多元Kyle模型：更多是不同的

2022-6-10 05:03:25

104.2价格基础和数量基础。115含义135.1从理论到数据：经验平均值和损失函数。135.2交叉影响估计员。145.2.1最大似然估计。145.2.2特征流动性模型。155.2.3凯尔估值器。165.3配方比较。185.3.1实际数据的应用。185.3.2合成数据。196结论22A多元Kyle模型25A的解。1知情交易者的最优性。25A。2做市商的最优性。25A。3线性平衡的对称性。26A。4线性平衡的显式形式。27B估算27B。1损失χ。27B。2最大似然估计。28B。3特征流动性估计器。28B。4 Kyle估计器。

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2022-6-10 05:03:28

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29B。5根据真实数据制作合成协方差矩阵。291简介了解市场影响——交易推动价格的机制——无疑是至关重要的。从理论角度来看，市场影响是金融市场价格形成的核心。从从业者的角度来看，市场影响往往是不可忽视的交易成本的根源，需要控制这些成本以优化执行策略。在过去几十年中，大多数文献都集中在单一产品的价格影响上（最近的综述见[BBDG18]），而没有考虑资产间的相互作用。然而，许多市场参与者交易的是组合了数百或数千项资产的大型投资组合。因此，解决资产间价格影响问题，即创造的交叉影响，是从根本上和实践上都非常感兴趣的问题之一。最近的实证研究表明，有证据表明股票市场存在显著的交叉影响【HS01、PV13、WSG16、BMEB17】。当涉及到大型矩阵估计时，经常出现的问题是经验噪声。因此，重要的是继续寻找良好的统计优先级，以帮助“清理”这些大维度估计量。在这个问题上，人们应该从理论经济学中期待什么？哪些经验观察结果应被视为不寻常？在这里，我们重点关注如何理解过去几年在最正统的背景下积累的经验观察结果：经典的凯尔模型[Kyl85]，扩展到多资产框架。

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2022-6-10 05:03:31

我们的目标是深入了解（i）在凯尔环境中，信息如何（横截面）用于价格，以及（ii）如何使用这些结果来规范实证交叉影响分析中产生的非常嘈杂的回归。多元Kyle模型在[CK94]中首次被考虑，在一个非常普遍的设置中，有n个资产和m个部分知情的交易者。模型的一般性使得只能对解决方案进行部分分析；此外，它还涉及一个无法通过实证数据直接衡量的对象，即知情交易者订单流量的相关性。在这里，我们重新考虑了经验校准问题。我们将重点放在特殊情况m=1上，并证明线性平衡是唯一的，并且以对称正定义（SPD）影响矩阵为特征。该解决方案提供了一个明确的配方，可以从（清理后的）订单流量和回报相关矩阵中推断交叉影响，我们将其与其他自然配方进行比较，如最大似然估计量（MLE）[BMEB17]或最近提出的“特征流动性”模型（ELM）[MBEB17]。本文的组织结构如下。在第2节和第3节中，我们介绍了多元Kyle模型，并提供了均衡策略，主要基于[CK94]中的工作，但也提供了新的结果。在第4节中，我们详细研究了该解的数学性质。在第5节中，我们介绍了一种基于做市商均衡策略的影响估计，并从理论和实证角度将其与其他常用估计进行了比较。在本文中，我们提供了几个示例，旨在为主要结果提供指导。

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mingdashike22

2022-6-10 05:03:34

特别是，面对多变量和单变量模型的结果往往很有趣。以下所有粗体大写符号表示矩阵，粗体小写表示向量，轻小写表示标量。2多元Kyle模型在本节中，我们详细介绍了多元Kyle设置，并定义了允许使用经验观测值校准模型的观测值。2.1该模型考虑三个代表性代理人交易n种工具的单周期经济。代理人包括：拥有未来价格完美信息的信息交易者（IT），因外生原因而缺乏任何信息的噪音交易者（NT），以及有竞争力的做市商（MM），其职责是提高价格效率。模型的动力学由以下规则设置。基本价格v从高斯分布v中采样~ N（p，∑），其中∑是SPD。只有它事先知道v的值，而pand∑是常识。我们将价格偏离其平均值表示为v：=v- p、 2。IT和NT同时订购尺寸分别为x和u的产品。NT u的出价从高斯分布u中采样~ N（0，Ohm) 独立于基本价格，其中Ohm 是一个可变矩阵。3、MM根据观察到的总订单不平衡y=x+u，以结算价格p结算超额需求y，这允许他/她形成基本价格的最佳估计。这些基本价值随后被揭示出来。风险中性点要求的数量x，使其效用函数的期望最大化：UIT（x，p）=x>（v- p）。（1）请注意，UIT不包含任何风险罚款。虽然这种惩罚的引入会影响下面的一些结论，但我们决定将这个有趣的问题留给未来的工作。

