使用面板数据估计治疗效果的精确趋势控制

2022-4-26 14:04:28

假设随机误差在Zi和hi条件下具有零均值。目标是找到w，wJ+1这样，线性组合Pj+1j=2Wjyjt为治疗单元形成了一个合理的反事实比较，同时控制了普通冲击γ和δt的趋势。与Doudchenko和Imbens（2017）不同，我的分析图1：反事实结果的趋势（a）ADH的综合控制未追踪的治疗前结果0 5 10 15 20 303 4 5 6 7周期性外治疗→真实反事实LADH（2010）这篇论文（b）治疗后反事实结果估计的偏差0 5 10 15 20 25 304.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5周期测量→真实的拉德（2010）这张纸条。模拟数据。数据生成过程见附录A.2。ADH（2010）的反事实趋势是使用R软件包Synth发现的。（a）即使在预处理阶段，ADH的反事实结果也与事实相去甚远。（b） ADH的合成控制在治疗前是不稳定的，但治疗后ADH的反事实趋势是严重偏颇的。sis在（1）给出的模型上。也就是说，目标是提供重量w，wJ+1就是这样-PJ+1j=2wjyjt不受模型中γtzian和δthi驱动的混杂趋势影响。识别不是通过算法，而是通过相关随机变量的模型和总体分布。我的方法首先是区分导致趋势异质性的变量和平衡的变量，以增强可比性。

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2022-4-26 14:04:34

当一组变量（如Zi和hi）导致异质性趋势时，应通过硬约束对其进行精确平衡，以避免由于不受控趋势而产生的偏差，因为组分γt、δt、Zi和Hia是固定效应；另一方面，平衡的协变量，如治疗前的结果，不需要精确匹配。文献中忽略了精确匹配Zi和Hi的重要性。正如后面第3节所讨论的，ADH（2010）算法在某种程度上是相关的，但它们的非负性约束是难以理解的。HCW（2012年）基于回归的方法和Doudchenkoand Imbens（2017年）的弹性网方案没有考虑异质趋势γtzian和δthi。忽略其重要性的后果在上面的图1和后面的图4第3.3节中可见。趋势协变量的精确平衡并不能消除正则化的必要性，尤其是当未处理单元的数量J与平衡协变量的数量相当或大于时，就像许多应用中的情况一样。没有正则化，权重矩阵可能无法唯一识别。毫无疑问，所有现有方法都以某种方式实现正则化。ADH（2010）将非负性和加总约束作为硬约束。HCW（2012）根据研究人员的判断选择了一组对照组。Doudchenko和Imbens（2017）实施弹性净处罚。我还考虑了正则化，其中惩罚项是由普通最小二乘法（OLS）驱动的，而不是给定的。我的建议导致了“约束岭”回归及其套索和弹性网络变量，所有这些现在都被计量经济学界广泛接受。本文的其余部分组织如下。第2节介绍了新的估计量，第3节将其与现有估计量进行了比较。

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2022-4-26 14:04:40

最后一节是结束语。所有的证据都集中在附录中，附录中还包括关于建立症状的讨论。整篇论文中，Yt和Ut分别表示Yjt和ujt的J×1向量，表示J≥ 2，即未经处理的单元。权向量（w，…，wJ+1）用w表示，Z是（K+1）×J矩阵（Z，…，zJ+1）。Zi的精确平衡限制写为z=Zw。2估计本节介绍了新的估计量。第2.1节考虑了一个具有公共分量γtzibut且无潜在因素的模型，以激发精确匹配约束z=Zwand正则化。第2.2节考虑了相同的模型，但引入了平衡协变量。第2.3节对具有不可观测公共因子的模型进行了扩展。2.1观察到的异质性趋势首先，考虑（1）中没有hiso的模型，潜在的未治疗结果由yit=ui+γtzi+uit建模，如果模型正确地针对s和t，则uit没有显示系统性趋势≤ T<T，如果是治疗前的最后一个时期，我们有（2）yit- yis=τ1tI（i=1）+（γt- γs）zi+（uit）- i=1，2，J+1，其中I（·）表示指示器功能。在（2）中，为了简单说明，将后处理期t与单个前处理期s进行比较。改为Yist的泛化-1PTs=1Yi或任何其他加权平均值在以下论证中没有重大差异；同样，yitcan也可以用治疗后的平均值代替。通过yit的OLS回归，可以得到τ1tin（2）的一个明显估计量- yisonI（i=1）和Zi使用J+1横截面观察作为样本。

