（2016）提出的调整方法，并使用相同的自行车共享数据集对performanceagainst ForestIV进行基准测试。G.1使用SIMEX进行基准测试：连续案例基准测试模拟实验设置如下。我们使用波士顿住房数据集（H arrison Jr和Rubinfeld，1978）建立了一个数值预测模型。波士顿住房数据集包含14个描述波士顿地区506个人口普查区住房的属性。这些数据经常被用作数值预测算法的基准数据集（例如，Rose，1998；Lim等人，2000）。我们建立了一个包含100棵树的随机森林，根据13个不同的特征，例如平均房间数、财产税，预测人口普查区（MEDV）房屋的中期价值。我们随机抽取200个样本作为数据集，再随机抽取50个样本作为数据集。然后，使用随机森林模型预测剩余256个地块的中值。我们将来自随机森林的聚合预测表示为\\MEDV，并将来自每棵树的预测表示为i∈ {1，…，100}as\\MEDVi。对于要估计的经济计量模型，我们模拟了一个人工数据集（N=506），其中MEDV是一个独立的协变量。我们在模型中加入了另外两个控制变量Zand Z。特别是Z~伯努利（0.6）是一个伪变量，其值为1，概率为60%，Z~ N（0，1）是一个正态分布的连续变量。我们还模拟了一个误差项ε~ N（0，0.1）。因变量是所有变量的线性组合，Y=1+0.5MEDV+2Z+Z+ε。与之前一样，模拟重复了100轮，我们报告了平均系数和标准误差。为简洁起见，我们参考了Yang等人的结果。

（2018）获取有关应用SIMEXapproach获得校正系数的技术细节，该系数解释了\\MEDV中的测量误差。结果汇总在表G.1中。此外，在图G.1中，我们绘制了与MEDV Acrosall模拟运行相关的系数分布。如表G.1所示，直接使用回归模型中随机森林预测的MEDV会导致不显著的偏差。MEDV的效率平均被高估了15.8%。此外，在整个模拟过程中，真实偏差SIMEX ForestIVIntercept 1.0-0.745（0.402）1.154（0.382）0.999（0.245）[0.027][0.689][0.997]MEDV 0.50.579（0.016）0.494（0.060）0.500（0.010）[0.024][0.707][0.999]Z2。01.961（0.236）1.958（0.260）1.986（0.171）[0.458][0.871][0.935]Z1。0.989（0.115）0.991（0.126）1.001（0.086）[0.461][0.943][0.991]平均MSE 3.284 0.259 0.097表11：使用SIMEX和ForestIV的估计结果。括号中的标准错误。p值将ImageMates与方括号中的真值进行比较。AveMSE包含100次模拟运行中与每组估计相关的平均经验MSE。运行时，MEDV的效率可能会向上和向下偏移（见图1）。与其他协变量Zand Z相关的系数也偏向不同程度和不同方向，尽管平均偏差不大。其次，我们的ForestIV方法有效地缓解了估计偏差。它几乎完全恢复了所有回归方程的无偏系数。第三，与SIMEX相比，ForestIV生成的点估计更接近真实值。

此外，如图G.1所示，与SIMEX相比，ForestIV测得的M EDV系数分布的标准偏差更小，表明稳定性也更高。0.3 0.4 0.5 0.6 0.70 5 10 15 MedvdensityBiasedSimexForestiv上的系数图9:M EDV acro-ss模拟运行中的偏差系数和校正系数分布。2使用SIMEX进行基准测试：二元病例我们使用威斯康星州乳腺癌数据集（Wolberg and Mangasarian，1990）。该数据集包含683例乳腺癌诊断的临床病例。我们建立了一个由100棵树组成的随机森林，根据9个生物学特征预测癌症结果（良性或恶性）。与之前的模拟设置类似，我们随机抽取200例作为Dtrain，50例作为Dtest，其余433例作为Dunlabel。接下来，我们模拟一个经济计量模型：Y=1+0.5癌症+2Z+Z+ε（N=683），其中Z~ 制服[-1,1]，Z~ N（0，1）和ε~ N（0，0.1）。与之前一样，模拟重复了100轮，我们报告了所有轮的平均系数和标准误差。关于应用MC-SIMEX方法的技术细节，我们再次参考Yang等人（2018）。结果总结在表G中。2.在图G.2中，我们绘制了所有模拟运行中与癌症相关的系数分布。真偏差MC-SIMEX ForestIVIntercept 1.01.013（0.008）1.005（0.008）1.004（0.008）[0.234][0.405][0.505]癌症0.50.463（0.014）0.519（0.059）0.496（0.012）[0.044][0.264][0.739]Z2。0.001（0.011）2.001（0.012）2.000（0.009）[0.492][0.934][0.999]Z1。0.999（0.006）0.999（0.007）0.999（0.006）[0.506][0.868][0.886]平均均方误差0.0028 0.0051 0.0009表12：使用MC-SIMEX和ForestIV的估计结果。括号中的标准错误。p值将估计值与方括号中的真值进行比较。

