此外，请注意，前两个地区最终获得了全国最高的投票率。这可以从那里的大量选票中得到解释，这促使候选人将注意力集中在他们身上。使用第3.1节末尾描述的程序计算表1中所示的平衡。尽管如此，因为我们事后知道候选人只关注前三个地区，即theMorales、Sebasti\'an和Thraves，Charles：政治竞选资源分配提交给POMS的文章；21号手稿的平衡可以用命题1的封闭式表达式计算出来*= {1, 2, 3}.ZFvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv0.53.2 73.310 2.1 37 69 68 0.0 0.0 60.934.9表1确定性模型中MS下的平衡量。投票率列表示投票给候选人A或B的票数百分比，计算为每个区域i的（xi+αi+yi+βi）/（xi+αi+yi+βi+γi）。VFT A表示投票给候选人A的预期票数，对于每个区域i，这被计算为（xi+αi）/（xi+αi+yi+βi）。表1所示的候选人的均衡投资不仅是区域大小和偏差的结果，也是他们弃权的结果。为了理解后者的影响，我们分析了表1所示的相同实例，没有弃权，即每个区域的γi=0。

平衡如表2所示，我们可以从中得出以下两个观察结果：首先，请注意，与弃权情况下获得的平衡（见表1）相比，两位候选人都将部分优势从前两个区域转移到了第三个区域。这有两个原因：（a）当将弃权参数设置为零时，第三个区域变得更具投资吸引力，因为它在原始实例中拥有最大的弃权参数之一；（b）偏差参数（α和β）是所有区域中最低且最接近的，因此更容易影响该区域的选民。其次，由于两位候选人都在无弃权的情况下投资前三个地区，因此推论1的结果成立。也就是说，候选人A在所有这些地区获得的选票比例相同（见表2最后一列）。随机情况：我们现在开始在随机模型下求解MS博弈。表3显示了k=10时的结果。有趣的是，观察到候选人的表现与确定性情况下的相似（见表1）。因此，先前的偏见不利影响也成立，即候选人更多地投资于相对于主办方的偏见参数较小的地区。候选人A获胜的概率为57.4%。表3中给出的平衡量通过运行算法1获得。

回想一下，我们没有一个正式的证据证明随机莫拉莱斯、塞巴斯蒂安和色雷斯的均衡存在和唯一性，查尔斯：政治活动的资源分配22篇文章提交给POMS；vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv0.0 0.0 100.0 73.310 2.1 37 69 0.00.0 100.0 34.9表2确定性模型中无弃权情况下MS下的平衡量。投票率列代表候选人A或B的得票率，计算为每个地区i的（xi+αi+yi+βi）/（xi+αi+yi+βi+γi）。VFT A代表候选人A的预期投票率，（xi+αi）/（xi+αi+i+i+i+i+i+i+i+i+i+βi）每个地区，每个地区，每个地区，每个地区，每个地区，每个地区，每个地区，每个地区，每个地区，地区，地区，区域，区域，vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv2.42 41 79 0.0 0.0 51.250.69 3.4 85 31 102 0.0 0 0.0 53.2 73.310 2.1 37 69 68 0.0 0 0.0 60.9 34.9表3 k=10的随机模型中MS下的平衡量。投票率列代表投票给候选人A或B的票数的百分比，对于每个区域i，计算为（xi+αi+yi+βi）/（xi+αi+yi+βi+γi）。VFT A代表投票给候选人A的预期票数，对于每个区域i，计算为（xi+αi）/（xi+αi+yi+βi）。

鉴于后者，我们进行了实证分析，以检验所获得的策略是否确实是一种均衡。图3显示了每个参与者不同单边偏差的支付比率。例如，如果得到的平衡是（x，y）∈n、 然后是玩家在策略x下的比例∈nis计算了asP（RA>RB | x，y）P（RA>RB | x，y）。同样，对于参与者B，图3的y轴对应于两个参与者的单边偏差比率，而x轴代表平衡点和各自单边偏差策略之间的欧氏距离。请注意，每次计算的单边偏差都会导致比率低于1。因此，似乎两个参与者都没有改变策略的动机，至少是从被测试者的单边偏差。我们现在分析选举结果的不同不确定性水平。回想一下，对于随机情况，k是控制不确定性的参数（见等式（6））。一方面→ ∞ 方差接近于零，因此游戏类似于其确定性版本。另一方面，在k→0，每个区域的结果i遵循一个discreteMorales，Sebasti\'an和Thraves，Charles：提交给POMS的政治活动资源分配章程；第230.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.220%40%60%80%100%候选稿A0。2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.220%40%60%80%100%候选B图3中不同策略的单边偏差支付比率左面板中的候选A，右面板中的候选B。随机变量，所有选票都投给一位候选人或弃权票。图4显示了候选人A在平衡状态下，使用与之前相同的瞬时参数（见表3）获得不同k值的概率，但弃权参数γ除外。

更准确地说，我们通过缩放原始弃权向量γ（来自表3）的比例因子g来观察不同程度的弃权≥0.从图4可以看出，随着游戏变得更加确定（k→∞), 结果变得更加可预测，因此其中一名候选人（本例中为候选人A）获胜的概率接近100%。此外，对于固定的可变性水平k，在不同的弃权情况下，候选人a的获胜概率没有明显的趋势。0.1 110 10050%55%60%65%70%75%候选人获胜概率Ag=50 g=1 g=0图4参数k（对数刻度中的x轴）的不同级别候选人A（y轴）获胜概率。5.2。选举人团对于选举人团的情况，我们考虑与多数制相同的情况，具有相同的偏见和弃权参数，只是各州有选举人票。为了在固定策略中获得平衡，如果有，我们采用第3.2.1节所述的梯度下降法，使用第4.2节所述的导数方程。尽管在拉特莫拉莱斯、塞巴斯蒂安和色雷斯的竞选中，两位候选人都获得了一对策略，《查尔斯：政治竞选的资源分配》24篇文章提交给POMS；手稿号：程序，这两种策略不是均衡的。图5显示了获得的两种策略的单边偏差的两种条件的支付比率。我们可以看到，两个参与者都有动机将他们的策略改变为不同的策略。尽管如此，至少在当地，似乎没有这样的激励。

