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我还在我的RKHS结构中描述了霍尔德的连续性。A.1完整性首先重新检查完整性条件。我在正文中介绍了另外一个不必要的RKH：一个用于未观察到的混淆U的标量值RKH，用HU表示。定义条件平均嵌入uu（d，x，z）：=Rφ（u）P（u | d，x，z）。结果表明，完整性可以用平均嵌入集{uu（d，x，z）}的跨度来表示∈ D、 x∈ 十、 还有z∈ Z.我将正则性条件放在这个额外的RKH上，类似于假设4.1。假设A.1（RKHS正则条件）。假设1。ku是连续且有界的：supu∈Ukφ（u）kHY≤ κu2。φ（u）是可测量的。kUis特征连续性、有界性和可测性是常用核满足的弱条件。该性质保证了平均嵌入q7的内射性→Rφ（u）Q，与P（u | d，x，z）的RKHS表示uu（d，x，z）的唯一性有关[Sriperumbudur等人，2010]。命题A.1（完整性）。假设A.1成立。对于任何函数f∈ HU，E[f（U）| D=D，X=X，Z=Z]=0（d，x，z）<==> f=0相当于要求的闭包（span{uu（d，x，z）}）=HU。换句话说，d的平均嵌入集{uu（d，x，z）}的跨度∈ D、 x∈ 十、 安兹∈ Z必须覆盖整个RKHS HU。直观地说，模型中观察到的变量相对于未观察到的混杂因素的可变性必须有足够的可变性。在假设A.1中，我假设内核是有界的。这个假设有几个含义。首先，特征图是Boch-ner可积的[Steinwart and Christmann，2008，定义A.5.20]。Bochner可积性允许交换期望和内积。其次，平均嵌入存在。

通过复制性质y[f（U）| D=D，X=X，Z=Z]=Zf（U）P（U | D，X，Z）=Zhf，φ（U）iHUP（U | D，X，Z）=f、 Zφ（u）P（u | d，x，Z）HU=hf，uu（d，x，z）i表示希尔伯特空间，hf，f iHU=0<==> f=0。在此之前，我要求的条件是∈ 胡f∈ span{uu（d，x，z）}。A.2存在下一步我重新审视存在条件。回想一下γ（d，x，z）：=E[Y | d=d，x=x，z=z]。假设，γ∈ HRF，所以可以表示为γ=P∞j=1γ0，j·k RFj，其中{k RFj}构成LRF的非正态基。如果E:h（·，·，·）7→ 当E[h（D，X，W）|D=·，X=·，Z=·]的奇异值分解{（ηj，j，RFj）}存在时，E[h（D，X，W）|D=·，X=·，Z=·]是Lto LRF中的紧致算子，其中{ηj}是奇异值，{j}是严格的奇异函数，{RFj}是左奇异函数。命题A.2（存在）。假设E:L→ LRFis公司。算子方程γ（d，x，z）=E[h（d，x，W）| d=d，x=x，z=z]存在一个解，当且仅当if1。完整性：对于任何函数g∈ LZ，E[g（Z）| D=D，X=X，W=W]=0（d、x、w）<==> g=02。惩罚平方和：P∞j=1γ0，jηj<∞证据我验证了Picard定理[Kress，1989，定理15.18]的条件，并对[Miao等人，2018，命题1]进行了修改。E是紧凑的。根据假设，E是紧的。因为它是比较的，所以它的可数谱是明确的[Kress，1989，定理15.16]。γ∈ N（E）*)⊥.我证明了完全性意味着零spa c e N（e*) = 0.具体而言，考虑到∈ N（E）*). 通过定义零空间0=E*g=E[g（D，X，Z）| D=D，X=X，W=W]=E[g（D，X，Z）| D=D，X=X，W=W]因此，通过c完全性，对于任何固定的（D，X），g（D，X，Z）作为f的函数为零。我认为g=0。e N（e）*)⊥= 轻铁。

在RKHS建设中，我们已经假设了γ∈ HRF 轻铁。3.P∞j=1[hγ，νRFjiHRF]ηj<∞.注意，hγ，νRFjiHRF=*∞Xj=1γ0，j·RFj，RFj+HRF=γ0，jt得出结论，诉诸于该假设。A.3霍尔德连续性最后，我利用标量核的性质来验证霍尔德连续性。命题5.1的证明。在假设4.1中，我假设标量核是有界的。这个假设有几个含义。首先，特征图是Bochner可积的[Steinwart and Christmann，2008，定义A.5.20]。Boc-hner可积性允许期望和内积的交换。其次，存在平均嵌入。第三，乘积核也是不存在的，因此张量积RKHS继承了这些有利的性质。1.根据定义，Ohm（u（d，x，z），u（d′，x′，z′）=hu（d，x，z），u（d′，x′，z′）iH=Z[φ（d）φ（x） φ（w）]P（w|d，x，z），z[φ（d′） φ（x′）φ（w′）]P（w′|d′，x′，z′）H=Zhφ（d）φ（x） φ（w），φ（d′）φ（x′） φ（w′）iHP（w|d，x，z）P（w′d′，x′，z′）=k（d，d′）k（x，x′）Zk（w，w′）P（w|d，x，z）P（w′d′，x′，z′）2。为了减轻符号的重量，le tA:=kOhm（·，u（d，x，z））- Ohm（·，u（d′，x′，z′）kHOhmB:=ku（d，x，z）-u（d′，x′，z′）kHThenA=Ohm（u（d，x，z），u（d，x，z））- 2.Ohm（u（d，x，z），u（d′，x′，z′）+Ohm（u（d′，x′，z′），u（d′，x′，z′）=hu（d，x，z），u（d，x，z）iH- 2hu（d，x，z），u（d′，x′，z′）iH+hu（d′，x′，z′），u（d′，x′，z′）iH=BB识别命题3.1的证明。他的定义是γ=Eh的解，该解存在，并且在假设3.2中是唯一的。简化形式γ（d，x，z）=E[Y | d=d，x=x，z=z]是相同的，因为P（Y | d，x，z）在假设3.3中是不变的。第一阶段操作员E:h（·，·，·）7→由于P（W | D，X，Z）在假设3.3中是无变异的，因此E[h（D，X，W）| D=·X=·Z=·在不同人群中也是相同的。B.1提案。假设定理3.1的条件成立。对于θcate，用（v，x）代替x。证据

