单轮雇佣直到现在，我们从规则是否满足我们在前几节中介绍的理想属性的角度来评估规则：聚合独立性、尊重少数群体权利和少数群体公平性。虽然我们的分析侧重于可能涉及多轮招聘的招聘，但人们可能会想，如果在单轮招聘中进行招聘，这些问题是否会出现。聚合独立性的属性并不意味着与单轮招聘有关的任何内容。正如我们在第5节中提到的，由于尊重少数群体权利和少数群体自由的属性只有在满足任何轮数的条件时才能满足，因此，他们满足的规则也将满足他们在单轮雇佣中的要求。对于法国的政策来说，结果不会改变。备注3。假设，如命题2所示，M* W*, 对于每一个w，w′∈ M*,播种>播种\'<==> sDw>sDw′。法国转让规则的政策1不尊重静态少数人权利，政策2尊重静态少数人权利，是静态少数人公平的。资料来源：新南威尔士州消防与救援局(https://www.Fire。新南威尔士州。gov.au/pag e.php？id=9126）从一批工人中招聘19接下来，考虑（顺序）使用少数民族储备。当只有一轮招聘时，该规则满足了所有需要的特征。此外，正如我们在第5节中提到的，当有一轮招聘时，它相当于随后调整的少数民族储备。备注4。少数民族保留地的（顺序）使用尊重静态少数民族权利，是静态少数民族公平。在单一雇佣模式下，少数族裔储备的问题并不存在。如例1所示，问题在于少数群体公平性要求，只有当少数群体候选人在雇佣人数中所占的比例低于m时，才给予他们对称的优先权。

少数群体权利的连续使用“拉卡记忆”，即它总是将这种不对称的优先权给予少数群体工人，而不管考虑到过去的雇佣情况，还需要多少。当只有一轮招聘时，这不是问题。关于巴西规则，决定其特征的变量是k，也就是说，W中的工人数量将被放入t M和O组。要看到这一点，让q是单轮招聘中的雇佣人数，让moreoverk=q。人们可以很容易地验证，将进行的招聘与（顺序）使用少数民族储备所进行的招聘相同。另一方面，如果k>q，我们可以得到如例4所示的情况。因此：备注5。让QQ成为使用巴西规则的一轮雇佣人数。如果k=q，则该规则尊重静态少数群体权利，是静态少数群体公平的。如果k>q，则该规则尊重静态少数群体权利，但不是静态少数群体公平。最后，由于新南威尔士州规则的负面结果基于单轮投票，我们有以下评论：评论6。当只有一轮招聘时，新南威尔士州的规定是不公平的。如果其中一种性别被视为少数民族，那么它尊重静态少数民族权利，但不是静态少数民族公平。8.多个机构虽然我们描述的招聘流程通常涉及一个或多个职位的单一工作规范，因此申请者或储备名单通常用于该职位，但在许多情况下，我们在第1节中提到的多个地区之间共享一个工人库，例如，法国和巴西公共部门的大多数招聘，要求使用功绩表和后备名单的顺序。

虽然对于一些职位，如警察，很自然地会认为工人可能会与不同的地点相匹配，但许多其他职位则更为具体，不会导致多个职位共享一个候选人库。例如，在一个只有一家医院的市政府中雇佣具有特定专业的医生，在国有企业中只在总部工作的经济学家的角色，初级外交职业，等等，从20个机构或地点的员工库中雇佣。例如，在巴西联邦政策的招聘过程中，工人可能被分配到不同的地点。在新西兰警方的选拔过程中，在决定从人才库中雇佣的工人将前往哪个地区时，候选人的偏好也会被考虑在内：“候选人库不是一个等待名单。最强的候选人总是根据地区的需要和优先顺序选择的。被征召上大学所需的时间取决于你个人的实力和你喜欢的地区的警察招募要求。（……）我们会考虑让你进入你喜欢的地区，但你也可以选择在另一个最需要招聘人员的地区工作。”在本节中，我们将评估More than一家机构雇佣工人这一事实对基本理想财产可获得性的影响。现在，除了一组工人W，还有一组机构I={I，…，Il}, 我在哪里≥ 3.各机构制定雇佣顺序，雇佣过程中不存在同时性：在每一个机构中，只有一个机构可以雇佣工人。因此，当我们描述一轮谈判时，我们不仅要确定雇佣了多少工人，还要确定这些工人将被分配到哪个机构。

