静止Kyle装置：微基传播子模型

2022-4-24 14:19:54

一个固定的凯尔装置：微型基础传播者模型斯米切尔·沃德雷特1,2、亚科波·马斯特罗马蒂奥、本斯·托斯和迈克尔·本萨奎恩1,2,3经济物理学和复杂系统研究所、法国理工学院、91128帕莱索塞德斯、弗朗西拉德克斯、UMR CNRS 7646、法国理工学院、91128帕莱索塞德斯、法国资本基金管理学院、巴黎大学路23-25号、法国巴黎75007号、法国财政月9日、，2021年摘要我们通过将线性价格影响模型导出为合适的基于代理的系统的均衡，为线性价格影响模型提供了经济上可靠的微观基础。特别是，我们检索了所谓的DPropagator模型，将其作为广义Kyle模型的高频极限，在广义Kyle模型中，基本信息被揭示的终点时间的假设被放弃。这使得我们可以描述一个由信息不对称的理性代理人组成的固定市场。我们研究了该模型的平稳平衡，并表明该设置与小时间的普遍价格扩散和基本面波动衰减的时间尺度的非普遍均值回归相兼容。我们的模型表明，在高频率下，人们应该观察到一个由基本面缓慢波动驱动的准随机冲击分量，以及一个更快的瞬变子，其时间尺度应该由顺序流的持续性来设定。关键词：市场微观结构、价格影响、统计推断。内容1简介22注释33基于代理的简单市场模型43.1模型的设置。43.2竞争性定价规则。53.3最佳内幕交易。74线性平衡94.1平衡条件和数值解。94.2一般平衡性质。95与现有车型的关系125.1 Kyle车型。125.2传播者模型。126马尔科夫病例136.1传播者。146.2超额需求差异。156.3价格差异。166.4收益和做市风险。16mvodret@gmail.com7结论178确认18A数值解算器21B马尔可夫情形21B中平衡条件的特殊解。1非相关噪声的情况。21B。

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2022-4-24 14:20:00

. . . . . . . . 94.2一般平衡性质。95与现有车型的关系125.1 Kyle车型。125.2传播者模型。126马尔科夫病例136.1传播者。146.2超额需求差异。156.3价格差异。166.4收益和做市风险。16mvodret@gmail.com7结论178确认18A数值解算器21B马尔可夫情形21B中平衡条件的特殊解。1非相关噪声的情况。21B。2具有相同自协方差时标的噪声和信号情况。23C马尔科夫病例的解决方案24C。1安萨茨的建设。24C。2解决安萨茨问题。

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2022-4-24 14:20:06

251简介金融市场旨在实现两个看似无关的目标：它们允许市场参与者找到与之交易的其他代理（从而解决流动性问题），同时它们允许发现此类交易的价格（从而解决信息相关任务）。有效市场假说（EMH）指出，价格综合了所有可公开获取的信息[1]。如果是这种情况，那么对于只接触公共信息的代理人来说，资产回报中就不可能有可预测的结构。历史上，EMH首次通过引入理性预期假设（REH）在理论上合理化。根据REH，所有经纪人都是理性的，并且完全了解其他球员的策略。这一假设很有吸引力，因为它允许建立分析上易于处理的体系[2]，在这种体系中，一旦某种外部动力来源被注入系统，金融市场就能够实现其设想的承诺，从而防止出现无交易定理。它还有一些重要的缺点：例如，REH意味着风险资产的价值完全由其基本价格决定，等于预期未来股息流的当前贴现价值。正如Shiller[3]已经提出的那样，过度波动性之谜，即价格大幅偏离基本价值的事实，不能用REH来解释。然而，在许多经济圈中，REH仍然被认为是主要的预期形成范式[4]。一类重要的REH模型是所谓的基于信息的模型。

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2022-4-24 14:20:11

这些模型通常涉及因外生原因进行交易的代理人（噪音交易者），他们利用金融市场寻找交易对手以满足市场之外的需求，以及拥有交易商品特权信息的套利者（知情交易者），而且，只要他们希望利用自己的信息优势为自己谋利益，他们就会进行交易。从这个角度来看，知情交易者提供一种服务（使价格信息化），噪音交易者可以选择支付，以便获得流动性。为了润滑这一机制，通常需要交易商（做市商）：做市商可以暂时将不平衡纳入交易压力，在一定的回报（买卖差价、回扣费）承诺下，在有限的时间内接受库存风险，而不是让噪音交易者和知情交易者直接互动。这种实用性使得最初的买家和最终的卖家会面的时间得以推迟，从而使知情和噪声交易者能够更容易地找到可能的交易对手。描述金融市场统计规律的一类特别成功的模型涉及传播子的概念，它是自回归模型中使用的一种线性核，将价格变化与过去的订单流量失衡耦合起来。