因此，获得的这对策略可能是局部纳什均衡。0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.220%40%60%80%100%120%候选A0。2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.220%40%60%80%100%120%候选B图5单边偏差的支付比率。因此，我们运行算法3，以便在混合策略下找到均衡。表4显示了运行算法3后获得的实例参数和平衡。所示的向量是以正概率获得的策略。表4最后一行给出了这些概率。可以看出，（i）两位候选人都随机化了他们的策略，（ii）他们的工作主要集中在前三个州，这三个州的选举人票较多。候选人A的均衡策略彼此非常相似，主要集中在第一状态，较少集中在第二和第三状态。至于候选者B的不平衡，与候选者A相比，这些不平衡在前三个州之间的分布更加均匀，重点放在前两个地区。此外，可以看出，总体而言，候选人A赢得选举的预期概率为55.2%。表5显示了候选人A在表4中给出的混合均衡策略的每个组合中获胜的概率。无论候选人B使用哪种策略，候选人A使用前三种策略中的任何一种策略时，获胜的机会几乎相同。相反，如果候选人A采用第四种策略，获胜几率将在很大程度上取决于候选人B的策略，在某些情况下，获胜几率低于50%，尽管后者的几率低于2%（见表6）。平衡和状态的不确定性上述结果假设k=10。

回想一下，参数k调节着每个州选民结果的可变性；K→ 0倾向于所有选民选择一个选项的情况，莫拉莱斯、塞巴斯蒂安和色雷斯，查尔斯：政治竞选资源分配提交给POMS；手稿第25号区域wαβx（1）x（2）x（3）x（4）y（1）y（2）y（3）y（4）1 34 45 71 75 0 64 52 0 02 27 68 37 8 8 9 47 0 48 61 3 21 32 24 16 16 46 36 0 39 384 13 43 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 15 12 76 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 51 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 9 9 9 9 9 9 9 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0x（i）和y（i）与i∈ {1,2,3,4}对应于在q=100下运行算法3后以正概率获得的平衡力向量。P（A）获胜[%]y（1）y（2）y（3）y（4）x（1）55.154.9 55.1 55.1x（2）55.1 54.6 55.4 55.4x（3）54.8 54.9 55.4 55.4x（4）59.1 58.4 48.3 48.4表5候选人A在每对策略中获胜的概率。P（x（i），y（j））[%]y（1）y（2）y（3）y（4）x（1）4.2 3.2 2.8 1.4x（2）0.4 0.3 0.3 0.1x（3）29.7 23.5 19.9 9 9 x（4）1.5 1.2 1.0 0 0.5表6混合平衡中每种情况的概率。鉴于k→∞ 结果更具确定性（事实上，方差逐渐变为0）。在展示不同水平k的均衡结果之前，值得一提的是算法3为两个参与者的策略使用了一组起点。因此，当以不同的起点运行算法3时，平衡时间可能会有所不同。对于每个k，我们使用不同的随机初始策略集，对每个候选人运行算法3，总共M:=40次。

表7显示了不同水平的k：分别在第二列和第三列中，使用候选A和B获得的所有平衡策略对之间的欧几里德距离得出的平均地球移动距离；候选人A在第四列所有M次竞选中获胜的平均概率；以及分别在第五列和第六列中获得的候选A和B的平均平衡值。表7显示，对于较高的k值，算法3可能会导致不同的结果，而对于较低的k值，结果总是会导致两个候选的单一纯策略。这背后的推论是，对于一个更具确定性的游戏结果（高k值），玩家将倾向于随机化他们的策略，因为，否则，对手可能会利用这个确定性结果，就像在配对硬币游戏中一样。相反，一个更随机的博弈（低k）会产生纯策略。表7还显示，对于更高的k值，候选人A的获胜概率趋于略微增加。然而，值得注意的是，后一种影响在MS中比在EC中更明显（见图4和莫拉莱斯、塞巴斯蒂安和瑟拉斯、查尔斯：《政治活动的资源分配》26篇文章提交给POMS；手稿号：表7）。因此，减少选民的不确定性（即增加k）并不意味着减少EC下选举获胜者的不确定性，与MS.k D（在x上）D（在y上）P（A赢）[%]| Sup（x）| | Sup（y）| 1 0.00 0.00 52.3 1.0 1.02 0.00 53.0 1.0 1.05 0.02 0.00 54.2 1.0 1.010 0.07 0.07 55.2 4.125 4.12520 0.07 0.08 55.4.85 4.8550 0.16 0.15 54.8 8 8.8 8.8.8.8.8.8.5100.15.35表35K对平衡行为的影响不同。5.4.

算法3的性能在本节中，我们通过求解不同的数值实例来研究算法3的性能。更准确地说，我们控制的是：（i）州的数量和（ii）州之间选举投票的集中程度。关于前者，我们考虑n∈{5, 10, 20, 50}; 对于后者，各州的选举人票是从多项式分布中取样的，其中该州的选举人票数（预期）与νi成正比，其中∈（0，1]是一个控制集中度的参数。如果ν=1，各州将有相似的选举人票数，而较小的ν值将导致选举人票分布更不均匀。我们认为∈ {0.8, 0.9, 1}. 此外，选举人票总数设为538张，每个州除抽样的选举人票外，还额外分配了3张选举人票（因此，多项式分布的试验次数参数为538张）-3n）。对于每一对（n，ν），我们采样并求解总共100个实例。关于算法3，表8显示了平均值和最大值：求解时间、迭代次数、完成算法3时玩家策略集的基数，以及正概率支持下的数字策略。可以看出，选举人票集中度较低（即较高的ν）的情况下，求解时间较长，策略集较大。这是因为，当所有州的选举人票数量相似时，候选人的策略将不得不考虑在几个州投资。这意味着最佳答案的求解时间更长，同时也会在玩家的策略集中添加更多策略。从表8中值得注意的是，具有正概率的策略的实际数量似乎与选举人票的集中度无关。

此外，值得注意的是，所需的迭代次数似乎不受实例大小（即n）或浓度水平的特别影响。尽管如此，迭代次数与实例大小和选举人票集中度之间存在轻微的负相关。斯皮特莫拉莱斯、塞巴斯蒂安和色雷斯、查尔斯：提交给POMS的政治活动资源分配章程；（x）124124;124;124;124\\124\\124\\124124124124124124124124124124124124124124|124124124124124124124124124124124124124124124\\124124124124\\124124124\\124124124\\124124\\124\\124\\124124\\124\\124\\124\\\\124\\124\\\\124\\\\\\124124\\124124\\124\\124\\\\\\\\0.4382.962.960.952324513.833336.812736.1863.993.99.9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 0 6表8平均值和最大值：完成算法3时，求解时间、迭代次数和玩家策略集的基数。Sup+（x）（Sup+（y））表示候选a（B）具有正概率的策略数量。单纯形格的指数基数，算法3的运行时间与实例的大小不呈指数关系。此外，迭代次数平均在10到15之间，见表8.5.5第五列。MS和ECI下的极化效应在迄今为止分析的所有示例中，我们已经确定了偏差参数的值，以及它们相对于候选人预算的幅度。