Ave MSE包含与100次模拟运行中的每组估计值相关的Ave MSE。基于TableG。2.直接使用随机森林预测\\回归中的癌症导致对其系数的估计约为7.4%。ForestIV和MC-SIMEX都能够减轻估计偏差，ForestIV通过产生更接近基本真实值的平均点估计值而优于MC-SIMEX。另外，图。2显示，与MC-SIMEX相比，ForestIV对癌症的估计标准偏差小得多，表明稳定性更高。0.4 0.5 0.6 0.70 5 10 15癌症密度系数-SimexForestiv图10：模拟RunsG中癌症偏差系数和校正系数的分布。3 SIMEX的局限性和Forestiv的稳健性作为这项基准测试工作的一部分，我们还发现了一种以前未记录但常见的情况，在这种情况下SIMEX会产生系统性的不良结果。特别是，当测量误差与计量经济学模型中另一个精确测量的协变量相关时，SIMEX算法实际上会在与精确测量的协变量相关的系数中引入偏差。

重要的是，ForestIV方法不能解决这个问题，因此在这种情况下可能比SIMEX更可取。虽然SIMEX是处理测量误差的一种普遍可靠的方法，并已被证明在各种类型的计量经济模型中表现良好（Yang等人，2018年），但我们已经确定了一个重要的限制，导致SIMEX在某些条件下产生有问题的校正结果。再次考虑回归模型Y~bXβX+ZβZ，其中bX是用加性误差测量的，即bX=X+e。假设测量误差分量e与模型中精确测量的控制变量之一相关，例如。，Z*∈ Z、 Cov（e，Z）*) 6= 0. S IMEX修正了Z上的系数*在这种设置下，可能会比没有校正的情况下更加偏向。这代表了结合机器学习和计量经济学建模时可能出现的现实情况。例如，考虑一个信用评分预测模型。与年轻人相比，老年人的信用评分可能更容易预测（误差较小），因为在前一种情况下，可以获得更多关于历史消费和还款的数据。因此，信用评分预测中的误差可能与年龄有关，在许多经济计量模型中，年龄似乎是一个控制变量。另一个引起热烈讨论的例子是COMPAS risk t Tool的Propublica’S scritique（Angwin et al.，2016），这是美国刑事司法系统用于评估被告再犯风险的预测模型。COMPAS产生的预测误差与种族有关；与白人被告相比，该算法对于非裔美国人被告（即偏向于非裔美国人）而言更不准确。