因此，需要一些额外的符号。匹配的u是来自I的函数∪ W到I的子集∪ W，例如：u（W）∈ 我∪ {} 和|u（w）|=每个工人1，ou（i） 对于每个机构i，ou（W）=i当且仅当W∈ u（i）。每轮结束时，r≥ 1.我们将工人与机构的匹配定义为函数ur。雇佣的复数序列∧是一组配对（i，q），其中i∈ 一、 q是雇佣的工人数量。例如，雇佣∧=h（i，3）、（i，2）、（i，2）i的复数序列表示在第一轮机构中我雇佣了三名工人，在第二轮机构中我雇佣了两名工人，然后在第三轮机构中我雇佣了两名工人。因此，当考虑在多个机构进行招聘时，可以将规则概括为产生匹配而不是分配。给定一组工人W、一个初始匹配u和一个复数雇佣序列∧=h（i，q），（i，q），（ik，qk）i，雇佣规则Φ是从一组制度规则（Φi）i中衍生出来的∈我会返回匹配结果，并结合所有机构规则。也就是说，如果Φ（W，u，λ）=u，那么u（i）=Φi（W，u，λ）。资料来源：巴西联邦警察局。资料来源：新西兰警方(https://www.newcops.co.nz/recruitment-process/candidate-po2018年3月8日访问。我们滥用符号，认为u（w）是I的n元素，而不是I元素的集合。在给定w和一些匹配的ut的情况下，从工人池中招聘-1，Φi（W，ut）-1，h（i，q）i） W\\Si∈我不能-1（i）。也就是说，它选择的工人来自W，他们还没有与t地区的某个机构匹配-1.此外：ΦiW、 u，λ=k[t=1ΦiW、 ut-1，h（it，qt）i对于任何t>0，匹配的ut使得对于所有i6=it，ut（i）=ut-1（i），但ut（it）=ut-1（it）∪Φit（W，ut）-1，h（it，qt）i）。

我们假设Φi（W，u，h（i′，q）i）= 每当我6=i′。也就是说，一个机构不能“为另一个机构雇佣”。我们还假设如果u和u′是这样的∪我∈Iu（I）=∪我∈Iu′（I）和u（I）*) = u′（i）*), 然后我*（W，u，h（i）*, q） i=Φi*（W，u′，h（i）*, q） i）。那是一个我喜欢的机构*’公司的雇佣决定可能取决于尚未雇佣的员工和i公司已经雇佣的员工*, 但不取决于被其他机构雇佣的工人的身份。让我们做一个匹配的人∈ 一、 u（i） =. 我们用Φi（W，λ）和Φ（W，λ）表示Φi的值W、 u, Λ和ΦW、 u, Λ. 最后，我们滥用符号，如果∧=h（i，q），（i，q），（ik，qk）i，我们可以用旋转h∧（i）附加雇佣的复数序列*, Q*)我≡ h（i，q），（i，q），（ik，qk），（i）*, Q*)i、 下面的例子阐明了这些观点。例6。考虑一组工人W={W，W，W，W，W}，分数sW=（100，90，80，50，20），一组机构I={I，I，I}，让Φ成为一条规则，在任何一轮中，将得分最高的工人与该轮中的机构匹配。如果∧=h（i，1），（i，2），（i，1）i，则每轮结束时产生的匹配u，u和u为：u=iiiw !u=iiiw {w，w}！u=iii{w，w} {w，w}！当存在多个机构时，我们将考虑规则的两个属性。第一个与工人的愿望有关。定义7。如果存在工人w，则规则Φ满足公共顶部*∈ 就这样，对于我所认识的每一个机构∈ 一、 w*∈ Φi（W，h（i，1）i）。换句话说，p的共同点是，每个机构至少要有一名员工，在任何时候都可以雇佣。接下来，我们考虑的是一个薄弱的概念，即各机构雇佣的员工之间的一致性。定义8。

如果对于任意复数的hires∧序列及其元素σ（λ）的任意置换，Si∈IΦI（W，λ）=Si∈IΦI（W，σ（λ））。因此，置换独立性只是要求，如果我们调整雇佣顺序，雇佣的工人无论在哪里都不应该改变。我们还通过要求每个机构的规则是聚合独立的，从而使聚合独立的概念适用于多个机构。定义9。如果对于任何q，规则Φ是聚合独立的≥ Q≥ 0，工作组W，机构i∈ 一、 和mat-chingu，ΦI（W，u，h（I，q）I）=ΦI（W，u，h（I，q），（I，q）- q） i）。我们将在下一个结果中使用的一系列规则是基本的，但也是非常有限的。如果存在严格的排名，则规则为单一优先级 当∧是至少两个不同机构雇佣的任何复数序列时∈ I：ΦI（W，h∧，（I，q）I）=ΦI（W，q）∪最大尿流率W \\Φi（W，λ），其中，给定一个集合X，maxqX是关于排序的X的顶部q元素的集合. 换句话说，如果一个以上的机构进行招聘时，所有机构的所有招聘都包括招聘顶尖员工，而所有这些机构都有一个共同的排名，那么一条规则就是单一优先级。下面的结果表明，对于广泛的应用，拥有多个机构与决策者可能拥有的大多数目标是不相容的。定理3。当且仅当规则是单一优先级规则时，规则满足公共顶、聚合独立性和置换独立性。理论3从根本上说是一个消极的结果。研究表明，聚集性和排列独立性这两个可以说是简单可取的特征，在评估这些候选人时，与遵循不同标准的机构不兼容。