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2022-4-24 14:20:17

在该设置中，时间t时的商品（折扣）价格（我们表示为pt）可以表示为过去签署的订单流量不平衡qtas:pt:=tXt的函数=-∞燃气轮机-tqt，（1）其中因果核是传播子。传播模型最初是为了解决所谓的扩散率之谜而提出的，即即使订单流量显示长期相关性，也可以实现价格效率，进而实现价格扩散[5]。此外，这些模型的变化已被证明是有效的，以便以高频率描绘市场的准确画面[6,7]，因为过去的订单流[8]可以解释大部分价格波动。另一方面，为构建此类模型而采取的视角与理论经济学文献中首选的视角截然不同。传播程序设置未正确建立。事实上，它建立在统计程式化事实的基础上，而不是经济原理的基础上。本文的目标是通过展示如何将传播类模型合理化为一组寻求实现最优的理性主体所产生的均衡，在经济标准设置中弥合这一差距。沿着这条思路，我们的工作与经典的凯尔环境[9]密切相关，在凯尔环境中，价格发现机制表现为三个具有不对称信息的代表性代理之间的线性均衡。我们认为我们的最小模型，如凯尔模型，非常简单，可以在几个方向上扩展。我们为基于信息的模型建立了一个设置，该模型产生了一个平稳的市场，等式（1）给出了均衡定价规则。参考文献[10]在静止马尔可夫系统的特殊情况下考虑了类似的设置。

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2022-4-24 14:20:23

在这里，我们将模型保持一般性，以便考虑记忆效应（订单流量在实际市场中具有很强的相关性），从而扩展了上述调查的一些结果。我们的工作超出了纯理论层面，因为我们构建的框架允许显式构建内核，以确保在不同情况下的价格效率。本文的组织结构如下。第2节介绍了我们在本文中使用的符号。在第3节中，我们介绍了模型。第四节致力于研究模型的平衡。第5节讨论了我们的模型与其构建块的关系，即原始传播子和凯尔模型。在第6节中，我们进一步研究了我们在典型的马尔可夫案例中提出的模型，其易于处理的解决方案允许获得对系统的直觉。第七章我们总结并提出了框架的几个扩展。2符号在本文中，我们将交替使用标量符号，其中变量的时间依赖性是显式的（例如Xt）、向量符号和矩阵符号。我们将用粗体符号表示向量，用无衬线符号表示矩阵。为了方便起见，我们引入了两种类型的向量：XXXt:={Xt}tt=-∞和XXX/t:={Xt}∞t=t。此外，对于给定向量xxx，我们将相关的Toeplitz矩阵定义为Xt，t:={Xt-t} tt，t=-∞. 在某些情况下，为了简洁起见，我们将省略时间索引。在这种省略不明确的情况下，我们将显式地恢复时间索引，例如处理X/t，/t={Xt等矩阵-t}∞t、 t=torX/t，t={Xt-t} 和t≥ t和t≤ t、转置操作将由上标>表示。单位矩阵表示为I，所有分量等于1的向量表示为11，所有条目等于1的矩阵表示为U。

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2022-4-24 14:20:30

Kronecker delta由一个向量ETW表示，其分量为et（t）=δt，t。滞后算子，即作用于时间序列中的一个元素以产生前一个元素的算子，被表示为L。这样我们就写出了XXXt-1=lxxxt。无量纲尺寸用瓷砖表示。请注意，我们从公式（1）中省略了一个残余噪声项，该项可以很容易地恢复，以解释过去订单流量无法解释的价格变化。3基于代理的简单市场模型3。1模型的设置考虑一个市场，在这个市场中，代理人将风险资产（股票）与安全资产（现金）交换。时间t时风险资产的（贴现）交易价格用pt表示。风险资产的每一个单位在每一个时间单位t赋予其所有者一笔随机现金（股息）。分割过程被建模为一个具有自方差函数（ACF）的外生、平稳、零均值高斯过程：Ξuτ：=E[utut+τ]。（2）每个代理人的投资组合包括风险资产和安全资产的组合。agenti在时间t的风险资产中的位置由Qit给出，而他的交易由Qit表示：=Qit-奇特-1.根据这些约定，现金Cit、股票持仓Qit和财富Witforeach代理人的演变方程可分别记为：Cit:=utQit-ptqit（3）Qit:=Qit（4）机智：=Cit+Qitpt-奇特-1吨-1、（5）考虑非对称信息的基于Agent的市场模型，类似于著名知识模型〔9〕，其中，代理人在离散时间步t采取行动。战略代理人拥有有关随机红利过程实现的特权信息（知情交易者，或IT）与非战略和非知情交易者（噪音交易者，或NT）进行交易，该交易者以外来原因进入市场。IT和NT都被建模为流动性接受者。

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2022-4-24 14:20:37

流动性提供者（marketmaker，简称MM）为NT和IT提供流动性，并设定交易价格。在每个时间间隔的开始[t，t+1]时，IT和NT都建立了对riskystock qit的需求（使用i∈{IT，NT}）。超额需求qt:=qITt+qNTtis形成后，MM清除流动性接受者的超额需求，执行交易qMMt:=-qt和设置交易价格pt。价格是由于药剂的作用而内生上升的，如下所述。在讨论不同代理的信息集和策略之前，让我们强调一下，IT和MM都确切了解外生过程u和qNTt的统计特性，以及彼此的策略。过去的价格和过度需求也是公共信息。噪音交易者NT的行为完全是随机的。他的需求过程qntt是一个零均值平稳高斯过程，ACF由以下公式给出：OhmNTτ：=E[qntqntt+τ]。（6）知情交易者它是一个战略性的、风险中性的（预期的）效用最大化者。通过假设他观察股息过程的过去实现，并使用这些信息来最大化他未来的预期财富，他对股息过程特权信息的访问是建模的。此外，由于过去的过度需求是公开信息，它可以很容易地推断出新台币过去的交易。因此，IT在t时可以访问的信息由：IITt给出=qt-1、qNTt-1.5μt-1.. （7）因此，IT构建了他的需求，而无需利用PTP或同行决定的同等时间信息。