我推广了[Miao等人，2018年，定理1]。假设3.1YZ | U，D，XWD，Z |U，前者是指γ（d，x，x，x，x，z）的意思，前者是指γ（d，x，x，x，x，x，x，x，z）的意思，前者是指γ（d，x，x，x，x，x，x，z）P（u，x，x，x，z）P（u，x，d，d，x，x，x，z）=E（Y，u，u，u，u，u，u，d，d，x，x，x，x，x，x，z，z，z）的x，z，z，z，z=ZZZP（w，u，u，u，u，u，u，u，u，u，u，u，u，u，u，u，u，u，u，u，u，u，u，d，d，d，d，d，x，x，x，x，x，x，x，x，x，x，x，z）ZZZP（w，z）因此通过复数[Y | u，d，x]=Zh（d，x，w）P（w | d，x，z）=Zh（d，x，w）=Zh（d，x，w）P（w | u，x）P（u | d，x，z）定理3.1的（w | u，x）证明。我证明了每个结果，符合假设3.1和命题B.11。θAT EE[Y（d）]=ZE[Y（d）|u，x]P（u，x）=ZE[Y（d）|d，u，x]P（u，x）=ZE[Y | d，u，x]P（u，x）=Zh（d，x，w）P（w，u，x）=Zh。θDSE-P[Y（d）]=ZE-P[Y（d）|u，x]-P（u，x）=ZE-P[Y（d）|d，u，x]-P（u，x）=ZE-P[Y | d，u，x]-P（u，x）~P（w | u，x）~P（u，x）=Zh。（d）d，u，x）P（d，x（d，x）d（d）d（d）d）d，u，x）P（u，x（d，x）d）d）d）=（Y（d（d）d（d），u，x，x（d，x）P（d，x，x）P（d（d（d，d）d）d（d（d，d，d），d，d）d（d，d，d，d，x，x，x）P（d）d（d，x，x）d）T（d）T（d）T（d，x，x，x，x，x，x，x，x，x）T（d）T（d）T（d）T（d，x，x，x，x，x，x，x，x）d（d）d）d（d）d（d）d（d）d（d）d）d（d）是是（d）的）的（d，u，u，d）=Zh（d′，x，w）P（w，x|d）4。θCAT EE[Y（d）|V=V]=ZE[Y（d）|u，V，x]P（u，x | V）=ZE[Y（d）|d，u，V，x]P（u，x | V）=ZE[Y | d，u，V，x]P（u，V，x，w）P（u，x | V）=Zh d，V，V，x，x，w）P（w，u，x | V，x | P）P=x | C |。1.定理4.1的证明。在假设4.1中，我假设标量核是有界的，这意味着Bochner可积性。根据正确的规格γ（d，x，z）=Zh（d，x，w）P（w | d，x，z）=Zhh，φ（d） φ（x） φ（w）iHP（w | d，x，z）=h、 φ（d） φ（x）Zφ（w）P（w | d，x，Z）H=hh，φ（d） φ（x） uw（d，x，z）I接下来，我推广了[Sing h等人，2020年，定理3.2]，通过定理3.1和期望的线性度1，用混杂桥h替换预测函数。

θ在E处θ在E（d）=Zh（d，x，w）P（x，w）=Zhh，φ（d） φ（x） φ（w）iHP（x，w）=h、 φ（d）Z[φ（x）φ（w）]P（x，w）H=hh，φ（d） uiH2。θDSθDS（d，P）=Zh（d，x，w）~P（x，w）=Zhh，φ（d） φ（x） φ（w）iHP（x，w）=h、 φ（d）Z[φ（x）φ（w）~P（x，w）H=hh，φ（d） νiH3。T时的θT（d，d′）=Zh（d′，x，w）P（x，w|d）=Zhh，φ（d′）φ（x） φ（w）iHP（x，w | d）=h、 φ（d′）Z[φ（x）φ（w）]P（x，w | d）H=hh，φ（d′）u（d）iH4。θcateθcate（d，v）=Zh（d，v，x，w）P（x，w | v）=Zhh，φ（d） φ（v） φ（x）φ（w）iHP（x，w | v）=h、 φ（d） φ（v）Z[φ（x）φ（w）]P（x，w | v）H=hh，φ（d） φ（v） u（v）iHC。2.算法4.1的推导。我循序渐进，概括了[Singh等人，2019年，算法1]的推导过程。第一阶段的封闭式表格。根据[Singh等人，2019年，算法1]，第一阶段条件平均嵌入的闭式解为^uw（d，x，z）=nXi=1βi（d，x，z）φ（wi），其中β（d，x，z）=（KDD⊙ KXX⊙ KZZ+nλI）-1[KDd⊙ KXx⊙ [KZz]∈ Rn2。第二阶段的封闭形式。接下来，我认为^h=Pni=1αI[φ（di） φ（xi） 对于某些αi，φ（wi）]∈ 注册护士。将目标写为^h=argminh∈HEnξ（h），Enξ（h）=nnXi=1kyi-hh，φ（di）φ（xi）^uw（di，xi，zi）iHkY+ξk hkhd由于脊p enalty，所述目标是强制性的，并且相对于h是强凸的。因此它有一个唯一的极小值，可以获得s最小值。写^h=^hn+^h⊥在哪里∈ 跨距{φ（di）φ（xi）φ（wi）}和^hn是理论补语的一个元素。根据上述结果，^uw（d，x，z）∈ span{φ（wi）}用于任何值（d，x，z）。因此ξ（^h）=Enξ（^hn）+ξk^h⊥nkh表示Enξ（^h）≥ Enξ（^hn）。Sinc e^h是唯一的极小化子，^h=^hn。3.替代。我将^h的函数形式替换为它的目标。