即使所有机构的员工得分相同，但机构的m值（必须雇佣的少数族裔的比例）可能不同，这也是事实。然而，请注意，如果组成目标被解释为适用于这些机构雇佣的全部员工，那么我们可以简化使用第5节中定义的顺序调整少数民族保留地，每次机构想要雇佣给定数量的员工。该过程满足聚合不依赖性，且与置换无关。此外，它满足了尊重少数群体权利和少数群体公平的自然适应。它不适用于工人是否被某一特定机构雇佣，而是适用于在某一机构被雇佣。例如，I={I，I}，W={W，W，W，W}，M={W，W，W}，sw>sw>sw>sw>sw>sw，这两个机构的M值分别为M=0.5和M=0。如果两个机构都使用顺序调整的少数民族保留地，并且我雇佣了两名工人，同时也雇佣了两名工人，则工人被雇佣，而wis不雇佣。如果订单是我先招聘，那么wis被雇佣，wis不被雇佣。对排列独立性的侵犯。从一批工人中招聘239人。结论在本文中，我们评估了一种在世界各地广泛使用的招聘方法，尤其是在公共部门的工作中，机构会在一段时间内选择符合条件的员工。虽然顺序优先的简单自然规则满足了所有需要的特征，但增加了组合目标，如有效的行动政策，增加了程序的复杂性。我们证明了在实际招聘过程中使用的规则，以及少数储备的直接应用、失败公平性或聚合独立性。

当组合目标可以被建模为少数民族的有效行动时，我们引入的顺序调整的少数民族储备是满足理想属性的唯一解决方案。然而，如果多个机构从同一批申请人中招聘，我们表明，当强制执行独立性的最低要求时，机构之间不同招聘标准的空间受到了高度限制。参考Abdulkadiroglu，A.（2005年）。采取积极行动的大学招生。《国际博弈论杂志》，33（4），535-549。Abdulkadiroglu，A.和S"onmez，T.（2003年）。学校选择：一种机制设计方法。《美国经济评论》，93（3），729-747。Aygün，O.和Bo，I.（2013）。多元储备的大学录取：巴西积极行动案例。技术代表，Mimeo。1.6.2,6.2,22艾根，O.和Bó，I.（哈科明堡）。多元特权的大学入学：巴西积极行动案例。美国经济杂志：微观经济学。1.1Bo，I.（2016年）。公平实施学校选择的多样性。游戏与经济行为，97,54-63。Bugarin，M.和Meneguin，F.B.（2016）。激励腐败和不公正的公共政策：麦加尼斯莫斯的德森霍分析报告。（公务员腐败和不作为的激励：一种机制设计方法，英文摘要）。《经济分析》第46（1）页，第43-89.1.1页，美国，帕塔克，P.A.和S"onmez，T.（2020）。明确与统计目标的有效行动：芝加哥考试学校的理论与证据。《经济理论杂志》，187104996.1.1Chenique，F.和Yenmez，M.B.（2015年）。如何控制学校选择。《美国经济评论》，105（8），2679-2694。10，4.1Ergin，H.I.（2002年）。根据优先级有效分配资源。《计量经济学》，70（6），2489-2497。