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2022-4-24 14:20:43

为了使他的财富最大化，IT部门利用了现实生活中的特权信息。由于IT是风险中性的，并且假设价格是已实现超额需求的线性函数（我们稍后将讨论为什么会出现这种情况），他的需求qITtat时间t是他当前信息集IITt:qITt=Rqt的线性函数-1+RNTqNTt-1+Rut-1、（8）我们已经引入了需求内核（R、RNT、Ru）。让我们首先描述一下这些需求内核。因为我们讨论的是一个有多个交易周期的市场，所以IT战略上考虑了过去的交易和过去的股息，以确定他的需求。需求取决于过去交易量的价格影响所产生的过去订单流量。内核Rntac考虑了NT预期未来交易引起的价格影响的依赖性，而内核Ru考虑了预期未来股息引起的依赖性。需求核是模型预测控制（MPC）[11]策略的结果。事实上，一旦IT部门获得一条新信息（即，在每个时间步t），他将构建一个更新的长期战略，并进行相应的交易。有关IT的MPCST策略的更多详细信息，请参见第节。3.3，具有需求内核的显式表达式。做市商MM具有风险中性和竞争力。他设定了一个定价规则，允许他在每笔交易中统计盈亏平衡，而无需控制他在满足需求的同时可能积累的库存。MM不知道分红过程的过去实现情况，IT和NT各自的需求比例也不知道。因此，时间t时MM可用的信息集仅由实现的总超额需求给出：IMMt:={qt}。

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mingdashike22

2022-4-24 14:20:50

（9）重要的一点是，由此产生的超额需求QT通过IT（等式（7））用于构建其交易计划（等式（8））的信息集，向MM传递有关资产基本价值的信息。还请注意，MM的信息集不包含在IT的信息集中，因为超额需求QT仅在t+1时对IT可用。由于MM知道它的交易时间表是由公式（8）给出的，所以从总订单流量中，他可以推断出过去股息的信息，尽管该信息因NT产生的噪音而失真。从公式（8）中可以看出，在截至时间t和过去股息的NT交易中，当时的超额需求动态是线性的，它由以下公式得出：qt=（I）-RL）-1.I+RNTLqNTt+Rut-1.. （10）由于两种类型的高斯性质都能抵抗市场参与者的风险中性性质，因此考虑等式（1）所暗示的线性（而不是一般）平衡的选择似乎是自然的。另一方面，我们没有线性平稳平衡唯一性的证明。鉴于这种独特性在一个类似于我们（参考文献[12]给出）的框架中存在，因此，即使在我们的情况下，也有理由认为这种独特性应该存在。因此，市场可以通过MMas线性高斯状态空间模型（LG-SSM）来建模[13]。事实上，虽然MM无法观察到市场状态，即已实现股息和NT的交易qt，但他可以推断这些数量，尤其是已实现股息，并将其从信息集中过滤掉。LG-SSM文献中的这一过程称为卡尔曼滤波技术。关于模型的这些重要方面的更多细节将在下一节中给出。3.2竞争性定价规则如上所述，我们假设MM具有竞争力且风险中性。

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2022-4-24 14:20:56

因此，通过Bertrandauction类型的论证[9]，我们为MM假设了一个盈亏平衡条件，每个T-周期的持有策略如下：通过在T时以P的价格匹配需求来购买QT个股，并在T+T时以E[P+T | IMMt]的价格将其卖出，同时获得股息。请注意，尽管MM无法选择在t+t确定执行，但我们可以将t视为MM决定按市价调整其头寸的时间段，即使他实际上可能无法将其变现。考虑到MM的竞争力，这条轨迹的平均回报应该为零，这导致我们假设一个形式的定价规则：pt=t+t-1Xt=tE[ut|IMMt]+E[pt+t|IMMt]。（11）因此，t时刻的价格由未来股息的长期总和加上一个边界项给出，该边界项通常为非零。如果公式（11）中的边界项在T=∞ 等于零，即横截性条件成立，则得到标准的EMH基本理性预期定价规则：pt=epFt | IMMt, 其中pFt=1>/tuu/t.（12）在均值为零的均值回复红利过程中，横向性条件是正确的。出于简单的原因，我们将使用该假设研究模型。根据这一规定，MM的工作是根据其当前信息集，提供从单位到当前时间t的贴现未来现金流的最佳预测。请注意，恢复非零均值的基本价格只会相当于价格过程的刚性（尽管是有限的）转变，因为基本价格的均值是公共信息，因此它会立即被纳入价格中。比较MM估算的结果会很有趣，公式为：。