性别分类（Buolamwini和Gebru，2018）中也记录了预测性能方面的类似种族差异，研究人员发现，对于肤色较深的人，图像分类的准确性较低。在下面的理论中，我们在具有可加性独立（即经典）测量误差的线性回归的简单情况下验证了SIMEX的这一局限性。形式上，考虑一个总体回归方程：Y=β+βX+βX+ε，其中Xis用加性独立误差测量，即cX=X+e，Cov（X，e）=0。假设Xis与测量误差相关，即Cov（X，e）=σ2e6=0。我们仍然假设模型误差项ε是外生的，即Cov（X，ε）=Cov（X，ε）=Cov（e，ε）=0。为了简单起见，我们还假设Cov（X，X）=0。进一步表示V ar（X）=σ，V ar（X）=σ，V ar（e）=σe。最后，分别表示Xasβ、cβ和cβsimexe上的真实系数、有偏（即未修正）系数和SIMEX修正系数。定理|cβSIMEX- β|>cβ- β|，即SIMEX校正系数将比无校正情况下更具偏差，如果且仅当σσ- σ2e<σ（σ+σe）- σ2e.放松这一假设，在不改变潜在机制的情况下，推导过程会更加复杂。当ncov（X，X）6=0时，我们的陈述在稍微严格的条件下仍然成立。考虑{cX，X}上Y的有偏回归的OLS估计。使用回归解剖方法（Angrist和Pischke，2008），与Xiscβ=Cov（Y，gX）V ar（gX）相关的估计系数，其中fX是回归XoncX的残差，即X=r+rcX+fX。我们知道r=Cov（X，dX）var（dX），因此X=X-R-Cov（X，dX）V ar（dX）cX。因此Cβ=Cov（Y，gX）V ar（gX）=Covβ+βX+βX+ε，X-R-Cov（X，dX）V ar（dX）dX瓦尔十、-R-Cov（X，dX）V ar（dX）dX.

去掉常数β和外源ε，上述表达式简化了tocβ=CovβX+βX，X-Cov（X，dX）V ar（dX）dX瓦尔十、-Cov（X，dX）V ar（dX）dX=-βCov（X，dX）var（dX）Cov（X，dX）+βσ-βCov（X，dX）var（dX）σ-Cov（X，dX）V ar（dX）=β- βCov（X，dX）Cov（X，dX）σV ar（dX）-Cov（X，dX）。假设var（cX）=σ+σe，Cov（X，cX）=σ，Cov（X，cX）=σ2e，我们有cβ=β- βσ2eσ（σ+σe）-σ2e。这意味着与X，| cβ相关的系数的绝对偏差- β| =βσ2eσ（σ+σe）-σ2e.现在考虑SIMEX校正程序（Cook和Stefanski，1994）。在模拟步骤中，SIMEX createscX（λ）=cX+√λz=X+e+√λz，其中z~ N（0，σe），从而引入更多的测量误差。注意，V ar（cX（λ））=σ+（1+λ）σe，d Cov（X，cX（λ））=σ2ez，因为z是独立生成的。根据上面相同的推导，我们知道在{cX（λ），X}上回归Y，我们会得到cβ（λ）=β-βσ2eσ（σ+（1+λ）σe）-σ2e，或相当于| cβ（λ）- β| =βσ2eσ（σ+（1+λ）σe）-σ2e. 在外推步骤中，SIMEX估计了Cβ(-1） ，即，如果没有测量误差，将获得的效率（注t hatcβ）(-1)≡cβSIMEX）。相应地，| cβ(-1)- β| =βσ2eσσ-σ2e.最后，我们比较了| cβ(-1)- β| =βσ2eσσ-σ2e和| cβ- β| =βσ2eσ（σ+σe）-σ2e, 或等效地，比较|σ-σ2e |和|σ（σ+σe）-σ2e |。因此，条件σσ- σ2e<σ（σ+σe）- σ2e意味着|σ-σ2e |>σ（σ+σe）-σ2e|=> |cβ(-1)- β|>cβ- β|，即SIMEX在Xbecomes上的校正系数，甚至比在没有校正的情况下更偏向。评论我们注意到σσ- σ2e<σ（σ+σe）- σ2e很容易满足。不平等的右侧相当于σσ- σ2e+σe. 因此，不等式成立的充分（但不是必要）条件是σσ- σ2e≥ 0