1.1从欧盟24名员工中招聘（2015年）。管理公开比赛的一般规则。《欧盟官方期刊》，58，C70 A/01。Hafalir，E.Yenmez，M.B.和Yildirim，M.A.（2013）。有效的学校选择行动。理论经济学，8（2），325–363.1.1，4.1，5Klaus，B.和Klijn，F.（2013）。studentplacement的本地和全局一致性属性。《数学经济学杂志》，49（3），222-229。1.1Kojima，F.（2012年）。学校选择：积极行动是不可能的。《游戏与经济行为》，75（2），685–693.1.1S"onmez，T.，Yenmez，M.B.等（2019）。通过纵向和横向保留在印度采取积极行动。未出版的《美眉》。1.1Sundell，A.（2014年）。正式的公务员考试是招聘公务员的最具英才的方式吗？并非所有国家都如此。公共管理，92（2），440–457.1.1Tadenuma，K.和Thomson，W.（1991）。不——在商品不可分割的经济体中，嫉妒和一致性。计量经济学：计量经济学学会杂志，1755-1767.1.1页，西弗吉尼亚州霍姆森（1990年）。一致性原则。博弈论与应用，187215。1.1— (1994). 当偏好达到峰值时，公平分配问题的一致解决方案。《经济理论杂志》，63（2），219–245.1.1规则错误描述的附录。对于本节中的描述，请考虑给定的一组W工人，一组M工人 W少数民族工人，一组以前雇佣的工人，雇佣顺序qr=hq，q，qki和一个分数文件sW。顺序优先级（SP规则）。第一轮：让W=W。战争中得分最高的工人被选中。设A为所选工人的集合，其中每个w∈ A和每个w\'∈ W\\Awe有sw>sw′，和| A |=q。k>1轮：让Wk=Wk-1\\Ak-1.选择WK中得分最高的qkworkersin。

让AK成为所选工人的集合，其中每个工人∈ Akand和每个w′∈ Wk\\Akwe有sw>sw′，和| Ak |=qk。SP规则选择的分配为SP（W，hq，…，qri）=[a≤拉阿。顺序调整少数民族储量（SA规则）。第1轮：从员工池中招聘25步骤1.1：让W1,1=W，M1,1=M∩ W1,1和q1,1=m×q. 选择M1,1中得分最高的最低{q1,1，| M1,1 |工人。设A1,1为所选工人的集合，其中A1,1 M1,1。步骤1.2：设W1,2=W1,1\\A1,1，M1,2=M∩W1,2和q1,2=q-|A1,1 |。选择了W1,2中得分最高的q1,2工人。让A1,2成为选定工人的集合。k>1轮：步骤k.1：让我们一起工作，1=Wk-1,2\\Ak-1,2，Mk，1=M∩（工作）-1,2\\Ak-1,2）和qk，1=最小{max{m-ω（A1,2）++ω（Ak）-1,2）qk，0}×qk，|Mk，1 |. 得分最高的qk，Mk的1名工人，1被选中。让Ak成为一组经过挑选的工人。步骤k.2：让Wk，2=Wk，1\\Ak，1，Mk，2=M∩Wk，2和qk，2=qk-|Ak，1 |。得分最高的qk，2名工人从Wk，2名工人中选出。让Ak，2成为选定的工人。SA规则选择的分配为SA（W，A，hq，…，qri）=[A≤里∈{1,2}Aa，即少数民族保护区的顺序使用（SM规则）。第1轮：步骤1.1：设W1,1=W，M1,1=M∩ W1,1和q1,1=m×q. 得分最高的min{q1,1，| M1,1 |工人从M1,1中选出。让A1,1成为所选工人的集合。步骤1.2：设W1,2=W\\A1,1，M1,2=M∩ W1,2和q1,2=q-|A1,1 |。得分最高的q1,2工人从W1,2中选出。让1,2成为所选工人的集合。k>1轮：步骤k.1：让我们一起工作，1=Wk-1,2\\Ak-1,2，Mk，1=M∩ （工作）-1,2\\Ak-1,2）和qk，1=m×qk. 从Mk中选出得分最高的min{qk，1，| Mk，1 |工人。让Ak成为一组被选中的工人。步骤k.2：让Wk，2=W\\Ak，1，Mk，2=M∩Wk，2和qk，2=qk-|Ak，1 |。得分最高的qk，2名来自Wk的工人，2名被选中。

让Ak，2成为选定的工人。由SM规则产生的赋值为φSM（W，qr）=[a≤里∈{1,2}Aa，即巴西赋值规则（B规则）。该规则首先确定了一个较大的数字k（大于待填补空缺的总数，但不大于| W |）。然后确定了两个组：（i）T M，这是从26名工人中挑选出的k×M少数民族的集合：T M M和| T M |=k×m 每一个w∈ T和每个w\'∈ M\\T M，我们有sw>sw′和（ii）O，这是具有顶部k（1）的集合- m） 工人是指那些在（i）中没有被选中的人，也就是说： W\\TM以至于| O |=k（1）- m） 对于每个w∈ Oand w\'∈ W \\（O）∪ 我们有sw>sw′。每轮a内≤ r、 我们有两个步骤。第1轮：步骤1.1：设O1,1=O，T M1,1=T M和q1,1=m×q. 得分最高的min{q1,1，| T M1,1 |}少数民族工人从T M1,1中选出。让1,1成为选定工人的集合。步骤1.2：设O1,2=O1,1，T M1,2=T M\\A1,1和q1,2=q- |A1,1 |。得分最高的q1,2工人从O1,2中选出。让1,2成为这组选定的工人。轮k>1：步骤k.1：让Ok，1=Ok-1,2\\Ak-1,2，tmk，1=tmk-1,2和qk，1=m×qk. 得分最高的min{qk，1，| T Mk，1 |少数民族工人从T Mk，1中选出。让Ak成为一组被选中的工人。步骤k.2：让Ok，2=Ok，1，T Mk，2=T M\\Ak，1和qk，2=qk- |Ak，1 |。得分最高的qk，2名工人从Ok，2中选出。LetAk，2是一组经过挑选的工人。由B规则产生的赋值为φB（W，qr）=[a≤里∈{1,2}Aa，即法语赋值规则（F规则）。让m成为残疾人的目标比例，让它成为公开竞争中工人的不屑回报，让sDWbe成为残疾人竞争中工人的得分回报。第一轮：策略1：设W1,1=W，M1,1=M∩ W1,1。就母猪而言，从W1,1中选择最高等级的{q1,1，| W1,1 |}工人。