然而，与现有偏见的影响相比，竞选活动的影响究竟有多大，目前尚不清楚。“两极分化”一词用于描述选民对候选人竞选活动的立场缺乏弹性的情况。当现有的偏见与候选人的预算相比足够大时，就会出现后一种情况。在本节中，我们分析了两极分化对候选人平衡策略的影响。更准确地说，表1和表4中给出的相同条件在缩放不同因素的偏差参数α和β时得到了解决。设f>0表示该因子的值，因此新的偏置参数为（fα，fβ）。由于候选人的预算保持不变，不同的因素将代表不同级别的竞选活动。一方面，f→ 0代表了一种低极化的情况，因为存在虚拟的YNO偏见，因此选民的决定主要由候选人的竞选活动触发。另一方面，在f→∞, 竞选活动的影响变得微不足道，除了那些候选人的偏见参数之间的差异仍在竞选活动影响范围之内的州。MS的结果如表9所示。我们可以看到，对于低水平的偏见（f=0.1），候选人的平均影响力与地区规模的权重（投票数）直接相关。此外所有州都获得了一定程度的投资（除了州9安德莫拉莱斯、塞巴斯蒂安和色雷斯、查尔斯：政治活动的资源分配28篇提交给POMS的文章；手稿编号f0.1 A[%]1 2 3 5 6 7 834 24 18 8 3 5 368 26 645 32 43 76 36 51 42α（0）B[%]1 2 3 5 6 7 832 27 18 4 2 5 336 52 1271 37 39 65 54β（0）表9MS下的不同偏倚参数（α，β）=（fα（0），fβ（0））。

当eachf=0.1、1、5、10、50时，候选人A获胜的概率分别为51.47%、57.41%、67.31%、73.12%和91.75%。所有策略在州9和州10都无效。最后一行显示了α（0）和β（0）的值。后者背后的直觉可以很容易地在极端情况下观察到，其中f→ 0（即几乎没有以前的偏差）。如果一位候选人忽略了一个地区，那么只要对手做出任何积极的努力，他就会赢得大部分选票。对于中等偏误（f=1），候选人只优先考虑选票较多的地区。与低偏见的情况不同，在较小的地区投资不再有效。对于更高的偏差（f=5、10、50），候选人将其所有工作集中在一个区域，以弥补最初的偏差劣势（区域1代表候选人a；区域2代表候选人B）。总的来说，候选人将他们的工作分配到边际回报最大的地方。两极分化的影响可以概括为以下两个因素的相互作用：（i）投票人数众多的地区，以及（ii）不利的偏见。f0。2.2.8 18 18 18 18 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 7 7 6 6 6 6 6 6 6 6 6 1 2 2 6.8 8 8 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4一,4.038 28 20 6 2 3 2 1 2.837 29 20 6 2 3 2 1 37.941 28 11 6 5 3 16.664 36 28.452 48 35.961 39 24.061 38 11.7100 53.355 45 46.7100 48.783 17 51.3100 100.071 37 24 39 65 61 54 41β（0）表10 EC下不同偏差参数（α，β）=（fα（0），fβ（0））的平衡。

当eachf=0.1、1、5、10、50时，候选人A获胜的概率分别为51.54%、55.05%、58.90%、69.34%和93.62%。所有策略在州9和州10都无效。最后一行显示了α（0）和β（0）的值。莫拉莱斯、塞巴斯蒂安和色雷斯、查尔斯：政治活动的资源分配提交给POMS；第29号手稿表10显示了在不同级别运行算法3时，EC获得的平衡。我们可以观察到，对于低偏差（f=0.1）和中等偏差（f=1），在EC下获得的平衡遵循与MS下显示的结构相同的结构；低偏见使得几乎每个州都值得投资，而对于中等偏见，较小的州（就选举人票而言）变得不那么值得投资。对于更高的偏差（f≥ 5） ，这两个系统之间出现了明显的差异。与MS中显示的情况不同，UnderEC中有几个州不值得投资，尽管它们在选举中的权重很大（比如州1和州2）。当候选人之间的偏见差异足够大时，候选人拒绝在这些州投资，因为他们的选举结果将基本保持不变。后者背后的直觉是，在这样一种状态下，候选人竞选活动对获胜概率的影响可以忽略不计。在f=50的极端情况下，这一点很明显。两位候选人都只在州4进行投资，因为州4是少数几个在其竞选预算范围内实现其偏差参数差异以影响其结果的地方之一。总之，欧共体下的两极分化将促使候选人根据以下两个因素进行竞选：（i）具有类似偏见的州，以及（ii）高选举人票。这些元素组合在一起的状态通常称为摇摆状态。前面的分析有助于我们理解两种选举制度下候选人在不同程度的两极分化中的决定。

在MS的领导下，候选人努力争取更多的选票。偏见越大，他们就越倾向于只在那些需要说服更多人投票支持他们的地区投资；相对劣势较大的地区。根据欧共体，由于赢家通吃政策，一些选票不能转化为各自的选举人票。因此，当候选人面对一个最初处于劣势的州时，几乎不可能导致获胜概率发生任何实质性变化，这根本不值得投资，即使它实际上可能是最大的州。同样，在具有相当初始优势的州。因此，在高度两极分化的情况下，竞争只与未决定的州有关；摇摆州。上一个结果中一个有趣的见解可以应用于两极分化对政治冲突的影响。在一个两极分化的国家，我们预计会有更高的偏差值，因此战略应该更侧重于少数几个州。事实上，后一种观察不仅会对候选人的资源分配策略产生额外的影响，还会对不同州做出的选举承诺产生额外的影响。例如，在一个摇摆州（在两极分化的欧共体下），候选人可能也更容易受到更高基础设施支出的诱惑，尽管该州可能只占全国人口的一小部分，但它在赢得选举中起着关键作用。莫拉莱斯，塞巴斯蒂安和色雷斯，查尔斯：《政治竞选资源分配》30篇文章提交给POMS；第6号手稿。

结论提出的模型和结果表明，不同的选举制度和政治现实可能会影响竞选活动资源分配问题的最佳解决方案。在多数系统（MS）的确定性模型下，平衡点的存在性和唯一性是可能的。此外，对于问题的某些特殊情况，给出了一个封闭形式的解。对于一般情况，可以使用梯度下降法获得平衡。后者是通过对游戏的随机版本使用模拟程序来执行的，可以计算候选目标函数和梯度的估计值，从而重用以前迭代的模拟值。与MS不同，在选举团（EC）下，数值计算表明纯策略中不存在均衡。为了探索混合策略，我们提出了一种算法，通过在迭代方法中增加候选策略集来返回单纯形格子集中的混合均衡。面对MS时，候选人往往主要关注最大的地区，特别关注那些他们比竞争对手不那么受欢迎的地区。此外，可以观察到，在均衡情况下，每个候选人的投票率在chosento投资的地区几乎相同。此外，在确定性模型和随机模型中，这些量恰好是完全相同的。对于欧共体，我们在博弈均衡中观察到了混合策略。特别是，我们发现了选举中的不确定性与所获得均衡的策略（支持）数量之间的联系。随机性越强，候选人的均衡策略就越纯粹。