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2022-6-10 05:03:37

与做市商具有竞争性的假设一致，MM设定的价格与预期v相匹配，给定可用的公共信息，即总订单不平衡y:p=E[v | y]，（2）其中E[·]表示v和u分布的平均值。显然，上述设置高度程式化，在许多情况下是不切实际的。尽管如此，该模型仍然能够捕获合理价格形成过程的一些基本要素：ITS所拥有的信息被编码为受噪声u污染的交易订单不平衡x。在竞争机制中，MMs有望解码总订单不平衡y=x+u中包含的信息，为了提供对基本价格v的最佳预测。这会机械地引发市场影响：因为订单不平衡y与基本价格相关，交易价格p也会显示与订单不平衡y的相关性，从而提供市场影响的合理度量。2.2可观察性为了深入了解该模型的含义并做出可测试的预测，需要提供一些可与市场数据进行比较的指标。幸运的是，该设置的高斯特性允许我们只考虑一阶和二阶统计（均值和协方差）。例如，凯尔设置中的阶流没有时间自相关，而众所周知，经验领主流有很长的记忆。参见[BBDG18]和[BMEB17]，了解多元背景下的最新讨论。价格和数量，以完全描述模型的行为。

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2022-6-10 05:03:40

自然，定义模型的基本参数(Ohm, ∑）是不可直接观察到的，需要从交易价格p和交易量y的统计数据中推断出来，这是模型唯一的物理可观察数据。价格由于价格有效性条件（见等式（2）），平均交易价格等于基价的平均值，其本身等于（一致性）初始价格：e[p]=e[v]=p.（3）。然而，交易价格和基价的协方差没有理由重合：∑=C[p，p]=e[（p- p）（p-p） >]，（4）∑=C[v，v]=E[（v- p）（五）- p） >]。（5）进一步，我们表明，在平衡状态下，∑和∑完全成比例（见等式（24））。由于NT的非知情性质，平均订单不平衡由IT引入的偏差确定，因此：E[y]=E[x]：=x。（6）由于NT的体积协方差部分和由于IT的体积协方差部分之间的关系更微妙，由下式得出：Ohmd=C[y，y]=C[x，x]+Ohm , （7）在这里，我们介绍了我们创造的缀饰体积协方差Ohmd、这是物理可观测量。相应地，裸体积协方差（即不受噪声影响Ohm) 是C[x，x]。最终，我们感兴趣的是有条件地描述给定贸易不平衡的预期价格变化：与价格影响直接相关的响应函数。在这个模型中，测量这些量的物理观测值，即我们推测的反应，是：Rd=E[（p-p） y>]=C[p，y]，（8）Rdv=E[（v- p） y>]=C[v，y]。（9）由于非知情订单不平衡u和v之间缺乏相关性，我们可以将撤回的响应与关于x:R和Rv的响应联系起来，即通过hr=E[（p- p） x>]=C[p，x]=Rd- C【p，u】，（10）Rv=E[（v- p） x>]=C[v，x]=Rdv。

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2022-6-10 05:03:43

（11）有趣的是，虽然基本价格对噪音交易水平不敏感，但由于总订单不平衡y和基本价格v.3均衡策略之间的虚假相关性，交易价格在一定程度上存在定价错误。在本节中，我们描述了多元凯尔模型的均衡策略。虽然大多数结果都可以从卡巴尔和克里希南的开创性工作中推断出来【CK94】，但我们认为，提供我们自己的证明的简化版本是有用的，我们以更具教育性的形式呈现，在某些情况下更为紧凑，并且可以明确讨论几个理论问题和经验含义。3.1线性平衡或主要结果是存在一个唯一的线性平衡，如下所述，其结构可通过分析表示。定义1（线性平衡）。通过线性均衡，我们指的是一组策略，其中MM执行交易价格p，IT通过线性规则p=u+λy，（12）x=α+Bv，（13）执行其出价x，从而满足以下两个条件：1。利益最大化：对于x6=x，E[UIT（x，p）| v]>E[UIT（x，p）| v]的所有备选策略。2、价格效率：价格满意度（2）。基于等式（12）中给出的MM线性策略的假设，我们得到以下结果（附录a中提供了证明）。提案1。对MM实施线性定价规则（12）意味着理性IT也会将订单不平衡x设置为不平衡的线性函数，其中：x=∧-1S（v- u），（14），其中∧sde表示∧的对称部分。此外，IT战略的利润最大化条件意味着∧Shas为正定义（PD）。等式（12）表明∧起着调整交易价格水平p与不平衡成比例的作用。