注意h^h，φ（d） φ（x） ^uw（d，x，z）iH=*nXi=1αi[φ（di）φ（xi） φ（wi）]，φ（d） φ（x）nXj=1βj（d，x，z）φ（wj）+H=nXi=1nXj=1αiβj（d，x，z）k（di，d）k（xi，x）k（wi，wj）=αK（d，x）β（d，x，z），其中K（d，x）：=KDdTn⊙ KXxTn⊙ 千瓦瓦=千瓦瓦⊙ [（KDd）⊙ KXx）Tn]∈ Rn×nBy[Singh等人，2020年，算法C.1]，[A]⊙ （b）n） ]a=[Aa]⊙ b、 soK（d，x）β（d，x，z）={kww⊙ [（KDd）⊙ KXx）Tn]}β（d，x，z）=[KW Wβ（d，x，z）]⊙ [KDd⊙ KXx]=[KW W（KDD⊙ KXX⊙ KZZ+nλI）-1{KDd⊙ KXx⊙ [KZz}]⊙[KDd⊙ KXx]定义矩阵M∈ Rn×nw，第j列为K（dj，xj）β（dj，xj，zj），因此th a tM=[KW W（KDD⊙KXX⊙KZZ+nλI）-1{KDD⊙KXX⊙[KZZ}]⊙[KDD⊙KXX]接下来注意k^hkH=h^h，^hiH=*nXi=1αi[φ（di） φ（xi）φ（wi）]，nXj=1αj[φ（dj）φ（xj）φ（wj）]+H=nXi=1nXj=1αiαjk（di，dj）k（xi，xj）k（wi，wj）=α[KDD⊙ KXX⊙ KW W]α简言之，Enξ（^h）=nkY- Mαk+ξα[KDD⊙ KXX⊙ KW W]α4。优化。优化α，^α=（M）的目标+ nξ[KDD⊙ KXX⊙ 千瓦（瓦）-1MYso^h（d，x，w）=h^h，φ（d） φ（x） φ（w）iH=*nXi=1^αi[φ（di）φ（xi）φ（wi）]，φ（d） φ（x） φ（w）+H=nXi=1^αik（di，d）k（xi，x）k（wi，w）=^α[KDd⊙ KXx⊙ KW w]C.3治疗效果算法4.2的比较。通过算法4.1，h^h，φ（d） φ（x） φ（w）iH=^α[KDd⊙ KXx⊙ KW w]根据定理4.1，获得核均值嵌入估计量的表达式并替换它们是足够的。特别是，1。E处的θ：^u=nPni=1[φ（xi）φ（wi）]2。θDS:^ν=~nP~ni=1[φ（~xi）φ（~wi）]3。T时的θ：^u（d）=[K·X⊙ K·W]（KDD+nλI）-1KDd4。θcate:^u（v）=[K·X⊙ K·W]（千伏V+nλI）-1KV v条件平均嵌入表达式源自[Singh等人，2019年，算法1]。D混淆桥一致性证明在本附录中，I（I）陈述一个概率引理，（ii）明确地专门化光滑假设，（iii）引入额外的运算符符号，（iv）提供回归引理，（v）证明技术边界，以及（vi）验证混淆桥的一致性。

这是技术要求最高的附录。D.1概率引理位置D.1（引理[Smale and Zhou，2007]）。设ξ是实可分希尔伯特空间K中取值的随机变量~M s.t.kξkK≤~M<∞ a、 s.σ（ξ）：=EkξkkN∈ Nη ∈ （0,1），PnnXi=1ξi- EξK≤~M ln（2/η）n+r2σ（ξ）ln（2/η）n≥ 1.- ηD.2平滑度假设去掉符号o 平均成分。我用它来强调操作符的组成。假设D.1（条件表达式的平滑度）。假设1。条件期望算子被很好地定义为RKHSs之间的Hilbert-Schmidt算子，即∈ L（HW，HRF），其中E:HW→ HRF，h（·，·，·）7→ E[h（W）|D=·X=·Z=·2。条件期望算子是L（HW，HRF）的一个特别光滑的形式。形式上，定义协方差算子T:=e[φ（d，X，Z） φ（D，X，Z）]forL（HW，HRF）。我猜G∈ L（HW，HRF）s.t.E=（t）c-1.o G、 c∈ （1、2）和kGkL（HW、HRF）≤ ζ假设D.2（基础桥梁的平滑度）。假设1。令人困惑的桥梁运营商，他是一名专业的桥梁运营商，即H∈ HOhm2.c onfounding bridge操作符是H的一个特别平滑的元素Ohm. 形式上，定义协变量运算符T:=E[Ohm（·，u（D，X，Z）） Ohm对于H，（·，u（D，X，Z））]Ohm. 我猜G∈ HOhms、 t.H=Tc-1.o G、 c∈ （1,2）和kGkHOhm≤ ζ命题D.2。以下假设是等效的。假设5.2（A=W，B=D×X×Z）等同于假设D.12。假设5.3相当于假设D.2。直接引自[Caponnetto and De Vito，2007年，备注2]。扩展表达式更便于分析。D.3操作员注释定义D.1（点评估器）。确定运营商Ohmu（d，x，z）：Y→ HOhm, y 7→ Ohm（·，u（d，x，z））进一步定义u（d，x，z）：=Ohmu（d，x，z）o Ohm*u（d，x，z）Ohmu（d，x，z）在RKHS文献中被称为点评估器。在MY设置中，y R和Ohm*u（d，x，z）H=Hu（d，x，z）。提案D.3。