让我们对所选工人集进行排序。策略2：设W1,1=W，M1,1=M。最低得分最高{(1 -m） ×q1,1, |M1,1 |工人，关于sDW，从M1,1中选择。让A1,1成为这一步中选择的一组工人。然后是得分最高的min{m×q1,1, |W1,1\\A1,1 |工人，关于母猪，从W1,1\\A1,1中选出。设A1,2为该步骤中选定的工人集，A=A1,1∪ A1,2。第k轮>第1轮：从一群工人中招聘27步k.1：让我们工作，1=工作-1,2\\Ak-1,2，T Ak，1=Sk-1i=1Ai。设qk，1=minnmaxnm×Pki=1qi- ω（tak，1），0o，|Mk，1 | o。关于sDW，得分最高的qk，1工人从Mk，1中选出。让Ak，1这一步中选择的一组工人。步骤k.2：让Wk，2=Wk，1\\Ak，1和qk，2=qk- |Ak，1 |。就母猪而言，得分最高的qk，2工人从Wk，2中选出。让Ak，2b为所选工人的集合，Ak=Ak，1∪ Ak，2岁。由F规则产生的赋值为φF（W，qr）=[a≤拉阿。证据。主张的证明1。例1表明，少数民族保护区的顺序使用既不独立，也不公平。为了确保它尊重少数民族权利，请注意，每次雇佣q族工人时，其中至少有m×q族工人。因此，在任何地点雇佣的工人中，至少有m的比例是m，因此该规则尊重少数群体的权利。理论证明1。首先，我们表明SA规则尊重少数群体的权利和公平性。根据定义，SA规则尊重少数群体权利，在每轮k的步骤k.1 o，选择少数群体工人以满足该轮的最低要求。请注意，当少数族裔员工不足时，SA会选择所有可用的少数族裔员工。现在，我们证明了这个规则是公平的。让我们≡ §SA（W，hq，…，qri）是针对问题做出的选择。

我们想为每个w，w′显示（i）∈ W\\M，如果W∈ A和w′/∈ A、 然后sw>sw′，（ii）foreach w，w′∈ M、 如果w∈ A和w′/∈ A、 然后sw>sw′。（iii）每个w∈ W\\M和W′∈ M、 如果sw<sw′和w∈ A、 然后是w′∈ A、 （iv）如果有∈ W\\M和W′∈ w为sw>sw′，w为/∈ A和w′∈ A、 然后ω（A）/|A |≤ m、 首先要注意的是，案例（i）、（ii）和（iii）在每一轮k的步骤k.1中都很简单，规则选择m中得分最高的工人，并在步骤k.2中选择得分最高的工人。为了矛盾，假设有w∈ W\\M和W′∈ M带sw>sw′，w/∈ A和w\'∈ A、 但是ω（A）/|A |>m。请注意，在k的任何一个步骤k.2都不能选择w′，因为w也会被选择。唯一选择候选W′的情况是在步骤中l.一轮l. 由于sw>sw′，w/∈ A和w′∈ A、 然后| topq（W）∩M |<M×q，其中q=Pa≤rqa。因此，在最后一轮r的步骤r.1，即雇佣分数较低的少数民族工人而不是分数较高的非少数民族工人的唯一方法是满足少数民族的要求。如前所述，工人w’是在第二步雇佣的l.一轮l, 只有少数民族才能进行选择。从一批工人中招聘28a选择，以便|（[A<ri∈{1,2}Aia）∪ Ak |=m×q.自| topq（W）∩M |<M×q，我们有∩ M=. 因此，我们得到| A∩ M |=M×q，这与我们的假设相矛盾。在下一部分中，我们需要介绍一些概念。首先，我们会说，给定一组工人W，少数民族工人M W，得分比例sW，q≥ 0和m≥ 0，一组W* 如果*满足当П尊重静态少数民族权利（定义5）时，П（W，hqi）必须满足的相同条件。