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2022-6-10 05:03:46

命题1表明∧也起到了从知情交易者X设定订单不平衡的作用，因为了解基本价格v。此外，等式（14）和等式（12）意味着，由于卷积下高斯分布的稳定性，订单不平衡y和交易价格p都是正态分布随机变量。最后一个属性是以下命题的核心。提案2。假设公式（14）中的IT线性策略意味着公式（12）中MM的优先级参数由以下公式给出：u=p- ∧y，∧=Rdv(Ohmd）-1.（15）注意y，RdvandOhmD依赖于x，因此是∧S。将（15）代入式（14）可以关闭系统并找到∧的方程。然而，请注意，获得的系统有许多可能的解决方案。为了约束后者，我们必须实施命题1中引入的利益最大化条件。提案3。假设存在等式（14）给出的IT效用最大化问题的解决方案，以及等式（14）给出的MM定价规则。（12）和（15）。然后，∧Shas为PD的利润最大化条件意味着∧是对称的，并且满足以下方程：∑=∧OhmΛ . （16） ∧的对称性导致了一个唯一的解，可以用问题的参数来表示（即∑和∧）Ohm). 表示方式√Y对于SPD Y，矩阵方程XX=Y的唯一PD解（见附录A.3中的引理1）我们引入以下定理：定理1（线性平衡的存在性和唯一性）。策略（12）和（14）给出了唯一的线性平衡，其中：∧=R-1.√R∑LL-1，（17）y=0，（18）u=p.（19）这里L，R是矩阵的因式分解Ohm = LR满足L=R>。注意，存在性结果是参考文献[CK94]中命题3.1的特例，专门用于具有完美信息的单个IT的情况。

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2022-6-10 05:03:49

尽管如此，非对称∧lackeda的其他平衡的缺乏已发表的证据（尽管类似的讨论可在Caball\'e和Krishnan[CK+90]未发表的论文中找到）。由于∧的对称性对价格形成和定价都有重要影响（见第4节和第5节的讨论），我们认为，排除非对称均衡的存在是多元Kyle模型分析中的一个重要步骤。这是本文的主要创新理论贡献。示例1（单变量Kyle模型的解）。将定理1专门化为仅交易一项资产的n=1情况，得到了[Kyl85]中导出的著名解决方案（轻小写符号是加粗大写和加粗小写符号的标量版本）：λ=rσω，（20）表明价格和失衡之间的比例常数随价格波动量而变化√σ和与噪声的典型波动成反比√ω. 直觉上，理性MM预期的价格偏差越大，他就越应该重视成交量失衡，以便预测基本价格对失衡的影响。另一方面，系统中的噪声越大，交易量信号越不可靠，因此交易价格越接近未信息的先验p。需要注意的是，等式（16）本身并不意味着∧的对称性，因为有必要进一步施加PDness以获得对称性。事实上，（16）的对称解不是PD。这些解决方案可以提高交易价格，但不能优化IT的效用。示例2（鞍点解）。设x为（14）中给出的形式的策略，设u=pand∧为（16）的对称但非PD解。

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2022-6-10 05:03:53

通过构造，此时相对于x的E[UIT]梯度为零，满足IT的一阶条件，但这并不保证它是最大值。现在，我们对策略x+δx进行任意扰动，并计算两种策略之间的效用差异：δE[UIT]=E[UIT]（x）-E[UIT]（x+δx）=E[2x>∧δx+δx>∧δx-δx>（v- p） ]=δx>∧δx。可以看出，当且仅当∧为PD时，任意δx的δE[UIT]始终为正。如果没有二阶条件，它可以找到比x更好的策略，这意味着对应于∧的解不是平衡点，而是鞍点。事实上，当∧不是PD时，E[UIT]可以任意大。在这种情况下，IT将任意交易大量的某些线性资产组合，而不均衡将是可能的。施加PD影响矩阵∧允许MM确定IT的最佳策略，否则将无法确定–至少在可替代性函数中没有进一步的风险惩罚的情况下。3.2均衡解的价格和数量协方差我们现在研究上述线性均衡的可测试含义。这里，我们提供了在这种情况下可以测量的可观测值之间的关系。提案4（Camou flage）。在平衡中，缀饰阶不平衡的期望值等于：y=E[y]=E[x]=0。（21）IT阶不平衡协方差可表示为：C【x，x】=Ohm , （22）暗示：Ohmd=2Ohm . （23）证明。