假设假设假设3.2和4.1成立。然后γ（d，x，z）=Hu（d，x，z）证明。根据算符方程，γ（d，x，z）=Zh（d，x，w）P（d，x，w | d，x，z）=Zhφ（d，x，w | d，x，z）=HZφ（d，x，w）P（d，x，w | d，x，z）=Hu（d，x，w）。提案D.4。假设假设假设3.2、4.1和5.1成立。ThenE[Ohmu（D，X，Z）Y]=T高屋顶。不管怎样∈ HOhm,嗨，嗨Ohm=H、 ZTu（d，x，z）P（d，x，z）HHOhm=H、 ZOhmu（d，x，z）Ohm*u（d，x，z）P（d，x，z）HHOhm=ZDH，Ohmu（d，x，z）Ohm*u（d，x，z）嘿OhmP（d，x，z）=ZDOhm*u（d，x，z）H，Ohm*u（d，x，z）HEYP（d，x，z）=ZhHu（d，x，z），Hu（d，x，z）iY=E[Hu（d，x，z）Hu（d，x，z）]此外，对于任何H∈ HOhmE[Hu（D，X，Z）Y]=ZHu（D，X，Z）yP（D，X，Z，Y）=ZHOhm*u（d，x，z）H，yiYP（d，x，z，y）=ZhH，Ohmu（d，x，z）yiYP（d，x，z，y）=H、 ZOhmu（d，x，z）yP（d，x，z，y）Y=H、 E[Ohmu（D，X，Z）Y]尹总结，对于任何H∈ HOhm,嗨，嗨Ohm= E[Hu（D，X，Z）Hu（D，X，Z）]=E[Hu（D，X，Z）γ（D，X，Z）]=E[Hu（D，X，Z）Y]=H、 E[Ohmu（D，X，Z）Y]对D.3提案大喊大叫并撒谎。D.4为了便于分析，确定以下数量。设n为（di，xi，wi，zi）的观测数，用于估计阶段e1条件平均嵌入u（d，x，z）=φ（d）φ（x）通过调节参数λ的核岭回归得到uw（d，x，z）。设m为（˙yi，˙di，˙xi，˙zi）的o观测数，用于估计具有正则化参数ξ的第2阶段混杂桥算子Hby kernelridge回归。定义D.2（混淆桥梁风险）。定义1。目标布里奇∈ 阿明∈HOhmE（H），E（H）=E（Y，Z）kY- Hu（D，X，Z）kY2。正则化桥ξ=argminH∈HOhmEξ（H），Eξ（H）=E（H）+ξkHkHOhm3.经验正则化bridgeHmξ=argminH∈HOhmEmξ（H），Emξ（H）=mmXi=1k˙yi- Hu（˙di，˙xi，˙zi）kY+ξkHkHOhm4.估计桥梁^Hmξ=argminH∈HOhm^Emξ（H），^Emξ（H）=mmXi=1k˙yi- Hunλ（˙di，˙xi，˙zi）kY+ξkHkHOhm其中unλ（d，x，z）是条件平均嵌入u（d，x，z）命题d.5的估计量。假设假设假设3.2和4.1成立。塞内克（H）- H） u（D，X，Z）kY=E（H）- E（H）证明。

与[Sin gh等人，2019年，提案25]相同，对提案D.3提出上诉。提案D.6。假设命题D.5的条件成立。然后hξ=argminH∈HOhmEk（H）- H） u（D，X，Z）kHOhm+ ξkHkHOhm证据命题D.5的推论。提案D.7（封闭形式）。ξ>0时，解Hmξ到Emξ和解^Hmξ到^Emξ是唯一的，且Hmξ=（T+ξ）-1g，T=mmXi=1Tu（˙di，˙xi，˙zi），g=mmXi=1Ohmu（˙di，˙xi，˙zi）˙yi^Hmξ=（^T+ξ）-1^g，^T=mmXi=1Tunλ（˙di，˙xi，˙zi），^g=mmXi=1Ohmunλ（˙di，˙xi，˙zi）˙yiProof。直接从[Singh等人，2019年，第3期]开始。命题D.8（抽样误差）。假设假设假设3.2、4.1、5.1和5.3成立。然后η ∈（0,1），以下是w.p.1-η：kHmξ- HξkHOhm≤4κ（C+κkHkH）Ohm) ln（2/δ）√mξ，其中κ：=κdκxκwProof。我推广了[Smale和Zhou，2007，定理1]。我循序渐进。1.分解。Hmξ- Hξ=T+ξI-1.G-THξ- ξHξ=T+ξI-1.mmXi=1˙ξi- E˙ξ式中˙ξi=Ohmu（˙di，˙xi，˙zi）˙yi- Tu（˙di，˙xi，˙zi）Hξ=Ohmu（˙di，˙xi，˙zi）[˙yi]- Ohm*u（˙di，˙xi，˙zi）Hξ]观察到T+ξI-1.∈ L（H）Ohm),nnXi=1˙ξi- E˙ξ∈ HOhm其中L（H）Ohm) 是H的边界算子的空间Ohm到HOhm. 因此khmξ- HξkHOhm≤ξ˙,˙ =mmXi=1˙ξi- E˙ξHOhm2.时刻。k˙ξikHOhm≤ κC+κkHξkHOhmσ（˙ξi）=Ek˙ξikHOhm≤ κEkY- Ohm*u（D，X，Z）HξkY=κEkY- Hξu（D，X，Z）kY=κE（Hξ），通过H=0Ek（Hξ）的比例D.6- H） u（D，X，Z）kHOhm+ ξkHξkHOhm≤ EkHu（D，X，Z）kY≤ kHkHOhmEku（D，X，Z）kH≤ κkHkHOhm亨切克（Hξ）- H） u（D，X，Z）kHOhm≤ κkHkHOhmkHξkHOhm≤κkHkHOhm√ξ此外，定义为具有最小值E，E（H）≤ E（0）=Ek Y kY≤ 命题D.5E（Hξ）=E（H）+Ek（Hξ）的Cso- H） u（D，X，Z）kHOhm≤ C+κkHkHOhm总之，k˙ξikHOhm≤ κC+κkHkHOhm√ξ=κ（C+κkHkH）Ohm/pξ）σ（˙ξi）≤ κ（C+κkHkH）Ohm)3.专注。然后应用引理D.1。