因此，结果几乎没有不确定性的选举将导致不太可预测的行为（由于混合）。相反，在很多噪音下，候选人的竞选活动仅限于单一的纯策略。值得注意的是，在两种选举制度下，不确定性对获胜概率的影响。在MS的情况下，当减少不确定性时，随机模型将类似于其确定性版本，因此候选人的获胜概率将接近1或0。在EC的情况下，噪音降低将轻微影响获胜的概率。因此，两位候选人都有很大的机会赢得选举。分析的另一个重要因素是两极分化对两种选举制度下候选人策略的影响。在低极化的情况下，与战略最相关的信息是州的大小。此外，在这种情况下，人们可能会看到候选人在几乎每个地区投资。随着两极分化的加剧，候选人将只关注少数地区。事实上，在MS中，候选人的策略集中在具有更多潜在Votes的地区，同时强调他们最初有偏见和劣势的地区。另一方面，在欧共体，候选投资集中在摇摆州。也就是说，没有明确倾向的州莫拉莱斯、塞巴斯蒂安和色雷斯、查尔斯：提交给POMS的政治竞选资源分配章程；第31号手稿面向任何候选人，同时拥有不可忽视的选举人票。正如在某些情况下所观察到的，尽管可能存在比其他状态更大的状态，但随着极化的增加，效应更集中于那些摇摆状态。这是实际发生的事情：在美国，加利福尼亚州和德克萨斯州是两个最大的州。

然而，在2016年的选举中，每个州只有一次竞选活动，而佛罗里达州（第三大州）总共有71次竞选活动。有趣的是，这里假设分配的资源（策略）是候选人在每个州投资的时间。这导致了对称的预算约束。然而，同样的模型可以应用于研究竞选资源分配策略的任何其他资源，而不是时间，例如：广告预算、选举承诺等。感谢作者感谢CONICYT PIA/BASAL AFB180003提供的财政支持。此外，我们感谢何塞·科雷亚（Jose Correa）为改进这项工作所做的有益评论。参考Banzhaf III，John F.1964。加权投票不起作用：数学分析。罗格斯大学。19 317.巴内特，阿诺德一世，1976年。更多关于市场份额定理。市场研究杂志13（1）104–109。贝尔，大卫·E，拉尔夫·L·基尼，约翰·DC·利特尔。1975年，市场份额定理。市场研究杂志12（2）136–141。波雷尔，埃米尔。1921年，他在一个新的符号中建立了一套方程式。科学院院长173（1304-1308）58。布拉姆斯，史蒂文·J，莫顿·D·戴维斯。1974年，总统竞选中的3/2规则。《美国政治科学评论》68（1）113–134。布坎南，詹姆斯·M，罗伯特·D·托利森，戈登·塔洛克。1980年，高效的寻租。走向寻租社会理论97-121。杜菲，约翰，亚历山大·马特罗斯。2015.游戏随机性：一些新结果。《经济学快报》134 4-8。杜菲，约翰，亚历山大·马特罗斯。2017.随机非对称博弈：一项实验研究。经济行为与组织杂志139 88–105。弗里德曼，劳伦斯。1958.广告支出分配的博弈论模型。

运营研究6（5）699–709。格罗斯，奥利弗，罗伯特·瓦格纳。1950年的今天，一位连续的上校开始了比赛。技术代表，兰德项目空军圣莫尼卡·莫拉莱斯，塞巴斯蒂安和色雷斯，查尔斯：政治活动的资源分配32篇文章提交给POMS；手稿号：卡普兰、爱德华·H、阿诺德·巴内特。2003年，一种新的方法来估计赢得居留权的可能性。运筹学51（1）32–40。克伦普，蒂尔曼，马蒂亚斯·K·波尔伯恩。2006年初选和新罕布什尔州的影响。《公共经济学杂志》90（6-7）1073-1114。科文诺克，丹，布莱恩·罗伯森。2012年，多战场冲突。《牛津和平与冲突经济学手册》。牛津大学出版社。科文诺克，丹，布莱恩·罗伯森。2020年。普通彩票和布洛托上校游戏的推广。经济理论1-36。莱克，马克。1979年，一种新的竞选资源分配模式。应用博弈论。斯普林格，118-132岁。拉斯利尔，让·弗朗索瓦，纳塔莉·皮卡德。2002.分配政治和选举竞争。经济理论杂志103（1）106–130。乔治·E·莫纳汉1987。市场份额吸引模型中的均衡结构。管理科学33（2）228–243。纳格勒，乔纳森，简·莱格利。1992.总统竞选开支：关于拨款和影响的证据。公共选择73（3）319-333。2019年全国人民投票公司。三分之二的总统竞选活动仅在6个州进行。https://www.nationalpopularvote.com/campaign-events-2016.（于2020年6月查阅）。安东尼奥·奥索里奥。2013年，彩票变成了游戏。经济通讯120（2）164-166。我们的世界充满了数据。2019.民主。https://ourworldindata.org/democracy.（于2020年6月认可）。里顿，史蒂文·E，谢尔顿·H·雅各布森，温迪·K·谭乔，爱德华·C·休厄尔，克里斯托弗·J·里顿。2009.美国总统选举的贝叶斯预测模型。

美国政治研究37（4）700–724。里格登，史蒂文·E，杰森·J·索普，谢尔顿·H·雅各布森。2015年，使用贝叶斯预测和优化预测2012年和2014年的选举。SAGE Open 5（2）2158244015579724。罗伯森，布莱恩。2006年，上校参加了比赛。经济理论29（1）1-24。罗布森，亚历山大·RW等人，2005年。多项目比赛。工作文件。Rosen，J Ben。1965.凹n人对策平衡点的存在唯一性。计量经济学：计量经济学学会杂志520–534。谢夫，亨利。1958.混合物实验。英国皇家统计学会期刊：B辑（方法学）20（2）344–360。施瓦茨、加利纳、帕特里克·卢瓦索、尚卡尔·萨斯特里。2014年，这场比赛开始了。2014年第47届网络游戏、控制和优化国际会议（NetGCoop）。IEEE，232-238。Shaw，Daron R.1999。《疯狂背后的方法：总统选举团战略》，1988-1996年。《政治杂志》61（4）893–913。莫拉莱斯、塞巴斯蒂安和色雷斯、查尔斯：政治活动的资源分配提交给POMS；手稿编号33Snyder，James M.1989。选举目标和竞选资源的分配。计量经济学：计量经济学学会杂志637–660。斯特隆伯格，大卫。2008.选举团如何影响竞选活动和政策：受影响的可能性。《美国经济评论》98（3）769–807。托马斯，卡罗琳。2018年，N维blotto与异质战场价值观博弈。经济理论65（3）509–544。王伟，大卫·罗斯柴尔德，沙拉德·戈尔，安德鲁·盖尔曼。2015年，用非代表性民调预测选举。