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2022-6-10 05:03:56

（21）和（22）中的结果是通过直接评估期望值得到的：E【x】=∧-1E【v】- p] =0，C[x，x]=∧-1E[（v- p）（五）- p） >]λ-1=Λ-1ΣΛ-1= Ohm .最后一个结果与（22）的定义基本一致Ohmd、这一结果意味着，除了匹配NT的交易水平以隐藏其信息（在一维情况下获得），还需要匹配NT交易的方向（即Ohm) 以至于IT的交易行为和NT的交易行为无法区分。下一个命题给出了这种行为的一个更有趣的结果。命题5（信息差异）。均衡中的基本价格协方差和交易价格协方差由∑=关联。（24）此外，剩余信息isC[v，v | p]=C[v，v]- C[v，p]C[p，p]-1C【p，v】=∑- B∧∑∑-1∑∧>B>（25），其在平衡状态下的读数c【v，v | p】=∑。（26）证明。交易价格协方差为：∑=C[p，p]=∧Ohmd∧>=2∧Ohm∧=∑，（27），其中最后一个等式来自App中的等式（73）。A、 3。为了找到剩余信息，需要计算交易价格和基本价格之间的协方差：C【v，p】=B∧C【v，v】=B∧∑。虽然这两个协方差是相关的这一事实是意料之中的，但它们彼此成比例的事实并非微不足道。此外（27）意味着影响矩阵∧的作用是按照基本价格的波动方向“旋转”成交量的波动。这种行为背后的直觉是，由于伪装，IT将朝着与NT相同的方向交易。因此，需要一个理性的市场管理者来努力提高价格效率，以转换沿Ohm预测价格沿∑主成分的波动，从而匹配预期协方差∑。

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2022-6-10 05:03:59

比例常数等于1/2（仅显示一半信息）这一事实无关紧要，是模型单周期特征的结果。将Kyle框架扩展到多个时间步，将常数因子1/2转化为一个时变函数，表示信息融入价格的速率（单资产案例见Kyle原始文件[Kyl85]，离散和连续多资产案例分别见[Vit12，Las04]）。最后，有趣的是，在多元凯尔模型的背景下描述这些反应。提案6（回复）。上述命题和等式（10）意味着RV=Rdv=Rd=2R=∑∧-1，（28）使得响应由∑和∧唯一确定。证据通过在定义上插入平衡策略，可以找到响应的平衡值：Rdv=Rv=E[（v- p） x>]=E[（v- p）（五）- p） >]λ-1=ΣΛ-1，Rd=E[（p- p） y>]=λE[yy>]=2∧Ohm =ΣΛ-1，R=E[（p- p） x>]=∧E[xx>]=∧Ohm =ΣΛ-1、这个命题的一个有趣的结果是，在目前的框架内，修饰响应应该完全由∑和Ohm 单独地在第5节中，我们将看到这如何自然地导致影响模型的校准，在该模型中，可以通过将上述响应结构作为合理的先验来减少部分估计噪声。

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可人4

2022-6-10 05:04:02

最后，请注意，虽然基本价格的修饰响应和裸响应一致，但交易价格的修饰响应比裸响应大一个因子2，这是因为NT瞬时引入的价格和交易量之间存在纯粹的相关性。3.3公用设施和竞争性市场开拓在该模型中，三个代理的公用设施总和为零：UIT=-x> （p- v），UNT=-u> （p- v），UMM=（x+u）>（p- v）。因此，描述效用如何在平衡状态下从一个代理转移到另一个代理是很有趣的。提案7（平衡时的公用事业）。三种试剂在平衡状态下的效用等于toE[UIT]=tr（R），（29）E[UNT]=-tr（R），（30）E[um]=0。（31）证明。E【UIT】=-E[x>（p- v） ]=tr（E[vx>]- E[px>]）=tr（Rv- R） =tr（R），E[UNT]=-E【u>（p- v） ]=tr（E[vu>]- E[pu>]）=tr（0- R） =-tr（R），E[um]=-E【UIT】- E[UNT]=0。与标准Kyle模型一样，多元Kyle模型的线性均衡使得财富从NT转移到IT，从而能够利用其信息优势。MMI的作用更为微妙：我们假设MM执行了一个有效的价格，因此通过建设他并不是在优化他的财富。然而，正如我们在命题7中所示，通过定价规则（2）施加价格效率会导致MM在效用预期为0的意义上实现盈亏平衡。在下一个例子中，我们证明了事实并非如此：对MM施加盈亏平衡条件通常不足以确保价格。示例3（有效价格和盈亏平衡条件）。考虑盈亏平衡条件E[UMM]=0。

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mingdashike22

2022-6-10 05:04:05

单变量模型中MM的预期效用为：E[UMM]=（u- p） λ-1+λωd- rdv=0。施加u=可以消除复杂溶液的存在，而不考虑rdvandω，因此：λ=rdv/ωd，u=p。因此，在一维中，MM的盈亏平衡条件，以及要求u=pis等效于施加价格效率。这种等价性源于系统的低维性，因为当我们在一维中施加盈亏平衡条件时，我们得到了一个参数的一个方程（u是通过强制要求任何参数选择的解必须是实的来固定的）。在多元Kyle模型中，情况并非如此。特别是盈亏平衡条件writesE[UMM]=tr(u - p）（u- p） >λ-1S+λOhmd- Rv= 0 .在这种情况下，我们再次获得一个方程式，但现在需要~ N参数。这意味着有很多方法可以实现收支平衡，但只有一种方法是有效的。在限制性更强的设置中，MM甚至必须单独为每个资产进行破解，条件可以写为：diag(u - p）（u- p） >λ-1S+λOhmd- Rv= 0。（32）在这种情况下，有n个方程，仍然不足以确定~ N参数。因此，在一维中，条件E[UMM]=0既是价格有效的必要条件也是有效条件。在多个维度上，虽然E[UMM]=0仍然是价格效率的结果，但正如下一条评论所阐明的，反之则不成立。备注1（效率的充分和必要条件）。资产盈亏平衡条件（32）也可以写成：E[（pi- vi）yi]=0，（33）对于每项资产i。假设u=矩阵形式的pand，（33）导致0=diag（E[（p- v） y>]）=诊断（λE[yy>]- E[vy>]）=诊断（λOhmd- Rv），对应于（15）的对角线。为了恢复（15）（不仅是对角线），我们需要方程（33）的有效对角线版本：E[（pi- vi）yj]=0，对于j 6=i。

