100.0150.0200.0250.030err0 200 600 800 1200.000.010.020.030.05ERR图8：用（1+|τ|/τk）给出的ACF对平衡性质进行数值检查-γkwhere k={u，NT}。谨慎地选择τNT=τu=10。（左面板）γNT=γu=5和t=200。（右面板）γNT=γu=3.5和t=500。这个显式表达式是已知的[24]。然后，ii）我们证明了单指数传播子。（37）我们根据αu和Ru确定传播子的振幅和时间尺度。iii）最后，我们可以根据给定inEqs的一般表达式计算Ru的αu表达式。(22). 通过这种方式，我们仅根据αu完全确定传播子的形状。i） 因为在马尔可夫情况下，Ru与单位矩阵成正比，从等式（38）中我们得到：e>tΓ=（at，bt-1） （RuL）>=Rubt-1，（39）其中-1可通过应用于方程式（38）方括号中矩阵的分块矩阵逆公式求出，公式为：M=（Ξu）-1+（~RuL）>RuL=atBt-1B>t-1C.

（40）尤其是，使用块逆公式，向量bt-1由英国电信提供-1= -A.-1tB>t-1（米/分）-1=αue>t-1（米/分）-1，（41）其中，最后一个等式是通过以下特性获得的（通过EQ（40）的直接检查进行检查）：B>t-1.∝e> t-1.（M/at）是M相对于at的舒尔补，由（M/at）=C给出-B> t-1a-1TB-1= (~Ξu)-1+（~Ru）I.（42）（M/at）是一个带有修改角元素的三对角矩阵。因此，可以明确地计算M相对于At的舒尔补数的倒数（见参考文献[24]）。ofEq的显式表达式。（41）由一个衰减指数给出：bt-1=b{γτ}∞τ=0，（43），其中b=αu（~Ru）-g（~Ru），γ=gαu（~Ru）（44），g由以下公式给出：g=β-β-42（~Ru）-2αu，β=（~Ru）-2+1+（~Ru）-2αu-αu（~Ru）-2αu，（45）使bt-1完全由αu和Ru规定。ii）我们将证明由衰减指数towardszero给出的传播子的ansatz实际上解方程（37）。传播者的安萨兹是这样写的：Gt-t=Gρt-t、 （46）作为一个初步结果，从这个ansatz，我们可以通过等式（37）中的第一个等式来计算向量Rt的元素。(22) . 这是由：Rt给出的-t=-Rρt-t、 （47）其中r=1- gs，gs=1-p1-ρρ. （48）有了这个结果，再加上公式（43），我们可以很容易地证明公式（37）是用公式（46）给出的ansatz解出来的。ansatz是满足以下等式的约束条件：~G=b1-αu, ρ =γ(1-R） 。（49）iii）由于我们证明了G是指数形式，我们现在能够计算Ru的显式形式，从等式（22）中的定义开始。完全特定的Ru的显式表达式如下所示：Ru=（1-α） Gαugs-αuρ1-(2-ρ） gs1-gsραu（50）现在，我们可以在上面的方程中插入分别由等式给出的g，gs，g，ρ的表达式。（45），（48）和（49）并求解Ru。在这样做时，我们发现Ru=1。

（51）最后，重新引入方差项，即使用OhmNTτ=OhmNTΔτ和Ξμτ=Ξματu，则等式（37）的解由gτ给出=ΞuOhm新界1/2αu1-αu1-1.-q1-αuαu!ατu. （52）B.2具有等自协方差时间尺度的噪声和信号的情况在本节中，我们讨论了等式规定的马尔可夫情况。（30）αu=αNT。与前一种情况不同的是，现在的RNT=RNTI，其中RNT是一个非零标量。自洽平衡条件（23）的解类似于上一节中的解，这是由于αu=αNT假设引起的简化。为了证明这一点，我们定义了ENTas:ENTt=I+RNTLOhm新界I+RNTL>. （53）简化如下：(Ξu)-1+（RuL）>（ENT）-1RuL-1（RuL）>（ENT）-1(c)t，t=αuRuL耳鼻喉科（Ξu）-1+（Ru）I-1(c)t，t，（54）其中，r.h.s.方括号内的矩阵是一个三对角矩阵，带有修改的角元素，如前所述，可以获得分析结果。因此，与前一种情况类似，由等式（46）给出的单个指数衰减项给出的一个传播子是传播子（23）自洽方程的解。我们在此不报告的计算结果由byRNT给出：（RNT）-3（RNT）αu+RNT2αu+2αu-αu=0，（55），其中必须保留唯一的正实解。那么，Ru=vutOhmNTΞuq1+（RNT）+2RNTαu，（56）ρ=RNT1+（RNT）+RNTαu（57），最终=vutΞuOhm新台币（RNT）-2αuRNT+1（1-αu）RNT-3αu+RNT2.-（（RNT）-αuRNT+1）vt1-(RNT)(RNT)-αuRNT+1）+1+RNT. （58）C马尔科夫案例的解决方案C。1.Ansatz1的构造在本节中，我们证明了第。6.1，尤其是等式。（32）和（33）。i） 首先，我们将等式（31）中的属性改写为期望形式。ii）然后，我们在这种形式中注入准卡穆拉性质，并为传播子找到一个简单的有限差分方程，其解给出了等式中给出的公式。