类似地，一组W* 如果W是少数民族*满足当ν是静态少数群体公平（定义6）时，（W，hqi）必须满足的相同条件。为了证明，如果一个规则是少数族裔f air，并且尊重少数族裔权利，那么它就是SA规则，我们证明，对于任何给定数量的雇佣工人q，只有一组这样规模的工人是少数族裔公平的，并且尊重少数族裔权利。引理1。对于一组给定的工人W，少数民族工人M W，得分比例W，q≥ 0和m≥ 0，在l y上存在一个集合W* 尊重少数群体权利，少数群体公平吗*| = q、 证据。首先，注意少数公平性的属性（i）意味着*它包含机顶盒ω（W*)（M） 也就是顶部ω（W*) 最高的轻蔑工人在M和设置topq-ω（W）*)（W\\M），q- ω（W）*) 在W\\M中得分最高的工人，都是在sW方面。假设t在这里是W，这是矛盾的 W和W W，其中Wand Wrespect少数民族权利和少数民族公平，|W |=|W |=q，W6=W。首先注意，如果| M |<M×q，尊重少数民族权利意味着 魔杖M 此外，少数群体公平意味着topq-|M |（W\\M） 旺托普-|M |（W\\M） 但是然后W=W，一个矛盾。因此| M |≥ m×q.接下来，注意少数公平性意味着ω（W）6=ω（W）。要看到这一点，请注意如果ω（W）=ω（W）=m*, 托普*（M） W、 topq-M*（W\\M） W、 托普*（M）W、 和topq-M*（W\\M） 但这意味着W=W，这是一个矛盾。现在假设ω（W）>ω（W），在不损失一般性的情况下。自负序性权ω（W）≥ m×q，因此ω（W）>ω（W）≥ 因此，有一个工人w*∈ W\\M以至于*∈ 魔杖w*6.∈ W、 还有一个工人W*∈ 那是什么*∈ 魔杖w*6.∈ 我们有两个案例需要考虑。首先，假设sw*> 西南*. 这将违反少数民族公平，因为m（W）>m×q和W*6.∈ W

那一定是那样*> 西南*. 但是，由于Wis少数族裔公平，条件（ii）意味着w*∈ W、 A传统。因此，我们得出结论，W6=Wis为假，证明了唯一性。从一群工人中雇佣29因为SA规则尊重少数群体的权利并且是少数群体公平的，lemma1暗示这是唯一这样的规则。Theo rem2的证据。让~n成为一个静态少数群体公平、满足静态少数群体权利、独立于集团的规则。让λ*无论雇佣顺序如何。接下来我们将对λ中的轮进行归纳*. 首先，基础hqi：从引理1开始，这里是一个独特的集合W 这是少数民族的公平和尊重少数民族的权利。和SAare均为静态少数群体，公平且尊重静态少数群体权利。因此，φ（W，hqi）=φSA（W，hqi）=W。对于诱导步骤，假设φ（W，hq，q，…，q）li） =~nSA（W，hq，q，…，qli） 。由于~n是独立于聚合的，因此以下情况是正确的：~n（W，hq，q，…，qli） =ψ（W，h qi），其中q=Pli=1qi。设H=~n（W，hqi）。此外，φ的聚合独立性意味着：φ（W，hqi）∪ ~n（西、西、总部）l+1i）=~n（W，hq+ql+1i）(*)由于~n和~nSAare均为静态少数民族，且公平且尊重静态少数民族权利，因此我们的上述主张意味着~n（W，hqi）=~nSA（W，hqi）和~n（W，hq+q）l+1i）=~nSA（W，hq+q）l+1i）。由于工人不能被雇佣超过一次，所以（W，hqi）∩ ~n（西、西、总部）l+1i）=.因此，有一个唯一的值，即φ（W，H，hql+1）这满足了平等(*)上面，这意味着ψ（W，H，hql+1i）=~nSA（西、西、总部）l+1i），因此：ψ（W，hq，q，…，ql, Ql+1i）=~nSA（W，hq，q，…，q）l, Ql+1）完成我们的证明。命题的证明2。让我们*= {w，w，w，w，w}得分sW=（50,40,30,20,10）。为了简单起见，我们将使用m=0.5。首先考虑案例M*= {w，w}。如果q=2，则φF（{W*, M*} , q） ={w，w}，这无法满足少数群体的权利。现在考虑一下M的情况*= {w，w}。