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2022-4-24 14:21:02

（12），由IT构建，不会因NT:pITt=E引起的噪声而失真pFtIITt. （13）让我们在这里注意到，股息必须是可预测的，市场才能不平凡。事实上，如果股息过程不相关，即Ξμτ=Ξμδτ，则pITt=0，即，与MM相比，它没有任何信息优势。因此，在这种情况下，MM只需将价格设置为零。根据等式（12）给出的定价规则，如果MM等待足够的时间，等待股息收入恢复到零，则MM在统计上会为每次买入或卖出交易实现盈亏平衡。因此，该局部约束由以下公式给出：E[CMMt]=0。（14）因此，E[CITt]+E[CNTt]=0，即它的增益与NT的损耗平衡。这通常发生在NT未知且非理性的模型中[2]。在下文中，我们给出了定价规则（12）的显式表达式，即公式（8）中引入的IT需求核。从观察到的超额需求回归股息公式（12）给出的定价规则规定，MM应通过观察已实现的超额需求来估计未来分配的总和。这个问题可以分两步解决。首先，MM对已实现的超额需求进行了过滤，估计了已实现的股息。在LG-SSM文献中，已实现股息的最佳估计量被称为卡尔曼滤波器，在测量中是线性的，即我们模型中的已实现超额需求。然后，MM计算未来股息的预期总和，与未来股息的预测相加。下面我们将详细介绍这两个步骤。MM对已实现股息的估计值^uut：=E[uut | IMMt]由^ut=Kqt给出，其中我们隐式定义了（稳态）Kalman增益K。

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2022-4-24 14:21:08

考虑到MM测量的动态性，该矩阵可以标准方式[13,14]构建，即等式（10）。卡尔曼增益K与信号噪声成正比，即μu，与测量噪声成反比，测量噪声是超额需求的ACFOhmτ：=E[qtqt+τ]，其显式表达式为：K=Ξu（Ju）>Ohm-1，（15）式中ju=（I）-RL）-1RuLOhm = Ju（Ju）>+DNT。（16） Ju是将公式（10）的r.h.s.中的股息乘以NT的修饰ACF的矩阵，公式为：DNT=（I-RL）-1.I+RNTLOhm新界I+RNTL>（一）-RL）-1.>. （17）噪声ACF被修饰，因为噪声（即NT的交易过程）不仅通过构造（qt=qITt+qNTt）影响超额需求动力学，而且还因为其最佳交易策略取决于噪声的过去和未来实现（见等式（8））。根据估计的已实现股息，MM必须估计inEq定义的基本价格pFt。(12). 为此，他将未来股息的预测建立为E[uu/t |^ut]=Fu^ut，其中我们引入了股息预测矩阵Fu。由于股息过程是均值为零的高斯过程，Fu仅取决于股息的ACFΞu。最后，通过对估计的未来股息求和，我们得到了时间t时的价格方程：pt=1>/tFuK qt。（18）注意，等式（18）明确给出了传播子G的规则。事实上，在紧凑表示法中，传播子模型由pt=1>/tG qt给出。在下一节中，我们将根据MM的定价规则，基于其预期未来财富的最大化，构建IT的最优交易策略。这意味着，正如预期的那样，IT的需求核（R，RNT，Ru）是等式（1）中引入的传播子G的函数，SOI是等式（16）中引入的卡尔曼增益矩阵K。正因为如此，Eq。

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2022-4-24 14:21:14

（18）结果将证明是传播者G.3.3最优内部交易的自洽方程效用函数Utt，其期望值在每个时间步t通过IT实现最大化，由WITt+t给出的他在终端时间t+t（其中t与第3.2节中引入的值无关）的财富账户的值确定，在该时间点，他在风险资产中的地位受到影响。因此，UITt=WITt+t受t的约束QITt=0≥ t+t。在每个时间步t，IT优化其在整个未来轨迹上的预期效用函数qit/t，获得等式（7）给出的当前时间iIt的信息集，并对优化策略的第一步进行交易。因此，时间t的IT交易计算如下：qITt=e>targetmaxqit/tE尤特IITt, （19）利用等式（15）上的伍德伯里恒等式，可以得到增益矩阵K:K的替代表达式=(Ξu)-1+（Ju）>DNT-1Ju-1（Ju）>DNT-1.这个替代表达式给出了增益矩阵K的补充解释：实际上，方括号内的矩阵是后验信息矩阵。该矩阵由股息先验信息矩阵（Ξu）给出-1汇总到测量添加的信息，即（Ju）>DNT-1Ju。与式（1）进行比较，式中引入了传播子模型。其中e>Texplicit表示只执行未来轨迹的第一步。请注意，有限清算时间的存在并没有打破模型时间平移不变性的假设，因为随着时间的推移，终端条件也在减少。

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2022-4-24 14:21:20

事实上，它通常会保持一个非零的位置，直到t→ ∞ 尽管存在清算限制。然后，该约束应被视为IT部门使用的一种手段，以便通过考虑对其未来清算价值pt+t的预测，对其在时间t的当前股票头寸的价值进行适当的标记，而不是作为防止其在大时间进行交易的措施。下面我们分析T=∞ 平均回报红利。如果T=∞ 在等式（19）中，它可以忽略往返约束，因为清算成本被推到遥远的未来，并且由于零均值和均值回复股息的假设，最终的预期价格为零。正因为如此，我们将在下面考虑的IT的实际交易价格由等式（19）给出，其中UITt=CIT∞. 在此过程中，最大化程序由qitt=e>targetmaxqit/tE给出CIT∞IITt, CIT在哪里∞= CITt-1.-qIT/t>电汇-pF/t. （20）为了使讨论简单，我们考虑了可积ACF的股息过程，如它的基本价格PFITS NITE的估计。事实上，人们可以放松这一假设，对价格和股息过程进行合理的重整化。请注意，基本价格引入非零均值既不影响利润策略，也不影响价格影响函数。事实上，由于基本价格的预期被假定为公开信息，MM可以立即将其纳入价格中，如前所述。然后，由于等式（20）中IT的收益与价格和IT对基本价格的估计之间的差异成正比，因此IT的交易策略不依赖于基本价格的平均值。