概率为1- δ, ≤ κ（C+κkHkH）Ohm/pξ）2ln（2/δ）m+rκ（C+κkHkH）Ohm)2 ln（2/δ）mt这里有两种情况，我分析如下[Singh et al.，2 019，定理6]。（a） κ√mξ≤4ln（2/δ）。因为a+b≤ （a+b）对于a，b≥ 0, <2κC ln（2/δ）m+2κkHkHOhmln（2/δ）m√ξ+κ（C+κkHkH）Ohm)r2ln（2/δ）m=2κC ln（2/δ）m+2κkHkHOhmln（2/δ）√mκ√mξ+κ（C+κkHkH）Ohm) ln（2/δ）√msln（2/δ）≤2κC ln（2/δ）√m+2κkHkHOhmln（2/δ）√m+2κ（C+κkHkH）Ohm) ln（2/δ）√m=4κ（C+κkHkH）Ohm) ln（2/δ）√mThen recallkHmξ- HξkHOhm≤ξ（b） κ√mξ>4ln（2/δ）。通过定义HmξEmξ（Hmξ），观察到≤ Emξ（0）=mmXi=1k˙yikY≤ CHencekHmξkHOhm≤C√ξ和khmξ- HξkHOhm≤C√ξ+κkHkHOhm√ξ=C+κkHkHOhm√ξ最后观察到4ln（2/δ）<κ√mξ<==>C+κkHkHOhm√ξ<4κ（C+κkHkH）Ohm) ln（2/δ）√mξ命题D.9（近似误差）。假设假设假设3.2、4.1、5.1和5.3成立。ThenkHξ- HkHOhm≤ ξc-1pζ证明。我推广了[Smale和Zhou，2005，定理4]。根据假设D.2，存在一个G∈HOhms、 t.G=T1-cH=Xkλ1-凯凯克，你好Ohm根据D.4，写出ξ- H=[（T+ξI）-1T- 一] H=Xkλkλk+ξ- 1.艾克，你好Ohm因此，khξ- HkHOhm=Xkλkλk+ξ- 1.嗨，嗨Ohm=Xkξλk+ξ嗨，嗨Ohm=Xkξλk+ξ嗨，嗨Ohmξξ·λkλk·λk+ξλk+ξC-1=ξc-1Xkλ1-切克，嗨Ohmξλk+ξ3.-Cλkλk+ξC-1.≤ ξc-1Xkλ1-切克，嗨Ohm= ξc-1千克小时Ohm≤ ξc-1ζD.5边界建议D.10。假设假设4.1成立。假设kunλ（d，x，z）- u（d，x，z）kH≤ru（n，δ，c）1。然后kT-^TkL（H）Ohm)≤ 2κ·ru（n，δ，c）2。如果另外假设5.1成立，则k^g-gkHOhm≤ Cru（n，δ，c）证明。直接从[Singh等人，2019年，提案37]和提案5.1开始。D.11提案。假设假设4.1成立。如果kunλ（d，x，z）- u（d，x，z）kH≤ ru（n，δ，c）thenk（^T+ξ）-1.- （T+ξ）-1千克（小时）Ohm)≤2κ·ru（n，δ，c）ξ证明。自从-1.- B-1=B-1（B）-A） A-1，（^T+ξ）-1.- （T+ξ）-1=（T+ξ）-1（T）-^T）（^T+ξ）-1此处（^T+ξ）-1.- （T+ξ）-1千克（小时）Ohm)≤ξkT-^TkL（H）Ohm)≤2κ·ru（n，δ，c）ξ，其中e中的最终质量符合命题D.10命题D.12。假设假设假设4.1和5.1成立。

森克赫Ohm≤ κCProof。克格赫Ohm=mmXi=1Ohmu（˙di，˙xi，˙zi）˙yiHOhm≤mmXi=1Ohmu（˙di，˙xi，˙zi）˙yiHOhm≤mmXi=1Ohmu（˙di，˙xi，˙zi）L（Y，H）Ohm)k˙yikY≤ κCby三角不等式与算子范数的定义。注意L（Y，HOhm) 是从Y到H的边界算子的空间Ohm.D.6主要结果OREM D.1（收集结果）。支持假设3.2、4.1、5.1和5.3。Suμnλ（d，x，z）- u（d，x，z）kH≤ ru（n，δ，c）w.p.1- δ. 然后δ ∈ （0,1）和η ∈ （0,1），以下为w.p.1- η - δ：k^Hmξ- HkHOhm≤ rH（n，δ，c；m，η，c）：=ξCru（n，δ，c）+2κCru（n，δ，c）ξ+4κ（c+κkHkH）Ohm) ln（2/δ）√mξ+ξc-1pζ证明。我从命题D.7的分解开始。^Hmξ-H=H（^T+ξ）-1^g- （^T+ξ）-1gi+h（^T+ξ）-1克- （T+ξ）-1gi+（T+ξ）-1克-H以第一学期为例。k（^T+ξ）-1（^g）- g） kHOhm≤ξk^g-gkHOhm≤ξCru（n，δ，c）由命题D.10得出。以第二学期为例。h（^T+ξ）-1.- （T+ξ）-1igHOhm≤ k（^T+ξ）-1.-（T+ξ）-1千克（小时）Ohm)克格赫Ohm≤2κCru（n，δ，c）ξw.p.1- δ由命题D.11和D.12得出。以第三个术语为例。Hmξ- HHOhm≤Hmξ- HξHOhm+ kHξ- HkHOhm≤4κ（C+κkHkH）Ohm) ln（2/δ）√mξ+ξc-1pζw.p.1- η、 求助于三角不等式和命题D.8和D.9。推论D.1（桥接器到桥接器）。假设假设假设3.2、4.1、5.1和5.3成立。S上kunλ（d，x，z）- u（d，x，z）kH≤ ru（n，δ，c）w.p.1- δ. 然后δ ∈ （0,1）和η ∈ （0,1），以下为w.p.1- η - δ：k^h-hkH≤ rH（n，δ，c；m，η，c）证明。回想h（d，x，w）=hφ（d，x，w）。H和HOhm是等轴对称的。定理D.2（条件嵌入）。假设4.1、5.1和D.1成立。设置λ=n-c+1。然后是w.p.1-δ, D∈ D、 x∈ 十、 z∈ Zk^u（d，x，z）-u（d，x，z）kH≤ ru（n，δ，c），其中ru（n，δ，c）：=κdκx·κRF·√ζ（c+1）c+14κRF（κw+κRFkEkL）ln（2/δ）√nζ（c）- 1)C-1c+1和κRF:=κdκxκzProof。