（32）和（33）。i） 如果价格ACF随股息时间标度呈指数衰减，如通过数值解算器发现的，则以下关系成立：E[pt+1 | IMMt]=αupt。（59）等式（59）给出了超额需求ACF和传播因子之间的关系。事实上，使用定义传播子模型的方程，即pt=pt≤tGt-tqt，可以重写为：GE[qt+1 | IMMt]=αutXt=-∞燃气轮机-tqt-tXt=-∞Gt+1-tqt。（60）这个等式特别有趣，不管NT的方差结构如何，它都成立。让我们举一个第一个例子，说明如何使用上述等式得出非相关NT交易的结果。在这种情况下，CAMU FLE是精确的，因此超额需求是不相关的，即上述方程的l.h.s.为零，那么我们可以看到G随着时间尺度呈指数衰减。这正是如果NT不相关时会发生的情况，其中传播因子由公式（52）给出。ii）在下文中，我们将处理任意的Markovian NT交易过程。利用均值为零的高斯过程的一般预测矩阵的表达式，我们可以改写公式（60），如下所示：(~Ohm)-1.-1(~Ohm)-1t+1-t=~Gt+1-T-αuGt-t、 ~Gτ=Gτ/G.（61）由于我们发现在一般情况下，近似的流量关系成立，我们知道超额需求ACF矩阵的结构由公式（26）给出。可以计算出过剩需求的倒数，它由以下公式得出：（）Ohm)-1=ω-pω-4~bαNT，ω=~b+1+~bαNT-αNTbαNT，（62）和（~Ohm)-1t+1-t=-αNTb1.-（1+b）-αNT）（~Ohm)-1.(~Ohm)-1αNTbT-t、 （63）然后，我们可以将等式（61）改写为/Gt+1-t=αuGt-t+Pρt-t、 （64）我们定义P=-αNTb1.-（1+b）-αNT）（~Ohm)-1.(~Ohm)-1.-1, ρ = (~Ohm)-1αNTb.（65）等式（64）的解在正文中介绍了等式（32）。此外，第二个方程为inEqs。（65）给出了等式。

(33).C.2解决问题在本附录中，我们给出了计算结果，这些计算结果使我们能够获得Secs图中给出的结果。6.2、6.3和6.4。从等式（32）给出的传播子表达式中，我们可以推导出对称传播子的逆表达式，它由（~Gsym）给出-1t，t=Γγt-t+Γγt-t+δ（t-t） ，（66）其中Γ和Γ是以下方程组的解：Γαu-γ+Γαuαu-γ+1 = 0,Γρρ -γ+Γρρ -γ+1=0，（67），而γ和γ是下式的两个实正解：αu-αNTαu-ρ1.-αuγ-αuαu-γ+1.-αu-αNTαu-ρ1.-ργ-ρρ -γ+1 = 0. （68）通过上面的Gs y mgiven的显式表达式，可以计算出由等式给出的IT需求核。(22). 这些是伯特给的-t=-αt-tαu-αNTαu-ρΓ1-γαu+Γ1-γαu+1-ρt-T1.-αu-αNTαu-ρΓ1-γαu+Γ1-γαu+1RNTt-t=δt-tRNTRut-t=δt-tRu（69）其中=-αNTαu-αNTαu-ρΓ(1-αuγ)(1-αNTγ）+Γ（1）-αuγ)(1-αNTγ）+1.-αu-αNTαu-ρΓ(1-αNTγ）（1）-ργ)+Γ(1-αNTγ）（1）-ργ)+1.,Ru=αuG（1-αu)Γ1-γαu+Γ1-γαu+1.（70）此外，通过仔细检查马尔科夫情况下等式（23）的先前公式和数值解算器结果，人们意识到以下性质成立：Ru=vutOhmnΞAE（RNT）+2αnΞt+1。（71）从上面的方程式中，我们可以通过反转之前的方程式Ru来推导G的表达式。最后，将等式（14）给出的MM的每笔交易施加盈亏平衡条件，可以得出以下等式：Ohm= Ξu（Ru）αuργ~b+αu-αNTαu-ρ1-α-αNT+1.-αu-αNTαu-ρ1.-αNTρ. （72）为了关闭ansatz本身，我们必须计算总订单流量ACF。为此，我们需要计算逆矩阵的第一行（I-RL）-1出现在等式（10）中。这由{（I）给出-RL）-1} t-t={（Gs y m）-1} t，t{（Gs y m）-1} t，t=α|ργ{Gs y m}t-T

（73）时间t的超额需求的显式表达式为qt=αuργ¨qNTt+tXt=-∞Γγt-t+Γγt-TqNTt+RNTqNTt-1+t-1Xt=-∞Γγt-T-1+γt-T-1.qNTt+ Ruut-1+t-1Xt=-∞Γγt-T-1+γt-T-1.ut<<.（74）通过这个等式，可以明确计算超额需求ACF。特别是，通过将其滞后-0项与等式（26）中给出的函数形式进行比较，并使用等式。（33）和（72）能够计算一个隐式非常复杂的ρ方程，完全符合等式给出的ansatz。(32).第2节中给出的图表。6已通过用等式拟合数值解算器的结果获得。（32）获得ρ的数值，该数值已使用上述ρ的分析隐式方程进行交叉验证，然后使用本节中公开的方程计算其他感兴趣的量。