因为∑- σ2e≥ 0<=>σσe≥σ2eσe=ρ2e，我们可以看到，如果σ≥ σe，这意味着测量误差的方差不大于真协变量的方差。这通常是正确的，除非测量误差非常大。基本上，SIMEX方法依赖于测量误差程度与偏差程度正相关的隐式假设。当精确测量的协变量与测量误差相关时，这一假设被违反，正如我们在上述定理中所示。因此，除非对SIMEX程序进行特殊修改，否则会对精确测量的协变量产生不正确的结果。然而，我们的Forestiv方法并不支持这个问题，因为它不依赖于相同的隐含假设。相反，已识别的工具应减轻易出错协变量的估计偏差，而不会对精确测量的协变量的估计引入额外偏差。我们通过另一组模拟，使用波士顿住房数据集，实证证明了SIMEX的局限性和ForestIV的稳健性。基本设置与之前相同，但有一个变化：一个控制变量Z~ N（0，1）的生成使其与\\MEDV（随机森林模型的聚合预测）中的预测误差相关，相关系数为0.3。我们重复同一组回归分析，并在表G中报告结果。3.真偏差SIMEX ForestIVIntercept 1.0-0.962（0.399）0.688（0.385）0.840（0.384）[0.002][0.418][0.677]MEDV 0.50.588（0.016）0.513（0.060）0.506（0.015）[0.004][0.416][0.689]Z2。0.017（0.232）2.011（0.258）2.017（0.219）[0.458][0.966][0.938]Z1。0.483（0.114）0.401（0.155）0.837（0.126）[0.000][0.000][0.196]平均均方误差4.351 0.699 0.264表13：使用SIMEX和ForestIV的E估计结果，ρZ，E=0.3。

括号中的标准错误。p-将估计值与方括号内的真值进行比较的值。AveMSE包含100次模拟运行中与每组估计值相关的平均经验LMSE。基于TableG。3.我们可以看到，当测量误差与精确测量的控制变量Z相关时，Zis的系数被严重低估了51.7%，并且与我们的理论结果一致，SIMEX校正系数变得更加偏颇。然而，我们提出的ForestIV方法不仅能够减轻MEDV的偏见，而且还可以显著纠正Zin的系数。这表明，当测量误差与模型中的某些控制变量相关时，ForestIV比SIMEX更稳健。G.4基准测试使用LatentIVNext，我们在自行车共享数据集上使用LatentIV方法对我们提出的ForestIV进行基准测试。我们在R软件包“人多”中采用了LatentIV。请注意，LatentIV的这种实现不支持模型中其他外部控制变量的估计。因此，我们从模拟中去掉控制变量，将因变量简单地模拟为Y=1+0.5lnCnt+ε，其中ε~ N（0,4）。我们根据这一数据预测了ForestIV和LatentIV。LatentIV在100次模拟运行中的平均估计值，以及有偏、无偏和ForestIV估计值，见表G。4.真正有偏的无偏前stIV-LatentIVIntercept 1.0.711（0.062）0.972（0.203）0.938（0.148）0.776（0.733）[0.001][0.568][0.677][0.760]lnCnt 0.50.564（0.013）0.507（0.040）0.515（0.029）0.549（0.166）[0.002][0.538][0.613][0.770]平均均方误差0.112 0.010:0.611.610.614][0.6V共享基准数据。括号中的标准错误。p-将估计值与方括号内的真值进行比较的值。

Ave MSE包含100次模拟运行中与每组估计值相关的平均经验误差。我们发现LatentIV能够在一定程度上缓解lnCnt和截距项t的估计偏差。尽管如此，该方法在系统上似乎不如ForestIV有效。此外，最新估计的标准误差远大于ForestIV得出的标准误差，表明结果的潜在不稳定性。G.5使用生成的回归器调整进行基准测试最后，我们根据Meng等人（2016）开发的回归调整方法对ForestIV进行基准测试，以确定非参数生成回归器中的测量误差。我们应用（Meng等人，2016年，第305页）中的公式来获得lnCnt的调整系数和标准误差。表G中报告了100次模拟运行中回归调整的平均估计值，以及有偏、无偏和ForestIV估计值。5.真有偏无偏森林一般回归调整截距1.0 0.702（0.063）1.018（0.204）0.957（0.134）0.702（0.063）[0.004][0.511][0.745][0.004]lnCnt 0.50.566（0.013）0.498（0.040）0.512（0.027）0.563（0.147 0.002][0.530 0.652][0.664]2。0.2.000（0.003）1.999（0.011）2.000（0.003）2.000（0.003）[0.459][0.524][0.977][0.459]Z1。0.1.000（0.002）0.999（0.006）1.000（0.002）1.000（0.002）[0.480][0.486][0.989][0.480]平均均方误差0.150 0.017 0.164表15：基于自行车共享数据生成回归调整的基准ForestIV。括号中的标准错误。p值将估算值与方括号中的tr ue值进行比较。Ave MSE代表100次模拟运行中与每组估计值相关的平均经验MSE。我们发现，生成的回归调整方法仅略微降低了lnCnt的偏差，而且效果明显低于ForestIV。