考虑两种可能性：q=q=2和q=4。然后是φF（{W*, M*} , hq，qi）={w，w，w}但аF（{w*, M*} , q） ={w，w，w，w}，违反聚合独立性。很容易看出，在给定的假设下，政策2产生的规则相当于顺序调整少数民族储备规则。因此，法国转让规则的政策2尊重少数人的权利，是聚合独立的，并且是最小公平的。从一群员工中招聘30%的员工，以证明他们的提议。我们将表明，巴西的规则尊重少数群体的权利，是独立的，但不公平。根据假设，总共雇佣的工人不超过k人。因此，对于任何一轮雇佣的q员工来说，至少应该有q×m T M和q的少数民族工人- q×m 因此，巴西人规则充当两个平行的顺序优先级规则：一个在TM中，一个在O中。因此，两者的组合显然是聚合独立的。接下来，请注意，由于对k的值的假设，| M |≥ m×Pti=1qi。而且，对于任何q∈ {q，…，qt}至少有q×m T M中的少数民族工人，ω（ω（W，hq，…，qti））≥ m×Pqiand通过对k的假设，|~n（W，hq，…，qti）|=Pqithereforeω（ω（W，hq，…，qti））/||||（W，hq，…，qti）|≥ m、 这意味着巴西人尊重少数民族的权利。最后，示例4表明该规则不是minorityfair。命题的证明。例5显示新南威尔士州的规则既不公平也不少数。

此外，由于在我们的研究结果中，我们假设男性和女性的数量始终足够大，新南威尔士州由两个平行的顺序优先雇佣（一个是正规的，另一个是女性工人）组成，因此满足了群体的独立性。最后，它尊重少数群体的权利，因为雇佣的男女工人数量始终相同。理论证明3。满足公共顶、聚合独立性和排列独立性的单优先级规则显而易见。用单个雇佣的顺序表示形式∧=h（i，1）、（i，1）、（i，1）、（i，1）的雇佣的复数顺序。i、 也就是说，任何机构在任何一轮中的每一次雇佣都只包括一名工人。权利要求1。设W是一组工人，Φ是一个满足公共顶部和排列独立性的规则。存在一个排名*在W上，使得对于任意序列的单h i环∧，Φ（W，λ）=Φ*（W，λ），其中Φ*是使用的单一优先级规则*.证据我们将通过归纳法证明雇佣人数的复数顺序。也就是说，我们将证明存在排名*, 不受其顺序的影响，即后面跟Φ作为单个优先级。在证明的剩余步骤中，给出了集合W和规则Φ，对于任意复数的hires∧序列，我们将使用符号{∧}来表示集合i∈IΦI（W，λ）。也就是说，{∧}是在雇佣顺序∧之后，由Φ下的某个机构雇佣的W中的工人的集合。由于我们将只考虑单个雇佣，我们将把雇佣的多个序列表示为机构序列，并使用hi，i。我呈现h（i，1），（i，1）。

.i.从工人池中雇佣31我们将使用（PI）表示我们使用Φ的置换独立性，（AI）表示我们使用聚合独立性，以及（CT）表示commontop。此外，我们将使用（P*）表示我们正在使用以下事实：If∧，和i∈ I是这样的：{∧}={∧}和ΦI（W，λ）=ΦI（W，λ），然后ΦI（W，h∧，ii）=ΦI（W，h∧，ii）。也就是说，如果∧和∧是这样的机构，我雇佣了同一组工人，并且在雇佣的两个复数序列中，所有雇佣之后剩余的一组工人是相同的，那么我会在∧和∧之后雇佣相同的工人。这直接来自于雇佣规则Φi的定义。入职基数入职基数是指在至少有两家机构雇佣的情况下，雇佣人数最少的情况。因此∧等于2。假设这个说法是不真实的。也就是说，可能有多个雇佣者和两个雇佣者的序列，这不能用排名来解释*超过W。这意味着有∧6=∧，其中∧=hi，ii，和{∧}6={∧}。由于雇佣顺序至少涉及两个机构，i6=i和i6=i。由于∧6=i，有两种情况需要考虑：（i）i6=i，和（ii）i6=i。考虑（i）。通过（π），{hi，ii}={hi，ii}。通过（P*），（CT）和f作用，i6=i，{hi，ii}={hi，ii}。通过（π），{hi，ii}={hi，ii}。通过（P*），（CT）和i6=i，{hi，ii}={hi，ii}的事实。但是{hi，ii}={hi，ii}，一个矛盾。对于情况（ii），（PI）意味着{hi，ii}={hi，ii}和{hi，ii}={hi，ii}，这使得这个情况等价于（i）。归纳步骤我们现在假设，对于每一个雇佣序列∧，使得∧|≤ k、 这条规定是根据排名而定的*. 我们将使用（IA）来表示我们正在使用这个假设。现在假设这个说法不成立。