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2022-6-10 05:04:08

不幸的是，这些术语与任何公用事业没有直接关系，仅仅表明为了使价格有效，MM应该破坏订单流量与错误定价PI之间的任何相关性- vi.因此，虽然在一个维度上，Kyle MM的行为可以根据效用和竞争性做市论据进行调整（见参考文献[Kyl85]），但在多资产情况下，为什么竞争性MM会在其自身效用的基础上提高价格效率却不太清楚。4解释上述章节中说明的线性平衡性质提供了一些关于模型现象学的直觉，但它们无助于理解公式（17）中的影响∧。以下讨论旨在对∧的表达式进行调整，从而阐明其结构。据我们所知，以下论点以前从未出现在文献中。4.1价格和数量的白化定理1中给出的线性均衡的推导依赖于二次矩阵方程（16），该方程由（见命题11的证明）求解：∧=GOL-1，（34）其中，我们使用了价格相关性的分解∑=GD，类似于Ohm = LR和O是正交矩阵。这一发现的显著之处在于，无论∑和Ohm, 基O总是存在唯一的变化，∧就是SPD。因此，MM操作的预测过程导致了定价规则v=v- p=∧y可以看作是以下步骤的结果：1。应用白化变换L-1至y，以获得白化不平衡y=2-1/2升-1y，其中c[~y，~y]=I.2。将旋转O应用于▄y，获得白化的基本价格变化v=O y。如前所述，事实上C[v，v]=E[vv>]=I.3。

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2022-6-10 05:04:11

应用逆白化变换G，以发现基本价格变化的预测v=v- p=2-1/2克~v.虽然本程序的第一步和第三步是直观的，并且只能从维度分析中看出，但在第二步中应用的旋转O的性质并不那么简单，将在以下章节中进行更深入的研究。示例4（一维Kyle模型中的简并度）。在一维中，等式（16）变为σ=λω，导致一对解λ=±pσ/ω。通过施加影响∧的正不确定性，可以很容易地解决解之间的简并，从而选择正解。在这种情况下，我们有G=√σ、 L=√ω、 O=1。因此，从O的角度来看，一维Kyle模型的维度太低，任何非平凡的事情都不会发生：只有在更高的维度中，人们才能理解其一般结构。4.2价格基础和容量基础正如我们在命题11的证明中所示，公式（34）中出现的旋转O可以表示为asO=（RG）-1q（RG）（RG）>。（35）为了在理解n>1的旋转的复杂性方面取得一些进展，重要的是要注意，它完全是根据矩阵RG规定的。让我们假设选择计算Ohm ∑是主成分分解：Ohm = W诊断(√ω） |{z}Ldiag(√ω） W>{z}R，（36）∑=Sdiag(√σ） |{z}Gdiag(√σ）其中W和S是正交矩阵，其中向量√ω和√σ有正元素。然后我们有：RG=诊断(√ω） W>Sdiag(√σ），（38）表明，除了对角矩阵之外(√ω）和diag(√σ）设定了基础价格波动和订单不平衡的规模，正是重叠W>S将成交量的特征向量与基本价格的特征向量联系起来。

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2022-6-10 05:04:14

为了对O的结构有更深入的了解，我们应该用一些简单的例子。示例5（二维Kyle模型）。在二维中，矩阵O可以用一个角度θ：O来表征，而不会失去一般性=cosθ-sinθsinθcosθ.考虑由以下相关性给出的系统：∑=1 ρρ 1, Ohm =ω0 ω.在这种情况下，我们可以显式地计算O。尤其是一个hasG=√√1 + ρ -√1.- ρ√1 + ρ√1.- ρ, L-1=ω-1/20 ω-1/2!,施加∧的对称性可以表明θ=弧inω-1/2√1 + ρ + ω-1/2√1.- ρ√2.!哪里 =qω+ω+2（ωω）1/2p1- ρ. 最后我们得到∧=21+qωp1- ρρρ1+qωωp1- ρ. （39）事实上，通过一致地选择G和L的因式分解，可以根据公式（35）任意地将O的行列式固定为正或负1。我们可以使用示例5中的结果来检查两种极端情况：一种是流动性极度不足，另一种是资产相关性很强。例6（极度流动性不足）。让我们考虑ω=ω带 → 0，而ω=ω，意味着y-预计有1/2是固定的。然后预测一阶MM is：p- p=√ωyρy+p1- ρ（y-1/2),这意味着流动性工具的有效价格仅由同一工具上的交易量确定，而对于非流动性市场，重要的是要考虑流动性相关市场上的交易量。另一方面，IT在由：x给出=√ωvq1.-ρ(v- ρv）！。现在，IT被鼓励只交易流动资产，而且在出价时忽略非流动资产。