写^u（d，x，z）-u（d，x，z）=[φ（d）φ（x） ^uw（d，x，z）]- [φ（d） φ（x） uw（d，x，z）]=[φ（d）φ（x）[w（d，x，z）- uw（d，x，z）]，因此k^u（d，x，z）- u（d，x，z）kH≤ κdκx·k^uw（d，x，z）-uw（d，x，z）khw最终因子上的界限来自[Singh等人，2019年，推论1]，观察到e:HW→ HRF，kφ（w）kH≤ κw，kφ（d，x，z）kHRF≤ κrf定理5.1的证明。求和定理D.1中的界asrH=Orμξ+rμξ+√mξ+ξc-1.= Orμξ+√mξ+ξc-1.总结定理D.2 asru=O中的界限N-C-1c+1= O（m）-a） n=ma（c+1）（c-1） 综合结果，rH=O马ξ+√mξ+ξc-1., s、 t.ξ≥ ru，mξ≥ （n，m）比值的选择与[Singh等人，2019年，定理4]的参数相同。我可以选择ξ作为m的函数来实现m的单级速率-C-1c+1。我选择ξ来匹配偏差ξc-1.使用变量maξ+√mξ。我将偏差设置为方差中的每个项。1.ξc-1=maξ。重新排列，ξ=m-ac+3。偏置项变成ξc-1=M-ac+3C-1剩余期限为√mξ=mac+3√m=m2a-（c+3）2（c+3）注意，当且仅当-ac+3c-1.≥2a-（c+3）2（c+3）<==> A.≤c+3c+12。ξc-1=√mξ。重新排列，ξ=m-c+1。偏置项变成ξc-1=M-c+1C-剩下的项变成mξ=m-A.M-c+1-2=m4-a（c+1）2（c+1）注意到前者支配后者当且仅当-c+1c-1.≥4.-a（c+1）2（c+1）<==> A.≥c+3c+1E治疗效果一致性证明在本附录中，I（I）明确规定平滑度假设，（ii）提供无条件平均嵌入率，（iv）提供条件平均嵌入率，以及（iv）证明阴性对照治疗效果的一致性。E.1平滑度假设消耗E.1（T处θ的平滑度）。假设1。条件期望算子被很好地定义为RKHSs之间的Hilbert-Schmidt算子，即∈ L（HX） HW，HD），其中E:HX HW→ HD，f（·，·）7→ E[f（X，W）|D=·2。

条件期望算子是L（HX）的一个特别光滑的元素HW，HD）。形式上，定义协方差算子T:=E[φ（D） φ（D）]forL（HX HW，HD）。我猜G∈ L（HX） HW，HD）s.t.E=（t）c-1.o G、 c类∈ （1,2）和kGkL（HXHW，HD）≤ ζ假设E.2（θ类E的平滑度）。假设1。条件期望算子被很好地定义为RKHSs之间的Hilbert-Schmidt算子，即∈ L（HX） HW，HV），其中e:HX HW→ 高压，f（·，·）7→ E[f（X，W）|V=·2。条件期望算子是L（HX）的一个特别光滑的元素HW，HV）。形式上，定义协方差算子T:=E[φ（V） φ（V）]forL（HX HW，HV）。我猜G∈ L（HX） HW，HV）s.t.E=（t）c-1.o G、 c∈ （1,2）和kGkL（HX高、高）≤ ζ命题E.1。以下假设为等式1。假设5.2，A=X×W A和B=D相当于假设E.12。假设5.2 A=X×W A和B=V相当于假设E.2。直接引自[Caponnetto and De Vito，2007年，备注2]。扩展表达式更便于分析。E.2无条件平均嵌入定理E.1（无条件平均嵌入）。假设假设假设4.1和5.1成立。然后是w.p.1-δ、 k^u-ukHXHW≤ ru（n，δ）：=4κxκwln（2/δ）√nLikewise，w.p.1- δk^ν-νkHXHW≤ rν（~n，δ）：=4κxκwln（2/δ）√~nProof。通过命题D.1，其中ξi=φ（xi） φ（wi），自nnXi=1[φ（xi）φ（wi）]- E[φ（X） φ（W）]HXHW≤2κxκwln（2/δ）n+r2κxκwln（2/δ）n≤4κxκwln（2/δ）√使用ξi=φ（~xi），ν的参数是相同的φ（~wi）E.3条件平均嵌入定理E.2（条件平均嵌入率）。假设假设假设4.1和5.1成立。S et（λ，λ）=（n-c+1，n-c+1）。如果附加假设E.1成立，则w.p.1成立- δ, D∈ Dk^u（d）-u（d）kHXHW≤ 大鼠Tu（n，δ，c），其中大鼠Tu（n，δ，c）：=κd·√ζ（c+1）c+14κd（κxκw+κdkEkL）ln（2/δ）√nζ（c）- 1)C-1c+12。如果另外假设E.2成立，则w.p。