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2022-4-26 14:04:47

因为Dummy变量I（I=1）只有I=1的值为1，所以γt的OLS估计量- γsis也是通过回归yit得到的-伊森·齐伊≥ 2，然后τ1被估计为i=1的预测误差。即γt的OLS估计量- γsis（ZZ）-1Z（Yt）- Ys）和^τ1t=（y1t- y1s）- （Yt）- Ys）Z（ZZ）-1z。带wadenoting Z（ZZ）-1z，这个^τ1t被写为^τ1t=（y1t-y1s）-（Yt）-Ys）wa，即使用YTWA作为构建的对照组的DID估计器。在zi=1的简单情况下，wa中的元素是一致的，即wa=J-1（1，1，…，1），Y是未处理单元的未加权平均值。从这个意义上说，WAGER将未迁移的平均运算符泛化。请注意，wadepends on zionly和s与t的选择无关。权重向量WAT消除了Ziy1T带来的混乱趋势- Ytwabecausey1t- Ytwa=（τ1t+u+γtz+u1t）- （uwa+γtZwa+Utwa）=τ1t+（u- uwa）+（u1t- Utwa），u=（u，…，uJ+1），因此DID估计器^τ1t满足^τ1t=τ1t+[（u1t- u1s）- （犹他州）- 美国）华盛顿州]。我们显然有E（τ1t）=τ1t，因为它是z的函数，zJ+1，假设随机干扰ujt在趋势协变量z，zJ+1。上述并非给出τ1tby DID无偏估计量的唯一权重向量。任何满足z=Zw和E（Utw）=0的w都有效，因为此时y1t- Ytw=（u）- uw）+（u1t- Utw）。考虑到γt的任意性，τ1t的无偏估计需要z=Zw作为最小条件，这是导言中强调的精确平衡约束，最终满足。值得注意的是wa=Z（ZZ）-Zi是受约束极小化的解（3）minwww服从z=Zw。（关于wasolves（3）的证明，请参见附录。）也就是说，WAI是满足z=Zw的最小值（根据欧几里德范数）。

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2022-4-26 14:04:53

在ujt的iid假设下，WA还将构造的反事实结果中的抽样变异性最小化，条件是z，zJ+1，因为非随机w的var（Utw）=σuww。简单地说，在满足z=Zwa的情况下，ytwa随时间的波动最小。讨论yit=ui+γtzi+uit模型的权重w是如何定义的是很微妙的。对于agiven w，设^τ1t（w）=（y1t-Ytw）-（y1s）-Ysw）适用于s≤ T<T，这是使用YTW作为构建的对照组的DID估计量。^τ1t（w）应仅对τ1t无偏的限制并不能确定总体中的w，因为如果J>K+1，则z=Zw和E（ujtw）=0可以满足许多w的要求。例如，当zi=1时，任意J×1的固定数向量加起来等于1，例如均匀权重，不均匀权重，如w=（0.2,0.8,0，…，0），非凸权重，如w=(-0.3, 1.3, 0, . . . , 0），以及其他许多模型，如果模型规格正确，允许ττ1t（w）对τ1t无偏，从而使E（uit | z，…，zJ+1）=0表示所有t。权重wa=z（ZZ）-1zi只是一个特别的选择，它概括了统一权重。在无偏性要求（z=Zw）的基础上，作战需求的识别进一步将（3）中的ww最小化。（3）中ww的一个自然替代方案是“范数kwk=PJ+1j=2 | wj |”，这导致（4）minwkwksubject to z=Zw，这是一个约束的“最小化问题”，也称为基追踪最小化（见Mallat，2009年，第12章）。使用交替方向乘数法（ADMM）的算法可用于该问题（R包ADMM）。

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2022-4-26 14:04:59

最小化问题（4）也可以写成标准二次规划（5）minw+，w-J+1Xj=2（w+J+w-j）受制于z=Zw+- Zw-, w+j≥ 0，w-J≥ 0jbecause w=w+- W-kwk=w++w-对于w+j=max（wj，0）和w-j=-最小值（wj，0）。请注意，“最小化问题不一定有唯一的解决方案（例如，whenzi=1），在这种情况下，我们可以最小化εww+kwkinstead of Kwk，以获得一些小的正常数ε，如10-4实现独特性（见Gains等人，2018年，第863页）。弹性netstyle损失函数1-也可以使用αww+αkwkusing其他α参数值。弹性网络最小化算法可以被实现为一个约束套索，使用αkwkas惩罚，零向量作为响应向量，以及[（1- α） /2]1/2是特征矩阵。有关约束套索的快速算法及其通过Rpackage PACLasso实现的信息，请参见James等人（2019）。给定权重向量w，预测误差y1t中存在系统趋势-除非Ytw太小，否则可以通过在t上回归来测试治疗前的Ytw。如果w是z的函数，…，则不存在“生成回归”问题，zJ+1。此外，两个估计权重向量w（1）和w（2）的相互兼容性可以通过回归Ytw（1）进行测试- t上的Ytw（2）- T、后置和后置（T- T）使用所有观察结果，其中After是T>T的虚拟变量。总体显著性可以解释为模型误判的证据，尽管总体显著性不一定意味着模型规格正确，因为Ut[w（1）-w（2）]不能显示系统性趋势，而有些人仍然可以。如果包含治疗前结果（例如ADH，2010），估计的w不一定是外生的，由此产生的回归问题适用。在这种情况下，测试结果只能作为诊断汇总统计。