《国际预测杂志》31（3）980–991。塞巴斯蒂安·莫拉莱斯和查尔斯·色雷斯：《政治竞选资源分配》34篇文章提交给POMS；手稿号附录A：定理1的证明。需要注意的是：（i）参与者的策略集是凸的、封闭的和有界的；（ii）玩家的效用是凹的。我们将重点分析第一个参与者。由于游戏的零和性质，（i）是直接的。为了说明（ii），回想一下第一个参与者的效用是由等式（1）的目标函数中的qa给出的。为了计算海森曲线，让我们首先计算梯度。我们得到质量保证xi=vimiσip，其中p:=Pi∈Ivi（sAi+sBi），σi:=xi+αi+yi+βi+γi，mi:=bip+ciPkvkbk，ci:=γiσi，bi:=yi+βiσi。然后，第一玩家效用的海森矩阵由下式给出：(xxQA）ij=拉xixj=-vivjpσiσj（cimj+cjmi）+1{i=j}2vimipσi尽管如此，j∈ I.为了证明效用函数的凹性，我们将证明对于任何z∈ RN，我认为（zTxxQAz≤的确，我们有xxQAz=-XiXjzizjvivjpσiσj（cimj+cjmi）+1{i=j}zi2vimipσi= -XiXjwiwj（cimj+cjmi）+1{i=j}wipv-1i式中wi:=ziviσ-1ip-3/2√2.然后：zTxxRAz=-XiXjwiwjcimj+1{i=j}wipmiv-1i= -XiXjwiwjcibjp+cjXkvkbk！+1{i=j}wipvibip+ciXkvkbk！！≤ -XiXjwiwjcibjp+cjXkvkbk！+1{i=j}wipbi4vi！=-西维奇！西维比！P-西维奇！十四比！-Xiwibi4vip（18）≤ -西维奇！十四比+（Piwici）（Piwibi）Piwibivi=-皮维比十四比！希维比！-西维比！≤ 第一个不平等是因为p>0和ci、bi、vi≥第二个不等式是因为表达式（18）是p的二次多项式，在p等于时最大-a/（2a），其中Ai是i=1,2的系数（即变量pi）。最后一个不等式来自引理3，用x替换w，用Y替换b，用D替换i列中的bi/Vi替换对角线矩阵。引理3。

对于任何x，y∈ Rn和正对角矩阵D∈ Rn×n，它认为（xTy）≤xTDyxTD-1y。证据xTy= kxTyk=kxTD1/2D-1/2yk≤ kxTD1/2kkD-1/2yk=xTDyxTD-1 Y，莫拉莱斯，塞巴斯蒂安和色雷斯，查尔斯：提交给POMS的政治活动资源分配章程；第35号手稿，其中不等式来源于柯西-施瓦茨不等式。附录B：定理2的证明。LetG（x，y）：=xxQAyxQAxyQByyQB.利用Rosen（1965）的定理2，我们需要证明G（x，y）+GT（x，y）是负定义。注意yxQAandXYQ对称矩阵，因为效用函数Ra和RB和都有连续的二阶导数。然后xyQBT=xy1.-质量保证T=-xyQAT=-xyQA=-yxQA。ThenG（x，y）+GT（x，y）=2倍xxQAN×NN×NyyQB.但我们已经证明了这一点xxQAand定理1证明中的负定义。因此，G（x，y）+GT（x，y）也是负定义，从而得出结论。附录C：命题1的证明为此，我们求解以下双KKT方程组：vi（QA+QB）（sBi+sCi）σi-QAvisCiσi=λ（QA+QB）J∈ 我*（19） vi（QA+QB）（sAi+sCi）σi-QBvisCiσi=η（QA+QB）J∈ 我*（20） Xj∈我*xj=1（21）xj∈我*yj=1（22）加上方程（19）和（20），再加上sAj+sBj+sCj=1，我们得到了所有j的vjσj=（λ+η）（QA+QB）∈我*, 对于所有j，等效yvj=（λ+η）（QA+QB）σj（23）∈我*. 把方程（23）加起来∈我*, 利用方程（21）和（22），我们得到*= （λ+η）（QA+QB）（2+αI）*+ βI*+ γI*) （24）任何z的位置∈阿尔南德一世*I={1，…，n}，我们定义了zI*:=Pj∈我*zj。将等式（24）中的项（λ+η）（QA+QB）替换为等式（23），得到以下等式vjσj=vI*2+αI*+ βI*+ γI*（25）莫拉莱斯、塞巴斯蒂安和色雷斯、查尔斯：政治活动的资源分配36篇提交给POMS的文章；手稿编号：j∈我*. 让QAI*是候选人A在区域I集合中获得的票数*.

类似地定义QBI*候选人B和QCI*弃权票总数。然后，使用等式（25）确定QAI*, QBI*, 和QCI*结果inQAI*=Xj∈我*vjxj+αjσj=vI*1+αI*2+αI*+ βI*+ γI*（26）QBI*=Xj∈我*vjyj+βjσj=vI*1+βI*2+αI*+ βI*+ γI*（27）QCI*=Xj∈我*vjγjσj=vI*γI*2+αI*+ βI*+ γI*. （28）将方程（19）乘以σjand，再加上整个j∈我*, 我们得到λ（QA+QB）（2+αI）*+ βI*+ γI*) = （QA+QB）（QCI）*+ QBI*) -QAQCI*. （29）在方程（29）上使用方程（26）、（27）和（28）得到λ=vI*（QA+QB）（1+βI）*+ γI*) -QAγI*（QA+QB）（2+αI）*+ βI*+ γI*)（30）所有值都已知的情况。通过类似的步骤，我们可以得出η=vI的结论*（QA+QB）（1+αI）*+ γI*) -QBγI*（QA+QB）（2+αI）*+ βI*+ γI*)（31）将方程（30）和（31）替换为方程（19）和（20）中的方程（30）和（31），在安排一些项之后，我们得到xUB（I）*)i=vivI*1+αI*+QAQA+QBγI*-QAQA+QBγi-αi（32）yUB（i）*)i=vivI*1+βI*+QBQA+QBγI*-QBQA+QBγi-βi（33）为所有i∈我*. 最后，Qa和QB，即候选人A和B分别获得的票数，可以通过等式（26）和（27）加上在没有竞选活动的地区获得的票数得到。NamelyQA=Xj∈Ivjxi+αixi+αi+yi+βi+γi=QAI*+Xj6∈我*vjαiαi+βi+γi*式（26）给出了该公式。与QB类似，总结证据。附录D:I的MS无界平衡*= 在这种情况下，QA=QAI*= 六、*1+αI*2+αI*+βI*+γI*= （Pjvj）1+Pjαj2+Pjαj+Pjβj+Pjγj.与QB类似。因此，我们有qaqa+QB=1+Pjαj2+Pjαj+Pjβj*)我和你（我）*)iof方程（32）和（33）导致：xUBi=1+Pjαj2+Pj（αj+βj）“viPjvj2+Xj（αj+βj+γj）！-γi#-αiyUBi=1+Pjβj2+Pj（αj+βj）“viPjvj2+Xj（αj+βj+γj）！-γi#-如果我∈I.莫拉莱斯、塞巴斯蒂安和色雷斯、查尔斯：提交给POMS的政治活动资源分配章程；手稿号。