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2022-6-10 05:04:17

与前一种情况类似，交易价格将保持为订单1，因为第二种资产的市场订单将是订单√.例6中的价格创新可以解释为一个有效市场应该如何运作的指示：交叉影响的对称性意味着，在流动资产价格上交易一美元资产的效果与在资产价格上交易一美元资产的效果相同，然而，由于在ait上交易的美元很少，因此不会对a的价格产生显著影响。相反，a的价格将在很大程度上受a的交易量的驱动。虽然我们只证明了可逆∑的线性均衡的存在，我们可以研究∧在∑具有低秩的极限情况下的行为，如以下两个示例：示例7（强相关价格）。考虑ρ=1- δ、带δ→ 0，因此(p- p）/√δ是有限的。根据（39），δ中一阶MM的预测值为：p- p=√ω+ ωy+yy+y,这意味着，在处理强相关性工具时，可以通过在全球流动性正常化之前，对每种工具的交易量进行代数求和来构建有效的价格。

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2022-6-10 05:04:20

另一方面，它在δ中的一阶下注可以写成：x=rω+ωω(v+v） ω(v+五）+rωω2（ω+ω）√δ(v- 五）√δ(v- v）！。在这种情况下，鼓励按平均价格变动的比例下订单，或按相对差异的比例下订单，并根据相对价格变动的典型规模进行调整√δ.事实上，IT应该押注于价格变化，而价格变化与价格变化的普遍程度成反比。上述结果对极端情况ρ的特化→ ±1区域特别有趣，因为它是更一般结果的结果，可以在∑为秩1时应用，如下一示例所示。例8（排名第一的价格协方差）。让我们考虑这样一种情况，∑的所有特征值除一个外都趋向于0，因此∑趋向于秩1矩阵。本例的兴趣在于∧在本例中显示了一个特别有启发性的表达式，它提供了一个简单的方法，可以将属于与同一基础产品相关的不同金融工具的数量汇集在一起。在不损失一般性的情况下，秩1情况下的∑可以写成∑=sσs>其中s∈ Rn是单位向量，σ>0。然后很容易验证矩阵∧=sσs>Ohms1/2s>（40）得出模型的线性平衡。上述方程有一个非常简单的解释：o矩阵∧与∑交换，其特征向量对Ohm （即噪音交易者引起的音量波动）。o因子σ1/2将价格变化的尺度设置为唯一具有非零波动的∑模式的尺度通过编写主成分分解Ohm 像Ohm =Pna=1waωaw>a，可以将分母写成：（s>Ohms） 1/2=nXa=1（w>as）ωa！1/2. （41）该分母设定了冲击体积∧的缩放比例。

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2022-6-10 05:04:23

这相当于Ohm 关于∑的唯一非零模式，或等价于单个体积方差ωaof之和Ohm, 根据其对s.5含义的预测进行加权影响矩阵∧的表达式（17）超出了凯尔模型的范围。它为交叉影响模型提供了一个有见地的推理处方，而不是迄今为止在交叉影响拟合的上下文中所做的（参见[BMEB17，MBEB17，WSG16，SL18]）。在这样的背景下，人们有兴趣从经验数据中估计一个预测价格变化的模型p，预测值的形式为：^p=^∧y，（42），其中必须忠实地建模交易工具i将如何影响工具j。本节的目标是在凯尔模型和公式（42）的经验校准之间建立联系，其中价格变化p和不平衡y从经验数据中取样。5.1从理论到数据：经验平均值和损失函数首先，让我们考虑一个关于国际直接投资有效价格变化和交易量的数据集{p（t）}Tt=1和{y（t）}Tt=1，从具有有界方差的未知分布中取样，该分布不需要与手稿前几节中介绍的凯尔模型相关。因此，有点滥用符号，从现在起，1【·】表示根据基础分布得出的平均值对p和y进行采样。此外，我们还引入了一个经验度量h·i来表示所调查的经验样本的平均值。特别是，平均价格变化和平均不平衡的简单经验估计值为：^p=hpi=TTXt=1p（t）（43）^y=hyi=TTXt=1y（t）。（44）从今以后，我们认为价格变化和订单流量会随着其经验平均值的变化而变化，因此我们将p=y=0。