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2022-4-26 14:05:05

在所有情况下，由humanintuition使用视觉检查而不是正式测试进行决策是一个很有前途的选择。关于如何呈现估计的反事实结果，如果ZITM不包含预处理因变量，那么Ytw和Y1TMA可能具有系统性的不同水平，就像在标准DID框架中一样。因此，c+Ytw更好地呈现了反事实结果，因此截距c处理了治疗前水平差异。例如，c可以是Y1的平均值- 在治疗前的一段时间内。这种修改不会改变治疗效果的估计，但只会有助于呈现。2.2平衡协变量到目前为止，我们考虑通过施加z=Zw的精确匹配约束来控制由γTZIB驱动的异质趋势。在大多数应用中，zi中非恒定变量的数量K远小于未处理单元的数量J，并且限制Z=Zw不能识别唯一的w。作为识别单个向量的补充手段，我们考虑了最小化w的`、`，或弹性净范数。现在，除了趋势协变量zi，研究人员可能还希望平衡一些其他变量，以追求针对异常值或局部误判的稳健性。典型的平衡协变量包括治疗前的结果或其与治疗前平均值的偏差，同时也可以考虑其他外源性特征，如治疗后的控制。与趋势预测因子zi不同，这些平衡协变量不需要精确匹配。设qi表示此类平衡协变量的m×1向量，例如qi=（yi1，…，yiT），其中m可以大于或小于J。设Q为未处理单元的qi的m×J矩阵，即Q=（Q，…，qJ+1）。

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2022-4-26 14:05:12

匹配寻求使（q-Qw）（q-Qw）尽可能小，这导致（3）到（6）minw（q）的自然扩展- Qw）（q- Qw）+λww取决于用户指定的调谐参数λ的z=zwf≥ 0（如果QQ是单数，则λ>0）。这是qon Q的约束桥（CRIDGE）回归，惩罚λww，约束z=Zw。收缩参数λ与所需匹配质量（相对于幅度ww）成反比。如果λ=0（如果QQ是非奇异的，则允许），我们追求无收缩的最佳匹配。如果λ=∞, 我们放弃了平衡，追求最大收缩率，导致了上一节的失败。有限正λ是一种折衷。在所有情况下，我们都明确施加了z=Zw的限制，因此，由于不同的Zw，导致的异质趋势完全受控。给定λ，（6）的解为（7）^w=wridge+G-1λZ（ZG）-1λZ）-1（z）- Zwridge），Gλ=QQ+λIJ，其中wridge=G-1λqq是无约束岭估计（参见附录中的证明）。请注意，如果λ>0，则Gλ是可逆的，无论QQ是否为，因此，如果Z是全行秩且λ>0，则^w是很好定义的。DID使用YT^w作为构建的对照组，获得了由此产生的治疗效果估计器。^w有一个比（7）更能说明问题的表达式。为了推导它，让我们先从Q和Q中偏出Ziz。精确地说，让B=QZ（ZZ）-1，由Z上Q行的回归得到的OLS估计量矩阵，并设Q=Q- BZ和)q=q- Bz，预测错误。然后将^w分解如下：（8）^w=wa+wb，wa=Z（ZZ）-1z，^wb=（QQ+λI）-1QQ是最大收缩估计量z=Zw和无约束岭估计量^wb的总和，用于平衡与z正交的协变量（在附录中证明）。

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2022-4-26 14:05:19

请注意，如果变量在ridgeregression过程中自动标准化，则（8）不成立，但根据实验，在z=z^w的情况下，是否标准化QI并不关键。参见Doudchenko和Imbens（2017），了解更多关于无约束正常化的信息。通过将（6）中的“norm”替换为平方的“norm ww”，我们得到了约束套索（CLASSO）版本（9）minw（q）- Qw）（q- Qw）+λkwksubject to z=Zw，其中λ再次是用户指定的参数。可以使用快速优化算法（Jameset等人，2019年；另见Gaines等人，2018年）。CRIDGE和CLASSO都缩小了参数，但只有CLASSO实现了变量选择。虽然像（8）这样的简单分解不适用于CLASSO，但修改后的约束lassominw（~q-~Qw）（~q-~Qw）+λkwksubject to z=Zwafter从qand Q中分割出zi与原始问题（9）相同。同样，如果平衡协变量要在优化算法中进行缩放，那么原始变量和分割后的变量自然会给出不同的结果。当通常的约束套索算法失败时，人们可以再次将其修改为名义弹性网范数，如Gaines等人（2018）所言。弹性净目标函数为（q-Qw）（q-Qw）+λ（1）-αww+αkwk），等于套索目标函数（qaug）- Qaugw）（qaug）- Qaugw）+λαkwk，其中qaug=（q，0）和qaug=[q，pλ（1- α） IJ]；参见Gaines等人（2018年）。Doudchenkoand Imbens（2017）提出了选择λ（和α）的交叉验证方法。在尝试了几个不同的λ值之后，我建议通过可视化进行比较。例1。ADH（2010）使用综合控制方法分析了1988年加州烟草控制计划的效果。因变量是香烟消费量。使用7个变量xi=（xi1。