也就是说，存在单个雇佣∧，的序列，使得∧| |=|∧|=k，以及机构i，i∈ 一、 其中{h∧，ii}6={h∧，ii}。有两种情况需要考虑。案例（i）：i6=i.让∧成为一个单方雇佣的序列，这样：o|∧a |=ko我在∧中雇佣的轮数与我在∧中雇佣的轮数完全相同，如果有的话。o对于我不雇佣的轮：–让我在我不雇佣的第一轮中雇佣机构（注意，这必须存在，因为∧至少有两个机构雇佣了人）。-让ibe在∧a（如果有）的每一轮中招聘机构。因此，从32In∧A的工人池中雇佣，如果有，由i雇佣，与∧相同，只有一个由i雇佣，其余的雇佣，如果有，由i雇佣。由（IA）和（P*），{h∧，ii}={h∧A，ii}。接下来，让∧bbe与∧a完全相同，除了iis被i.替换为（PI），{h∧a，ii}=h∧b，ii.请注意，∧b包含iin∧的所有雇佣，除了i的一个额外雇佣。i∧的所有其他雇佣。也就是说，iin∧b没有雇佣。接下来，让∧中的∧ca雇佣顺序与∧中的雇佣顺序完全相同，除了：o我在∧中雇佣的每一轮，雇佣由iinstead进行，o用t表示*我在∧中没有雇佣的第一轮。请注意，这一点必须存在，因为∧至少有两个机构雇佣了员工。让我在t轮中发火*在∧辛斯特德。因此，请注意，（IA）和（P*）没有从iin∧c.雇佣，h∧b，ii= {h∧c，ii}。接下来，让∧dbe正好是a s∧c，除了iin圆t*被i替换为（PI），{h∧c，ii}=h∧d，ii. 请注意，我在∧中所雇佣的轮数与∧中所雇佣的轮数完全相同，因此，（P*）和（IA）意味着iin h∧d，ii的最后雇佣与h∧，ii相同。

不仅如此，（IA）还意味着前k名员工中雇佣的员工是相同的，因此h∧d，ii= {h∧，ii}，意味着{h∧，ii}={h∧，ii}，这是一个矛盾。案例（ii）：i=i。我们将在以下步骤中使用三个机构：i，ia，ib，其中i=i=i，and i 6=ia6=ib。让∧abe一系列的单次雇佣，这样∧a |=k，我在∧雇佣的轮数与我在∧a雇佣的轮数完全相同，如果有的话。此外，让IB成为我在∧中没有雇佣的第一轮机构雇佣（请注意，这必须存在，因为∧至少有两个机构雇佣），并在每轮机构雇佣中（如果有）。通过（IA）和（P*），{h∧，ii}={h∧a，ii}。接下来，让∧bbe与∧a完全相同，用i.by（PI），{h∧a，ii}替换ibis所在的单个位置=h∧b，ibi.接下来，让∧cbe与∧完全相同，除了ib的每一次雇佣，如果有的话，都是由i来代替的。此外，让我成为ib在∧中不雇佣的第一轮机构雇佣（注意，这必须存在，因为∧至少有两个机构雇佣）。用t表示这一轮*. 因此，请注意，（IA）和（P*）没有从ibin∧c.雇佣员工，h∧b，ibi= {h∧c，ibi}。接下来，让∧dbe与∧c完全相同，除了t轮中的i*被（PI），{h∧c，ibi}=h∧d，ii.请注意，我在∧中雇佣的轮数与∧中雇佣的轮数完全相同，因此，（P*）和（IA）意味着i在h∧d，ii中的最后一次雇佣与inh∧，ii相同。不仅如此，（IA）还意味着，从33名员工中雇佣的前k名员工的集合是相同的，因此th∧d，ii= {h∧，ii}，意味着{h∧，ii}={h∧，ii}，这是一个矛盾。最后，设∧=h（i，q），（i，q），（ik，qk）我可以是雇佣和雇佣的任意复数序列*成为一条满足共同顶部、排列独立性和聚合依赖性的规则。

作者（AI）：Φ*（W，λ）=Φ*W、 h（i，1），（i，1）{z}qtimes，（ik，1），（ik，1）|{z}qktimesi也就是说，聚合独立性意味着机构的每一位员工都可以分为单个员工，而不需要逐个更换所选择的员工。因此，我们的上述主张意味着*必须是单一优先级，完成我们的证明。请注意，聚合独立性的属性适用于任何初始匹配。