37附录E：推论1的证明从命题1，我们知道xUB（I*)i=vivI*（1+αI）*) +QAQA+QBγI*-QAQA+QBγi-αi.但是，如果γj=0∈我*（因此，γI*= 0），那么最后的表达式是xUB（I）*)i=vivI*（1+αI）*) -αi（与y类似）。通过替换这个表达式，我们得到xub（I*)i+αixUB（i*)i+αi+yUB（i）*)i+β=1+αi*2+αI*+ βI*是的*)i+βixUB（i*)i+αi+yUB（i）*)i+β=1+βi*2+αI*+ βI*（35）附录F：定理3的证明。混合策略中均衡的存在性源于策略空间的紧性和效用函数的连续性。前一种说法是直接的，而后一种说法是因为候选A的获胜概率是xi上连续函数的积分（见等式（7））。附录G：命题2的证明。为了便于解释，假设x∈ 智力(n） 。让我们做x=h（w）的变换，使hi（w）=ewi/Pj∈Iewj公司. 注意，对于任何x∈ 智力(n） 存在一个w∈ rnx=h（w）；实际上，对于i>1，wi=ln（xi/x）+wf，而wc可以取任意值。然后，我们寻找h（w）在f最大增长方向上的方向导数，即。wf（h（w））。然后，每一次我∈我们有dxi=limt→0hi（w+t）wf（h（w）））-嗨（w）t=whi（w）·wf（h（w））（36），其中·是点积。然后你好wj=wjewiPk∈观察={i=j}ewiPk∈观察--ewiewj主键∈观察= hi（w）（{i=j}-hj（w））=xi（{i=j}-xj）（37）和Fwj=Xk∈我Fxk香港wj=Xk∈我Fxkhk（w）（{k=j}-hj（w））=hj（w）Fxj-Xk∈我Fxkhk（w）！=xjFxj-Xk∈我Fxkxk！=：τxi。（38）莫拉莱斯、塞巴斯蒂安和色雷斯、查尔斯：政治活动的资源分配38篇提交给POMS的文章；将方程（37）和（38）组合成方程（36），我们得到dxi=Xj∈Ixi（{i=j}-xj）τxj=xiτxi-Xj∈Ixjτxj！。附录H：多数系统随机模型的梯度公式让我们表示事件W:=Pi∈IvisAi>Pi∈伊维斯比。

然后RA>RB=Z···Z{W}Yi∈Ifidsi。关于每个候选投资成分xiand yi的衍生工具可计算为：xiPRA>RB= kZ···Z{W}ln（赛）易∈Ifidsi+kzAiZ···Z{W}Yi∈Ifidsi叶RA>RB= kZ···Z{W}ln（sBi）Yi∈Ifidsi+kzBiZ···Z{W}Yi∈Ifidsiwhere zAi=ψ（k（αi+xi+βi+yi+γi））-ψ（k（αi+xi））和zBi=ψ（k（αi+xi+βi+yi+γi））-ψ（k（βi+yi）），其中ψ（·）表示双伽马函数。附录一：命题3Let s={（sAi，sBi，sCi）}ni=1b n个随机变量样本。给定参数（x，y），每个点的密度将表示为fi | x，y（sAi，sBi，sCi）。然后，我们可以在特定的（x+x、 y+y） asfi | x+x、 y+y（sAi，sBi，sCi）=（sAj）k（xj）+xj+αj）-1（sBj）k（yj）+yj+βj）-1（sCj）kγj-1B（k（xj+xj+αj），k（yj+yj+βj），kγj）=（sAj）kxj（sBj）kyj（sAj）k（xj+αj）-1（sBj）k（yj+βj）-1（sCj）kγj-1B（k（xj+xj+αj），k（yj+yj+βj），kγj）=（sAj）kxj（sBj）kyjB（k（xj+αj），k（yj+βj），kγjB（k（xj+xj+αj），k（yj+yj+βj），kγj）fi | x，y（sAi，sBi，sCi）=（sAj）kxj（sBj）k其中Kj=B（k（xj+αj），k（yj+βj），kγj）B（k（xj+xj+αj），k（yj）+yj+βj），kγj）。设K=iKi。然后，我们可以在给定作用（x+x、 y+y） asE（g（S）|x+x、 y+y） =Z··Z()ng（s）×Yjfj | x+x、 y+y（sAj，sBj，sCj）DsajDbjDscj=K×Z··Z()ng（s）×Yj（sAj）kxj（sBj）kyjfj | x，y（sAj，sBj，sCj）dsAjdsBjdsCj=K×Eg（S）×Yj（sAj）Kxj（SBj）kyj | x，y！。莫拉莱斯、塞巴斯蒂安和色雷斯、查尔斯：政治活动的资源分配提交给POMS；第39号手稿附录J：命题4W和V的演示让W和V成为在点（x+x、 y+y） 和（x，y）。如果候选人A在策略（x+x、 y+y） ，否则W=B；对V来说也是如此。