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2022-6-10 05:04:26

相应的协方差相应定义为：^∑=hpp> 一、（45）^Ohmd=hyy>i，（46）^Rd=hpy>i.（47）为T→ ∞, 经验平均值收敛于实际均值和协方差。我们的目标是显示模型（42）校准的不同原则，所有这些都依赖于上述估计器。我们将把这些估计器与Kyle估计器∧Kyle进行比较，我们将看到，Kyle估计器显示了几个有趣的性质。为了评估不同校准的质量，我们考虑下面定义的二次损失χ。定义2（损失）。给出经验度量h·i，我们将损失χ定义为函数χ=D（^p- p） >米（^）p- p） E，（48）其中^p=^∧y是有效价格变化的线性预测值，M是SPD矩阵。这种对损失的定义隐含着模型的校准与凯尔模型中做市商的任务非常相似：而在凯尔模型中，MM的工作是根据订单流量不平衡预测基本价格变化，在这种情况下，需要根据不平衡预测有效（观察到的）价格。尽管这两个问题是不同的，但它们有着极其相似的方程式，这一事实将允许我们在校准设置中利用前面章节的结果，原则上对Kyle做市商有效。因此，在这种损失定义下，只需找到价格变化的代理p和修饰顺序不平衡y，忽略基本价格v.5.2交叉影响估计的实现。我们给出了三种不同的交叉影响估计，并讨论了它们的性质。App中提供了本节中命题的证明。

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2022-6-10 05:04:28

B、 5.2.1最大似然估计为了估计交叉影响矩阵∧，可以构造的最简单的估计公式可能是最大似然估计量（MLE）：^∧MLE，通过最小化二次损失获得。提案8。损失χ相对于∧MLE的最小化收益率：^∧MLE=^Rd（^Ohmd）-1，（49）独立于M。最小损失为：χMLE=trM（^∑）-^∑MLE）, （50）式中，∑MLE=Rd（^Ohmd）-1（^Rd）>是模型（49）解释的基本价格变化协方差部分。注意，式（49）几乎与式（15）相同，这是通过强制执行有效价格条件获得的。这并非巧合，因为在具有正态分布变量的线性均衡设置中，贸易价格正是订单流量不平衡y的线性函数。尽管有两个重要的区别，区分Kyle模型的线性均衡和χMLE的最小化：oKyle设置中的一MM实际上是对基本价格进行线性回归，我们有兴趣降低有效价格。这就解释了为什么等式（15）使用基本价格响应Rdv，而等式（49）使用有效价格Rd。在Kyle设置案例中，MM意识到订单不平衡的一部分来自于拥有基本价格信息的IT，并正在优化其策略，假设MM使用aMLE。即使在线性平衡设置下，这也会导致∧的二次方程（见下面的等式（57）），而上面的等式（49）是∧MLE的线性关系。备注2。我们可以通过将有效价格条件（见等式（2））替换为χ最小化的条件来定义多元凯尔模型，而不影响线性均衡。此外，这种方法可以更好地将模型推广到更具异国情调的环境中。事实上，等式。

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2022-6-10 05:04:32

(??) 仅在价格和交易量为正态的假设下提供线性预测：对于其他分布，y和v之间的关系通常是非线性的。如果一个MM没有足够的基础分布知识或计算能力来构建一个有效的价格，那么拥有一个使损失χ最小化的MM是一个合理的假设，应该依赖线性回归来估计后者。^∧mle的表达式仅包含修饰的经验估计量^Rdand^Ohmd、允许从实际数据估计影响矩阵。此外，这种估计器的优点是实现非常简单，因为它只需要解∧MLE的线性方程。不幸的是，这个估计缺少几个在实际情况下非常有用的性质：对称矩阵∧mle是对称的当且仅当∧Rdand∧Ohmdcommute。正不确定性矩阵∧∧mle可以具有负特征值（见[BMEB17]）。一般相关性的一致性，[^∑，^∑MLE]6=0。因此，通过使用逆流不平衡推断的价格变化与实际价格变化的特征向量不相同，除非响应^Rd（^Ohmd）-1^rd与^∑通勤。前两个属性在交叉影响模型的校准中极为重要，如【AKS16，SL18】：要在交叉影响设置中进行定价，矩阵∧应为SPD，以确保不存在价格操纵。MLE并非如此，因此不适用于实际目的。5.2.2特征流动性模型为了解决最大似然估计量缺乏对称性的问题，参考。