1.- δ, 五、∈ Vk^u（v）- u（v）kHXHW≤ rCAT Eu（n，δ，c），其中rCAT Eu（n，δ，c）：=κv·√ζ（c+1）c+14κv（κxκw+κvkEkL）ln（2/δ）√nζ（c）- 1)C-1c+1屋顶。直接从[Singh等人，2019年，推论1]开始，观察到E:HX HW→ HD，kφ（x）φ（w）kHXHW≤ κxκw，kφ（d）kHD≤ κ-dandE:HX HW→ HV，kφ（x）φ（w）kHXHW≤ κxκw，kφ（v）kHV≤ κvE。4主要结果建议E.2。总之，n=mk^h- hkH=OpN-C-1c+1c-1c+3k^u-ukHXHW=OpN-k^ν-νkHXHW=Op~n-k^u（d）-u（d）kHXHW=OpN-C-1c+1k^u（v）- u（v）kHXHW=OpN-C-1c+1定理5.2的证明。我在[Singh等人，2020年，定理3.3]中概括了这个论点。我写下最后的样本绑定s.1。θ在E^θ在E（d）-E（d）处的θ=h^h，φ（d） ^uiH- hh，φ（d）uiH=h^h，φ（d） [^u -u]iH+h[^h-h] ，φ（d）uiH=h[^h-h] ，φ（d）[^u -u]iH+hh，φ（d） [^u -u]iH+h[^h-h] ，φ（d）uIHW.p.1-2δ -E（d）处的η|^θ-E（d）处的θ|≤ k^h-hkHkφ（d）kHDk^u-ukHXHW+khkφ（d）kHDk^u-ukHXHW+k^h-hkHkφ（d）kHDkukHXHW≤ κd·rH（n，δ，c；m，η，c）·ru（n，δ）+κd·khkH·ru（n，δ）+κdκxκw·rH（n，δ，c；m，η，c）=ON-C-1c+1c-1c+32.θDS。用和θ在E，w.p.1相同的参数-2δ -η|θDS（d，~P）-θDS（d，~P）|≤ κd·rH（n，δ，c；m，η，c）·rν（~n，δ）+κd·khkH·rν（~n，δ）+κdκxκw·rH（n，δ，c；m，η，c）=ON-C-1c+1c-1c+3+~n-3.T^θT（d，d′）-T（d，d′）处的θ=h^h，φ（d′） ^u（d）iH- hh，φ（d′） u（d）iH=h^h，φ（d′）[^u（d）- u（d）]iH+h[^h-h] ，φ（d′） u（d）iH=h[^h-h] ，φ（d′）[^u（d）- u（d）]iH+hh，φ（d′） [^u（d）- u（d）]iH+h[^h-h] ，φ（d′）u（d）IHW.p.1-2δ -η|^θ在T（d，d′）- T（d，d′）处的θ|≤ k^h- hkHkφ（d′）kHDk^u（d）-u（d）kHXHW+khkφ（d′）kHDk^u（d）-u（d）kHXHW+k^h-hkHkφ（d′）kHDku（d）kHXHW≤ κd·rH（n，δ，c；m，η，c）·大鼠Tu（n，δ，c）+κd·khkH·大鼠Tu（n，δ，c）+κdκxκw·rH（n，δ，c；m，η，c）=ON-C-1c+1c-1c+3+n-C-1c+14.

θCAT E^θCAT E（d，v）- θCAT E（d，v）=h^h，φ（d） φ（v） ^u（v）iH- hh，φ（d）φ（v） u（v）iH=h^h，φ（d） φ（v） [^u（v）- u（v）]iH+h[^h-h] ，φ（d）φ（v） u（v）iH=h[^h-h] ，φ（d） φ（v） [^u（v）- u（v）]iH+hh，φ（d）φ（v） [^u（v）- u（v）]iH+h[^h-h] ，φ（d） φ（v） u（v）IHW.p.1-2δ -η|^θE类（d，v）- θE类（d，v）|≤ k^h-hkHkφ（d）kHDkφ（v）kHVk^u（v）- u（v）kHXHW+khkHkφ（d）kHDkφ（v）kHVk^u（v）- u（v）kHXHW+k^h- hkHkφ（d）kHDkφ（v）kHVku（v）kHXHW≤ κdκv·rH（n，δ，c；m，η，c）·rCAT Eu（n，δ，c）+κdκv·khkH·rCAT Eu（n，δ，c）+κdκvκxκw·rH（n，δ，c；m，η，c）=ON-C-1c+1c-1c+3+n-C-1c+1调音。1简化设置我提出的剂量反应和异质治疗效应估计器由核岭回归组成。因此，新估计量的超参数与核岭回归估计量相同。现在，我为（I）岭回归惩罚和（ii）内核本身的超参数提供了实用的调整程序。本附录是对[Singh等人，2020年，附录F]的详细阐述。F.2 Ridge penaltyIt通过漏掉一个交叉验证（LOOCV）来调整λ是很方便的，因为验证损失已经形成了一个解决方案。我引用了内核岭回归的一个调优过程。为了简单起见，我将重点放在Y对W的回归上。算法F.1（Singh等人，2020年的算法F.1）。构造矩阵shλ：=I- KW W（KW W+nλI）-1.∈ Rn×n，~Hλ：=diag（Hλ）∈ Rn×nwhereHλ与Hλ具有相同的对角线项，非对角线项为0。然后设置λ*= argminλ∈∧nkH-1λHλyk，λ R同样的原则也适用于条件均值的调整，这可以被视为向量值回归。此外，在一个由两个核岭回归组成的变量回归中，核函数的调整也遵循同样的原则。