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2022-4-26 14:05:25

，xi7）作为趋势预测因子：对数人均国家个人收入（xi1）、15-24岁人口百分比（xi2）、香烟零售价格（xi3）、人均消费（xi4），所有这些都是1980-1988年期间的平均值，以及三年的滞后吸烟消费（1975、1980和1988）。平衡的协变量是治疗前的结果（1970-1988）。图2（a）绘制了ADH、λ=2的约束脊和λ相同的约束套索的反事实结果，其中zi=（1，xi）和qi=（yi1，…，yiT）。图2（a）表明CRIDGE和CLASSO的治疗效果比ADH小得多。Cridge和CLASSO的结果只是略有不同。《夏至》中的后三个变量包含在子和气中，从子和气中去除它们是无关紧要的。如果我们让zi=1和qi=（xi，yi1，…，yiT）代替，也就是说，如果ADH的七个“预测”变量被用作平衡协变量而不是趋势协变量，那么ADH，CRIDGE和CLASSO的结果都非常相似，如图2（b）所示。结果表明，XI1变量ln（人均GDP）是图2（a）和（b）之间差异的主要驱动力；如果我们让zi=（1，xi1）和qi=（xi2，…，xi7，yi1，…，yiT），得到的趋势接近图2（a）中的趋势。删除重复项（xi5、Xi6和xi7）同样没有什么后果。对于（1）给出的模型，ADH（2010）以不同的方式对待Zi中的常数项和非常数项，其中常数项通过累加约束精确匹配，非常数项以最小化的方式出现。另一方面，我的方法通过精确匹配相同地处理Zi中的所有术语。平衡Qw和Qw是另一个问题；它们被（q）的最小化所匹配- Qw）（q- Qw）无需精确平衡。

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2022-4-26 14:05:31

图2：加利福尼亚州香烟销售趋势（a）1和XI：趋势协变量；哎，Yitf for balling covariates 1970 1975 1980 1985 1990 200040 60 80 100 120年人均卷烟销量（包装）实际加州合成加州ADH（2010）约束脊约束套索（b）1用于趋势协变量；xi，yi1，yiTfor Balling Covariates 1970 1975 1980 1985 1990 200040 60 80 100 120年人均卷烟销量（包装）实际加州合成加州ADH（2010）约束脊约束套索。ADH（2010）数据。（a）趋势协变量为1和xi，其中xi包含ln（人均GDP）、15-24岁的百分比、1988年、1980年和1975年的零售价格、人均啤酒消费量和人均香烟销售额（见ADH，2010年，表1）；平衡协变量（qi）为yi1，耶。（b）只有常数项被用作趋势协变量，所有变量都用于平衡。在（a）和（b）中，对于约束脊和套索，λ=2。趋势协变量和平衡协变量的作用是不同的，这是很自然的，考虑到Zi在模型中是滋扰趋势的驱动因素，并引入QI来增强可比性。关于λ的选择值得一提。如果模型的规格正确，因此UIT没有显示系统趋势，即如果UIT在z上的平均值为零，zJ+1对于所有t，则任何满足z=Zw的w都将消除y1t中混杂的系统趋势-Ytw。在这种情况下，λ的选择在原则上不会有太大区别。另一方面，y1t的系统性-治疗前的Ytw将是部分i或所有i的模型可能规格的证据，在这种情况下，匹配变量（如预治疗结果）有望缓解问题。

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2022-4-26 14:05:37

由于较大的λ会恶化匹配质量并增加Ytw的可变性，因此在保持Qw和Qw之间的差异在容许范围内的同时增大λ是一种可接受的做法。从理论上讲，可接受性通常对人眼来说是清楚的，因为在预处理阶段，Y1和Ysw的时间序列可以进行直观的比较，而不存在困难。此外，对于给定数据，经过训练的收缩估计量在λ上是连续的（λ=0时除外，QQ可能是奇异的），λ的微小变化只会导致YTW趋势的微小变化。2.3不可观察因素到目前为止，我们认为（1）中的情况为空。在许多应用中，几个变量足以作为趋势异质性的驱动力。此外，滞后因变量的软匹配往往会消除不可观测公共因子的必要性。然而，在某些情况下，研究人员可能希望考虑不可观察的hi，尤其是在没有可观察的趋势协变量可用的情况下。在本节中，我们将讨论如何处理hi。因为他的趋势是异质性的，所以同样有必要让手部Hw精确平衡，其中H=（H，…，hJ+1）。但这是不可行的，因为没有观察到。ADH（2010）将h=Hw替换为所有s的y1s=Ysw的充分条件≤ T、这是不可能实现的，除非它小于J。但即使J足够大，可以容纳所有s的y1s=yswf≤ T、 ADH（2010）引入的WJI的非负性并不一定同时保证EZ=Zw和y1s=Ysw。图1说明了不利示例。当它们不被观察到时，一个明显的策略是估计它们，而不是试图绕道而行。如果ˇhidenotes hiandˇH=（ˇH。