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2022-4-24 14:21:26

综上所述，由于等式（18）给出的传播因子仅取决于它的需求核（R，RNT，Ru）和红利和NT交易的ACF（Ξu），OhmNT）通过卡尔曼滤波器（公式（15））和股息预测矩阵Fu，可以得出基本价格的平均值在形成价格影响函数方面无关紧要。平衡时的需求核（R，RNT，Ru）表达式可确定为等式（20）定义的二次优化程序的解。企业所得税的预期收益∞dependson估计的未来股息（通过pF/t）和估计的未来NT交易（通过p/t）。因此，为了明确地记录下来，我们需要上一节介绍的股息预测矩阵Fu，以及NT交易的预测矩阵FNT，其定义类似于E[qNT/t | qNTt]=FNTqNTt。自E[CIT]∞|IITt]根据过去的实现和预测，我们在矩阵符号上插入时间下标，以避免歧义。我们得到：E[CIT∞|IITt]=-qIT/t>Gsym/t，/tqIT/t-qIT/t>G/t，t-1qt-1+G/t，/tFNT/t，t-1qNTt-1.-U/t，/tFu/t，t-1微克-1.,（21）我们把CITt放在哪里-1，由于它不依赖于它的未来交易qIT/t，我们引入了对称传播子Gsym=（G+G>），以便以紧凑的形式写出qIT/t中的二次项。qIT/tof等式（21）中的二次项是it因其自身未来市场影响而面临的成本项，而qIT/t中的线性项是其信号项。信号的第一项来自已知订单流量实现带来的价格影响，第二项来自未来NT交易的预期价格影响，而第三项来自他关于pF/t的私人信息。IT需求内核的表达式，在等式（8）中定义，可以通过在公式中插入公式（21）得到传播子G和预测矩阵FN和Fu。

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2022-4-24 14:21:34

（20）：Rt=-e> tGsym/t，/t-1G/t，t-1，（22a）RNTt=-e> tGsym/t，/t-1G/t，/tFNT/t，t-1，（22b）Rut=e>tGsym/t，/t-1U/t，/tFu/t，t-1.（22c）最后，我们有所有的要素来明确地写下均衡定价规则的函数方程，这将在下一节给出。4线性平衡。1均衡条件和数值解模型的线性均衡可以通过自洽地考虑MM的竞争定价规则和它的策略来找到，分别在等式中给出。（18）和（22）。在标量表示法中，传播子的自洽方程为：Gt-s=∞Xt=ttXt=-∞Fut，tKt，s[G]（23），我们已经明确指出，滤波器K是传播子G本身的函数：事实上，K是由等式（15）根据它的需求核（R，RNT，Ru）给出的，这取决于传播子G。(22).线性平衡方程（23）是传播子Gt的非线性函数方程。因此，在任意高斯、零均值和平稳红利以及NT交易过程的一般情况下，不适合进行分析处理。然而，如附录A所示，我们能够迭代求解公式（23）。在两种特殊情况下，我们能够通过公式（23）的解析解验证迭代数值解算器的结果（见附录B）。通过对基于公式（23）的迭代数值解算器的模型进行广泛分析，我们发现均衡时的市场表现出一些稳健的性质，在NT的交易和股息的可积且稳定的ACF情况下，这些性质保持不变，无论ACF的确切结构如何。

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2022-4-24 14:21:40

这些属性列在下面。4.2一般均衡性质回归协方差均衡的特征是回报ACFΞτ：=E[ptpt+τ]的时间结构与公式（13）给出的IT价格估算pITt的时间结构相同，这将被称为ΞITτ。式中：Ξτ=ΞΞITτ，其中ΞIT=1。（24）因此，由NT注入系统的噪声引起的价格失真被完全编码为一个标量，即收益方差Ξ。无花果的左面板。1、2和3显示的数值结果不符合等式（24）。特别是，在顶部面板中，圆点对应于通过等式（23）的数值解算器获得的Ξτ/Ξ，并在虚线上显示良好的折叠，这对应于半解析计算的ΞITτ/ΞIT。在面板的底部，我们显示了两条曲线之间的相对累积绝对误差，定义为：er rΞτ=Pτi=0 | i/Ξ-ΞITi/ΞIT | Pτi=0 |Ξi/Ξ|。（25）在图1和图2中，检查了非马尔可夫ACF，这些误差比图3中的误差大，图3中的ACF呈指数衰减。这是因为在前一种情况下，未来股息的预测受到有限规模效应的影响。这些影响的估算在附录A中进行了详细说明。左侧顶部面板的插图显示了价格的变异函数，由Vτ：=E定义（pt）-pt+τ）,正如预期的那样，在高频时是线性的，在低频时是均值回复的。超额需求协方差均衡以超额需求ACF为特征Ohmτ：=E[qtqt+τ]，与NT交易相关的时间结构相同，加上滞后0时的额外贡献。在公式中：Ohmτ=a（）OhmNTτ+bΔτ），带OhmNT=1，（26），其中符号Δτ表示离散的δ函数，而a和b是标量。超额需求变化由下式给出：Ohm= a（1+b）。因为时间t的信息不包括NT qNTt的当前交易（见等式。