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2022-6-10 05:04:35

【MBEB17】是通过加强关系：【^∧ELM，^∑】=0，（51），这意味着影响特征方向与特征投资组合（或资产空间的主成分）一致，构造一个通过构造对称的交叉影响∧ELM的估计量。这可以防止∧不对称引起的价格操纵。其校准在下一个命题中解释。提案9。考虑定价规则^p=^∧ELMy，其中我们施加了对易关系（51）。然后，在这种约束下获得的最大似然估计采用以下形式：^∧ELM=nXa=1^saga^s>a，（52）其中{sa}na=1是^∑的经验特征向量，其中：ga=^s>a^Rd^sa^s>a^Ohm迪萨。（53）此外，最小损失由：χELM=tr“M^∑给出-^RdnXa=1^sa^s>a^Rd^sa^s>a^Ohmd^sa^s>a！#。（54）在这种情况下，上述性质变为：对称矩阵∧∧ELMis通过构造对称。正不确定性矩阵^∧Elm仍然可以具有负特征值，尽管根据经验，矩阵^∧Elm显示的特征值没有明显小于零（见[MBEB17]）。相关性的一致性类似于最大似然估计情况，价格变化协方差∑ELM=∧∧ELMOhmd^∧Elm通常不与∑通勤。当且仅当[^Ohmd、 ^∑=0。综上所述，对称估计量的代价是一个更大的损失函数。请注意，如果^Rdand^Ohmd用∑表示，然后∧ELM=（Rd）（^Ohmd）-1=^∧MLE，因此损失等于最佳可能的χELM=χMLE。备注3（一维估计）。

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2022-6-10 05:04:38

由于交换和对称是在一维中授予的，施加条件（51）不会对损失函数的最小化增加任何约束，因此，λELM=λMLE=rdωd.5.2.3 Kyle估计器现在，让我们通过从不同角度描述Kyle模型中的∧来提供一些关于如何构建受Kyle模型启发的影响估计器的直觉。首先，取MM解式（15）（匹配MLE，式（49）），并将缀饰阶不平衡和响应与通过式（Q）预测的线性平衡进行交换。（28）和（23）：Rdv→ΣΛ-1, (55)Ohmd→ 2.Ohm . （56）然后，式（15）的线性回归变成二次矩阵方程：∧=Rdv(Ohmd）-1.→ Λ =ΣΛ-1.Ohm-1.（57）在施加∧的对称性和正不确定性后，这正是导致Kyle线性平衡中∧表达式的方程式（见附录A.4）。通过这样做，可以确保有效的价格变动过程，其相关协方差是“真实”价格变动的一半。如上所述，在Kylesetup中，MM隐含地执行线性回归，并且知道IT知道他/她的算法，最终导致等式（57）。我们现在提出一个利用这些思想的估值器∧∧Kylethat。提案10。让我们考虑一个估计量^p：=Kyley，因此，相关有效价格变化的经验协方差∑Kyle=h^p^p> i satis^∑Kyle=k^∑带k∈ R、然后满足这些约束的唯一∧∧Kyle由∧∧Kyle=k（^Rd）给出-1p^Rd^∑Ld（^Ld）-1（58）其中^Ohmd=^Ld^Rdis^的分解Ohmdsuch that^Ld=（^Rd）>。此外，最小损失为χKyle=trhM（1+k）^∑- 2k^Rd（^Rd）-1p^Rd^∑Ld（^Ld）-1.i（59），使损失最小的k值由k给出=tr（陆路）-1p^Rd^∑Ld（^Ld）-1） tr（M^∑）。请注意，k=1时恢复了与Kyle模型的完全相似性。

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2022-6-10 05:04:41

事实上，如果样本数据来自实际的多元Kyle模型，其中∑/2=∑=^∑和2Ohm = Ohmd=^Ohm如前几节所述，我们得到：E∧∧Kyle]T→∞----→ k∧。保留k作为自由参数的优点是，它允许增加或减少凯尔估计量的损失χ，而不影响预测协方差的特征向量。事实上，凯尔模型中出现的关系2∑=∑被认为不是普遍的，因此更自然的是将其视为表示交易信息内容的现象学参数。采用∧∧Kyleas作为交叉影响的估计器与其他常用估计器相比有几个有趣的优点，例如最大似然估计器∧∧mle或基于特征流动性模型∧∧ELM的影响估计器：对称性和正不确定性。Kyle构造由于其最优性的要求，强加了先验对称性和PDness。事实上，最优性条件（14）和稳定性条件（PDness of∧）正是【AKS16，SL18】中考虑的风险中性理性主体在尝试优化其利益时所面临的条件。这种结构允许恢复k=1的经验相关性∑。对于k的任何值，都有[^∑，^∑Kyle]=0。损失一个重要的问题涉及使用^∧Kyle得到的损失函数。一般来说，χKyleis大于通过最大似然估计得到的值，而最大似然估计通过设计使χ最小化。因此，为了具有对称性、正半不确定性和相关性一致性而支付的价格通常是与^∧MLE相关的经验数据的较差部分（通过损失χ衡量）。然而，如果我们的数据表现为凯尔模型，即。

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