让我们表示p=p（W=A）=p（g（S）|x+x、 y+y） ，q=P（V=A）=P（g（S）|x，y）。注：我们假设p>q。表示函数h（S）=K×Qj（SAj）K×xj（SBj）k×yj。利用总方差定律，我们得到了Var（g（S）|x+x、 y+y） =E[Var（g（S）|x+x、 y+y、 W）]+Var（E[g（S）|x+x、 y+y、 W]）。（39）关于方程（39）的RHS的第一项，我们有[Var（g（S）| x+x、 y+y、 W）]=Var（g（S）|x+x、 y+y、 W=A）P（W=A）+Var（g（S）|x+x、 y+y、 W=B）P（W=B）=Eh（g（S）-E[g（S）|x+x、 y+y、 W=A]）|x+x、 y+y、 W=AiP（W=A）+Eh（g（S）-E[g（S）|x+x、 y+y、 W=B]）|x+x、 y+y、 W=BiP（W=B）=Eh（1）-1） ip+Eh（0-0）我（1）-p） =0·p+0·（1）-p） =0。（40）关于方程（39）的RHS的第二项，我们有Var（E[g（S）|x+x、 y+y、 W]）=（1-E[E[g（S）|x+x、 y+y、 P（W=A）+（0-E[E[g（S）|x+x、 y+y、 P（W=B）=（1-E[g（S）|x+x、 y+y] ）p+（0-E[g（S）|x+x、 y+y] ）（1-p） =（1）-p） p+（0-p） （1）-p） =p（1）-p） 。（41）将方程（40）和（41）组合到方程（39）中，我们得到Var（g（S）|x+x、 y+y） =p（1）-p） 。（42）同样，使用总方差定律，我们得到Var（h（S）g（S）| x，y）=E[Var（h（S）g（S）| x，y，V）]+Var（E[h（S）g（S）| x，y，V]）。（43）关于方程（43）RHS的第一项，我们有[Var（h（S）g（S）| x，y，V）]=Var（h（S）g（S）| x，y，V=A）P（V=A）+Var（h（S）g（S）| x，y，V=B）P（V=B）=Eh（S）g（S）-E[h（S）g（S）|x，y，V=A]）|x，y，V=AiP（V=A）+Eh（h（S）g（S）-E[h（S）g（S）|x，y，V=B]）|x，y，V=BiP（V=B）莫拉莱斯，塞巴斯蒂安和色雷斯，查尔斯：政治活动的资源分配提交给POMS的40篇文章；手稿编号=E“h（S）g（S）-pq|x、 y，V=A#P（V=A）+Eh（h（S）g（S）-0）| x，y，V=BiP（V=B）=E“h（S）-pq|x、 y，V=A#q+Eh（0-0）我（1）-q） >0（44），其中在第三个等式中，我们使用E[h（S）g（S）|x，y，V=A]=1这一事实。

这是真的，因为我们有P=E[h（S）g（S）|x，y]=E[h（S）g（S）|x，y，V=A]P（V=A）+E[h（S）g（S）|x，y，V=B]P（V=B）=E[h（S）g（S）|x，y，V=A]·q+0·（1）-q） =E[h（S）g（S）|x，y，V=A]·q。然后E[h（S）g（S）|x，y，V=A]=pq。关于方程（43）的RHS的第二项，我们有Var（E[h（S）g（S）| x，y，V]）=pq-E[E[h（S）g（S）|x，y，V]]P（V=A）+（0-E[E[h（S）g（S）|x，y，V]]P（V=B）=pq-E[h（S）g（S）|x，y]q+（0-E[h（S）g（S）|x，y]）（1-q）=pq-Pq+（0-p） （1）-q） =ppq-P. （45）将方程（44）和（45）组合到方程（43）中，我们得到var（h（S）g（S）| x，y）>ppq-P> p（1）-p） =Var（g（S）|x+x、 y+y） 。第二个等式是因为我们假设p>q，最后一个等式来自等式（42）。证据到此结束。作为旁注，请注意，我们可以给出一个表达式来计算随机变量h（S）g（S）|x，y的方差，只需在（x，y）点重复使用Dirichlet rv即可。Var（h（S）g（S）|x，y）=E（h（S））（g（S））|x，y-E[h（S）g（S）|x，y]=E（h（S））g（S）|x，y-p（46）附录K：引理1Cov的证明XX+Y，Z= 冠状病毒XX+Y，1-十、-Y= -冠状病毒XX+Y，X+Y= -E[X]+E[X+Y]×EXX+Y= -aa+b+c+a+ba+b+cEXX+Y（47）莫拉莱斯、塞巴斯蒂安和色雷斯、查尔斯：提交给POMS的政治活动资源分配章程；第41号手稿关于EhXX+Yi，我们可以计算这个XX+Y= EX1-Z=ZZ1-zx1-z·fX，Y，z（x，1-十、-z、 z）dxdz=B（a，B，c）ZZ1-zx1-z·xa-1(1 -十、-z） b-1zc-1dxdz=B（a，B，c）Z（1-z）-1zc-1Z1-zxa（1）-十、-z） b-1dxdz=B（a，B，c）Z（1-z） a+b-1zc-1Zua（1-u） b-1dudz=B（a，B）B（a，B，c）Z（1-z） a+b-1zc-1dzZuua-1(1 -u） b-1B（a，b）du=b（a，b）b（a，b，c）·b（a+b，c）·aa+b=Γ（a）Γ（b）Γ（a+b+c）·Γ（a+b+c）Γ（b）Γ（c）·aa+b=aa+b+b（48）在第五等式中，我们使用变量u=x1的变化-Z

将等式（48）替换为等式（47），wegetCovXX+Y，Z= -aa+b+c+a+ba+b+c·aa+b=0显示协方差的结果。为了证明XX+Y~ Beta（a，b），我们计算它的pdf。设W:=XX+Y，然后（X，Y，Z）=（W（1-Z） ，（1）-W）（1）-Z） ，Z）。然后考虑一个w∈（0,1），fW（w）=ZZ1-z{x=wx+w（1-十、-z） }fX，Y，z（x，1）-十、-z、 z）dxdz=ZZ1-zfX，Y，Z（w（1-z） ，（1）-w） （1）-z） ，z）dxdz=z（1）-z） fX，Y，z（w（1-z） ，（1）-w） （1）-z） ，z）dxdz=wa-1(1 -w） b-1·B（a，B，c）·Z（1）-z） a+b-1zc-1dz=wa-1(1 -w） b-1B（a+b，c）b（a，b，c）=wa-1(1 -w） b-1B（a，b）我们在第六等式中使用了b（a，b，c）=b（a，b）·b（a+b，c）。得到的W=XX+y的pdf对应于带有参数（a，b）的贝塔分布，从而得出结论。莫拉莱斯，塞巴斯蒂安和色雷斯，查尔斯：政治竞选资源分配42篇提交给POMS；手稿附录L：定理4的证明。如果候选人在MS下最大化预期投票数，候选人A的目标是E（PiviSAi），或通过线性预期达到等效性（SAi）。如果现在我们假设γ=0，那么E（SAi）=xi+αixi+αi+yi+βi。因此，候选A面临的问题是用x最大化epivxi+αixi+αi+yi+βi∈n、 类似地，candidateB最大化了y的活性Ii+βixi+αi+Ii+βi∈n、 根据EC，候选人A从i区isSAiSAi+SBi获得的预期票数。因为对于每一个i，sai和sbi都是同一个Dirichlet分布的组成部分，所以它的比率通过引理1遵循Beta分布。即SAiSAi+SBi~β（k（xi+αi），k（yi+βi））。然后，如果候选人将预期票数最大化，候选人A的目标是EhpiWisaai+SBii=PiwiEhSAiSAi+SBii=Piwixi+αixi+αi+yi+βi=Piθvixi+αixi+αi+yi+βi和x∈n、 式中θ：=wi/vifor all i（因为我们使用的假设是每个州的选民票数与各自州的普选票数成比例）。