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2022-4-26 14:05:43

，ˇhJ+1），相应的优化问题是minw（q）- Qw）（q- Qw）+λww受制于z=Zw和ˇh=ˇHw。总的1+K+r约束条件通常由非空参数ifJ>K+1+r满足，这在通常的应用中是成立的。如果J太小，研究人员会尝试减少K或r或两者；与应用中未处理机组的数量相比，有更多的共同因素是不明智的。估算HI的一种简便方法是使用预处理数据的最小二乘法：最小u，。。。，uJ+1γ，。。。，γTδ，。。。，δTh，。。。，hJ+1J+1Xi=1TXt=1（yit- ui- γtzi- δthi），或以矩阵符号表示*,Γ，F，H*trn（Y）*- 1u*0- ΓZ*- δH*)（Y）*- 1u*0- ΓZ*- δH*)o、 Y在哪里*是i=1，…，的T×（J+1）矩阵，J+1（列）和t=1，T（行），u*是μi的（J+1）×1向量，i=1，J+1，Γ=（γ，…，γT），Z*= （z，z），δ=（δ，…，δT）和H*= （h，h）。集中损失函数为（10）minF，H*trn（我的*MZ*0- MδH*MZ*0）（我的*MZ*0- MδH*MZ*0）o，其中M=IT- T-1和MZ*0=I- Z*0（Z）*Z*0)-1Z*. 让A=我的*MZ*0.A中的公因子估计为：√T有时，与r最大特征值相对应的A的正态特征向量，以及相关的因子载荷估计器为（~h，~hJ+1）=T-1δA，其中δ是估计公因数的矩阵。注意，估计的公因数对应于Mδ，而不是δ本身，估计的因子载荷对应于H+*=H*MZ*0=H*-H*Z*0（Z）*Z*0)-1Z*= [h，h]-H*Z*0（Z）*Z*0)-1[z，z]而不是H*它本身但是，考虑到z=Zw，我们有h=Hw当且仅当h+=h+w，其中h+*= [h+，h+]。因此，我们可以在约束脊、套索和弹性网络优化中使用估计的因子载荷。尽管h+和h+^w由于+Hian和h+i（旋转后）的差异而不完全平衡，但约束估计向量^w满足z=z^w和+h=^h^w，而不是h+=h+w或h=h^w，这是令人讨厌的。

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2022-4-26 14:05:49

因此，y- Yt^w仍然包含一个剩余的趋势项，如y所示- Yt^w=（u）- ^w）+δt（h- H^w）+（u1t- Ut^w）。但是，考虑到z=z^w和h=~h^w，我们有δt（h- H^w）=δtB-1[（Bh+-~h）- （BH+-~H）^w]例2。对于ADH（2010）中的应用，再次让xibe计算ADH（2010）使用的七个预测变量，如例1所示。在对Yita进行了时间上的贬低和横截面上的分割之后，让＠hibe表示在Yita中发现的双因素载荷向量（1，xi）。如果我们让zi=（1，xi）和qi=（yi1，…，yiT），那么图3（a）中给出了使用hias额外趋势预测因子估计的反事实结果，这与图2（a）中的结果非常相似。另一方面，如果qi=（xi，yi1，…，yiT），zi只包含1，并且它包含了在时间和横截面减损后的四个估计因子载荷（没有xipartialed out），那么CRIDGE和CLASSO结果与图3（b）中所示的ADH合成对照非常相似，就像图2（b）一样。改变ZI是重要的，但在本例中，控制估算的隐藏因子负荷并没有太大的区别。在这个练习中，估计的因子负荷很好地解释了治疗前的结果。如表1所示，当xiare的七个变量中的每一个都在（b）部分中发现的四个估计因子负荷上回归时，前四个对照组的R平方较低，后三个对照组的R平方非常高（滞后结果）。当r增加到10时，结果保持稳定。

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2022-4-26 14:05:55

这表明，只有当qior-Zi包含一些治疗前结果时，隐藏因素的作用才是有限的。如果观察到一些共同因素（例如，偶然的线性或二次趋势），则可以通过用适当的投影矩阵替换（10）中的Mmatrix来划分这些因素。例如，如果yit=γtzi+gtui+δthi+uit，其中gt是可观察的，固定效应在gtui中，那么Mis将被替换为M[1，g]，例如，其中g=（g，…，gt）。最后，共同因素的数量r可以由研究人员从外部选择，或使用自动选择程序。我推荐前一种方法。具体而言，从零开始增加rstarting并绘制估计的反事实结果，将使研究人员清楚地了解随着模型中允许更多隐藏因素，结果如何变化。3与现有估计器的比较本节将新方法与ADH（2010）、HCW（2012）和Doudchenko andImbens（2017）进行比较。图3：加利福尼亚州的卷烟销售趋势（a）zi=（1，xi），qi=（yi1，…，yiT）和r=21970 1975 1980 1985 1990 200040 60 80 100 120年人均卷烟销售（包装）ADH（2010）约束脊约束套索（b）zi=1，qi=（xi，yi1，…，yiT），r=41970 1975 1980 1985 1990 1995 200040 60 80 100 120年人均卷烟销量（包装）实际加州合成加州ADH（2010）约束脊约束拉索诺特。调谐参数λ设置为2。在（b）中，r被选择为4，因为与治疗前结果相比，有四个预测因子。

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何人来此

2022-4-26 14:06:01

将r改为2几乎没有区别。表1：预测变量R平方n（人均GDP）a0的R平方。348%的人年龄在15岁至24岁之间。106零售价a0。538人均能源消耗量。人均390支香烟1988年人均0.987支香烟1980年人均0.992支香烟1975年人均0.995支香烟注。样本量为J+1=39，解释变量为通过应用于横截面和时间性降低的治疗前结果的最小二乘法获得的估计因子负荷。1980年至1988年的平均值；b1984–1988年平均值。3.1与ADH（2010）的比较ADH（2010）的综合控制算法包括两层优化，我称之为“内部”和“外部”优化循环。内环为给定的Vby最小化（z）找到一个最优^w（V）- Zw）V（z）- Zw）受累加和非负性约束（本小节简称为“ADH约束”），外环通过最小化pts=1[y1s]找到最佳对角正半定义V- Y^w（V）]。最终权重估计器为^w=^w（^V）。ADH（2010）还讨论了使用用户指定的V。对于给定的V，如果存在同时满足ADH约束和精确平衡条件z=Zw的w，则内环损耗函数（z-Zw）V（z）-Zw）在这样的w下达到零。然而，即使在这种情况下，通常也无法识别唯一的w，因为约束在w中是线性的。例如，如果z=0，则为标量，且（z，z，z，z）=(-2.-1，1，2），任何对称核，如w=（，，，），w=（0，，，，0）等，使内部优化循环的损失函数最小化。在这种情况下，将通过用于优化的数值程序任意选择特定权重。