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2022-4-24 14:21:46

（7）），为了隐藏交易，IT部门能做的最好的事情就是制定一种交易策略，使超额需求ACF除了滞后0项之外，与NT类似。由于滞后0处的失真，我们将此属性称为准伪装策略。事实上，为了延长其相对于MM的信息优势，IT通过创建一种类似于NT的策略来隐藏其在超额需求过程中的交易。右面板无花果。1、2和3显示的数值结果证实了准伪装属性。在顶部面板中，项目符号对应于Ohmτ/Ohm通过方程（23）的数值解获得，该方程显示虚线上正滞后的良好折叠，对应于OhmNTτ/Ohm新界。很明显，从左边的插图中可以看出，在滞后0时没有达到崩塌。正如将在下一节中显示的那样，滞后0的额外贡献在很大程度上取决于股息和NT交易的现金流量。底部显示了两条曲线之间的相对累积绝对误差。在本例中，它从滞后1开始，所以：errOhmτ=Pτi=1|Ohm我/Ohm-OhmNTi/OhmNT | Pτi=1|Ohm我/Ohm|. （27）同样，在检查非马尔可夫ACF的情况下，这些误差更大。根据等式给出的性质。（24）和（26）以及MM的盈亏平衡条件，原则上可以找到传播者。事实上，从传播子（1）的定义中引入价格ACF∑τ：=E[ptpt+τ]，如下所示：∑τ=t+τXt=-∞tXt=-∞Gt+τ-tGt-TOhm|T-t |，其中τ>0，（28），其中价格ACF∑τ可根据公式（24）计算，超额需求ACF由公式（26）给出。该程序可以在马尔可夫系统的情况下完成，并在第。6.

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2022-4-24 14:21:52

在这里，我们将为上面列出的方程中引入的所有参数提供半分析结果，这些参数与一般的非马尔可夫情形具有相同的定性特征。这一分析的有趣之处在于，随着NT交易流程的可预测性增加，其交易流程变得准确，从而使他能够降低由于组织交易计划的价格影响而产生的成本。但在讨论马尔科夫案例之前，让我们先强调一下与现有模型的异同。在经济学文献[10,15,16]中，Camou flage也被称为不引人注目的策略[10,15,16]02505075101251501752000.00.20.40.60.81.0/00 2505050010010010010010125152ERR2000.00.51.0V/V1001011010102101100/1100101102+10000.010.020.03err0 50.81.01.2图1：用（1+|τ|/τk）给出的ACF对平衡性质进行数值检查-γkwhere k={u，NT}。我们任意选择（τNT，τu，γNT，γu）=（30,50,3,5）。数值解算器已在Tcut=5·10和Tit=200的条件下实现。（左）在上面板中，我们显示了Ξτ/Ξ（项目符号）和ΞITτ/ΞIT（虚线）之间的良好折叠。这两个ACF之间的折叠在底部面板中量化，其中显示了两条曲线之间的相对累积绝对误差。顶部面板中的插图显示了变异函数上的折叠。（右）在主顶部面板中，我们展示了正滞后的良好崩溃Ohmτ/Ohm（要点）和OhmNTτ/OhmNT（虚线），而在插图中，我们展示了塌陷不涉及滞后项。

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2022-4-24 14:21:58

在底部面板中，这两个ACF之间的崩塌被量化，计算相对累积溶质误差，从滞后1.0 50 100 150 200 2500.00.20.40.60.81.0/00 50 100 150 200 2500.0000.002err0 2000.00.51.0V/V0 50 100 150 200 2500.40.20.00.20.40.60.81.0/10 50 100 150 200 2500.05ERRr0 50.80.91.01.1图2:exp给出的ACF平衡特性的数值检查-τ/τ1，ksin（x/τ2，k+π/2），其中k={u，NT}。我们任意选择（τ1，NT，τ1，u，τ2，NT，τ2，u）=（40,40,20,10）。数值解算器已实现Tcut=10和Tit=500。（左）在上面板中，我们显示了Ξτ/Ξ（项目符号）和ΞITτ/ΞIT（虚线）之间的良好折叠。这两个ACF之间的折叠在底部面板中量化，其中显示了两条曲线之间的相对累积绝对误差。顶部面板中的插图显示了变异函数上的折叠。（右）在主顶部面板中，我们显示了良好的塌陷，因为Ohmτ/Ohm（要点）和OhmNTτ/OhmNT（虚线），而在插图中，我们展示了collapse不涉及滞后0项。在底部面板中，这两个ACF之间的塌陷是量化的，计算从滞后1.0 20 40 80 1000.00.20.40.60.81.0/00 20 60 80 100012err1e 130 1000.00.51.0V/V0 20 40 60 1000.20.40.60.81.01.2/10 20 20 40 60 1000ERR1E 120 50.81.01.2图3:e-τ/τkwhere k={u，NT}。我们任意确定（τNT，τu）=（10,20）。数值解算器已在Tcut=5·10和Tit=200的条件下实现。（左）在上面板中，我们显示了Ξτ/Ξ（项目符号）和ΞITτ/ΞIT（虚线）之间的良好折叠。这两条ACF之间的夹角在底部面板中进行量化，其中显示了两条曲线之间的相对累积绝对误差。