将这些调整过程扩展到核心工具变量回归是一项创新，它不同于[Singh等人，2019年，附录A.5.2]中的调整过程。为了简化讨论，我重点讨论了φ（Y）在W上的条件平均嵌入。回想一下，使用所有观测值的条件均值嵌入估计量的闭式解是^u（w）=K·Y（KW w+nλI）-1KW wAlgorithm F.2（调谐条件平均嵌入）。构造矩阵r:=KW W（KW W+nλI）-1.∈ Rn×nS∈ Rn×ns。t、 Sij=1{i=j}1.-瑞伊T:=S（KY-Y）- 2岁+ RKY YR) ∈ Rn×nR是R的第i个对角元素，然后设置λ*= argminλ∈∧ntr（T），∧ 竞争。我证明ntr（T）是LOOCV损失。根据定义，LOOCV损耗isE（λ）：=nnXi=1kφ（yi）- ^u-i（wi）kHYwhere^u-iis使用除第i个观测值以外的所有观测值的条件平均嵌入估计值。非正式地，设Φ为r{wi}特征的矩阵，第i行φ（wi）, 让Q:=ΦΦ+nλ。设ψ为{yi}的特征矩阵，第i行φ（yi）. 通过回归一阶条件^u（w）= φ（w）Q-1ΦΨ^u-i（w）= φ（w）{Q-φ（wi）φ（wi）}-1{ΦΨ -φ（wi）φ（yi）}Sherma n-Morrison秩一更新公式给出{Q- φ（wi）φ（wi）}-1=Q-1+Q-1φ（wi）φ（wi）Q-11-φ（wi）Q-1φ（wi）设βi:=φ（wi）Q-1φ（wi）。那么^-i（w）= φ（wi）Q-1+Q-1φ（wi）φ（wi）Q-11-βi{ΦΨ -φ（wi）φ（yi）}= φ（wi）I+Q-1φ（wi）φ（wi）1.-βi{^u- Q-1φ（wi）φ（yi）}=1+βi1- βiφ（wi）{^u- Q-1φ（wi）φ（yi）}=1+βi1- βi{^u（wi）- βiφ（yi）}=1.-βi{^u（wi）- βiφ（yi）}i、 e.^u-ican可以用^u表示。注意φ（yi）- ^u-i（wi）=φ（yi）-1.-βi{^u（wi）-βiφ（yi）}=φ（yi）+1-βi{βiφ（yi）- ^u（wi）}=1-βi{φ（yi）- ^u（wi）}替换回LOOCV lossnnXi=1kφ（y）i- ^u-i（wi）kHY=nnXi=1{φ（yi）- ^u（wi）}1.-βiHY=nnXi=11.-βik{φ（yi）- ^u（wi）}[Singh等人，2020年，附录F]中的开比论点，βi=[KW W（KW W+nλi）-1] iii.e。

βi可计算为KW W（KW W+nλi）的第i个对角线元素-1.莫雷沃克φ（yi）- ^u（wi）kH=k（yi，yi）-2KyiY（KW W+nλI）-1KW wi+KwiW（KW W+nλI）-1KY Y（千瓦W+nλI）-1KW wi=[KY Y]- 2KY Y（千瓦W+nλI）-1KW W+KW W（KW W+nλI）-1KY Y（千瓦W+nλI）-1KW W]iii.e.kφ（yi）-^u（wi）kh也可以计算为矩阵的第i个诊断元素。将这些结果替换为LOOCV损失，得到最终的表达。F.3核高斯核满足假设4.1的要求。形式上，内核k（w，w′）=expn-千瓦-w′kWσois是连续的、有界的和特征的。内核超参数σ被称为长度尺度。一种简单的启发式方法是将σ设置为{wi}ni=1的中值插值距离，其中观测值i和j之间的插值距离为kwi- wjkW。我在实验中使用高斯核。当输入w是向量而不是标量时，我使用获得的核作为每个输入维的标量核的乘积，如下[Singh等人，2019年，Singh等人，2020年]。例如，如果W Rdthenk（w，w′）=dYj=1exp(-[wj- w′j]σj）每个长度标度σjis被设置为该输入维度的中间插入点距离。原则上，可以使用LOOCV来调整内核参数，如上所述。在高维中，调整长度尺度{σj}的LOOCV方法是不正确的，因为每个输入维都有一个长度尺度∑j。G应用程序详细信息G。1模拟单个观测结果如下所示。1.将未观测到的噪声绘制为{i}i∈[3] 身份证~ N（0，1）和{νi}i∈[2] 身份证。~ U[-1, 1].2. 将未观察到的混杂因素设置为u=+和u=+。将阴性对照设置为Z=ν+0.25·u和W=ν+0.25·u.4。绘制协变量X~ N（0，∑），其中协方差矩阵∑∈ Rp×pis使得∑ii=1和∑ij=·1{i- j |=1}表示i6=j.5。然后将处理设置为D=Φ（3X′β+3·Z）+0.25·uwhereβ∈ R衰减系数：βj=j-2.6.

最后，将outcom e设置为Y=1.2（D+X′β+W）+D+DX+0.25·u。我使用附录F中所述的调整过程，在第4节中描述的e（D）（负控制）处实现估值器^θ。具体地说，我使用了通过留一个异交验证确定的脊点，并用中值启发式设置的长度标度积高斯核。我使用相同的原理实现了[Singh et al.，2020]（治疗效果）的连续治疗效果估计器。后一种涂宁方法更简单；新的估计器涉及重新加权一个混杂变量（有两个岭惩罚参数），而之前的估计器涉及重新加权一个回归（有一个岭惩罚参数）。G.2香烟烟雾的剂量反应I使用附录F中所述的调整程序，在E（d）（阴性对照）处实施估计器^θ。I使用相同的原理实施[Singh et al.，2020]（治疗效果）的连续治疗效果估计器。为了加速u p计算，表1：变量分类符号定义经验应用结果婴儿出生体重（克）D治疗#怀孕期间每天吸烟未被察觉的不可察觉的不可察觉的压力治疗母亲的教育程度（年）父亲的教育程度（年）W n.c.结果婴儿出生顺序婴儿性别致敏性X协变量母亲的人口统计学：年龄、种族、婚姻状况、外国出生者的特征：年龄、怀孕期间的酒精消耗量#怀孕期间的产前检查第一次产前检查的起始日期高血压：慢性、妊娠期其他医疗：糖尿病、herpe s、eclamp sia、体重增加