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2022-4-26 14:06:07

相比之下，如果没有同时满足ADH约束和精确平衡条件的算法，则ADH算法将确保精确平衡以遵守ADH约束。如反复讨论的那样，图1显示了放弃精确平衡以保存ADH约束的后果。V-权重由外环最小化确定，以平衡预处理结果。（如果使用固定的V，平衡治疗前的结果无关紧要。）对于最终选择的^V，无论它是外环优化的结果还是间接给定的，解^w=^w（^V）不必是唯一的，也不必满足z=z^w。值得注意的是，V的选择与z=z^w（V）无关，因为V是由只涉及预处理结果的外环选择的。例如，如果某些V允许z=z^w（V），而其他V不允许，则ADH算法不一定选择允许z=z^w（V）的算法，因为CEV由最小化PTS=1[y1s]确定- Ys^w（V）]，这不一定使[z]最小化- Z^w（V）][Z- Z^w（V）]。非负性和累加约束为从业者提供了有吸引力的解释，但其好处伴随着不平凡的成本。首先，ADH（2010）的两层优化程序可能无法收敛，或给出了次优的综合控制选择。例如，Abadie和Gardeazabal（2003）在对西班牙政治动荡的研究中发现了0.851×加泰罗尼亚+0.149×马德里的“合成巴斯克”。但一项彻底的调查表明，采用0.633×卡塔鲁纳+0.148×马德里+0.219×巴勒阿雷斯的替代综合巴斯克可以获得较低的均方根预测误差。（找到这个权重向量需要更直接地使用卡鲁什-库恩-塔克定理。

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何人来此

2022-4-26 14:06:13

Stata“synth”软件包和R“synth”软件包均未识别该合成控件。）这表明，研究人员不应过度相信估计的w权重的意义。第二个问题涉及非负性，而且更微妙。非负性约束可能违反z=Zw，即RJ+∩{w:z=Zw}=, 在这种情况下，y1t的趋势-Ytwdue to z-如果w被迫处于RJ+，Zw可能会混淆治疗效果。非负性的重要性可能会引起争议，但值得注意的是，zandZw之间的差异可能会导致y1t中不可忽略的混淆趋势-而消极的情绪会影响记忆。如果你愿意，非负性限制可以通过，例如，训练的lassominw+，w-kq- Qw++Qw-k+λJ+1Xj=2（w+J+κw-j），对于一些大的正κ，受z=Zw的约束+-Zw-, w+j≥ 0和w-J≥ 0表示所有j，它修改了（5）的广义版本。如果硬非负性与z=Zw不兼容，则上述软非负性将允许某些j的wwj<0，但将尽量使wja接近非负域。然而，这种益处看起来很小，因为如果一些WJAR是负面的，那么附加在非负面性上的吸引力解释就失去了。3.2与HCW（2012）的比较HCW（2012）采用另一种方法，使用预处理观察值对选定的未处理单元子集的1吨Yt进行回归，以估计截距c和斜率因子w。然后，反事实结果形成为t>t的^c+Yt^w，其中^c和^w是OLS估计器。正如Li和Bell（2017）得出的，该估计值在平均平稳性下得到了验证。如果未观察到的趋势显示出平均非平稳性，HCW（2012）的方法需要改进。为了了解偏见的来源及其补救措施，让我们举一个zi=1的简单例子。

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2022-4-26 14:06:20

考虑OLS估计器^c和^w，估计的治疗效果为（11）^τ1t=y1t- ^c- Yt^w=τ1t+¨γt（1- 1^w）+δt（h- Hw）+（u1t-¨Ut^w），其中¨γt-γt- ¨γpre，¨δt=δt-\'\'δpre，¨u1t=u1t- \'u1、pre和¨Ut=Ut-“Upre，带有”ξpredenoting-对于变量ξt，1PTt=1ξt。对于t，1吨的OLS回归≤ t由于¨γt（1），可能会给出该模型的^τ1的系统偏差-1^w）等术语，因为所述OLS回归不能保证^wp-→ 1.这种失败的根源实际上是内生性。下面的例子3证明了^w<1渐近（如T→ ∞) 如果Y1在YTT上回归≤ t对于zi=1且hi为空的模型，因此趋势（γt）的系统性变化可能会混淆治疗效果。例3。考虑模型yit=ui+γt+uit，其中γ皮重是常见的时间效应。让我们变得渺小→ ∞ 如HCW（2012）所述。OLS斜率估计值^w来自使用预处理观察值的1吨Yt回归，为^w=（YMY）-1YMy=[（γ1+U）M（γ1+U）]-1（γ1+U）M（γ+U）=（σγ+SU）-11σγ+op（1），其中yi=（yi1，…，yiT），Y=（Y，…，yJ+1），M=IT- T-1，U是J的T×J矩阵≥ 2和t≤ T、 γ=（γ，…，γT），σγ=plim T-1γMγ，SU=plimT-1亩。因此，当J固定时，^w=σγ（σγ+SU）-11+op（1）=σγS-1U1+σγS-1U+op（1），这意味着（12）1- 1^wp-→ （1+σγS）-1U1）-1> 0.在存在共同时间效应γt的情况下，估计的^τ1t（^w）系统地依赖于¨γt（1）- 1^w），如（11）和（12）所示。没有γt的平均平稳性，这确保了¨γt≈ 0，^τ1t（^w）系统地偏离τ1t。这个问题的一个显而易见的解决方案是，对例3中的casezi=1施加1w=1的限制，而对一般的zi施加z=Zw的限制，这正是我们的精确平衡约束。如果hi在（1）中为非空，则可以估计hic，并且可以按照第2.3节中的解释添加h=hw的约束。