我们认为，在这种情况下，回归调整方法的局限性可能归因于这样一个事实，即它只利用测量误差均值和方差的分布信息，基本上忽略了其他分布信息。最后，我们承认，在某些情况下，在生成回归器文献（或一般的计量经济学文献）中看到最近理论发展的替代方法可能比ForestIV获得更好的偏差校正结果。因此，我们相信这是一个潜在的相当有成效的未来研究方向，通过它我们的方法可以得到改进。Meng等人（2016年）没有明确讨论如何调整截距项中的偏差。因此，我们将相同的干扰项报告为有偏回归。定理1理论结果的证明。在假设1-3下，对于随机森林中的任意两棵树，i和j（i6=j），limn→∞EiEjEfCov（bX（j），e（i））=0。证据采用Breiman（2001）的表示法，随着随机森林中树木的数量趋于一致，森林的泛化误差表示为P E（f rest）=limM→∞Ef[bX- 十] 。接下来，我们将两个已知结果重申为引理。引理1。（布莱曼，2001，定理11.2。）森林=EiEjEfCov（E（i），E（j））。引理2。（Scornet等人，2015年，定理1）假设1-2，limn→∞pe（森林）=0。这两个引理共同暗示limn→∞EiEjEfCov（e（i），e（j））=0。它跟在t·哈特林后面→∞EiEjEfCov（e（i），e（j））=0<=> 画→∞埃耶夫科夫e（i）、（bX（j）- 十）= 0<=> 画→∞EiEjEfCov（e（i），bX（j））- 画→∞EiEfCov（e（i），X）=0基于假设3（经典测量误差），limn→∞埃夫科夫（e（i），X）=0。因此，我们有→∞EiEjEfCov（bX（j），e（i））=0。定理2。

随机森林二元分类的错误率随着ejecicorr（|e（i）|，|e（j）|）而降低，其中e（i）和e（j）是树i和树j（i6=j）的预测误差。证据Breiman（2001）证明了随机森林的错误率随着Ejeichcorr（rmg（bX（i）），rmg（bX（j）））i而降低，其中rmg（bX（i））表示树i预测的原始边缘函数。在二元分类下，原始边际函数定义为rmg（bX（i））=i（bX（i）=X）-I（bX（I）6=X），其中I是一个指示符函数，用于检查向量X（I）和X元素，如果封闭关系为真，则取值1，否则取值0。换句话说，I（bX（I）=X）是一个向量，正确的预测用1标记，I（bX（I）6=X）是一个向量，错误的预测用1标记。将1=（1，…，1）表示为1的向量，长度与预测向量相同。显然，我们有I（bX（I）=X）=1- I（bX（I）6=X）和I（bX（I）6=X）=|e（I）|。因此，我们知道Corr（（rmg（bX（i）），rmg（bX（j））=Corr（i（bX（i）=X）-I（bX（I）6=X），I（bX（j）=X）-I（bX（j）6=X））=Corr（1）-2I（bX（i）6=X），1- 2I（bX（j）6=X））=Corr（I（bX（I）6=X），I（bX（j）6=X））=Corr（|e（I）|，|e（j）|）。定理3。我∈ {1，…，M}，Cov（e（i），X）<0。证据对于给定的样本大小为N的情况，我们证明了这个定理。为了简单起见，我们写下基本真值asX={ak}Nk=1，同样地写下树i的预测向量和误差向量asbX（i）={pik}Nk=1，e（i）={eik}Nk=1。假设ak=α和pik=β的数据点的数量是nαβ（α，β∈ {0, 1}). 很明显，n+n+n+n=n，X和e（i）之间的关系b完全描述如下：o存在数据点，其中ak=0，eik=0；o存在ak=0和eik=1的数据点存在ak=1和eik=-1;o 存在ak=1和eik=0的数据点。接下来，写出Cov（e（i），X）=N（NPeikak）-佩克）。请注意，Peikak=-n、 佩克=n- n、 andPak=n+n。