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2022-4-24 14:22:04

顶部面板中的插图显示了变异函数上的折叠。（右）在主顶部面板中，我们展示了正滞后的良好崩溃Ohmτ/Ohm（要点）和OhmNTτ/OhmNT（虚线），而在插图中，我们展示了崩塌不涉及滞后0项。在底部面板中，对这两个ACF之间的塌陷进行了量化，计算了与现有模型5的滞后1.5关系开始的相对累积绝对误差。1 Kyle模型虽然深受单周期Kyle模型的启发，但我们的模型在几个方面有很大的不同。首先，在我们的环境中，不是外在地假设基本价格的存在，而是发挥基本价格作用的综合股息过程，将其与资产的回报机械地联系起来。第二，我们没有明确的基本价格启示，因此允许考虑模型中的固定设置。这种平稳的机制在实践中是相关的，因为为了分析市场在短时间尺度（分钟、小时）的行为，人们希望在较慢的时间尺度上，将原教旨主义信息（例如股息、盈利公告、预定新闻）的动态潜在诱发的非平稳效应抽离。第三，我们引入了（可积）序列相关性，包括股息（等价地，基本价格）和顺序。让我们也指出如何在我们的环境中恢复凯尔模型。假设（i）新台币不相关，（ii）未来股息之和遵循随机游走过程，（iii）利润在每个周期开始时知道pFtat的价值，以及（iv）MM设定价格后的公共信息，我们完全恢复单周期凯尔模型的迭代版本。5.2传播者模型方程（28）是处理传播者模型的基础方程。

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2022-4-24 14:22:10

鉴于订单流量相关性和价格波动性，文献中通常使用它从经验数据中提取传播因子。因此，我们的框架允许我们在经济学标准设置中恢复传播者模型，但有三个重要的注意事项：o超额需求ACFOhm在实际市场中观察到的τ函数通常是不可积的，这是由于指令流的强持久性[5,17]。o在真实市场中观察到的价格过程接近于高频扩散在实际市场中观察到的传播子被发现是一个缓慢衰减的时间函数。让我们讨论这些经验事实，展示如何在我们的程式化模型中解释它们。首先，通过将我们的框架扩展到NT行业ACF本身不可积的情况，可以恢复超额需求ACF的不可积性。这是因为，与超额需求和噪音交易相关的交易条件预计也将延伸至不可积NT交易的设置。第二，在我们的模型中，价格扩散率也可以恢复为限制机制，在这种限制机制中，股息比模型中的任何其他时间尺度都慢得多。为了证明这一点，请注意，价格的变异函数可以用价格ACF∑τ表示如下：Vτ=V∞(1-∑τ），其中∑=1，（29）其中第一等式在平稳条件下成立，如本文介绍的模型所述。因此，如果∑∑τ，我们确实在高频下恢复了价格扩散率-1.∝τ/τ*在模型的高频极限下，即τ τ*, τ在哪里*是典型的时间尺度。相反，在相反的低频极限τ τ*, 由于均值回复股息的假设，即具有均值回复基本价格，ACF的价格衰减为零，即∑τ~0，我们恢复了一个方差函数。

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可人4

2022-4-24 14:22:17

例如，在下面描述的马尔可夫情形中，其中ACF是具有时间尺度τu的指数衰减函数，其中一个具有τ*= τu. 总之，如果高频极限下线性价格ACF∑τ的假设成立，我们模型中的价格在两种截然不同的情况之间插值：当模型在其高频极限下探测时，它描述了一个具有扩散价格的市场，而在低频极限下，价格是均值回复的。这是非常令人满意的，因为它是用一个传播子得到的，这是等式（23）的解。在股息过程高度持续的高频率下，价格扩散率源于它在股息变化中的惊喜：这是我们模型中产生扩散行为的普遍机制。实际上，在这个极限下，它对基本价格的估计是一个鞅，因此它被描述为一个扩散过程。从等式（24）可以看出，价格过程本身是由扩散过程描述的。由于前两个属性可以检索，第三个属性遵循标准缩放参数。因此，在高频极限下，价格影响必须是时间的缓慢衰减函数，以确保价格扩散，同时通过等式（28）具有强相关的顺序流动过程。有趣的是，为了观察模型中的任何影响，我们不得不引入一个非平凡的红利过程：引入基本信息，使利润比MM具有信息优势，就足以在价格中引入非平凡的动态，并通常在高频下诱导价格的扩散行为。

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2022-4-24 14:22:23

因此，为了微观建立传播者模型而付出的代价是引入了一个辅助股息过程，它的详细形状在足够高的频率下是不必要的，但其函数设置了价格响应的规模。6马尔可夫过程在分流和分流都是马尔可夫过程的情况下，平衡条件（23）可以显著简化，其中它们的ACF由以下公式给出：ΞΞΞτ=ΞΞΞατu，（30a）OhmNTτ=OhmNTατNT。（30b）参见等式（13）下的简短讨论。其中一个简化来自于这样一个事实，即等式（13）给出的价格估计与当前股息实现成比例，即pITt=ut-1αu/(1 -αu). 因此，式（24）中给出的价格效率变为：ττ=ΞΞFτ，其中ΞF=1，（31），其中ΞF是基本价格pFt的回报ACF。由式（31）可知，价格过程的ACF∑τ是一个衰减指数，其时间刻度为τu：=-1/对数（αu）。因此，马尔科夫案例中的价格过程是一个离散的Ornstein-Uhlenbeck过程，具有时间尺度τu：=-1/对数（αu）。我们通过在两种特殊的马尔可夫情况下显式求解平衡条件，验证了上一节中所展示的迭代数值解的结果：非相关NTtrades的情况，通过将NT的交易ACF方程替换为OhmNTτ=OhmNTΔτ，且NT交易的ACF时标与股息时标相同的情况，即公式（30）给出的情况，αu=αNT。这些发现见附录B。此外，我们通过施加上一节中列出的一般平衡性质，以及方程式（14）给出的MM盈亏平衡条件，找到了平衡条件的显式解。