候选人B也是如此，得出结论。附录M：定理5的证明为了便于读者记谱，我们有时将这个证明{X}表示为{X}。此外，为了便于解释，我们只考虑v∈Zn+和Pivis是奇怪的，因此不可能在EC下出现。我们想证明P（|{PivisAi>PivisBi}-{Pivi{sAi>sBi}>Pivi{sAi<sBi}>)K→0→ 任何人都可以 > 0.考虑0< < 1，然后（|{XivisAi>XivisBi}-{Xivi{sAi>sBi}>Xivi{sAi<sBi}})= P（|{XivisAi>Xivi}-{Xivi{sAi>1/2}>Xivi}|>)= P（XivisAi>Xivi>Xivi{sAi>1/2}{z}E）+P（XivisAi<Xivi<Xivi{sAi>1/2}{z}E），其中第一个等式使用无弃权的事实。我们将定义事件E，并展示（i）E∩E、 E=, 和（ii）P（E）→ 1作为k→ 注意，因为（i）它认为P（E）+P（E）+P（E）≤ 因为（ii）必须是P（E）+P（E）→ 0作为k→ 0.对于以下内容，我们将表示sAiassito reduce符号。考虑δ=1/（4Pivi），让我们定义事件Eas E={s∈ [0,1]n:Z∈{0,1}ns。t、 kz-sk∞< δ} 或者等价地E={s∈[0,1]n:|是的-{si>1/2}|<δi} 。为了说明（i），我们将首先讨论E∩E=. 以矛盾为例，我们来看看s∈ E∩然后我们得到了Pivisi>Pivi>Pivi{si>1/2}，相当于Pivisi>Pivi≥Pivi{si>1/2}+1/2 sincePiviis奇数和vitake整数值。从左手侧减去上一表达式的右手侧将导致toPivi（si-{si>1/2}）>1/2。自从∈E、 很容易看出，{si>1/2}={zi>1/2}=z，其中z是距离s最近的“角点”（在{0，1}n中）-{si>1/2}）=Pivi（si-(子)≤皮维|斯- zi |<Piviδ=1/4>1/2，这是一个矛盾。E的证明∩ E= 是类似的，因此省略。为了展示（ii），让我们定义事件Di={s∈[0,1]n |δ≤硅≤1.-δ}. 因此，可以看出sidi=Ec。事实上，如果有一些∈DII对于一些人来说，显然没有z∈{0，1}确保kz-sk<δ。

相反，莫拉莱斯、塞巴斯蒂安和色雷斯、查尔斯：《政治竞选资源分配》提交给POMS；第43号手稿如果有一些手稿∈E、 那么至少有一个分量k，使得kz-sk∞≥δ为所有z∈{0,1}n；然后∈Dk，因此s∈西迪。现在，每个事件的概率可以表示为P（Di）=FSi（1）-δ)-FSi（δ），其中FSi是Si（实际上是SAi）的CDF，其分布为β（k（xi+αi），k（yi+βi））。自从西康维斯托成为伯努利之后→0，也就是P（Di）。然后我们有1个-P（E）=P（Ec）=P[iDi！≤XiP（Di）k→0→ 0.然后P（E）→1作为k→0，因此P（E）+P（E）→0总结证据。附录N：零和博弈作为LPP优化博弈可以表示为：minσBmaxσAσTBPσas。t、 eTAσA=1σA≥0eTBσB=1σB≥注意，（49）maxσAσTBPσAs的内部问题。t、 eTAσA=1σA≥0（50）具有以下二分音符。t、 ueA≥然后，我们可以将（51）替换为（49）中内部问题的原始值，以及getminu，σBus。t、 ueA-PTσB≥0eTBσB=1σB≥0（52），这是一个单独的LP。获得第一参与者均衡策略的LP类似。附录O：权利要求1We havem=nXi=1qxri=qnXi=1xri=q1的证明-nXi=1bqxicq！=Q-nXi=1bqxic=nXi=1（qxi-bqxic），（53）从最后一个等式之前的表达式可以看出，结果是整数的减法，结果是一个整数。从等式（53）的最后一个表达式中，我们可以看到，和边上的所有参数都是非负的，并且严格小于1。因此，总和可以至少为0，且atmost n-1.莫拉莱斯，塞巴斯蒂安和色雷斯，查尔斯：政治活动的资源分配44提交给POMS的文章；手稿号附录P：引理2Let us的证明在算法2中迭代k时，向量w的值表示为w（k），在k次迭代中，与t（k）类似。

在进行（i）和（ii）的演示之前，我们将展示以下引理：引理4。对于算法2的每次迭代k，它认为对于所有h>k，z（k）j6=z（h）jj，其中j是算法2第6行中达到最小条件的成分之一。证据考虑到我们正在使用算法2。我们有一些w（k），我们假设w（k）∈[0,1]nandPni=1w（k）i=m（注意，这是在k=1的情况下完成的，而我们将在k+1的情况下展示这一点）。因为w（k）∈[0，1]nandPni=1w（k）i=m，如果w（k）至少有一个分数分量（这是我们进入算法2循环的有趣情况），那么一定是w（k）最多有n的情况- M- 1个零组件，最多m个-1.带1的组件。然后，算法的第4行强制每个分量i的z（k）i=w（k）i，使得w（k）i∈{0, 1}. 然后，该算法试图找到我们可以从矢量w（k）向w（k）方向移动的最大幅度-z（k）（显然后者不是零，因为w（k）至少有一个分数分量，而z（k）∈{0，1}n）。然后我们寻找t的最大值，使得w（k）+t（w（k）-z（k））∈[0,1]n，这相当于（I）w（k）I+t（w（k）I-z（k）i）≥0和（II）w（k）i+t（w（k）i-z（k）i）≤1对于所有分量i，其中w（k）为分数，因为对于其他分量，右项为零。（一） 相当于两个（k）iz（k）I-w（k）i≥如果z（k）i>w（k）i和w（k）iz（k）i-w（k）i≤如果z（k）i<w（k）i.后一种情况始终成立，那么（i）可以简单地写成asw（k）i1-w（k）i≥t如果z（k）i>w（k）i.至于（II），这等于1-w（k）iw（k）i-z（k）i≤t如果z（k）i>w（k）i，和1-w（k）iw（k）i-z（k）i≥t如果z（k）i<w（k）i，前一种情况可以消除，因为总是存在，那么（II）可以减少到1-w（k）iw（k）i≥如果z（k）i<w（k）i.把（i）和（II）放在一起，我们得到了算法2第6行中t（k）的表达式。