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大多数88

2022-4-26 14:06:26

因为公共因子的数量通常是最小的，所以几乎可以肯定存在一些满足限制条件的w向量。这种改进的HCW方法是本文提出的约束岭回归的一种特例，对应于λ=0。上述约束OLS易于实现，但它需要T>J-K-1.如果有许多未经治疗的单位（J大），HCW（2012）根据研究者的判断，事先选择一个足够小的子集，这有时是武断的，但只要提供合理的解释，通常是可以接受的。z=Zw和h=Hw的约束总是至关重要的。3.3 Doudchenko和Imbens（2017）弹性netDoudchenko和Imbens（2017）建议将弹性净损失函数pts=1（y1t）最小化-C- Ytw）+λ（1）-αkwk+αkwk）无约束。他们的提议（弹性网络和无约束）可以理解为ADH（2010）的修改，也可以理解为CW（2012）对弹性网络框架的修改。当信号在治疗前阶段很强，以至于观察到的治疗前结果的匹配能够充分处理趋势时，这种弹性净解决方案可能会很好地工作（尽管由于第3.2节中解释的内生性原因，偏差可能仍然存在），但除此之外，没有设备可以控制治疗后阶段结果的异质趋势。让我们举个数字例子。图4通过将Doudchenko和Imbens（2017）的建议应用于图1中考虑的两个模拟数据集而获得。弹性净混合参数设置为α=0.9（接近套索），调谐参数为λ=0.01，该值提供了视觉上有吸引力的预处理匹配；较大的λ值（如0.1和1）在再现治疗前结果的趋势方面较差。在治疗后阶段，两组数据的结果都不一致，这似乎是由于第3.2节讨论的内生性偏差。

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2022-4-26 14:06:31

将1w=1作为常见时间的硬限制控制图4：由Doudchenko和Imbens（2017）构建的趋势（a）图1（a）0 5 10 15 20 25 303 4 5 7周期外处理的数据→图1（b）0 5 10 15 20 25 304.5 5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5周期测量的真实反事实杜德琴科和伊本斯（2017）克里奇（b）数据→真正的反事实杜德琴科和伊本斯（2017）CRIDGENote。图1中使用的模拟数据。Doudchenko和Imbens（2010）的反事实趋势是使用R包glmnet获得的，没有标准化，包括截距。弹性净混合参数为α=0.9，λ参数设置为0.01。对于（a）和（b），Doudchenko和Imbens的方法低估了治疗后的反事实结果。对于更一般的模型，effects和z=Zw给出了本文建议的弹性网络版本。值得注意的是，Doudchenko和Imbens（2017）并未提及明确的模型；看他们的介绍。换句话说，他们的目的不是控制（1）等模型的异质性趋势，而是基于治疗前结果的正则化匹配（通过正则化识别）来估计反事实趋势。4 ADH（2010）考虑的模型（1）的结论，通过对趋势变量（模型中的Zi和Hi）和其他平衡协变量（本文中的Qi）进行不同处理，我提出了治疗效果的新估计。在没有对时变系数（模型中的γ和δ）进行进一步假设的情况下，准确平衡趋势预测因子作为硬约束，对于正确处理由趋势协变量驱动的异质趋势至关重要。图1和图4展示了使精确匹配变软的顺序，其中所有现存的估计量在没有隐藏因子的情况下，对（1）生成的数据表现出妥协行为。

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2022-4-26 14:06:38

本文中提出的新估计方法效果良好。参考文献Sabadie，A.，A.Diamond和J.Hainmueller（2010）。比较案例研究的综合控制方法：评估加州烟草控制计划的效果，美国统计协会杂志105（490），493–505。Abadie，A.和J.Gardeazabal（2003年）。冲突的经济成本：巴斯克国家的案例研究，《美国经济评论》93（1），113–132。N.杜德琴科和G.W.伊本斯（2017年）。平衡、回归、差异和综合控制方法：综合，arXiv 1610.07748v2，2017年9月20日。Gaines，B.R.，J.Kim和H.Zhou（2018）。约束套索拟合算法，计算和图形统计日志27（4），861–871。L.戈比隆和T.麦格纳克（2016年）。区域政策评估：互动固定效应和综合控制，经济和统计回顾98（3），535–551。萧，C.，程汉生和万世凯（2012）。项目评估的面板数据方法：中国大陆香港政治经济一体化测度，应用计量经济学杂志27, 705—740。James，G.M.，C.Paulson和P.Rusmevichienton（2019年）。惩罚和约束优化：高维网站广告的应用，美国统计协会杂志，DOI:10.1080/01621459.2019.1609970。李克泰和D.R.贝尔（2017）。用面板数据估计平均治疗效果：渐进理论与实施，计量经济学杂志197，65–75。马拉特，S.（2009）。《信号处理的小波之旅：稀疏方式》，学术出版社，爱思唯尔。附录。（3）的数学证明。拉格朗日函数为L=ww+u（z-Zw）。一阶条件为（i）wa=Z^u和（ii）Z=Zwa。条件（i）意味着Zwa=ZZ^u，即z=ZZ^u，因此^u=（ZZ）-1z。