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2022-4-24 14:22:29

以下章节给出了有关该程序结果的详细信息。让我们指出，尽管选择马尔可夫红利和NT交易过程是为了获得分析结果，并在简单情况下建立对系统的直觉，但本节中发现的主要定性结论确实可以外推到具有可积ACF的一般平稳均值回复过程。6.1非相关NT交易这种情况特别简单，因为等式（26）中给出的准卡门费房地产变得精确。等式（28）由指数衰减传播子求解，其标度与股息ACF相同，即τu。传播子的振幅在App中导出。B.1。式（23）的解分两步得到。首先，我们基于准现金流量策略属性，即公式（26）和公式（24）中关于回报ACF givenby的属性，构建了一个ANSATZ模型。有关详细信息，请参见附录C.1。然后，我们通过施加MM’sbreak-even条件（见附录C.2）来修正ansatz。下面描述的这个过程的结果与等式（23）的迭代数值解算器的结果相匹配。我们找到的传播子是：Gτ=Gαu-αNTαu-ρατu+1.-αu-αNTαu-ρρτ, （32）其中新的时间标度τρ=-1/log（ρ）出现。在一般马尔可夫条件下，通过两个基本时间尺度τu和τNT的非线性组合给出了这个新的时间尺度：-1/log（αNT）（如附录C.2所示获得的ρ和Gis的Implicit表达式）。从左面板开始。显然，在τu，τNT 1，τρ接近时间步长的值，即τρ~ 1，因此比两个基本时间尺度小得多。

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2022-4-24 14:22:35

这一发现以及与非相关NT交易相关的一个发现表明，当股息高度持续（αu）时→ 1）传播子具有准永久分量和非零瞬态分量。前者源于基本过程在高频率下的明显持续性，而后者源于NT交易过程的非平凡可预测性。正如我们将在下文中看到的，τρ的大时间尺度行为与滞后0时超需ACF失真的行为有关，即等式（26）中引入的|b。事实上，在公式（32）（见附录C.1）的推导过程中，我们发现：~b=ρ（1-αNT）αNT（1+ρ）-ρ（1+αNT）。（33）510152025NT2。5.00240.00.20.40.60.81.01.21.45 10 15 20 25510152025NT2。5.00240.00.20.40.60.81.0B图4：（左）作为τu和τNT函数的内生时间尺度τρ。τρ永远不大于~2时间步长。（右）滞后0对∑τ的贡献的振幅，即等式（26）中引入的λb，作为τu和τNT的函数。从插图中可以看出，~b在小时间尺度下达到其最大值，而随着τu和τn的增加，它会减少到零，从而恢复it策略的精确图像。在图4的右面板中，我们显示了作为τu和τNT函数的b。在小股息的限制下，这个幅度接近1，而NT的交易时间尺度随着这些时间尺度的增加而减小到零。因此，一旦新台币的跨期或股息高度相关，超额需求ACF的时间结构就越来越像新台币的时间结构。对这一结论的解释如下：IT希望通过塑造ACF，使其与NT的交易相似，从而在过度需求过程中隐藏自己的交易。然而，它只知道时间t-1 NT交易流程的实现（见等式（7））。

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2022-4-24 14:22:41

如果这一过程只是弱相关，那么IT的相关信息无法很好地预测t时NT的交易。因此，IT无法隐藏其当前的交易。相反，如果新台币的交易是强相关的，IT部门关于新台币过去交易的信息可以让他准确预测当前的新台币交易，并且IT部门能够隐藏他当前的交易。简而言之，我们发现：Ohmτ→Ohm~OhmNTτasαNT→1，（34）从而恢复了许多类似凯尔的模型[10,16,18,19]所展示的IT的精确伪装交易策略。极限αNT→1和αu→1可以解释为我们离散模型的连续极限。在这种情况下，使用Ohmτ= Ohm~OhmNTτ和公式（31）在连续时间中，可以求解公式（28）的连续时间类比，结果是：Gτ=Gδτ+τu-τNTτ|τNTe-τ/τu. （35）从这个方程中，我们可以看到，传播子中的项取决于内生生成的时间尺度（见等式（32））接近模型连续极限中的狄拉克δ函数，这是其精确的伪装策略的结果。6.2超额需求差异比率的结果Ohm/OhmNTA是图5左面板中显示的τu和τNTis的函数。对于小时间尺度，方差比在2和大时间尺度，方差比在0.5之间。方差比的增加，Ohm/Ohm对于小τ，可以理解如下。在这个制度下，NT的当前贸易几乎是不可预测的，因此IT的当前贸易独立于NT的当前贸易。因此，超额需求方差相对于NT方差增加。

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