因此，我们有NPeikak-佩克=-（n+n+n+n）n-（n）-n） （n+n）=-nn- 2nn- nn<0，相应地，Cov（e（i），X）<0。定理4。i 6=j∈ {1，…，M}，Cov（e（i），e（j））>0 i f且仅当（p+p）（p+p）+2（p0o）- p） p+2（p1o）- p） p+（p- p） （p- p） >0。证据同样地，对于给定的样本大小为N的情况，我们证明了这个定理。再次，我们写出了树i的基真值asX={ak}Nk=1，并写出了树i的预测向量和误差向量asbX（i）={pik}Nk=1，e（i）={eik}Nk=1。首先，我们在下表中列出了ak、pik、pjk、eik、ejkin的所有可能值组合：akpikpjkCount eikejkAbbr。计数符号0n=n×p00n10n=n×p10n01n=n×p01n11n=n×p11n0n=n×p-1-1n10n=n×p001-1n01n=n×p-100n11n=n×p00nnext，写入Cov（e（i），e（j））=n（NPeikejk-PeikPejk）。注意peikejk=n+n，Peik=（n+n）-（n+n）和pejk=（n+n）-（n+n）。然后，NPeikejk-PeikPejk=（n+···+n）（n+n）-[（n+n）-（n+n）][（n+n）-（n+n）]。n+n）和B=[（n+n）-（n+n）][（n+n）-（n+n）]，我们分别计算这两个量，如下所示。首先，我们重写a=（n+···+n）n+（n+··+n）n=（n+n）（n+n）+（n+n+n）n+（n+n+n）n+（n+n+n）n+（n+n+n）n第二，我们重写b=（nn+nn+nn+n）+（nn+nn+nn+n）- （nn+nn+nn+nn）- （nn+nn+nn+nn）=（nn+nn）- nn- nn）+（n+n+n）n+（n+n+n）n- （n+n+n）n- （n+n+n）我们有NPeikejk-PeikPejk=A-B=（n+n）（n+n）+2（n+n+n）n+2（n+n+n）n+（nn+nn）-nn-nn）=（n+n）（n+n）+2（n+n+n）n+2（n+n+n）n+（n-n） （n）-n） 。使用原始计数符号，右侧h和d相当于（n+n）（n+n）+2（n0o）- n） n+2（n1o）- n） n+（n- n） （n）- n） 。

因此，Cov（e（i），e（j））>0<=>N[（N+N）（N+N）+2（n0o）-n） n+2（n1o）-n） n+（n-n） （n）-n） ]>0<=> （p+p）（p+p）+2（p0o）-p） p+2（p1o）- p） p+（p- p） （p- p） >0。我在实践中使用ForestIV在实践中，因为真正的系数不是先验的，所以有一些指导方针来衡量ForestIV在特定有限样本中的有效性是有用的。1.使用保持数据集（如Dtest），研究人员可以在建议的两步套索选择前后，根据经验评估仪器的有效性和强度。2.霍特林测试统计数据也可能是一个有用的信号。与Hotelling TTESComparingBβlabeland ForestIV估算值相关的p值表明，在同等标准下观察其经验差异的可能性。研究人员可以通过调整该测试的显著性水平来确定他们在接受ForestiveEstimates之前需要的证据阈值。3.研究人员还可以检查ForestIV的渐近特性是否尚未“发挥作用”，方法是，当该程序暴露于更多未标记的数据时，检查得出的系数估计中的经验收敛性。如果收敛图表明系数估计尚未稳定，这可能表明ForestIV估计尚未收敛，可能需要更多的u标记数据。最后，为了更好地描述ForestIV的使用情况，我们重申，如果标记数据的大小足够大，以至于仅使用可用的标记数据就可以足够可靠和精确地估计BβLabel，那么首先就不需要挖掘变量。人们应该简单地进行推理和决策。因此，在确定特定推理问题需要“大数据”和机器学习方法时，统计功效分析可能很有用（Ellis，2010）。参考资料：C.C.Aggarwal。

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