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2022-4-26 14:06:45

通过将其替换回（i），我们得到了wa=Z（ZZ）-1z。顺便说一句，我们也可以直接证明，在Zw=z的条件下，wa使ww最小化。对于任何满足z=Zw的ws，我们都有ww-wawa=ww-z（ZZ）-1z=ww-wZ（ZZ）-1Zw=w[I- Z（ZZ）-1Z]w≥ 0因为我- Z（ZZ）-1Z是正半定义。证据（7）。（6）isL的拉格朗日函数=（q）- Qw）（q- Qw）+λww+ `（z）- Zw），其中`是拉格朗日乘子的向量。一阶条件为（i）Gλ^w-Qq- Z^`=0，其中Gλ=QQ+λIJ，和（ii）Z=Z^w。从（i）开始，我们有（i）^w=^wridge+G-1λZ^`，其中^wridge=G-1λQq，无约束岭估计。预乘z并替换（ii）得到z=zwridge+ZG-1λZ^`，这意味着^`=（ZG-1λZ）0-1·（z）- Z~扭动）。将其替换回（i）得到（7）。证明（8）。给定约束条件z=Zw，q- Qw=~q-~Qw表示~q=q- BzandQ=Q- 因此，（6）的解与minw（q）的解相同-~Qw）（~q-~Qw）受制于z=Zw。选择B=QZ（ZZ）-1，我们有ZQ=0。让＠Gλ=＠Q＠Q+λI，我们有＠G-1λ=λI-λQ（~QQ+λIm）-1~Q，这意味着Z~G-1λ=λZand Zwridge=ZG-1λQQ=λZQQ=0。结果如下（7）。A.2数据生成过程用于生成图1（A）的数据通过以下方式生成：γt0=0.5sin（1+1.5πt/t）+2t/t，γtk=(-1） k-1×0.6 cos(-0.2π对数k+2πt/t），k=1，K、齐克- i/J+k，zik~ iid N（0,1），ui=\'zi- i/J+ui，ui~ iid N（0，1），uit=0.1uit，uit=0.2uit-1+u*它，你*信息技术~ iid N（0,1），用户界面，-10=0，yit=ui+γt0+γtzi+uit，i=1，J、 t=1，上面我们设置了J=38、T=20、T=10、T=T+T=30和K=4，类似于ADH（2010）中的应用。数据由R生成，初始随机种子设置为55。这是引言中图1（a）的数据生成过程。

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2022-4-26 14:06:52

如果γs设置为γt，则≤ t在生成γTis后，因此在预处理期间没有明显的趋势，我们有图1（b）的数据。产生的未经治疗的结果见图5。A.3关于渐近性的讨论本附录展示了如何使用无hi的模型（1）的约束岭估计建立平均治疗效果（ATE）估计的渐近性，即yit=ui+γtzi+uit。设c=（c，c），其中cadd的非正元素-1和T（=T- T） cadd的非负元素最多为1。DIDis^τ=c（y）的ATE估计量- Y^w），其中yi=（yi1，…，yiT），Y=（Y，…，yJ+1），且^w是约束桥估计量。c的一个明显选择是c=-T-1（1，…，1）和c=T-1（1，…，1），这导致toTTXt=T+1（y1t- Yt^w）-TTXs=1（y1s- Ys^w）。让真正的ATE由τ=PTt=T+1ctτ1t定义。既然z=z^w，我们就有了^τ=’τ+c（u- U^w），图5：模拟未治疗结果（a）图1的趋势（a）0 5 10 15 20 25 30-2 0 2 4 6周期结果（b）图1（b）0 5 10 15 20 25 300 2 4 6周期结果的趋势注。在每幅图中，深色线代表治疗单元，灰色线代表37个未治疗单元。其中ui=（ui1，…，uiT）和U=（U，…，uJ+1）。我们假设cj=O（T-1j）和Tj→ ∞ 对于j=0，1，上述平均算子满足。注意cc=T-1+T-1和最小值（T，T）≤ （cc）-1.≤ 如果CJ=T，最小值（T，T）-1j。在进一步假设E（uiui）的最大特征值一致有界的情况下，我们得到了CUIP-→ 每个i为0，因为E（cui）=0和var（cui）=cE（uiui）c=O（cc）→ 也就是说，对于每个i，cui=Op（kck），其中kck=（cc）1/2。当J固定时，cU^w=Op（kck），因为^w收敛，因此^τ- τ=Op（kck）p-→ 0.J增加的情况更难处理。写cU^w=（^wc）所以（cU^w）=（w）c） vec（U）vec（U）（^w）c）。

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